การเพิ่มขอบเพียงหนึ่งเดียวให้กับต้นไม้แผ่ขยายจะสร้างวงจรขึ้นมา วงจรดังกล่าวเรียกว่าวงจรพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับต้นไม้นั้น มีวงจรพื้นฐานที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละขอบที่ไม่ได้อยู่ในต้นไม้แผ่ขยาย ดังนั้นจึงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างวงจรพื้นฐานและขอบที่ไม่ได้อยู่ในต้นไม้แผ่ขยาย สำหรับกราฟที่เชื่อมต่อกันที่มีVจุดยอด ต้นไม้แผ่ขยายใดๆ จะมีV  −  1 ขอบ และด้วยเหตุนี้ กราฟที่มีEขอบและต้นไม้แผ่ขยายต้นหนึ่งจะมี วงจรพื้นฐาน E  − V + 1 วงจร (จำนวนขอบลบด้วยจำนวนขอบที่รวมอยู่ในต้นไม้แผ่ขยาย ซึ่งจะได้จำนวนขอบที่ไม่ได้รวมอยู่ในต้นไม้แผ่ขยาย) สำหรับต้นไม้แผ่ขยายใดๆ เซตของ วงจรพื้นฐาน E − V + 1 ทั้งหมดจะก่อให้เกิดฐานวงจรกล่าวคือ ฐานสำหรับปริภูมิวงจร^{[ 5 ]}       

แนวคิดคู่ขนานกับแนวคิดของวัฏจักรพื้นฐานคือแนวคิดของเซตตัดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับต้นไม้แผ่ขยายที่กำหนด โดยการลบขอบเพียงหนึ่งขอบของต้นไม้แผ่ขยาย จุดยอดจะถูกแบ่งออกเป็นสองเซตที่ไม่ซ้ำกัน เซตตัดพื้นฐานถูกกำหนดให้เป็นเซตของขอบที่ต้องถูกลบออกจากกราฟGเพื่อให้ได้การแบ่งแบบเดียวกัน ดังนั้น ต้นไม้แผ่ขยายแต่ละต้นจึงกำหนดเซตของ เซตตัดพื้นฐาน V  −  1 เซต หนึ่งเซตสำหรับแต่ละขอบของต้นไม้แผ่ขยาย^{[ 6 ]}

ความเป็นคู่ระหว่างชุดตัดพื้นฐานและวงจรพื้นฐานได้รับการสร้างขึ้นโดยการสังเกตว่าขอบวงจรที่ไม่ได้อยู่ในต้นไม้แผ่ขยายสามารถปรากฏได้เฉพาะในชุดตัดของขอบอื่นๆ ในวงจรเท่านั้น และในทางกลับกันขอบในชุดตัดสามารถปรากฏได้เฉพาะในวงจรที่มีขอบที่สอดคล้องกับชุดตัดนั้น ความเป็นคู่นี้ยังสามารถแสดงได้โดยใช้ทฤษฎีของแมทรอยด์ซึ่งตามทฤษฎีนี้ ต้นไม้แผ่ขยายเป็นฐานของแมทรอยด์กราฟิกวงจรพื้นฐานเป็นวงจรที่ไม่ซ้ำกันภายในเซตที่สร้างขึ้นโดยการเพิ่มองค์ประกอบหนึ่งลงในฐาน และชุดตัดพื้นฐานถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันจาก แมทรอย ด์คู่^{[ 7 ]}

กลุ่มของต้นไม้ที่ไม่เชื่อมต่อกันเรียกว่าป่าป่าแผ่ขยายในกราฟคือส่วนย่อยของกราฟที่เป็นป่าแต่มีข้อกำหนดเพิ่มเติม มีข้อกำหนดที่ไม่เข้ากันสองข้อที่ใช้กันอยู่ ซึ่งข้อหนึ่งนั้นค่อนข้างหายาก

• หนังสือและบทความเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟเกือบทั้งหมดกำหนดป่าแผ่ขยายว่าเป็นป่าที่แผ่ขยายจากจุดยอดทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าจุดยอดแต่ละจุดของกราฟเป็นจุดยอดในป่าแผ่ขยายนั้น กราฟที่เชื่อมต่อกันอาจมีป่าแผ่ขยายที่ไม่เชื่อมต่อกัน เช่น ป่าที่ไม่มีขอบ ซึ่งจุดยอดแต่ละจุดจะสร้างต้นไม้ที่มีจุดยอดเดียว^{[ 8 ] [ 9 ]}

