เมื่อศึกษาการหมุนของโทมัสในระดับพื้นฐาน โดยทั่วไปจะใช้การตั้งค่าที่มีกรอบพิกัดสามกรอบ คือΣ , Σ ′ และΣ ′ ′โดยกรอบΣ ′มีความเร็วuสัมพันธ์กับกรอบΣและกรอบΣ ′ ′มีความเร็วvสัมพันธ์กับกรอบΣ ′

โดยการสร้าง แกนจะถูกวางแนวตามนี้ เมื่อมองจากΣ ′แกนของΣ ′และΣจะขนานกัน (เช่นเดียวกันสำหรับเฟรมคู่เมื่อมองจากΣ ) นอกจากนี้ เมื่อมองจากΣ ′แกนเชิงพื้นที่ของΣ ′และΣ ′ ′จะขนานกัน (และเช่นเดียวกันสำหรับเฟรมคู่เมื่อมองจากΣ ′ ′ ) ^{[ 12 ]}นี่คือการประยุกต์ใช้ EVPR: ถ้าuคือความเร็วของΣ ′เทียบกับΣแล้วu ′ = − uคือความเร็วของΣเทียบกับΣ ′ เวกเตอร์ ความเร็ว3มิติuทำ มุม เดียวกันเมื่อเทียบกับแกนพิกัดในทั้งระบบที่มีไพรม์และไม่มีไพรม์ นี่ไม่ใช่ภาพนิ่งที่ถ่ายจากเฟรมใดเฟรมหนึ่งในสองเฟรมของระบบที่รวมกัน ณ เวลาใดเวลาหนึ่งโดยเฉพาะ ดังที่ควรจะชัดเจนจากคำอธิบายโดยละเอียดด้านล่าง

สิ่งนี้เป็นไปได้ เนื่องจากการเพิ่มในทิศทางบวกของ แกน zจะรักษาความเป็นตั้งฉากของแกนพิกัด การเพิ่มทั่วไปB ( w )สามารถแสดงได้เป็นL = R ⁻¹ ( e , w ) B ( w ) R ( e , w )โดยที่R ( e , w )คือการหมุนที่ทำให้แกนzไปในทิศทางของwและB คือการเพิ่มในทิศทางz ใหม่ ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}การหมุนแต่ละครั้งจะรักษาคุณสมบัติที่ว่าแกนพิกัดเชิงพื้นที่ตั้งฉากกัน การเพิ่มจะยืดแกนz (ระดับกลาง) ด้วยปัจจัยγในขณะที่ปล่อยให้แกนxและแกนyระดับกลางอยู่ในตำแหน่งเดิม^{[ 16 ]}ข้อเท็จจริงที่ว่าแกนพิกัดไม่ขนานกันในการสร้างนี้หลังจาก การเพิ่มที่ไม่เป็นแนวเดียวกัน สองครั้งติดต่อกัน เป็นการแสดงออกที่แม่นยำของปรากฏการณ์การหมุนของโทมัส^{[ nb 1 ]}

ความเร็วของΣ ′ ′ตามที่เห็นในΣจะถูกแสดงด้วยw = u ⊕ vโดยที่ ⊕ หมายถึงการบวกความเร็วเชิงสัมพัทธภาพ (และไม่ใช่การบวกเวกเตอร์ ธรรมดา ) ตามที่กำหนดโดย^{[ 17 ]}

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} \right],}$

VA 2

และ

${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

u = u ⊕ v คือตัวประกอบลอเรนซ์ของความเร็วu (เส้นแนวตั้ง| u |แสดงขนาดของเวกเตอร์ ) ความเร็วuอาจคิดได้ว่าเป็นความเร็วของกรอบอ้างอิงΣ ′เทียบกับกรอบอ้างอิงΣและvคือความเร็วของวัตถุ เช่น อนุภาคหรือกรอบอ้างอิงอื่นΣ ′ ′เทียบกับΣ ′ในบริบทนี้ ความเร็วทั้งหมดควรคิดว่าเป็นความเร็วสัมพัทธ์ของกรอบอ้างอิง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ผลลัพธ์w = u ⊕ vจึงเป็นความเร็วสัมพัทธ์ของกรอบอ้างอิง Σ ′ ′เทียบกับกรอบอ้างอิงΣ

