สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม ( SDE ) คือสมการเชิงอนุพันธ์ ที่ ^มีพจน์อย่างน้อยหนึ่งพจน์เป็นกระบวนการสุ่ม [ ^{1 ]}ส่งผลให้คำตอบเป็นกระบวนการสุ่มเช่นกัน SDE มีการประยุกต์ใช้มากมายในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และใช้ในการจำลองพฤติกรรมต่างๆ ของแบบจำลองสุ่ม เช่น ราคาหุ้นของบริษัทจดทะเบียน^{[ 2 ]}แบบจำลองการเติบโตแบบสุ่ม^{[ 3 ]} หรือระบบทาง กายภาพที่อยู่ภายใต้ความผันผวนของอุณหภูมิ

SDE มีอนุพันธ์แบบสุ่มซึ่งในกรณีพื้นฐานที่สุดคือสัญญาณรบกวนสีขาว แบบสุ่ม ที่คำนวณเป็นอนุพันธ์การกระจายของการเคลื่อนที่แบบบราวน์หรือโดยทั่วไปคือเซมิมาร์ติงเกลอย่างไรก็ตาม พฤติกรรมแบบสุ่มประเภทอื่นก็เป็นไปได้ เช่นกระบวนการกระโดดเช่นกระบวนการ Lévy ^{[ 4 ]}หรือเซมิมาร์ติงเกลที่มีการกระโดด

โดยทั่วไปแล้วสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มไม่ใช่ทั้งสมการเชิงอนุพันธ์หรือสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มเป็นคู่ควบกับสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มยังสามารถขยายไปยังแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ได้ อีกด้วย ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มมีต้นกำเนิดมาจากทฤษฎีการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในผลงานของ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์และ มาเรียน สโมลูโชฟสกีในปี 1905 แม้ว่า หลุยส์ บาเชลิเยร์จะเป็นบุคคลแรกที่ได้รับการยกย่องว่าสร้างแบบจำลองการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในปี 1900 ซึ่งให้ตัวอย่างแรกเริ่มของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลองบาเชลิเยร์ตัวอย่างแรกเริ่มเหล่านี้บางส่วนเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มเชิงเส้น หรือที่เรียกว่าสมการลังเจวินตามชื่อของนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสลังเจวินซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของตัวสั่นฮาร์มอนิกที่อยู่ภายใต้แรงสุ่ม ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มได้รับการพัฒนาในช่วงทศวรรษ 1940 ผ่านผลงานบุกเบิกของนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นคิโยชิ อิโตะผู้ซึ่งแนะนำแนวคิดของปริพันธ์สุ่ม และริเริ่มการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มที่ไม่เป็นเชิงเส้น ต่อมานักฟิสิกส์ชาวรัสเซีย สตราโตโนวิชได้เสนอแนวทางอื่นซึ่งนำไปสู่แคลคูลัสที่คล้ายกับแคลคูลัสทั่วไป

ในวิชาฟิสิกส์ สมการอนุพันธ์เชิงสุ่ม (SDEs) มีการประยุกต์ใช้ที่กว้างขวาง ตั้งแต่พลศาสตร์ระดับโมเลกุลไปจนถึงพลศาสตร์ของระบบประสาท และพลศาสตร์ของวัตถุทางดาราศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง SDEs อธิบายระบบพลศาสตร์ทั้งหมดที่ผลกระทบทางควอนตัมไม่สำคัญหรือสามารถนำมาพิจารณาได้ในรูปของการรบกวน SDEs สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายทฤษฎีระบบพลศาสตร์ไปสู่แบบจำลองที่มีสัญญาณรบกวน นี่เป็นการขยายที่สำคัญเพราะระบบจริงไม่สามารถแยกออกจากสิ่งแวดล้อมได้อย่างสมบูรณ์ และด้วยเหตุนี้จึงมักได้รับอิทธิพลจากภายนอกแบบสุ่มเสมอ

มีเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแปลงสมการอันดับสูงให้เป็นสมการอันดับหนึ่งที่เชื่อมโยงกันหลายสมการโดยการแนะนำตัวแปรที่ไม่ทราบค่าใหม่ ดังนั้น กลุ่มของสมการอนุพันธ์เชิงสุ่ม (SDE) ที่ครอบคลุมมากที่สุดจึงเป็นดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,}$