• ผู้เขียนทฤษฎีกราฟบางคนกำหนดป่าแผ่ขยายให้เป็นกราฟย่อยที่ไม่มีวงจรสูงสุดของกราฟที่กำหนด หรือเทียบเท่ากับกราฟย่อยที่ประกอบด้วยต้นไม้แผ่ขยายในแต่ละส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของกราฟ^{[ 10 ]}

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างคำจำกัดความทั้งสองนี้Gross & Yellen (2005)เสนอคำว่า "full spanning forest" สำหรับ spanning forest ที่มีจำนวนส่วนประกอบเท่ากับกราฟที่กำหนด (เช่น maximal forest) ในขณะที่Bondy & Murty (2008)เรียกป่าประเภทนี้ว่า "maximal spanning forest" (ซึ่งซ้ำซ้อน เนื่องจาก maximal forest จำเป็นต้องมีทุกจุดยอด) ^{[ 11 ]}

ในบางกรณี การคำนวณ t ( G ) โดยตรงนั้นทำได้ง่าย :

• ถ้าGเป็นต้นไม้ด้วยตัวมันเองแล้วt ( G )  =  1
• เมื่อGเป็นกราฟวัฏจักรC ที่มีnจุดยอด แล้วt ( G )  = n 
• สำหรับกราฟสมบูรณ์ ที่มีจุดยอดn จุด สูตรของ Cayley ^{[ 12 ]}ให้จำนวนต้นไม้แผ่ขยายเป็นn ^{n  −  2}
• ถ้าGเป็นกราฟสองส่วนสมบูรณ์${\displaystyle K_{p,q}}$,แล้ว${\displaystyle t(G)=p^{q-1}q^{p-1}}$[ ^{8 ]​}
• สำหรับกราฟไฮเปอร์คิวบ์nมิติ${\displaystyle Q_{n}}$[ ^{13 ]}จำนวนต้นไม้แผ่ขยาย^คือ${\displaystyle t(G)=2^{2^{n}-n-1}\prod _{k=2}^{n}k^{n \choose k}}$.

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับกราฟG ใดๆ จำนวนt ( G ) สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้มาจากกราฟ โดยใช้ทฤษฎีบทเมทริกซ์ต้นไม้ของ Kirchhoff ^{[ 14 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในการคำนวณt ( G ) จะต้องสร้างเมทริกซ์ลาปลาเซียนของกราฟ ซึ่งเป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่แถวและคอลัมน์ต่างก็มีดัชนีตามจุดยอดของG ค่า ในแถวiและคอลัมน์jจะเป็นหนึ่งในสามค่าต่อไปนี้:

• ระดับของจุดยอดiถ้าi  = j 
• −1 ถ้าจุดยอดiและjอยู่ติดกัน หรือ
• 0 ถ้าจุดยอดiและjแตกต่างกันแต่ไม่ติดกัน

เมทริกซ์ที่ได้เป็นเมทริกซ์ เอกฐาน ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์จึงเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม การลบแถวและคอลัมน์สำหรับจุดยอดที่เลือกโดยพลการจะทำให้ได้เมทริกซ์ที่มีขนาดเล็กลง ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับt ( G ) พอดี 

ถ้าGเป็นกราฟหรือมัลติกราฟและeเป็นขอบใดๆ ของGแล้ว จำนวนt ( G ) ของต้นไม้แผ่ขยายของGจะสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดการลบ-หดตัวt ( G )  = t ( G − e ) + t ( G / e ) โดยที่G − eคือมัลติกราฟที่ได้จากการลบ^{e และ G/e คือการหดตัวของ G โดย e [15]}เทอม t ( G − e )ในสูตรนี้จะ^{นับต้นไม้}แผ่ขยายของ G ที่ไม่ใช้ขอบeและเทอม t ( G / e )จะนับต้นไม้แผ่ขยายของGที่ใช้e             