แม้ว่าการบวกความเร็วจะไม่เป็นเชิงเส้นไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่และไม่สามารถสลับตำแหน่งได้แต่ผลลัพธ์ของการดำเนินการนั้นได้ความเร็วที่มีขนาดน้อยกว่าc อย่างถูกต้อง หากใช้การบวกเวกเตอร์แบบธรรมดา จะสามารถได้ความเร็วที่มีขนาดมากกว่าc ได้ ค่าตัวประกอบ ลอเรนซ์γของความเร็วประกอบทั้งสองนั้นเท่ากัน

${\displaystyle \gamma =\gamma _{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,}$

และค่ามาตรฐานจะเท่ากันภายใต้การสลับเวกเตอร์ความเร็ว

${\displaystyle |\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |=|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |={\frac {c}{\gamma }}{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\,.}$

เนื่องจากความเร็วเชิงประกอบที่เป็นไปได้ทั้งสองแบบมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางต่างกัน ดังนั้นแบบหนึ่งจึงต้องเป็นสำเนาที่หมุนแล้วของอีกแบบหนึ่ง รายละเอียดเพิ่มเติมและคุณสมบัติอื่นๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงในที่นี้ สามารถพบได้ในบทความหลัก

พิจารณาการจัดเรียงแบบกลับด้าน กล่าวคือ เฟรมΣเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว−uเทียบกับเฟรมΣ ′และเฟรมΣ ′ในทางกลับกัน เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว−vเทียบกับเฟรมΣ ′ ′ กล่าวโดยย่อคือu → −uและv → −vโดย EPVR ดังนั้นความเร็วของΣเทียบกับΣ ′ ′คือ(−v ) ⊕ (−u ) ≡ −v ⊕ u โดย EPVR อีกครั้ง ความเร็วของΣ ′ ′เทียบกับΣคือwi = v u (A )

พบว่าw ≠ w แม้ว่าจะมีขนาดเท่ากัน แต่ก็มีมุมระหว่างกัน สำหรับการเร่งความเร็วเพียงครั้งเดียวระหว่างกรอบอ้างอิงเฉื่อยสองกรอบ จะมีเพียงความเร็วสัมพัทธ์ที่ชัดเจนเพียงค่าเดียว (หรือค่าลบของมัน) สำหรับการเร่งความเร็วสองครั้ง ผลลัพธ์ที่แปลกประหลาดของ ความเร็วสัมพัทธ์ที่ไม่เท่ากัน สองค่าแทนที่จะเป็นค่าเดียว ดูเหมือนจะขัดแย้งกับความสมมาตรของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ระหว่างกรอบอ้างอิงสองกรอบใดๆ ความเร็วที่ถูกต้องของΣ ′ ′เทียบกับΣ คือค่าใด เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนี้อาจไม่คาดคิดและอาจทำให้ EPVR เสียหาย คำถามนี้จึงสมควรได้รับการพิจารณา^{[ nb 2 ]}

คำตอบของคำถามนี้อยู่ที่การหมุนแบบโทมัส และต้องระมัดระวังในการระบุว่าระบบพิกัดใดเกี่ยวข้องในแต่ละขั้นตอน เมื่อมองจากΣแกนพิกัดของΣและΣ ′ ′ไม่ขนานกัน แม้ว่าอาจจะยากที่จะจินตนาการได้ เนื่องจากทั้งคู่(Σ, Σ ′ )และ(Σ ′ , Σ ′ ′ )มีแกนพิกัดขนานกัน แต่ก็สามารถอธิบายได้ง่ายทางคณิตศาสตร์

การบวกความเร็วเพียงอย่างเดียวไม่สามารถอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเฟรมได้อย่างสมบูรณ์ จำเป็นต้องกำหนดคำอธิบายที่สมบูรณ์โดยใช้การแปลงลอเรนซ์ที่สอดคล้องกับความเร็ว การแปลงลอเรนซ์ที่มีความเร็วv ใดๆ (ขนาดน้อยกว่าc ) สามารถแสดงได้ในเชิงสัญลักษณ์โดย

