ในทฤษฎีจำนวนลำดับของซิลเวสเตอร์เป็นลำดับจำนวนเต็มที่แต่ละพจน์เป็นผลคูณของพจน์ก่อนหน้าบวกหนึ่ง พจน์แรกๆ ของลำดับนี้ได้แก่

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443 ( ลำดับA000058ในOEIS )

ลำดับของซิลเวสเตอร์ตั้งชื่อตามเจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเตอร์ผู้ซึ่งทำการศึกษาลำดับนี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2423 ^{[ 1 ]}ค่าของลำดับนี้เพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังสองเท่าและผลรวมของส่วนกลับของลำดับนี้ก่อให้เกิดอนุกรมเศษส่วนหน่วยที่ลู่เข้าสู่ 1 ได้เร็วกว่าอนุกรมเศษส่วนหน่วยอื่นๆ^{[ 2 ]}ความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ใช้ในการกำหนดลำดับนี้ทำให้สามารถแยก ตัวประกอบของตัวเลขในลำดับ ได้ง่ายกว่าตัวเลขอื่นๆ ที่มีขนาดเท่ากัน^{[ 3 ]}แต่เนื่องจากการเติบโตอย่างรวดเร็วของลำดับนี้การแยกตัวประกอบเฉพาะ ที่สมบูรณ์ จึงทราบได้เฉพาะสำหรับบางพจน์ของลำดับเท่านั้น^{[ 4 ]}ค่าที่ได้จากลำดับนี้ยังถูกนำมาใช้ในการสร้างการแสดงเศษส่วนอียิปต์แบบจำกัด^{ของ 1, แมนิโฟลด์ไอน์สไตน์แบบซาซาเกียน [} 5 ] และตัวอย่าง ที่^{ยากสำหรับ}อัลกอริทึมออนไลน์^{[ 6 ]}

ในทางรูปแบบ ลำดับของซิลเวสเตอร์สามารถกำหนดได้ด้วยสูตร^{[ 7 ]}

${\displaystyle s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}.}$

ผลคูณของเซตว่างคือ 1 ^{[ 8 ]}ดังนั้นสูตรนี้จึงให้s = 2 โดยไม่จำเป็นต้องมีกรณีฐาน แยก ต่างหาก

อีกทางเลือกหนึ่งคือสามารถกำหนดลำดับโดยการเกิดซ้ำได้^{[ 3 ]}

${\displaystyle \displaystyle s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,}$โดยกรณีพื้นฐานs = 2

สามารถแสดงได้โดยการเหนี่ยวนำว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับคำจำกัดความอื่น^{[ 9 ]}

จำนวนของซิลเวสเตอร์เพิ่มขึ้นแบบทวีคูณสองเท่าตามฟังก์ชันของnโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถแสดงได้ว่า

${\displaystyle s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\!}$

สำหรับตัวเลขEที่มีค่าประมาณ 1.26408473530530... ^{[ 10 ]} (ลำดับA076393ในOEIS )สูตรนี้มีผลเหมือนกับอัลกอริทึม ต่อไปนี้ :

s คือจำนวนเต็มที่ ใกล้เคียงที่สุด กับE ² ; s คือจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดกับE ⁴ ; s คือจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดกับE ⁸ ; สำหรับ s ให้เลือกE ²ยกกำลังสองอีกnครั้ง แล้วเลือกจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด

อัลกอริทึมนี้จะมีประโยชน์ก็ต่อเมื่อเรามีวิธีการคำนวณEให้ได้จำนวนหลักที่ต้องการที่ดีกว่าการคำนวณs แล้วนำรากที่ สองซ้ำๆ มา ใช้ ^{[ 11 ]}

การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสองเท่าของลำดับซิลเวสเตอร์นั้นไม่น่าแปลกใจหากเปรียบเทียบกับลำดับของจำนวนเฟอร์มาต์F จำนวนเฟอร์มาต์มักจะถูกกำหนดโดยสูตรเลขชี้กำลังสองเท่าแต่ก็สามารถกำหนดโดยสูตรผลคูณที่คล้ายกับที่กำหนดลำดับซิลเวสเตอร์ได้เช่นกัน: ^{[ 12 ]}${\displaystyle 2^{2^{n}}\!+1}$

${\displaystyle F_{n}=2+\prod _{i=0}^{n-1}F_{i}.}$

เศษส่วนหน่วยที่เกิดจากส่วนกลับของค่าในลำดับของซิลเวสเตอร์สร้างอนุกรมอนันต์ : ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{s_{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{1807}}+\cdots .}$

ผลรวมย่อยของอนุกรมนี้มีรูปแบบที่เรียบง่าย

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}=1-{\frac {1}{s_{j}-1}}={\frac {s_{j}-2}{s_{j}-1}},}$

ซึ่งอยู่ในเงื่อนไขที่ต่ำที่สุดอยู่แล้ว^{[ 14 ]}สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปมาน หรือโดยตรงกว่านั้นโดยการสังเกตว่าการเรียกซ้ำนั้นหมายความว่า