ในสูตรนี้ ถ้ากราฟG ที่กำหนดให้ เป็นมัลติกราฟหรือถ้าการหดตัวทำให้จุดยอดสองจุดเชื่อมต่อกันด้วยขอบหลายเส้น ขอบที่ซ้ำซ้อนไม่ควรถูกลบออก เพราะจะทำให้ผลรวมผิดพลาด ตัวอย่างเช่นกราฟบอนด์ที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดด้วย ขอบ kเส้น จะมี ต้นไม้แผ่คลุมที่แตกต่างกัน kต้น โดยแต่ละต้นประกอบด้วยขอบเพียงเส้นเดียว

พหุนาม Tutteของกราฟสามารถกำหนดได้ว่าเป็นผลรวมของเทอมที่คำนวณจาก "กิจกรรมภายใน" และ "กิจกรรมภายนอก" ของต้นไม้แผ่คลุมของกราฟ ค่าของมันที่อาร์กิวเมนต์ (1,1) คือจำนวนต้นไม้แผ่คลุม หรือในกราฟที่ไม่เชื่อมต่อกัน คือจำนวนป่าแผ่คลุมสูงสุด^{[ 16 ]}

พหุนาม Tutte สามารถคำนวณได้โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดการลบ-หดตัว แต่ความซับซ้อนในการคำนวณสูง: สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์จำนวนมาก การคำนวณอย่างแม่นยำเป็น#P-completeและยังยากที่จะประมาณด้วยอัตราส่วนการประมาณที่ รับประกัน จุด (1,1) ซึ่งสามารถประเมินได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Kirchhoff เป็นหนึ่งในข้อยกเว้นไม่กี่อย่าง^{[ 17 ]}

ต้นไม้แผ่คลุมเพียงต้นเดียวของกราฟสามารถค้นหาได้ในเวลาเชิงเส้นโดยใช้การค้นหาแบบเจาะลึกหรือการค้นหาแบบกว้างทั้งสองอัลกอริทึมนี้จะสำรวจกราฟที่กำหนด โดยเริ่มจากจุดยอดv ใดๆ โดยวนลูปผ่านเพื่อนบ้านของจุดยอดที่ค้นพบ และเพิ่มเพื่อนบ้านที่ยังไม่ได้สำรวจแต่ละจุดลงในโครงสร้างข้อมูลที่จะสำรวจในภายหลัง ความแตกต่างอยู่ที่ว่าโครงสร้างข้อมูลนี้เป็น สแต็ก (ในกรณีของการค้นหาแบบเจาะลึก) หรือ คิว (ในกรณีของการค้นหาแบบกว้าง) ไม่ว่าในกรณีใด ก็สามารถสร้างต้นไม้แผ่คลุมได้โดยการเชื่อมต่อจุดยอดแต่ละจุด ยกเว้นจุดยอดรากvกับจุดยอดที่ค้นพบ ต้นไม้นี้เรียกว่าต้นไม้การค้นหาแบบเจาะลึกหรือต้นไม้การค้นหาแบบกว้าง ขึ้นอยู่กับอัลกอริทึมการสำรวจกราฟที่ใช้ในการสร้าง^{[ 18 ]}ต้นไม้การค้นหาแบบเจาะลึกเป็นกรณีพิเศษของต้นไม้แผ่คลุมประเภทหนึ่งที่เรียกว่าต้นไม้ Trémauxซึ่งตั้งชื่อตามผู้ค้นพบการค้นหาแบบเจาะลึกในศตวรรษที่ 19 ^{[ 19 ]}

ต้นไม้แผ่ขยายมีความสำคัญในการประมวลผลแบบขนานและแบบกระจาย เนื่องจากเป็นวิธีการรักษาการสื่อสารระหว่างชุดของโปรเซสเซอร์ ดูตัวอย่างเช่นSpanning Tree Protocolที่ใช้โดย อุปกรณ์ เลเยอร์ลิงก์ OSIหรือ Shout (โปรโตคอล) สำหรับการประมวลผลแบบกระจาย อย่างไรก็ตาม วิธีการค้นหาแบบลึกและแบบกว้างสำหรับการสร้างต้นไม้แผ่ขยายบนคอมพิวเตอร์แบบลำดับไม่เหมาะกับคอมพิวเตอร์แบบขนานและแบบกระจาย^{[ 20 ]}นักวิจัยจึงได้คิดค้นอัลกอริธึมเฉพาะทางเพิ่มเติมหลายอย่างสำหรับการค้นหาต้นไม้แผ่ขยายในรูปแบบการคำนวณเหล่านี้^{[ 21 ]}

