จำนวนสามเหลี่ยมหรือจำนวนสามเหลี่ยมคือ ลำดับของจำนวนเต็มบวกที่สามารถแสดงได้ด้วยโครงข่ายจุดที่จัดเรียงในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โครงข่ายสามเหลี่ยมที่แสดงจำนวนสามเหลี่ยมที่ i ประกอบด้วยแถว โดยแถวแรกมี 1 จุด แถวที่สองมี 2 จุด และรูปแบบนี้ดำเนินต่อไปจนถึงแถวที่ i ซึ่งมี n จุดดังนั้น จำนวนสามเหลี่ยมจึงสามารถแสดงได้ด้วยสูตร n = n + ... ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\cdots +(n-1)+n=\sum _{k=1}^{n}k}$

จำนวนสามเหลี่ยมเป็น จำนวนเชิงรูปทรงที่ง่ายที่สุดจำนวนเชิงรูปทรงขยายแนวคิดไปสู่รูปหลายเหลี่ยมสองมิติอื่นๆ เช่นจำนวนห้าเหลี่ยมรวมถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีมิติสูงกว่า เช่นจำนวนทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเมื่อพิจารณา(ดูผลรวมว่าง ) พจน์แรกๆ คือ ${\displaystyle T_{0}=0}$

(ลำดับA000217ในOEIS )

จำนวนสามเหลี่ยมแสดงด้วยสูตรที่ชัดเจนดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\dotsb +n\\&={\frac {n^{2}+n{\vphantom {(n+1)}}}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\\&={n+1 \choose 2}\end{aligned}}}$

โดยที่เป็นสัญลักษณ์แทนสัมประสิทธิ์ทวินามซึ่งแสดงถึงจำนวนคู่ที่แตกต่างกันที่สามารถเลือกได้จาก วัตถุ n + 1 ชิ้นและอ่านออกเสียงว่า " nบวกหนึ่ง เลือกสอง" ${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$

ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนสามเหลี่ยมที่เท่ากับสามารถแสดงให้เห็นได้โดยใช้การพิสูจน์เชิงภาพ [ ^{1 ] สำหรับ}จำนวนสามเหลี่ยมทุกจำนวนลองนึกภาพการจัดเรียงวัตถุแบบ "ครึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้า" ที่สอดคล้องกับจำนวนสามเหลี่ยม ดังรูปด้านล่าง การคัดลอกการจัดเรียงนี้และหมุนเพื่อสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะทำให้จำนวนวัตถุเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาดซึ่งเป็นจำนวนวัตถุในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย เห็นได้ชัดว่าจำนวนสามเหลี่ยมเองนั้นมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของจำนวนวัตถุในรูปดังกล่าวเสมอ หรือ: ตัวอย่างต่อไปนี้: ${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n+1)/2}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n\times (n+1)}$${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle T_{4}}$

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$(สีเขียวบวกสีเหลือง) หมายความว่า(สีเขียว)    ${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$

สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการโดยใช้ การเหนี่ยว นำทางคณิตศาสตร์^{[ 2 ]}เห็นได้ชัดว่าเป็นจริงสำหรับ: ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}$$

สมมติว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติบางจำนวนเราสามารถตรวจสอบได้ว่าเป็นจริงสำหรับ: ${\displaystyle m}$${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$${\displaystyle m+1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m+1}k&=\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)\\&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m^{2}+m}{2}}+{\frac {2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ถ้าสูตรนี้เป็นจริงสำหรับก็จะเป็นจริงสำหรับ เช่นกันเนื่องจากเห็นได้ชัดว่ามันเป็นจริงสำหรับดังนั้นมันจึงเป็นจริงสำหรับ, , และในที่สุดก็จะเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดโดยการอุปมาน ${\displaystyle m}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle n}$

มีเรื่องเล่าที่ไม่ได้รับการยืนยันอ้างว่าเกาส์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ค้นพบความสัมพันธ์นี้ตั้งแต่ยังเยาว์วัย โดยการคูณ⁠n/2คู่ตัวเลขในผลรวมตามค่าของแต่ละคู่ n + 1 [ ^{3 ] ไม่}ว่าในกรณีใด เกาส์ก็ไม่ใช่คนแรกที่ค้นพบสูตรนี้ และบางคนก็คิดว่าต้นกำเนิดของสูตรนี้อาจย้อนกลับไปถึงชาวพีทาโกเรียนในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช ^{[ 4 ]}สูตรทั้งสองนี้ได้รับการอธิบายโดยพระภิกษุชาวไอริชชื่อดิคูอิลราวปี 816 ในหนังสือ Computus ของเขา[ 5 ^{]มีการ}แปลบันทึกของดิคูอิลเป็นภาษาอังกฤษ ^{[ 6 ]}