${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$

โดยที่พิกัดและเมทริกซ์การแปลงถูกแสดงอย่างกระชับในรูปแบบเมทริกซ์บล็อก

${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r} '\end{bmatrix}}\quad B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma _{\mathbf {v} }&-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\\-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} &\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\dfrac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\\\end{bmatrix}}\quad X={\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}}$

และในทางกลับกันr , r ′ , vเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ ( เมทริกซ์ทรานสโพสของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นเวกเตอร์แถว) และγ คือตัวประกอบลอเรนซ์ของความเร็วvเมทริกซ์บูสต์เป็นเมทริกซ์สมมาตรการแปลงผกผันกำหนดโดย

${\displaystyle B(\mathbf {v} )^{-1}=B(-\mathbf {v} )\quad \Rightarrow \quad X=B(-\mathbf {v} )X'.}$

เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับความเร็วที่ยอมรับได้แต่ละค่าv จะมี การเพิ่มความเร็วแบบลอเรนซ์บริสุทธิ์ที่สอดคล้องกัน

${\displaystyle \mathbf {v} \leftrightarrow B(\mathbf {v} ).}$

การบวกความเร็วu ⊕ vสอดคล้องกับการประกอบกันของบูสต์B ( v ) B ( u )ตามลำดับนั้นB ( u )กระทำกับXก่อน จากนั้นB ( v )กระทำกับB ( u ) Xโปรดสังเกตว่าตัวดำเนินการที่ตามมาจะกระทำทางด้านซ้ายในการประกอบกันของตัวดำเนินการใดๆ ดังนั้นB ( v ) B ( u )ควรตีความว่าเป็นบูสต์ที่มีความเร็วuแล้วvไม่ใช่vแล้วuการดำเนินการแปลงลอเรนซ์โดยการคูณเมทริกซ์บล็อก

${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X\quad \Rightarrow \quad X''=\Lambda X}$

เมทริกซ์การแปลงแบบผสมคือ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$

และในทางกลับกัน

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\gamma _{\mathbf {v} }\gamma _{\mathbf {u} }\left(1+{\frac {\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {a} &={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} \,,\quad \mathbf {b} ={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \\\mathbf {M} &=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }{\frac {\mathbf {vu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}+\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\frac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}{\frac {\mathbf {uu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

ในที่นี้γคือตัวประกอบลอเรนซ์แบบผสม และaกับb คือ เวกเตอร์คอลัมน์ขนาด 3×1 ที่เป็นสัดส่วนกับความเร็วแบบผสม เมทริกซ์M ขนาด 3×3 จะมีความสำคัญทางเรขาคณิต

การแปลงผกผันคือ

${\displaystyle X=B(-\mathbf {u} )X'\,,\quad X'=B(-\mathbf {v} )X''\quad \Rightarrow \quad X=\Lambda ^{-1}X''}$

และองค์ประกอบดังกล่าวเป็นการปฏิเสธและการแลกเปลี่ยนความเร็ว

${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$

ถ้าเราสลับความเร็วสัมพัทธ์กัน โดยพิจารณาจากบล็อกของΛจะสังเกตได้ว่าการแปลงแบบผสมนั้นคือเมทริกซ์ทรานสโพสของΛซึ่งไม่เหมือนกับเมทริกซ์ดั้งเดิม ดังนั้นเมทริกซ์การแปลงลอเรนซ์แบบผสมจึงไม่สมมาตร และไม่ใช่การเร่งความเร็วเพียงครั้งเดียว ซึ่งในทางกลับกัน ส่งผลให้การประกอบความเร็วจากผลลัพธ์ของการเร่งความเร็วสองครั้งไม่สมบูรณ์ ในเชิงสัญลักษณ์

${\displaystyle B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\neq B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )\,.}$

เพื่อให้คำอธิบายสมบูรณ์ จำเป็นต้องแนะนำการหมุนก่อนหรือหลังการเพิ่มพลัง การหมุนนี้คือการหมุนของโทมัส การหมุนจะกำหนดโดย