ในบางสาขาของทฤษฎีกราฟ การค้นหาต้นไม้แผ่คลุมขั้นต่ำของกราฟถ่วงน้ำหนัก มักเป็นประโยชน์ ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพอื่นๆ บนต้นไม้แผ่คลุมก็ได้รับการศึกษาเช่นกัน รวมถึงต้นไม้แผ่คลุมสูงสุด ต้นไม้ขั้นต่ำที่แผ่คลุมจุดยอดอย่างน้อย k จุดต้นไม้แผ่คลุมที่มีขอบน้อยที่สุดต่อจุดยอด ต้นไม้ แผ่คลุมที่มีจำนวนใบมากที่สุดต้นไม้แผ่คลุมที่มีใบน้อยที่สุด (เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับปัญหาเส้นทางแฮมิลโทเนียน ) ต้นไม้แผ่คลุมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางน้อยที่สุดและต้นไม้แผ่คลุมที่มีการขยายขั้นต่ำ^{[ 22 ] [ 23 ]}

ปัญหาต้นไม้แผ่ขยายที่เหมาะสมที่สุดยังได้รับการศึกษาสำหรับเซตจุดจำกัดในพื้นที่ทางเรขาคณิต เช่นระนาบยุคลิดสำหรับอินพุตดังกล่าว ต้นไม้แผ่ขยายก็คือต้นไม้ที่มีจุดที่กำหนดเป็นจุดยอด คุณภาพของต้นไม้จะวัดในลักษณะเดียวกับในกราฟ โดยใช้ระยะทางยุคลิดระหว่างคู่ของจุดเป็นน้ำหนักสำหรับแต่ละขอบ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ต้นไม้แผ่ขยายขั้นต่ำยุคลิด จึง เหมือนกับต้นไม้แผ่ขยายขั้นต่ำของกราฟในกราฟสมบูรณ์ที่มีน้ำหนักขอบยุคลิด อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟนี้เพื่อแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่น ปัญหาต้นไม้แผ่ขยายขั้นต่ำยุคลิดสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นใน เวลา O ( n  log n ) โดยการสร้างสามเหลี่ยมเดลานีย์แล้วใช้ ขั้นตอนวิธีต้นไม้แผ่ขยายขั้นต่ำ ของกราฟระนาบ แบบเวลาเชิงเส้น กับสามเหลี่ยมที่ได้^{[ 22 ]} 

ต้นไม้แผ่ขยายที่เลือกแบบสุ่มจากต้นไม้แผ่ขยายทั้งหมดด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันเรียกว่าต้นไม้แผ่ขยายแบบสม่ำเสมออัลกอริทึมของวิลสันสามารถใช้สร้างต้นไม้แผ่ขยายแบบสม่ำเสมอได้ในเวลาพหุนามโดยกระบวนการเดินแบบสุ่มบนกราฟที่กำหนดและลบวงจรที่สร้างขึ้นโดยการเดินนี้^{[ 24 ]}

แบบจำลองทางเลือกสำหรับการสร้างต้นไม้แผ่ขยายแบบสุ่มแต่ไม่สม่ำเสมอคือต้นไม้แผ่ขยายขั้นต่ำแบบสุ่มในแบบจำลองนี้ ขอบของกราฟจะถูกกำหนดน้ำหนักแบบสุ่ม จากนั้น จะสร้าง ต้นไม้แผ่ขยายขั้นต่ำของกราฟที่มีน้ำหนัก^{[ 25 ]}

เนื่องจากกราฟอาจมีต้นไม้แผ่ขยายจำนวนมากแบบเลขชี้กำลัง จึงไม่สามารถแสดงรายการต้นไม้แผ่ขยายทั้งหมดได้ในเวลาพหุนามอย่างไรก็ตาม มีอัลกอริทึมที่ทราบกันดีว่าสามารถแสดงรายการต้นไม้แผ่ขยายทั้งหมดได้ในเวลาพหุนามต่อต้นไม้^{[ 26 ]}