บางครั้งจำเป็นต้องคำนวณจำนวนสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ที่สูตรมาตรฐานt = n*(n+1)/2จะเกิดการล้นของจำนวนเต็มก่อนการหารด้วย 2 ครั้งสุดท้าย ตัวอย่างเช่นT ₂₀ = 210 < 256 ดังนั้นจะพอดีกับไบต์ 8 บิตแต่ผลคูณขั้นกลาง 420 จะไม่พอดี ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการหารnหรือn+1ด้วย 2 ก่อนการคูณ แล้วแต่ว่าจำนวนใดเป็นเลขคู่ วิธีนี้ไม่จำเป็นต้องใช้เงื่อนไขหากนำไปใช้เป็นt = (n|1) * ((n+1)/2)ถ้าnเป็นเลขคี่การดำเนินการOR แบบไบนารีn|1จะไม่มีผล ดังนั้นจึงเทียบเท่ากับt = n * ((n+1)/2)และถูกต้อง ถ้าnเป็นเลขคู่ การตั้งค่าบิตต่ำด้วยn|1จะเหมือนกับการบวก 1 ในขณะที่ 1 ที่บวกก่อนการหารจะถูกตัดทิ้งดังนั้นจึงเทียบเท่ากับt = (n+1) * (n/2)และถูกต้องเช่นกัน

จำนวนสามเหลี่ยมมีความสัมพันธ์ที่หลากหลายกับจำนวนรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ

โดยง่ายที่สุด ผลรวมของจำนวนสามเหลี่ยมสองจำนวนที่เรียงติดกันคือจำนวนกำลังสอง เนื่องจาก: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle T_{n-1}+T_{n}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n(n-1)+{\frac {1}{2}}\,n(n+1)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n{\Bigl (}(n-1)+(n+1){\Bigr )}}$

${\displaystyle =n^{2}}$

โดยผลรวมคือค่ากำลังสองของผลต่างระหว่างทั้งสอง (และดังนั้น ผลต่างของทั้งสองคือรากที่สองของผลรวม): $${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1{\vphantom {\left(n-1\right)^{2}}}}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$$

คุณสมบัตินี้ซึ่งเรียกกันทั่วไปว่าทฤษฎีบทของธีออนแห่งสเมอร์นา^{[ 9} ] ^{ได้รับ}การแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในผลรวมต่อไปนี้ ซึ่งแสดงเป็นผลรวมของตัวเลข : ${\displaystyle T_{4}+T_{5}=5^{2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&4&3&2&1&\\+&1&2&3&4&5\\\hline &5&5&5&5&5\end{array}}}$

ข้อเท็จจริงนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยภาพ โดยการวางรูปสามเหลี่ยมในทิศทางตรงกันข้ามเพื่อสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

6 + 10 = 16         10 + 15 = 25    

จำนวนสองเท่าของจำนวนสามเหลี่ยม ดังที่แสดงในตัวอย่างภาพประกอบจากหัวข้อ§ สูตร ข้างต้น เรียกว่าจำนวนโพรนิก (pronic number )

มีจำนวนสามเหลี่ยมที่เป็นจำนวนกำลังสอง อยู่มากมายนับไม่ถ้วน เช่น 1, 36, 1225 บางจำนวนสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยสูตรเวียนเกิดอย่างง่าย: โดยที่$${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$$${\displaystyle S_{1}=1.}$

จำนวนสามเหลี่ยมจัตุรัส ทั้งหมดหาได้จากการเรียกซ้ำ ด้วยและ$${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$$${\displaystyle S_{0}=0}$${\displaystyle S_{1}=1.}$

กำลังสองของจำนวนสามเหลี่ยมลำดับ ที่ nก็เท่ากับผลรวมของกำลังสามของจำนวนเต็ม 1 ถึงn เช่น กัน ซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$$

