เนื่องจาก^x² = −1 เป็น พหุนามกำลัง สอง ที่ไม่มีรากซ้ำ สมการนิยามx² = −1 จึงมี คำตอบที่แตกต่างกัน สองคำตอบ ซึ่งถูกต้องเท่าเทียมกันและเป็นตัวผกผันการบวกและการคูณของกันและกัน แม้ว่าคำตอบทั้งสองจะเป็นจำนวนที่แตกต่างกัน แต่คุณสมบัติของมันไม่สามารถแยกแยะได้ ไม่มีคุณสมบัติใดที่คำตอบหนึ่งมีแต่คำตอบอื่นไม่มี คำตอบหนึ่งในสองคำตอบนี้ถูกกำหนดให้เป็น+ i (หรือเรียกง่ายๆ ว่าi ) และอีก คำตอบหนึ่งถูกกำหนดให้เป็น−iแม้ว่าจะมีความกำกวมโดยเนื้อแท้ว่าคำตอบใดเป็นคำตอบใด

ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่าง+ iและ−iเกิดจากการกำหนดชื่อเรียกนี้ ตัวอย่างเช่น ตามธรรมเนียมแล้ว+ i จะมีอาร์กิวเมนต์เป็น${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$และ−i กล่าว กันว่ามีอาร์กิวเมนต์เป็น${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$เกี่ยวข้องกับธรรมเนียมการกำหนดทิศทางในระนาบคาร์ทีเซียนโดยสัมพันธ์กับแกนxบวก โดยมุมบวกจะหมุนทวนเข็มนาฬิกาในทิศทางของแกนyบวก นอกจากนี้ แม้จะมีเครื่องหมายเขียนกำกับไว้ แต่ทั้ง+ iและ−i ก็ไม่ได้เป็นบวกหรือลบโดยแท้จริงในความหมายเดียวกับจำนวนจริง^{[ 5 ]}

การแสดงออกอย่างเป็นทางการมากขึ้นของความไม่สามารถแยกแยะได้ระหว่าง+ iและ−iคือ แม้ว่าฟิลด์ เชิงซ้อน จะมีเอกลักษณ์เฉพาะ (ในฐานะส่วนขยายของจำนวนจริง) จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมแต่ก็ไม่มีเอกลักษณ์เฉพาะจนถึง ไอโซมอร์ฟิซึม เดียวนั่นคือ มีออโตมอร์ฟิซึมฟิลด์ สองแบบ ของจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} }$ซึ่งทำให้จำนวนจริงแต่ละจำนวนคงที่ ได้แก่ เอกลักษณ์และการสังยุคเชิงซ้อนสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทั่วไปนี้ โปรดดูที่กลุ่มกาลัวส์

โดยใช้แนวคิดของเมทริกซ์ และการคูณเมทริกซ์จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ในพีชคณิตเชิงเส้น หน่วยจริงiและหน่วยจินตนาการiสามารถแทนด้วยเมทริกซ์คู่ใดๆIและJที่สอดคล้องกับ^I² = I , IJ = JI = J และ J² = −I จากนั้นจำนวนเชิงซ้อน a + bi สามารถแทนด้วยเมทริกซ์aI + bJและกฎทั่วไปทั้งหมดของเลขคณิตเชิงซ้อนสามารถอนุมานได้จากกฎของเลขคณิตเมทริก^ซ์

ตัวเลือกที่นิยมใช้มากที่สุดคือการแทนค่า1และiด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์2 × 2 Iและเมทริกซ์J

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนใดๆa + biสามารถแทนได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์2 × 2ที่มีค่าเป็นจำนวนจริงใดๆ ที่มี ค่าร่องรอย ( trace ) เป็นศูนย์และค่ากำหนด (determinant)เป็นหนึ่ง จะได้ค่ากำลังสองเท่ากับ− Iดังนั้นจึงสามารถเลือกใช้เป็นJได้ เมทริกซ์ขนาดใหญ่กว่าก็สามารถนำมาใช้ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น1สามารถแทนด้วย เมทริกซ์เอกลักษณ์ 4 × 4และiสามารถแทนด้วยเมทริกซ์ Dirac ใดๆ สำหรับมิติเชิงพื้นที่ได้