${\displaystyle X'=R({\boldsymbol {\theta }})X}$

โดยที่เมทริกซ์การหมุน 4×4 คือ

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\theta }})\end{bmatrix}}}$

และRคือเมทริกซ์การหมุน 3×3 [ หมายเหตุ^{3 ] ใน}บทความนี้ใช้การแสดงแกน-มุม และ θ = θeคือ "เวกเตอร์แกน-มุม" ซึ่งก็คือมุมθ คูณด้วยเวกเตอร์หน่วยeที่ขนานกับแกน นอกจากนี้ยังใช้แบบแผนมือขวา สำหรับพิกัดเชิงพื้นที่ (ดู การวางแนว (ปริภูมิเวกเตอร์) ) ดังนั้นการหมุนจึงเป็นบวกในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาตามกฎมือขวาและเป็นลบในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ด้วยแบบแผนเหล่านี้ เมทริกซ์การหมุนจะหมุนเวกเตอร์ 3 มิติใดๆ รอบแกนeผ่านมุมθทวนเข็มนาฬิกา ( การแปลงแบบแอคทีฟ ) ซึ่งมีผลเทียบเท่ากับการหมุนกรอบพิกัดตามเข็มนาฬิการอบแกนเดียวกันผ่านมุมเดียวกัน (การแปลงแบบพาสซีฟ)

เมทริกซ์การหมุนเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก เมทริกซ์ทรานสโพสของมันเท่ากับเมทริกซ์ผกผัน และการกลับเครื่องหมายของมุมหรือแกนในเมทริกซ์การหมุนจะสอดคล้องกับการหมุนในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นจึงสามารถหาการแปลงผกผันได้ง่ายๆ โดย

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})^{-1}=R({\boldsymbol {\theta }})^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\theta }})\quad \Rightarrow \quad X=R(-{\boldsymbol {\theta }})X'\,.}$

การเพิ่มความเร็วที่ตามด้วยหรือนำหน้าด้วยการหมุนก็เป็นการแปลงลอเรนซ์เช่นกัน เนื่องจากการดำเนินการเหล่านี้ทำให้ช่วงเวลาในปริภูมิเวลาไม่เปลี่ยนแปลง การแปลงลอเรนซ์เดียวกันนี้มีการแยกส่วนสองแบบสำหรับเวกเตอร์ความเร็วและมุมแกนที่เลือกอย่างเหมาะสม

${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {u} )=R({\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {u} )}$

${\displaystyle \Lambda (\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\theta }})=B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})}$

และหากการแยกส่วนทั้งสองนี้เท่ากัน แสดงว่าการเพิ่มประสิทธิภาพทั้งสองมีความสัมพันธ์กันโดย

${\displaystyle B(\mathbf {u} )=R(-{\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})}$

ดังนั้นค่าบูสต์จึงมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงความคล้ายคลึงของเมทริกซ์

ปรากฏว่าความเท่าเทียมกันระหว่างการเร่งความเร็วสองครั้งและการหมุนที่ตามหลังหรือนำหน้าด้วยการเร่งความเร็วครั้งเดียวนั้นถูกต้อง: การหมุนของเฟรมตรงกับการแยกเชิงมุมของความเร็วเชิงประกอบ และอธิบายว่าความเร็วเชิงประกอบหนึ่งใช้กับเฟรมหนึ่ง ในขณะที่อีกความเร็วหนึ่งใช้กับเฟรมที่หมุนแล้ว การหมุนยังทำลายสมมาตรในการแปลงลอเรนซ์โดยรวม ทำให้ไม่สมมาตร สำหรับการหมุนเฉพาะนี้ ให้มุมเป็นε และแกนถูกกำหนดโดยเวกเตอร์หน่วยeดังนั้นเวกเตอร์แกน-มุมคือε = ε e

โดยรวมแล้ว ลำดับที่แตกต่างกันสองแบบของการเพิ่มความเร็วสองครั้ง หมายความว่ามีการแปลงที่ไม่เท่ากันสองแบบ แต่ละแบบสามารถแยกออกเป็น การเพิ่มความเร็วแล้วหมุน หรือการหมุนแล้วเพิ่มความเร็ว ซึ่งจะทำให้จำนวนการแปลงที่ไม่เท่ากันเพิ่มขึ้นเป็นสี่แบบ การแปลงผกผันก็มีความสำคัญเช่นกัน เพราะมันให้ข้อมูลเกี่ยวกับสิ่งที่ผู้สังเกตการณ์อีกฝ่ายรับรู้ โดยรวมแล้ว มีการแปลงแปดแบบที่ต้องพิจารณา สำหรับปัญหาของการเพิ่มความเร็วแบบลอเรนซ์สองครั้งเท่านั้น สรุปได้ว่า ด้วยการดำเนินการต่อเนื่องที่กระทำทางด้านซ้าย การแปลงเหล่านั้นคือ