ผลรวมของ จำนวนสามเหลี่ยม n ตัวแรก คือจำนวนทรงสี่หน้าลำดับที่n : $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ผลต่างระหว่างจำนวนm- เหลี่ยมลำดับ ที่nกับจำนวน( m + 1) -เหลี่ยมลำดับที่ nคือจำนวน สามเหลี่ยมลำดับที่ ( n − 1)ตัวอย่างเช่นจำนวนเจ็ดเหลี่ยมลำดับที่หก (81) ลบด้วยจำนวนหก เหลี่ยมลำดับที่หก (66) เท่ากับจำนวนสามเหลี่ยมลำดับที่ห้า คือ 15 จำนวนสามเหลี่ยมอื่นๆ ทุกจำนวนจะเป็นจำนวนหกเหลี่ยม เมื่อทราบจำนวนสามเหลี่ยมแล้ว เราสามารถคำนวณจำนวนรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดศูนย์กลาง ใดๆ ได้ จำนวน k- เหลี่ยม ที่มีจุดศูนย์กลางลำดับที่nได้จากสูตร $${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}$$

โดยที่Tคือจำนวนสามเหลี่ยม

ผลต่างที่เป็นบวกของจำนวนสามเหลี่ยมสองจำนวน คือจำนวน สี่เหลี่ยมคางหมู

รูปแบบที่พบสำหรับจำนวนสามเหลี่ยมและจำนวนทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าซึ่งใช้สัมประสิทธิ์ทวินามสามารถสรุปได้เป็นทั่วไป ซึ่งนำไปสู่สูตร: ^{[ 11 ]}${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},}$$${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

จำนวนสามเหลี่ยมสอดคล้องกับกรณีดีกรีแรกของสูตรของฟอลฮาเบอร์

{{{คำอธิบายประกอบ}}}

พิสูจน์โดยไม่ต้องใช้คำพูดว่าจำนวนหกเหลี่ยมทั้งหมดเป็นจำนวนสามเหลี่ยมด้านคี่

จำนวนสามเหลี่ยมสลับ (1, 6, 15, 28, ...) ก็เป็นจำนวนหกเหลี่ยมเช่นกัน

จำนวนสมบูรณ์คู่ทุก จำนวน เป็นจำนวนสามเหลี่ยม (รวมถึงจำนวนหกเหลี่ยม) ซึ่งกำหนดโดยสูตร ที่M _pเป็นจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ไม่มีจำนวนสมบูรณ์คี่ใดที่รู้จัก ดังนั้น จำนวนสมบูรณ์ที่รู้จักทั้งหมดจึงเป็นจำนวนสามเหลี่ยม $${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$$

ตัวอย่างเช่น จำนวนสามเหลี่ยมลำดับที่สามคือ (3 × 2 =) 6 ลำดับที่เจ็ดคือ (7 × 4 =) 28 ลำดับที่ 31 คือ (31 × 16 =) 496 และลำดับที่ 127 คือ (127 × 64 =) 8128

หลักสุดท้ายของจำนวนสามเหลี่ยมคือ 0, 1, 3, 5, 6 หรือ 8 ดังนั้นจำนวนดังกล่าวจะไม่ลงท้ายด้วย 2, 4, 7 หรือ 9 หลักสุดท้ายที่เป็น 3 ต้องมี 0 หรือ 5 นำหน้า และหลักสุดท้ายที่เป็น 8 ต้องมี 2 หรือ 7 นำหน้า

ในระบบเลขฐาน 10รากเลขโดดของจำนวนสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็น 1, 3, 6 หรือ 9 เสมอ ดังนั้น จำนวนสามเหลี่ยมทุกจำนวนจึงหารด้วย 3 ลงตัว หรือเมื่อหารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 1

รูปแบบรากที่สองของจำนวนสามเหลี่ยมที่ซ้ำกันทุกเก้าพจน์ดังที่แสดงไว้ข้างต้นคือ "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9"

อย่างไรก็ตาม ข้อความผกผันของข้อความข้างต้นนั้นไม่เป็นจริงเสมอไป ตัวอย่างเช่น รากที่สองของเลขโดดของ 12 ซึ่งไม่ใช่จำนวนสามเหลี่ยม คือ 3 และหารด้วย 3 ลงตัว

ถ้าxเป็นจำนวนสามเหลี่ยม, aเป็นกำลังสองคี่ และb = ⁠a − 1/8ดังนั้นax + bก็เป็นจำนวนสามเหลี่ยมเช่นกัน สังเกตว่าbจะเป็นจำนวนสามเหลี่ยมเสมอ เพราะ 8 T _n + 1 = (2 n + 1) ²ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นกำลังสองคี่ทั้งหมดได้จากการคูณจำนวนสามเหลี่ยมด้วย 8 แล้วบวก 1 และกระบวนการหาค่า bเมื่อกำหนดให้ aเป็นกำลังสองคี่นั้นเป็นกระบวนการผกผันของการดำเนินการนี้ คู่แรกๆ ของรูปแบบนี้ (ไม่นับ 1 x + 0 ) ได้แก่: 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 , ... เป็นต้น เมื่อกำหนดให้ xเท่ากับ T _nสูตรเหล่านี้จะให้ผลลัพธ์เป็น T _{3 n + 1} , T _{5 n + 2} , T _{7 n + 3} , T _{9 n + 4}และอื่นๆ

ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนสามเหลี่ยมที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดคือ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$$

สามารถแสดงให้เห็นได้โดยใช้ผลรวมพื้นฐานของอนุกรมแบบยืดหดได้ : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}$$

นอกจากนี้ ผลรวมย่อยลำดับที่ nของอนุกรมนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: $${\displaystyle 2n \over {n+1}.}$$

สูตรอีกสองสูตรเกี่ยวกับจำนวนสามเหลี่ยมคือ และ ซึ่งทั้งสองสูตรนี้สามารถหาได้โดยการดูรูปแบบจุด (ดูด้านบน) หรือโดยใช้พีชคณิตอย่างง่าย $${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$$$${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$$

ในปี ค.ศ. 1796 เกาส์ค้นพบว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนสามารถแทนได้ในรูปผลรวมของจำนวนสามเหลี่ยมสามจำนวน โดยเขาได้บันทึกคำพูดอันโด่งดังของเขาไว้ในไดอารี่ว่า " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ " จำนวนสามเหลี่ยมทั้งสามจำนวนนั้นไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน หรือไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น 20 = 10 + 10 + 0 นี่เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทจำนวนหลายเหลี่ยมของแฟร์มาต์

จำนวนสามเหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดในรูปแบบ2 ^k − 1คือ4095 (ดูสมการ Ramanujan–Nagell )

Wacław Franciszek Sierpińskiตั้งคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนสามเหลี่ยมที่แตกต่างกันสี่จำนวนในลำดับเรขาคณิต นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ Kazimierz Szymiczekคาดการณ์ว่าเป็นไปไม่ได้ และต่อมาได้รับการพิสูจน์โดย Fang และ Chen ในปี 2007 ^{[ 12 ] [ 13 ]}

สูตรที่เกี่ยวข้องกับการแสดงจำนวนเต็มเป็นผลรวมของจำนวนสามเหลี่ยมเชื่อมโยงกับฟังก์ชันทีตาโดยเฉพาะฟังก์ชันทีตาของรามานุจัน^{[ 14 ] [ 15 ]}

จำนวนส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดที่อยู่ใกล้กันที่สุดในรูปสามเหลี่ยมสามารถแสดงได้ในรูปของจำนวนจุดหรือด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิด : $${\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};\qquad L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}$$

ในขีดจำกัดอัตราส่วนระหว่างตัวเลขสองจำนวน จุด และส่วนของเส้นตรง คือ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.}$$

จำนวนสามเหลี่ยมT _nแก้ปัญหาการจับมือในการนับจำนวนการจับมือ หากแต่ละคนในห้องที่มีคนn + 1คนจับมือกับแต่ละคนหนึ่งครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีแก้ปัญหาการจับมือของ คน n ^คนคือT _{n −1} ^{[ 16} ]

ในทำนองเดียวกันเครือข่ายที่เชื่อมต่อกันอย่างสมบูรณ์ของ อุปกรณ์คอมพิวเตอร์ nเครื่อง จำเป็นต้องมีสายเคเบิลหรือการเชื่อมต่ออื่นๆ จำนวน T _{n − 1 เส้น}

จำนวนสามเหลี่ยมเทียบเท่ากับจำนวนการหมุนหลักในมิติตัวอย่างเช่น ในห้ามิติ จำนวนการหมุนหลักคือ 10 ซึ่งคือ^{[ 17 ]}${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle T_{4}}$

ในรูปแบบการแข่งขันแบบพบกันหมดในรอบแบ่งกลุ่มจำนวนแมตช์ที่ต้องเล่นระหว่างnทีม จะเท่ากับจำนวนสามเหลี่ยมT _{n − 1}ตัวอย่างเช่น รอบแบ่งกลุ่มที่มี 4 ทีม ต้องใช้ 6 แมตช์ และรอบแบ่งกลุ่มที่มี 8 ทีม ต้องใช้ 28 แมตช์ ซึ่งเทียบเท่ากับปัญหาการจับมือ (handshake problem) และปัญหาเครือข่ายที่เชื่อมต่ออย่างสมบูรณ์ (fully connected network problems)