${\displaystyle {\frac {1}{s_{i}-1}}-{\frac {1}{s_{i+1}-1}}={\frac {1}{s_{i}}},}$

ดังนั้นผลรวมของกล้องโทรทรรศน์^{[ 14 ]}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}=\sum _{i=0}^{j-1}\left({\frac {1}{s_{i}-1}}-{\frac {1}{s_{i+1}-1}}\right)={\frac {1}{s_{0}-1}}-{\frac {1}{s_{j}-1}}=1-{\frac {1}{s_{j}-1}}.}$

เนื่องจากลำดับของผลรวมย่อย ( s − 2)/( s − 1) นี้ลู่เข้าสู่หนึ่ง ดังนั้นอนุกรมโดยรวมจึงก่อให้เกิด การแสดง เศษส่วนอียิปต์ อนันต์ ของเลขหนึ่ง:

${\displaystyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{1807}}+\cdots .}$

เราสามารถหาการแสดงเศษส่วนอียิปต์แบบจำกัดของหนึ่ง ที่มีความยาวใดๆ ก็ได้ โดยการตัดทอนอนุกรมนี้และลบหนึ่งออกจากตัวส่วนสุดท้าย:

${\displaystyle 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{6}},\quad 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{42}},\quad 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{1806}},\quad \dots .}$

ผลรวมของ พจน์ k แรก ของอนุกรมอนันต์จะให้ค่าประมาณต่ำสุดที่ใกล้เคียงที่สุดของ 1 โดยเศษส่วนอียิปต์k พจน์ใดๆ ^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่น พจน์สี่พจน์แรกรวมกันได้ 1805/1806 ดังนั้นเศษส่วนอียิปต์ใดๆ สำหรับจำนวนในช่วงเปิด (1805/1806, 1) จะต้องมีอย่างน้อยห้าพจน์

สามารถตีความลำดับซิลเวสเตอร์ได้ว่าเป็นผลลัพธ์ของอัลกอริทึมโลภสำหรับเศษส่วนอียิปต์ซึ่งในแต่ละขั้นตอนจะเลือกตัวหารที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งทำให้ผลรวมย่อยของอนุกรมมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง^{[ 15 ]}

ดังที่ซิลเวสเตอร์เองได้สังเกต ลำดับของซิลเวสเตอร์ดูเหมือนจะเป็นเอกลักษณ์ที่มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ในขณะเดียวกันก็มีลำดับของส่วนกลับที่ลู่เข้าสู่จำนวนตรรกยะลำดับนี้เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าการเติบโตแบบเลขชี้กำลังสองเท่าไม่เพียงพอที่จะทำให้ลำดับจำนวนเต็มเป็นลำดับอตรรกยะ^{[ 16 ]}

เพื่อให้มีความแม่นยำมากขึ้น ผลลัพธ์จากงานวิจัยของBadea (1993) แสดงให้เห็น ว่า หากลำดับของจำนวนเต็มเติบโตเร็วเพียงพอ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1,}$

และถ้าหากซีรีส์นั้น

${\displaystyle A=\sum {\frac {1}{a_{i}}}}$

ถ้าลำดับลู่เข้าสู่จำนวนตรรกยะAแล้ว สำหรับทุกค่า nหลังจากจุดหนึ่ง ลำดับนี้จะต้องถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกัน

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1}$

ซึ่งสามารถใช้กำหนดลำดับของซิลเวสเตอร์ได้^{[ 17 ]}

Erdős & Graham (1980) ตั้งข้อสันนิษฐานว่า ในผลลัพธ์ประเภทนี้ความไม่เท่าเทียมกันที่จำกัดการเติบโตของลำดับสามารถแทนที่ด้วยเงื่อนไขที่อ่อนกว่าได้^{[ 18 ]}

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}=1.}$

Badea (1995) สำรวจความคืบหน้าที่เกี่ยวข้องกับ สมมติฐานนี้ดูเพิ่มเติมที่Brown (1979 ) ^{[ 19 ]}

ถ้าi < jแสดงว่าจากนิยามs ≡ 1 (mod s ) ดังนั้น จำนวนสองจำนวนใดๆ ในลำดับของซิลเวสเตอร์จึงเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันลำดับนี้สามารถใช้พิสูจน์ได้ว่ามีจำนวนเฉพาะ เป็นอนันต์ เนื่องจากจำนวนเฉพาะใดๆ สามารถหารจำนวนในลำดับได้มากที่สุดเพียงจำนวนเดียว ยิ่งไปกว่านั้น ไม่มีตัวประกอบเฉพาะของจำนวนใดๆ ในลำดับที่สอดคล้องกับ 5 มอดูล 6 และลำดับนี้สามารถใช้พิสูจน์ได้ว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์ที่สอดคล้องกับ 7 มอดูล 12 ^{[ 20 ]}ไม่มีพจน์ใดเป็นกำลังสมบูรณ์ได้^{[ 21 ]}