พหุนาม (ผลรวมถ่วงน้ำหนักของกำลังของตัวแปร) เป็นเครื่องมือพื้นฐานในพีชคณิต พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะก่อตัวเป็นวงแหวนซึ่งเขียนแทนด้วย${\displaystyle \mathbb {R} [x],}$โครงสร้างพีชคณิตที่มีการ บวกและการคูณ และมีคุณสมบัติหลายอย่างร่วมกับวงแหวนของจำนวนเต็ม

พหุนาม${\displaystyle x^{2}+1}$ไม่มีรากที่ เป็นจำนวนจริง แต่เป็นเซตของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่หารลงตัวด้วย${\displaystyle x^{2}+1}$ก่อให้เกิดอุดมคติดังนั้นจึงมีวงแหวนผลหาร${\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .}$วงแหวนผลหารนี้มีโครงสร้างสมมาตรกับจำนวนเชิงซ้อน และตัวแปร${\displaystyle x}$แสดงถึงหน่วยจินตนาการ

จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ด้วยกราฟ โดยลากเส้นจำนวน จริง เป็นแกนแนวนอน และจำนวนจินตภาพเป็นแกนแนวตั้งของระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนที่เรียกว่าระนาบเชิงซ้อนในการแสดงแบบนี้ ตัวเลข1และiอยู่ห่างจาก0 เป็นระยะทางเท่ากัน โดยมีมุมฉากระหว่างกัน การบวกด้วยจำนวนเชิงซ้อนจะสอดคล้องกับการเลื่อนในระนาบ ในขณะที่การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งจะสอดคล้องกับการหมุนรอบจุดกำเนิด การแปลง ความคล้ายคลึงกัน ทุก รูปแบบของระนาบสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นเชิงซ้อน${\displaystyle z\mapsto az+b}$

ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตของระนาบยุคลิดผลคูณเชิงเรขาคณิตหรือผลหารของเวกเตอร์ สองตัวใดๆ จะเป็นผลรวมของส่วนที่เป็นสเกลาร์ (จำนวนจริง) และ ส่วนที่ เป็นไบเวกเตอร์ (สเกลาร์คือปริมาณที่ไม่มีทิศทาง เวกเตอร์คือปริมาณที่มีทิศทางเหมือนเส้นตรง และไบเวกเตอร์คือปริมาณที่มีทิศทางเหมือนระนาบ) กำลังสองของเวกเตอร์ใดๆ จะเป็นสเกลาร์บวก ซึ่งแสดงถึงความยาวของเวกเตอร์นั้นยกกำลังสอง ในขณะที่กำลังสองของไบเวกเตอร์ใดๆ จะเป็นสเกลาร์ลบ

ผลหารของเวกเตอร์กับตัวมันเองคือสเกลาร์1 = u / uและเมื่อคูณด้วยเวกเตอร์ใดๆ ก็ตามจะไม่เปลี่ยนแปลง ( การแปลงเอกลักษณ์ ) ผลหารของเวกเตอร์ตั้งฉากสองตัวใดๆ ที่มีขนาดเท่ากันJ = u / vซึ่งเมื่อคูณกันจะหมุนตัวหารไปหนึ่งในสี่รอบในตัวตั้งหารJv = uคือไบเวกเตอร์หน่วยซึ่งยกกำลังสองได้−1และสามารถใช้เป็นตัวแทนของหน่วยจินตนาการได้ ผลรวมของสเกลาร์และไบเวกเตอร์ใดๆ สามารถคูณด้วยเวกเตอร์เพื่อปรับขนาดและหมุนได้ และพีชคณิตของผลรวมดังกล่าวเป็น ไอโซมอร์ ฟิกกับพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ในการตีความนี้ จุด เวกเตอร์ และผลรวมของสเกลาร์และไบเวกเตอร์ ล้วนเป็นวัตถุทางเรขาคณิตประเภทที่แตกต่างกัน^{[ 6 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตของปริภูมิยูคลิด มิติสูงใดๆ เวกเตอร์คู่หน่วยที่มีทิศทางการวางตัวในระนาบใดๆ เมื่อยกกำลังสองจะได้−1ดังนั้นจึงสามารถใช้แทนหน่วยจินตนาการiได้