วิธีหนึ่งในการคำนวณค่าเสื่อมราคาของสินทรัพย์คือวิธีผลรวมของตัวเลขปีซึ่งเกี่ยวข้องกับการหาค่าT _nโดยที่nคือความยาวเป็นปีของอายุการใช้งานของสินทรัพย์ ในแต่ละปี สินทรัพย์จะสูญเสียมูลค่า( b − s ) × ⁠n − y/ที_เอ็นโดยที่ bคือมูลค่าเริ่มต้นของสินค้า (ในหน่วยสกุลเงิน) sคือมูลค่าซากสุดท้าย nคือจำนวนปีทั้งหมดที่สินค้าสามารถใช้งานได้ และ yคือปีปัจจุบันในตารางการคิดค่าเสื่อมราคา ภายใต้วิธีนี้ สินค้าที่มีอายุการใช้งาน n = 4 ปี จะสูญเสียมูลค่า ⁠4/10ของ มูลค่า ที่ "สูญเสียได้" ในปีแรก3/10ในข้อที่สอง2/10ใน ข้อ ที่สาม และ1/10ในงวดที่สี่ มีค่าเสื่อมราคาสะสมรวมทั้งสิ้น⁠10/10มูลค่า ที่สูญเสียไปทั้งหมด

นักออกแบบ เกมกระดาน Geoffrey Engelstein และ Isaac Shalev อธิบายว่าตัวเลขสามเหลี่ยมได้รับ "สถานะเกือบจะเป็นมนต์หรือปริศนาในหมู่นักออกแบบเกม " โดยอธิบายว่าเป็น "สัญชาตญาณอย่างลึกซึ้ง" และ "ปรากฏอยู่ในเกมจำนวนมาก [พิสูจน์แล้วว่า] มีความหลากหลายอย่างเหลือเชื่อในการให้รางวัลที่เพิ่มขึ้นสำหรับชุดที่ใหญ่ขึ้นโดยไม่กระตุ้นให้เกิดความเชี่ยวชาญมากเกินไปจนละเลยกลยุทธ์อื่นๆ ทั้งหมด" ^{[ 18 ]}

โดยเปรียบเทียบกับรากที่สองของxเราสามารถกำหนดรากสามเหลี่ยม (บวก) ของxเป็นจำนวนnที่T _n = x : ^{[ 19 ]}$${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$$

ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากสูตรกำลังสองดังนั้นจำนวนเต็มxจะเป็นจำนวนสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อ8x + 1เป็นจำนวนกำลังสอง หรือเทียบเท่ากัน หากรากสามเหลี่ยมบวกnของxเป็นจำนวนเต็มแล้วxจะเป็นจำนวนสามเหลี่ยมลำดับที่ n ^{[ 19 ]}

โดยเปรียบเทียบกับ ฟังก์ชัน แฟกทอเรียลซึ่งเป็นผลคูณที่มีตัวประกอบเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง  nโดนัลด์ คนูธเสนอชื่อฟังก์ชันเทอร์มิอัล [ ^{20 ] โดย}ใช้สัญลักษณ์n ? สำหรับผลรวมที่มีเทอมเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง  n (จำนวนสามเหลี่ยมลำดับที่n ) แม้ว่าแหล่งข้อมูลอื่นบางแหล่งจะใช้ชื่อและสัญลักษณ์นี้^{[ 21 ]}แต่ก็ไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลาย ดังนั้น ฟังก์ชันเทอร์มิอัลจึงสามารถกำหนดได้ในสัญลักษณ์ดังนี้: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle n?=\sum _{k=1}^{n}{k}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} }$

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• จำนวนสามเหลี่ยมคู่คือ จำนวนสามเหลี่ยมที่ตำแหน่งในลำดับของจำนวนสามเหลี่ยมก็เป็นจำนวนสามเหลี่ยมเช่นกัน
• Tetractysคือการจัดเรียงจุดสิบจุดในรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีความสำคัญในทฤษฎีบทพีทาโกเรียน
• จำนวนแฟกทอเรียม
• ลำดับ Šindel

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับจำนวนสามเหลี่ยม

• "อนุกรมเลขคณิต" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ตัวเลขสามเหลี่ยมที่ตัดปม
• มีจำนวนสามเหลี่ยมบางจำนวนที่เป็นจำนวนกำลังสองด้วยที่จุดตัดปม
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จำนวนสามเหลี่ยม" . แมธเวิลด์ .
• หนังสือ Hypertetrahedral Polytopic Rootsโดย Rob Hubbard ครอบคลุมถึงการขยายความไปสู่รากที่สามของสามเหลี่ยมมิติที่สูงกว่า และสูตรโดยประมาณบางส่วน