ที่ไหน${\displaystyle x\in X}$คือตำแหน่งในระบบในปริภูมิเฟส (หรือสถานะ) ของ ระบบ นั้น${\displaystyle X}$โดยถือว่าเป็นแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้${\displaystyle F\in TX}$เป็นสนามเวกเตอร์การไหลที่แสดงถึงกฎวิวัฒนาการเชิงกำหนด และ${\displaystyle g_{\alpha }\in TX}$คือชุดของสนามเวกเตอร์ที่กำหนดการเชื่อมโยงของระบบกับสัญญาณรบกวนสีขาวแบบเกาส์เซียน${\displaystyle \xi ^{\อัลฟา }}$. ถ้า${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเชิงเส้นและ${\displaystyle g}$ถ้าค่าคงที่เป็นค่าคงที่ ระบบจะเรียกว่าอยู่ภายใต้สัญญาณรบกวนแบบบวก มิฉะนั้นจะเรียกว่าอยู่ภายใต้สัญญาณรบกวนแบบคูณ สำหรับสัญญาณรบกวนแบบบวก รูปแบบ Itô และ Stratonovich ของ SDE จะสร้างคำตอบเดียวกัน และไม่สำคัญว่าจะใช้คำจำกัดความใดในการแก้ SDE สำหรับ SDE ที่มีสัญญาณรบกวนแบบคูณ รูปแบบ Itô และ Stratonovich ของ SDE จะแตกต่างกัน และควรใช้ความระมัดระวังในการแมประหว่างกัน^{[ 15 ]}

สำหรับการกำหนดค่าคงที่ของสัญญาณรบกวน SDE มีคำตอบเฉพาะที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เมื่อเทียบกับเงื่อนไขเริ่มต้น^{[ 16 ]}ความไม่ธรรมดาของกรณีสุ่มปรากฏขึ้นเมื่อพยายามหาค่าเฉลี่ยของวัตถุที่น่าสนใจต่างๆ เหนือการกำหนดค่าสัญญาณรบกวน ในแง่นี้ SDE ไม่ใช่เอนทิตีที่กำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงเมื่อสัญญาณรบกวนเป็นแบบคูณ และเมื่อ SDE ถูกเข้าใจว่าเป็นขีดจำกัดเวลาต่อเนื่องของสมการผลต่างสุ่มในกรณีนี้ SDE ต้องได้รับการเสริมด้วยสิ่งที่เรียกว่า "การตีความของ SDE" เช่น การตีความ SDE ของ Itô หรือ Stratonovich อย่างไรก็ตาม เมื่อ SDE ถูกมองว่าเป็นการไหลสุ่มแบบเวลาต่อเนื่องของดิฟฟีโอมอร์ฟิซึม มันคือวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงซึ่งสอดคล้องกับแนวทางของ Stratonovich สำหรับขีดจำกัดเวลาต่อเนื่องของสมการผลต่างสุ่ม

ในวิชาฟิสิกส์ วิธีการแก้ปัญหาหลักคือการหา ฟังก์ชัน การกระจายความน่าจะเป็นเป็นฟังก์ชันของเวลาโดยใช้สมการฟอกเกอร์-พลังค์ (FPE) ที่เทียบเท่ากัน สมการฟอกเกอร์-พลังค์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย แบบกำหนดได้ มันบอกว่าฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป คล้ายกับที่ สมการชโรดิงเกอร์บอกการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันคลื่นควอนตัมตามเวลา หรือสมการการแพร่บอกการเปลี่ยนแปลงของความเข้มข้นทางเคมีตามเวลา หรืออีกวิธีหนึ่งคือการหาคำตอบเชิงตัวเลขโดยใช้ การจำลอง มอนเตคาร์โลเทคนิคอื่นๆ ได้แก่การอินทิเกรตเส้นทางซึ่งอาศัยความคล้ายคลึงกันระหว่างฟิสิกส์เชิงสถิติและกลศาสตร์ควอนตัม (ตัวอย่างเช่น สมการฟอกเกอร์-พลังค์สามารถแปลงเป็นสมการชโรดิงเกอร์ได้โดยการปรับขนาดตัวแปรบางตัว) หรือโดยการเขียนสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสำหรับโมเมนต์ ทางสถิติ ของฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น