สองบูสเตอร์...	...แบ่งออกเป็นช่วงเร่งความเร็วแล้วจึงหมุนเวียน...	...หรือแบ่งเป็นรอบแล้วค่อยเพิ่มพลัง
${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \Lambda =R({\boldsymbol {\epsilon }})B(c\mathbf {a} /\gamma )}$	${\displaystyle \Lambda =B(c\mathbf {b} /\gamma )R({\boldsymbol {\epsilon }})}$
${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-c\mathbf {a} /\gamma )R(-{\boldsymbol {\epsilon }})}$	${\displaystyle \Lambda ^{-1}=R(-{\boldsymbol {\epsilon }})B(-c\mathbf {b} /\gamma )}$
${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }=B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }=B(c\mathbf {a} /\gamma )R(-{\boldsymbol {\epsilon }})}$	${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\epsilon }})B(c\mathbf {b} /\gamma )}$
${\displaystyle \left(\Lambda ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=B(-\mathbf {v} )B(-\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \left(\Lambda ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=R({\boldsymbol {\epsilon }})B(-c\mathbf {a} /\gamma )}$	${\displaystyle \left(\Lambda ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=B(-c\mathbf {b} /\gamma )R({\boldsymbol {\epsilon }})}$

เมื่อจับคู่การเร่งความเร็วตามด้วยการหมุน ในการตั้งค่าเริ่มต้น ผู้สังเกตการณ์ในΣสังเกตเห็นว่าΣ ′ ′เคลื่อนที่ด้วยความเร็วu ⊕ vจากนั้นหมุนตามเข็มนาฬิกา (แผนภาพแรก) และเนื่องจากการหมุน ผู้สังเกตการณ์ใน Σ ′ ′สังเกตเห็นว่าΣเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว− v ⊕ uจากนั้นหมุนทวนเข็มนาฬิกา (แผนภาพที่สอง) หากความเร็วถูกสลับกัน ผู้สังเกตการณ์ในΣสังเกตเห็นว่าΣ ′ ′เคลื่อนที่ด้วยความเร็วv ⊕ uจากนั้นหมุนทวนเข็มนาฬิกา (แผนภาพที่สาม) และเนื่องจากการหมุน ผู้สังเกตการณ์ในΣ ′ ′สังเกตเห็น ว่า Σเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว− u ⊕ vจากนั้นหมุนตามเข็มนาฬิกา (แผนภาพที่สี่)

กรณีของการหมุนแล้วตามด้วยการเพิ่มความเร็วจะคล้ายกัน (ไม่มีแผนภาพแสดงไว้) เมื่อจับคู่การหมุนตามด้วยการเพิ่มความเร็ว ในการตั้งค่าเริ่มต้น ผู้สังเกตการณ์ในΣสังเกตเห็นว่าΣ ′ ′หมุนตามเข็มนาฬิกาแล้วเคลื่อนที่ด้วยความเร็วv ⊕ uและเนื่องจากการหมุน ผู้สังเกตการณ์ในΣ ′ ′สังเกตเห็นว่าΣหมุนทวนเข็มนาฬิกาแล้วเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว− u ⊕ vหากความเร็วสลับกัน ผู้สังเกตการณ์ในΣสังเกตเห็นว่าΣ ′ ′หมุนทวนเข็มนาฬิกาแล้วเคลื่อนที่ด้วยความเร็วu ⊕ vและเนื่องจากการหมุน ผู้สังเกตการณ์ในΣ ′ ′สังเกตเห็นว่าΣ หมุนตามเข็มนาฬิกาแล้วเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว− u ⊕ v

สูตรข้างต้นประกอบด้วยการบวกความเร็วเชิงสัมพัทธภาพและการหมุนของโทมัสอย่างชัดเจนในการแปลงลอเรนซ์ทั่วไป ตลอดทั้งกระบวนการ ในทุกการประกอบกันของการเร่งความเร็วและการแยกส่วนออกเป็นเร่งความเร็วและการหมุน สูตรที่สำคัญคือ