เมื่อนำหน่วยจินตนาการมาบวกหรือลบซ้ำๆ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มคูณกับหน่วยจินตนาการ ซึ่งก็คือจำนวนเต็มจินตนาการและสามารถนำจำนวนใดๆ ก็ได้มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเป็นจำนวนเต็มจินตนาการเช่นกัน

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

ดังนั้น หน่วยจินตนาการจึงเป็นตัวสร้างของกลุ่มภายใต้การบวก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มวัฏจักรอนันต์

หน่วยจินตภาพสามารถคูณด้วยจำนวนจริง ใดๆ ก็ได้ เพื่อสร้างจำนวนจินตภาพจำนวนเหล่านี้สามารถแสดงบนเส้นจำนวนแกนจินตภาพซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของระนาบเชิงซ้อน โดยทั่วไปจะวาดในแนวตั้ง ตั้งฉากกับแกนจริงซึ่งวาดในแนวนอน

ผลรวมจำนวนเต็มของหน่วยจริง1และหน่วยจินตนาการiก่อให้เกิดโครงข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสในระนาบเชิงซ้อน เรียกว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียนผลรวม ผลต่าง หรือผลคูณของจำนวนเต็มเกาส์เซียน ก็เป็นจำนวนเต็มเกาส์เซียนเช่นกัน

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}}$$

เมื่อคูณด้วยหน่วยจินตภาพiจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ในระนาบเชิงซ้อนจะถูกหมุนไปหนึ่งในสี่รอบ(${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$เรเดียนหรือ90°ทวนเข็มนาฬิกาเมื่อคูณด้วย−iจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จะถูกหมุนตามเข็มนาฬิกาไปหนึ่งในสี่รอบ ในรูปแบบเชิงขั้ว:

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

ในรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

เลขยกกำลังของiจะซ้ำกันเป็นวัฏจักร ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบต่อไปนี้ โดยที่nเป็นจำนวนเต็มใดๆ:

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

ดังนั้น ภายใต้การคูณiจึงเป็นตัวสร้างของกลุ่มวัฏจักรอันดับ 4 ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มวงกลม ต่อเนื่อง ของจำนวนเชิงซ้อนหน่วยภายใต้การคูณ

เขียนขึ้นเป็นกรณีพิเศษของสูตรของออยเลอร์สำหรับจำนวนเต็มn

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

ด้วยการเลือกขอบเขตการตัดและค่าหลัก อย่างระมัดระวัง สมการสุดท้ายนี้ยังสามารถนำไปใช้กับค่าเชิงซ้อนใดๆ ของnได้ รวมถึงกรณีเช่นn = iด้วย

เช่นเดียวกับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$มีรากที่ สองที่แตกต่างกันสองค่า ซึ่งเป็นตัวผกผันการบวกในรูปแบบเชิงขั้วคือ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

ในรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า พวกมันคือ^{[ a ]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

การยกกำลังสองของนิพจน์ใดนิพจน์หนึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