สัญลักษณ์ที่ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น (และในหลายๆ การประยุกต์ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่น ในการประมวลผลสัญญาณด้วยปัญหาการกรองและในด้านการเงินเชิงคณิตศาสตร์ ) นั้นแตกต่างกันเล็กน้อย นอกจากนี้ยังเป็นสัญลักษณ์ที่ใช้ในสิ่งพิมพ์เกี่ยวกับวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม สัญลักษณ์นี้ทำให้ลักษณะที่แปลกใหม่ของฟังก์ชันสุ่มของเวลาดูน่าสนใจยิ่งขึ้น${\displaystyle \xi ^{\อัลฟา }}$ในการกำหนดสูตรทางฟิสิกส์นั้นชัดเจนยิ่งขึ้น ในแง่คณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัด ${\displaystyle \xi ^{\อัลฟา }}$ไม่สามารถเลือกเป็นฟังก์ชันธรรมดาได้ แต่เลือกได้เฉพาะเป็นฟังก์ชันทั่วไป เท่านั้น การกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์จัดการกับความซับซ้อนนี้ได้ชัดเจนกว่าการกำหนดสูตรทางฟิสิกส์

สมการทั่วไปจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},}$

ที่ไหน${\displaystyle B}$แสดงถึงกระบวนการ Wiener (การเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐาน) สมการนี้ควรตีความว่าเป็นวิธีการอย่างไม่เป็นทางการในการแสดงสมการปริพันธ์ ที่สอดคล้องกัน

${\displaystyle X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.}$

สมการข้างต้นอธิบายลักษณะพฤติกรรมของกระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่องเวลาX ในรูปผลรวมของ ปริพันธ์เลเบสธรรมดาและปริพันธ์อิโต การ ตีความ เชิงอนุมาน ( แต่มีประโยชน์มาก) ของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มคือ ในช่วงเวลาสั้นๆ ที่มีความยาวδกระบวนการสุ่มX จะเปลี่ยนค่าเป็นจำนวนที่กระจายแบบปกติด้วยค่าคาดหวังμ ( X , t ) δและความแปรปรวนσ ( X , t ) ² δและเป็นอิสระจากพฤติกรรมในอดีตของกระบวนการ เป็นเช่นนั้นเพราะการเพิ่มขึ้นของกระบวนการ Wiener เป็นอิสระและกระจายแบบปกติ ฟังก์ชันμเรียกว่าสัมประสิทธิ์การลอยตัว ในขณะที่σเรียกว่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจาย กระบวนการสุ่มX เรียกว่ากระบวนการแพร่กระจายและเป็นไปตามคุณสมบัติของมาร์คอฟ^{[ 1 ]}    

การตีความอย่างเป็นทางการของ SDE จะได้รับตามสิ่งที่ประกอบขึ้นเป็นคำตอบของ SDE มีคำจำกัดความหลักสองประการของคำตอบของ SDE คือ คำตอบที่แข็งแกร่งและคำตอบที่อ่อนแอ^{[ 1 ]}ทั้งสองต้องอาศัยการมีอยู่ของกระบวนการX ที่แก้สมการอินทิกรัลเวอร์ชันของ SDE ความแตกต่างระหว่างทั้งสองอยู่ที่ พื้นที่ความน่าจะเป็นพื้นฐาน(${\displaystyle \โอเมก้า ,\,{\คณิตศาสตร์ {F}},\,P}$). คำตอบแบบอ่อนประกอบด้วยปริภูมิความน่าจะเป็นและกระบวนการที่สอดคล้องกับสมการเชิงปริพันธ์ ในขณะที่คำตอบแบบเข้มคือกระบวนการที่สอดคล้องกับสมการและถูกกำหนดไว้ในปริภูมิความน่าจะเป็นที่กำหนดทฤษฎีบทของยามาดะ-วาตานาเบะเชื่อมโยงคำตอบทั้งสองเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่สำคัญคือสมการสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

ซึ่งเป็นสมการสำหรับพลวัตของราคาหุ้นของบริษัทจดทะเบียนในแบบจำลองการกำหนดราคาออปชั่นBlack–Scholes ^{[ 2 ]}ของคณิตศาสตร์การเงิน

เมื่อขยายการเคลื่อนที่แบบบราวน์ทางเรขาคณิตแล้ว ยังสามารถกำหนด SDE ที่ยอมรับโซลูชันที่แข็งแกร่งและมีการกระจายแบบการรวมกันแบบนูนของความหนาแน่นที่มาจากการเคลื่อนที่แบบบราวน์ทางเรขาคณิตหรือแบบจำลอง Black-Scholes ที่แตกต่างกัน ทำให้ได้ SDE เดียวที่มีโซลูชันกระจายตัวเป็นพลวัตแบบผสมของการกระจายแบบลอคนอร์มอลของแบบจำลอง Black-Scholes ที่แตกต่างกัน^{[ 2 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ซึ่งนำไปสู่แบบจำลองที่สามารถจัดการกับรอยยิ้มความผันผวนในคณิตศาสตร์การเงินได้