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {R} +{\frac {1}{\gamma +1}}\mathbf {ba} ^{\mathrm {T} }}$

ถือไว้ซึ่งอนุญาตให้กำหนดเมทริกซ์การหมุนได้อย่างสมบูรณ์ในแง่ของความเร็วสัมพัทธ์uและvมุมของเมทริกซ์การหมุนในการแสดงแกน-มุมสามารถหาได้จากร่องรอยของเมทริกซ์การหมุนผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับ แกน ใด ๆคือtr( R ) = 1 + 2 cos εการหาร่องรอยของสมการจะให้^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

${\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {(1+\gamma +\gamma _{\mathbf {u} }+\gamma _{\mathbf {v} })^{2}}{(1+\gamma )(1+\gamma _{\mathbf {u} })(1+\gamma _{\mathbf {v} })}}-1}$

มุมεระหว่างaและbไม่เท่ากับมุมαระหว่างuและv​

ในทั้งเฟรม Σ และ Σ ′ ′สำหรับองค์ประกอบและการแยกส่วนทุกอย่าง จะมีสูตรสำคัญอีกสูตรหนึ่ง

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {Ra} }$

ถูกต้อง เวกเตอร์aและb มีความสัมพันธ์กันโดยการหมุน โดยใช้เมทริกซ์การหมุน Rเดียวกันซึ่งหมุนกรอบพิกัด เริ่มจากaเมทริกซ์Rจะหมุน a ไปเป็นbทวนเข็มนาฬิกา ตามผลคูณเวกเตอร์ (ในระบบมือขวา)

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\frac {\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(\gamma ^{2}-1\right)(\gamma +\gamma _{\mathbf {v} }+\gamma _{\mathbf {u} }+1)}{c^{2}(\gamma _{\mathbf {v} }+1)(\gamma _{\mathbf {u} }+1)(\gamma +1)}}\mathbf {u} \times \mathbf {v} }$

กำหนดแกนได้อย่างถูกต้อง ดังนั้นแกนจึงขนานกับu × v ด้วย ขนาดของเวกเตอร์เสมือนนี้ไม่น่าสนใจหรือสำคัญ มีเพียงทิศทางเท่านั้นที่สำคัญ ดังนั้นจึงสามารถแปลงให้เป็นเวกเตอร์หน่วย ได้

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {u} \times \mathbf {v} |}}}$

ซึ่งยังคงกำหนดทิศทางของแกนได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่สูญเสียข้อมูลใดๆ

การหมุนนั้นเป็นการหมุนแบบ "สถิต" และไม่มีการเคลื่อนที่เชิงหมุน สัมพัทธ์ ระหว่างเฟรม มีเพียงการเคลื่อนที่เชิงแปลสัมพัทธ์ในการเร่งความเร็วเท่านั้น อย่างไรก็ตาม หากเฟรมเร่งความเร็ว เฟรมที่หมุนก็จะหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการหมุนควงของโทมัส (Thomas precession ) และเกิดขึ้นจากจลนศาสตร์ของการเร่งความเร็วแบบลอเรนซ์ที่ต่อเนื่องกันเท่านั้น

การเปลี่ยนจากความเร็วไปเป็นการเร่งความเร็วจะได้รับดังต่อไปนี้ การเร่งความเร็วใดๆ จะได้รับจาก^{[ 23 ]}

${\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} },}$

โดยที่ζคือสามจำนวนจริงที่ทำหน้าที่เป็นพิกัดบนซับสเปซบูสต์ของพีชคณิตลีดังนั้น (3, 1)ครอบคลุมโดยเมทริกซ์

${\displaystyle (K_{1},K_{2},K_{3})=\left(\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right]\right).}$

เวกเตอร์

${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\tanh ^{-1}\beta }$

เรียกว่าพารามิเตอร์บูสต์หรือเวกเตอร์บูสต์ในขณะที่ขนาดของมันคือความเร็วสัมพัทธ์โดยที่βคือพารามิเตอร์ความเร็วขนาดของเวกเตอร์β = u / c

ในขณะที่สำหรับζนั้น0 ≤ ζ < ∞พารามิเตอร์βจะถูกจำกัดอยู่ภายใน0 ≤ β < 1และดังนั้น0 ≤ u < cดังนั้น