รากที่สามสาม ตัว ของiคือ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

สำหรับจำนวนเต็มบวกทั่วไปn รากที่ n ของ i คือสำหรับk = 0, 1, ..., n − 1$${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$ ค่าที่สัมพันธ์กับk = 0คือ รากที่ n หลัก ของiเซตของรากเหล่านี้เท่ากับเซตของรากเอกภาพที่ สอดคล้องกัน ซึ่งหมุนด้วย รากที่ n หลัก ของiซึ่งก็คือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่อยู่ภายในวงกลมหน่วยเชิงซ้อน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเชื่อมโยงการบวกเชิงซ้อนในโดเมนกับการคูณเชิงซ้อนในโคโดเมน ค่าจริงในโดเมนแสดงถึงการปรับขนาดในโคโดเมน (การคูณด้วยสเกลาร์จริง) โดย1แทนการคูณด้วยeในขณะที่ค่าจินตภาพในโดเมนแสดงถึงการหมุนในโคโดเมน (การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนหน่วย) โดยiแทนการหมุน1เรเดียน ดังนั้น ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนจึงเป็นฟังก์ชันคาบในทิศทางจินตภาพ โดยมีคาบ2πiและภาพ1ที่จุด2kπiสำหรับจำนวนเต็มk ทั้งหมด ซึ่ง เป็นผลคูณจริงของแลตทิซของจำนวนเต็มจินตภาพ

เลขชี้กำลังเชิงซ้อนสามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบคู่และคี่ ได้แก่ ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกcoshและsinhหรือฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกcosและsin :

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

สูตรของออยเลอร์แยกส่วนเลขชี้กำลังของจำนวนจินตนาการที่แสดงถึงการหมุน:

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

ข้อเท็จจริงนี้สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ดูเหมือนจะขัดกับสามัญสำนึกได้ ซึ่งรวมถึงข้อเท็จTจริงที่ว่า${\displaystyle i^{i}}$เป็นจำนวนจริง^{[ 13 ]}

ผลหารcoth z = cosh z / sinh zด้วยการปรับขนาดที่เหมาะสม สามารถแสดงเป็นการแยกส่วนเศษส่วนย่อยอนันต์เป็นผลรวมของฟังก์ชันผกผันที่แปลโดยจำนวนเต็มจินตนาการ: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

ฟังก์ชันอื่นๆ ที่อิงตามเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั้นสามารถนิยามได้อย่างดีด้วยอินพุตที่เป็นจำนวนจินตนาการ ตัวอย่างเช่น จำนวนที่ยก กำลัง niคือ: $${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

เนื่องจากฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นคาบฟังก์ชันผกผัน ของมันซึ่ง ก็คือ ลอการิทึมเชิงซ้อน จึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าโดยแต่ละจำนวนเชิงซ้อนในโดเมนจะสอดคล้องกับค่าหลายค่าในโคโดเมน ซึ่งแยกจากกันด้วยจำนวนเต็มคูณของ2πiวิธีหนึ่งในการหาฟังก์ชันค่าเดียวคือการพิจารณาโคโดเมนเป็นทรงกระบอกโดยค่าเชิงซ้อนที่แยกจากกันด้วยจำนวนเต็มคูณของ2πiจะถูกพิจารณาว่าเป็นค่าเดียวกัน อีกวิธีหนึ่งคือการพิจารณาโดเมนเป็นพื้นผิวรีมันน์ซึ่งประกอบด้วยระนาบเชิงซ้อนหลายสำเนาที่ต่อกันตามแกนจริงลบเป็นการตัดสาขาโดยแต่ละสาขาในโดเมนจะสอดคล้องกับแถบอนันต์หนึ่งในโคโดเมน^{[ 15 ]}ดังนั้นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับลอการิทึมเชิงซ้อนจึงขึ้นอยู่กับการเลือกสาขาอย่างระมัดระวังเพื่อกำหนดและประเมินอย่างชัดเจน

ตัวอย่างเช่น หากเลือกสาขาใดสาขาหนึ่งที่${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$ดังนั้นเมื่อxเป็นจำนวนจริงบวก $${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

แฟกทอเรียลของหน่วยจินตนาการiมักจะกำหนดในรูปของฟังก์ชันแกมมาที่ประเมินที่1 + i : ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos(\ln t)\,dt+i\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sin(\ln t)\,dt\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

ขนาดและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนนี้คือ: ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$