SDE ที่เรียบง่ายกว่าเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบบราวน์เลขคณิต^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}}$

แบบจำลองนี้ถูกใช้โดยหลุยส์ บาเชลิเยร์ เป็นแบบจำลองแรกสำหรับการกำหนดราคาหุ้นในปี ค.ศ. 1900 ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อแบบจำลองบาเชลิเยร์

นอกจากนี้ยังมีสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มทั่วไปอีกหลายประเภท ซึ่งสัมประสิทธิ์μและσไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าปัจจุบันของกระบวนการXt เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับค่าก่อนหน้าของกระบวนการนั้น และอาจขึ้นอยู่กับค่าปัจจุบันหรือค่าก่อนหน้าของกระบวนการอื่นๆ ด้วย ในกรณีนั้น กระบวนการแก้ปัญหาจะไม่ใช่กระบวนการมาร์คอฟ และเรียกว่ากระบวนการอิโต ไม่ใช่กระบวนการแพร่กระจาย เมื่อสัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับค่าปัจจุบันและค่าในอดีตของX เท่านั้น สมการนิยามจะเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์หน่วงเวลาสุ่ม

การวางนัยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มด้วยอินทิกรัล Fisk-Stratonovich ไปยังเซมิมาร์ติงเกลที่มีการกระโดดคือ SDE ของประเภท Marcusอินทิกรัล Marcus เป็นส่วนขยายของแคลคูลัสสุ่มของ McShane ^{[ 20 ]}

การประยุกต์ใช้ในด้านการเงินเชิงสุ่มนั้นมาจากการใช้สมการสำหรับกระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็ค

${\displaystyle \mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

ซึ่งเป็นสมการสำหรับพลวัตของการคืนราคาหุ้นของบริษัทจดทะเบียนภายใต้สมมติฐานที่ว่าผลตอบแทนแสดงการกระจายแบบลอการิทมิกปกติภายใต้สมมติฐานนี้ วิธีการที่พัฒนาโดย Marcello Minenna กำหนดช่วงการทำนายที่สามารถระบุผลตอบแทนที่ผิดปกติซึ่งอาจซ่อนปรากฏการณ์การละเมิดตลาด ได้ ^{[ 21 ] [ 22 ]}

โดยปกติแล้ว การแก้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE) จำเป็นต้องใช้การตั้งค่าเชิงความน่าจะเป็น เนื่องจากปริพันธ์ที่แฝงอยู่ในคำตอบเป็นปริพันธ์สุ่ม หากเป็นไปได้ที่จะจัดการกับสมการเชิงอนุพันธ์ทีละเส้นทาง ก็ไม่จำเป็นต้องกำหนดปริพันธ์สุ่ม และสามารถพัฒนาทฤษฎีได้อย่างอิสระจากทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งชี้ให้เห็นถึงการพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE)

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )}$

เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงกำหนดเพียงสมการเดียวสำหรับทุก ๆ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, ที่ไหน${\displaystyle \Omega }$คือปริภูมิของตัวอย่างในปริภูมิความน่าจะเป็นที่กำหนด (${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$อย่างไรก็ตาม การตีความสมการอนุพันธ์เชิงสุ่ม (SDE) โดยตรงตามเส้นทางนั้นเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเส้นทางการเคลื่อนที่แบบบราวน์มีค่าแปรผันไม่จำกัด และไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง ดังนั้นจึงไม่มีวิธีง่ายๆ ที่จะให้ความหมายกับเงื่อนไขต่างๆ เช่น${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$ซึ่งยังตัดความเป็นไปได้ของนิยามเชิงเส้นทางแบบง่ายๆ ของปริพันธ์เชิงสุ่มว่าเป็นปริพันธ์เทียบกับทุกๆ ตัวออกไปด้วย${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$. However, motivated by the Wong-Zakai result^[24] for limits of solutions of SDEs with regular noise and using rough paths theory, while adding a chosen definition of iterated integrals of Brownian motion, it is possible to define a deterministic rough integral for every single ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ that coincides for example with the Ito integral with probability one for a particular choice of the iterated Brownian integral.^[24] Other definitions of the iterated integral lead to deterministic pathwise equivalents of different stochastic integrals, like the Stratonovich integral. This has been used for example in financial mathematics to price options without probability.^[25]

As with deterministic ordinary and partial differential equations, it is important to know whether a given SDE has a solution, and whether or not it is unique. The following is a typical existence and uniqueness theorem for Itô SDEs taking values in n-dimensionalEuclidean spaceRⁿ and driven by an m-dimensional Brownian motion B; the proof may be found in Øksendal (2003, §5.2).^[3]