${\displaystyle e^{-\tanh ^{-1}(\beta ){\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\cdot \mathbf {K} }=e^{-{\tanh ^{-1}\beta \over c\beta }\mathbf {u} \cdot \mathbf {K} }\equiv B(\mathbf {u} )~.}$

เซตของความเร็วที่สอดคล้องกับ0 ≤ u < cเป็นลูกบอลเปิดในℝ ³และเรียกว่าปริภูมิของความเร็วที่ยอมรับได้ในเอกสารทางวิชาการ โดยมีเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกตามที่อธิบายไว้ในบทความที่เชื่อมโยง^{[ 24 ]}

ตัวสร้างบูสต์K , K , K ในทิศทางที่ต่างกันจะไม่สลับที่กัน ผลที่ได้คือ บูสต์สองครั้งติดต่อกันจะไม่ใช่บูสต์บริสุทธิ์โดยทั่วไป แต่เป็นการหมุนก่อนบูสต์

พิจารณาการเร่งความเร็วต่อเนื่องในทิศทาง x จากนั้นในทิศทาง y โดยขยายการเร่งความเร็วแต่ละครั้งเป็นอันดับแรก^{[ 25 ]}

${\displaystyle e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=(I-\zeta _{y}K_{y}+\cdots )(I-\zeta _{x}K_{x}+\cdots )=I-\zeta _{x}K_{x}-\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

แล้ว

${\displaystyle e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}=I+\zeta _{x}K_{x}+\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

และตัวสลับกลุ่มคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=I&+\zeta _{x}\zeta _{y}[K_{y},K_{x}]-(\zeta _{x}K_{x})^{2}-(\zeta _{y}K_{y})^{2}\\&+\zeta _{x}^{2}\zeta _{y}[K_{x},K_{y}]K_{x}+\zeta _{x}\zeta _{y}^{2}K_{y}[K_{y},K_{x}]\\&+(\zeta _{x}\zeta _{y})^{2}K_{y}K_{x}K_{y}K_{x}+\cdots \end{aligned}}}$

ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งสามประการของตัวสร้างลอเรนซ์ ได้แก่

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{x},J_{y}]&=J_{z}\\[][K_{x},K_{y}]&=-J_{z}\\[][J_{x},K_{y}]&=K_{z}\end{aligned}}}$

โดยที่วงเล็บ[ A , B ] = AB − BAคือการดำเนินการทวิภาคที่เรียกว่าตัวสลับและความสัมพันธ์อื่นๆ สามารถหาได้โดยการสลับตำแหน่งแบบวนรอบของส่วนประกอบ x, y, z (เช่น เปลี่ยน x เป็น y, y เป็น z และ z เป็น x ทำซ้ำ)

เมื่อกลับมาพิจารณาคอมมิวเทเตอร์ของกลุ่ม ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งของตัวสร้างบูสต์บ่งชี้ว่า สำหรับบูสต์ตามทิศทาง x แล้ว y จะมีการหมุนรอบแกน z ในแง่ของความเร็ว มุมการหมุนθจะกำหนดโดย

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\tanh {\frac {\zeta _{x}}{2}}\tanh {\frac {\zeta _{y}}{2}},}$

สามารถแสดงได้เทียบเท่ากับ

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sinh {\zeta _{x}}~\sinh \zeta _{y}}{\cosh \zeta _{x}+\cosh \zeta _{y}}}~.}$

ในความเป็นจริง กลุ่ม Lorentz เต็มรูปแบบไม่จำเป็นสำหรับการศึกษาการหมุนของ Wigner เนื่องจากปรากฏการณ์นี้เกี่ยวข้องกับมิติเชิงพื้นที่เพียงสองมิติเท่านั้น กลุ่มย่อยSO(2, 1) ⁺จึงเพียงพอสำหรับการวิเคราะห์ปัญหาที่เกี่ยวข้อง คล้ายกับการกำหนดพารามิเตอร์ Euler ของSO(3) SO(2, 1) + ^{สามารถ}แยกออกเป็นสามส่วนง่ายๆ ซึ่งให้กรอบการทำงานที่ตรงไปตรงมาและเข้าใจง่ายสำหรับการสำรวจปัญหาการหมุนของ Wigner ^{[ 26 ]}