ยังมีสิ่งที่ไม่ทราบอีกมากมายเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของตัวเลขในลำดับของซิลเวสเตอร์ ตัวอย่างเช่น ยังไม่ทราบว่าตัวเลขทั้งหมดในลำดับนั้นเป็นจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองหรือไม่ แม้ว่าพจน์ที่ทราบทั้งหมดจะเป็นจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองก็ตาม^{[ 22 ]}

ตามที่Vardi (1991)อธิบายไว้ การหาจำนวนซิลเวสเตอร์ที่หารด้วยจำนวนเฉพาะp ที่กำหนดนั้นทำได้ง่าย เพียงแค่คำนวณความสัมพันธ์เวียนเกิดที่กำหนดจำนวนโมดูลpจนกว่าจะพบจำนวนที่สอดคล้องกับศูนย์ (mod p ) หรือพบโมดูลัสที่ซ้ำกัน^{[ 3 ]}ด้วยเทคนิคนี้ เขาพบว่าจำนวนเฉพาะ 1166 จากสามล้านตัวแรกเป็นตัวหารของจำนวนซิลเวสเตอร์^{[ 23 ]}และไม่มีจำนวนเฉพาะใดที่มีกำลังสองที่หารจำนวนซิลเวสเตอร์ได้ เซตของจำนวนเฉพาะที่สามารถเกิดขึ้นเป็นตัวประกอบของจำนวนซิลเวสเตอร์มีความหนาแน่นเป็นศูนย์ในเซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมด: ^{[ 24 ]}อันที่จริง จำนวนของจำนวนเฉพาะดังกล่าวที่น้อยกว่าxคือ^{[ 25 ]}${\displaystyle O(\pi (x)/\log \log \log x)}$

ตารางต่อไปนี้แสดงการแยกตัวประกอบที่ทราบของตัวเลขเหล่านี้ (ยกเว้นs ... s ซึ่งทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ): ^{[ 4 ]}

ตามธรรมเนียมปฏิบัติ P และ C หมายถึงจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ซึ่งมีความยาว nหลัก

Boyer, Galicki & Kollár (2005)ใช้คุณสมบัติของลำดับของ Sylvester เพื่อกำหนด แมนิโฟลด์ Sasakian Einstein จำนวนมาก ที่มีโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ของทรงกลมมิติคี่หรือทรงกลมแปลกใหม่พวกเขาแสดงให้เห็นว่าจำนวนเมตริก Sasakian Einstein ที่แตกต่างกัน บนทรงกลมโทโพโลยีมิติ 2n − 1 นั้นเป็นสัดส่วนอย่างน้อยกับs และดังนั้นจึงมีการเติบโตแบบเลขชี้กำลังสอง^{เท่ากับ} n ^{[ 5} ] 

ตามที่Galambos & Woeginger (1995)อธิบายไว้Brown (1979)และLiang (1980)ใช้ค่าที่ได้มาจากลำดับของ Sylvester เพื่อสร้าง ตัวอย่าง ขอบล่างสำหรับอัลกอริทึมการบรรจุถังแบบออนไลน์^{[ 6 ]} Seiden & Woeginger (2005)ก็ใช้ลำดับนี้ในทำนองเดียวกันเพื่อหาขอบล่างของประสิทธิภาพของอัลกอริทึมการตัดสต็อกแบบสองมิติ^{[ 26 ]}

ปัญหาของ Známเกี่ยวข้องกับเซตของตัวเลข โดยที่ตัวเลขแต่ละตัวในเซตนั้นหารลงตัวแต่ไม่เท่ากับผลคูณของตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมด บวกหนึ่ง หากไม่มีเงื่อนไขความไม่เท่ากัน ค่าในลำดับของ Sylvester จะแก้ปัญหานี้ได้ แต่หากมีเงื่อนไขดังกล่าว ก็จะมีวิธีแก้ปัญหาอื่นๆ ที่ได้มาจากความสัมพันธ์เวียนเกิดที่คล้ายกับที่กำหนดลำดับของ Sylvester วิธีแก้ปัญหาของ Znám มีการประยุกต์ใช้ในการจำแนกความผิดปกติของพื้นผิว (Brenton and Hill 1988) และทฤษฎีของ ออโตมาตาจำกัด แบบไม่กำหนด^{[ 27 ]}

Curtiss (1922)อธิบายการประยุกต์ใช้การประมาณค่าที่ใกล้เคียงที่สุดกับ ผลรวมเศษส่วนหน่วย k เทอม ในการกำหนดขอบเขตล่างของจำนวนตัวหารของจำนวนสมบูรณ์ ใดๆ และMiller (1919)ใช้คุณสมบัติเดียวกันนี้ในการกำหนดขอบเขตบนของขนาดของกลุ่ม บาง กลุ่ม^{[ 28 ]}

• ค่าคงที่ของคาเฮน
• จำนวนสมบูรณ์แบบเทียมหลัก
• หมายเลขเลโอนาร์โด

• ความไม่เป็นจำนวนตรรกยะของผลรวมกำลังสองจาก MathPages ของ KS Brown
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ลำดับของซิลเวสเตอร์" . แมทเวิลด์ .