Let T > 0, and let

${\displaystyle \mu$ :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}

${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}

be measurable functions for which there exist constants C and D such that

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}$

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;}$

for all t ∈ [0, T] and all x and y ∈ Rⁿ, where

${\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}$

Let Z be a random variable that is independent of the σ-algebra generated by B, s ≥ 0, and with finite second moment:

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}$

Then the stochastic differential equation/initial value problem

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];}$

${\displaystyle X_{0}=Z;}$

has a P-almost surely unique t-continuous solution (t, ω) ↦ X(ω) such that X is adapted to the filtrationF^Z generated by Z and B, s ≤ t, and

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}$

SDE ที่สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจน ได้แก่: ^{[ 11 ]}

ในทฤษฎีสมมาตรยิ่งยวดของสมการอนุพันธ์เชิงสุ่ม (SDEs) พลวัตเชิงสุ่มถูกนิยามผ่านตัวดำเนินการวิวัฒนาการเชิงสุ่มที่กระทำต่อรูปแบบเชิงอนุพันธ์ในปริภูมิเฟส / สถานะของแบบจำลอง ในการกำหนดพลวัตเชิงสุ่มนี้ สมการอนุพันธ์เชิงสุ่มทั้งหมดมีสมมาตรยิ่งยวด เชิงโทโพโลยี ซึ่งแสดงถึงการรักษาความต่อเนื่องของปริภูมิเฟสโดยการไหลของเวลาอย่างต่อเนื่อง การแตกสลายโดยธรรมชาติของสมมาตรยิ่งยวดนี้คือแก่นแท้ทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์พลวัตที่แพร่หลายซึ่งรู้จักกันในหลายสาขาวิชาในชื่อความโกลาหล (chaos )

• สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มแบบย้อนกลับ
• พลศาสตร์ของ Langevin
• ความผันผวนในท้องถิ่น
• กระบวนการสุ่ม
• ความผันผวนแบบสุ่ม
• สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงสุ่ม
• กระบวนการแพร่กระจาย
• สมการผลต่างเชิงสุ่ม
• ทฤษฎีซูเปอร์สมมาตรของพลวัตเชิงสุ่ม

• อีแวนส์, ลอว์เรนซ์ ซี. (2013). บทนำสู่สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน
• Adomian, George (1983). ระบบสุ่ม . คณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ (169). ออร์แลนโด, ฟลอริดา: Academic Press Inc.
• Adomian, George (1986). สมการตัวดำเนินการสุ่มแบบไม่เชิงเส้น . ออร์แลนโด, ฟลอริดา: Academic Press Inc. ISBN 978-0-12-044375-8.
• Adomian, George (1989). ทฤษฎีระบบสุ่มแบบไม่เชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group.
• Calin, Ovidiu (2015). บทนำอย่างไม่เป็นทางการเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงสุ่มพร้อมการประยุกต์ใช้ . สิงคโปร์: สำนักพิมพ์ World Scientific. หน้า 315. ISBN 978-981-4678-93-3.
• Teugels, J.; Sund, B., บรรณาธิการ (2004). สารานุกรมวิทยาศาสตร์ประกันภัย . ชิเชสเตอร์: ไวลีย์. หน้า523–527 . 
• Gardiner, CW (2004). คู่มือวิธีการสุ่ม: สำหรับฟิสิกส์ เคมี และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ . Springer. หน้า 415.
• Mikosch, Thomas (1998). แคลคูลัสเชิงสุ่มเบื้องต้น: โดยคำนึงถึงด้านการเงิน . สิงคโปร์: สำนักพิมพ์ World Scientific. หน้า 212. ISBN 981-02-3543-7.
• Seifedine Kadry (2007). "A Solution of Linear Stochastic Differential Equation". Wseas Transactions on Mathematics . สหรัฐอเมริกา: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, เมษายน 2550: 618. ISSN 1109-2769 . 
• Higham, Desmond J. (มกราคม 2544). "การแนะนำเชิงอัลกอริทึมสำหรับการจำลองเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม" SIAM Review . 43 (3): 525– 546. Bibcode : 2001SIAMR..43..525H . CiteSeerX 10.1.1.137.6375 . doi : 10.1137/S0036144500378302 . 
• ไฮแฮม, เดสมอนด์; โคลเดน, ปีเตอร์ (2021). บทนำสู่การจำลองเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม . สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์. ISBN 978-1-611976-42-7.