เรขาคณิตเชิงทอพอโลยีเกี่ยวข้องกับโครงสร้างเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเซตของจุดและตระกูลของเซตย่อยที่เรียกว่าเส้นหรือวงกลม เป็นต้น โดยที่ทั้ง เซตของจุด และ เซตย่อยนั้นมี ทอพอโลยีและการดำเนินการทางเรขาคณิตทั้งหมด เช่น การเชื่อมจุดด้วยเส้นตรงหรือการตัดกันของเส้นตรงนั้นมีความต่อเนื่อง เช่นเดียวกับกรณีของกลุ่มเชิงทอพอโลยีผลลัพธ์ที่ลึกซึ้งกว่านั้นหลายอย่างต้องการให้ปริภูมิของจุดนั้นมีความกะทัดรัด (ในระดับท้องถิ่น) และเชื่อมต่อกัน ซึ่งเป็นการขยายข้อสังเกตที่ว่า เส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดที่แตกต่างกันในระนาบยุคลิดขึ้นอยู่กับคู่ของจุดนั้นอย่างต่อเนื่อง และจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของเส้นตรงเหล่านั้น ${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

เรขาคณิตเชิงเส้นเป็นโครงสร้างเหตุการณ์ที่จุดสองจุดที่แตกต่างกันใดๆและถูกเชื่อมต่อด้วยเส้นตรงที่ไม่ซ้ำกันเรขาคณิตดังกล่าวเรียกว่าเรขาคณิตเชิงโทโพโลยีถ้าขึ้นอยู่กับคู่จุดและเส้นตรงอย่างต่อเนื่องโดยสัมพันธ์กับโทโพโลยีที่กำหนดบนเซตของจุดและเซตของเส้นตรง เรขาคณิตเชิงเส้น คู่ตรงข้ามได้มาจากการสลับบทบาทของจุดและเส้นตรง การสำรวจเรขาคณิตเชิงเส้นเชิงโทโพโลยีมีอยู่ในบทที่ 23 ของคู่มือเรขาคณิตเหตุการณ์ [ ^{1 ] เรขาคณิต}เชิงเส้นเชิงโทโพโลยีที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางที่สุดคือเรขาคณิตที่เป็นเรขาคณิตเชิงเส้นเชิงโทโพโลยีคู่ตรงข้ามด้วย เรขาคณิตดังกล่าวเรียกว่าระนาบเชิงโปรเจกที ฟเชิงโทโพโล ยี ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle (x,y)}$

^{การศึกษาอย่างเป็นระบบ เกี่ยว}กับระนาบเหล่านี้เริ่มต้นในปี พ.ศ. 2497 ด้วยบทความของ Skornyakov ^{[ 2 ]}ก่อนหน้านี้ คุณสมบัติทางโทโพโลยีของระนาบจริงได้รับการแนะนำผ่านความสัมพันธ์การเรียงลำดับบนเส้นแอฟฟิน ดูเช่นHilbert [ ^{3 ]} Coxeter [ ^{4 ]}และ O. Wyler ^{[ 5 ]}ความสมบูรณ์ของการเรียงลำดับเทียบเท่ากับความกะทัดรัดเฉพาะที่และบ่งชี้ว่าเส้นแอฟฟินเป็น^โฮมีโอเมอร์ฟิกกับและปริภูมิจุดเชื่อมต่อกันโปรดทราบว่าจำนวนตรรกยะไม่เพียงพอที่จะอธิบายแนวคิดเชิงสัญชาตญาณของเราเกี่ยวกับเรขาคณิตระนาบ และจำเป็นต้องมีการขยายฟิลด์ตรรกยะบางส่วน ในความเป็นจริง สมการสำหรับวงกลมไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=3}$

อย่างไรก็ตาม การเข้าถึงคุณสมบัติทางโทโพโลยีของระนาบเชิงโปรเจกทีฟผ่านความสัมพันธ์การเรียงลำดับนั้นเป็นไปไม่ได้สำหรับระนาบที่ประสานด้วยจำนวนเชิงซ้อนควอเทอร์เนียนหรือพีชคณิตอ็อกโทเนียน^{[ 6 ]}ปริภูมิจุดและปริภูมิเส้นของ ระนาบ คลาสสิก เหล่านี้ (เหนือจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ควอเทอร์เนียน และอ็อกโทเนียน) เป็นแมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัดที่มีมิติ ${\displaystyle 2^{m},\,1\leq m\leq 4}$

แนวคิดเรื่องมิติของปริภูมิเชิงทอพอโลยีมีบทบาทสำคัญในการศึกษาเชิงทอพอโลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระนาบที่เชื่อมต่อกันแบบกระชับ สำหรับปริภูมิปกติ มิติสามารถกำหนดลักษณะได้ดังนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \dim X}$

ถ้าแทนทรงกลม-sphere แล้วก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกปริภูมิย่อยปิดแผนที่ต่อเนื่องแต่ละตัวมีส่วนขยายต่อเนื่อง ${\displaystyle \mathbb {S} _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \dim X\leq n}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {S} _{n}}$${\displaystyle \psi :X\to \mathbb {S} _{n}}$

สำหรับรายละเอียดและคำจำกัดความอื่นๆ ของมิติ โปรดดู^{[ 7 ]}และเอกสารอ้างอิงที่ระบุไว้ในนั้น โดยเฉพาะ Engelking ^{[ 8 ]}หรือ Fedorchuk ^{[ 9 ]}

เส้นของระนาบโทโพโลยีขนาดกะทัดรัดที่มีปริภูมิจุด 2 มิติ ก่อให้เกิดตระกูลของเส้นโค้งที่สมมาตรกับวงกลม และข้อเท็จจริงนี้ทำให้ระนาบเหล่านี้มีลักษณะเฉพาะในบรรดาระนาบเชิงโปรเจกทีฟโทโพโลยี^{[ 10 ]} หรือกล่าว อีกนัยหนึ่ง ปริภูมิจุดเป็นพื้นผิวตัวอย่างแรกๆ ที่ไม่สมมาตรกับระนาบจริงแบบคลาสสิกนั้นได้มาจาก Hilbert ^{[ 3 ] [ 11 ]}และMoulton ^{[ 12 ]}คุณสมบัติความต่อเนื่องของตัวอย่างเหล่านี้ยังไม่ได้รับการพิจารณาอย่างชัดเจนในขณะนั้น อาจถือว่าเป็นเรื่องปกติ การสร้างของ Hilbert สามารถปรับเปลี่ยนเพื่อให้ได้ระนาบขนาดกะทัดรัด n มิติที่ไม่สมมาตรกันเป็นคู่ๆ ได้นับไม่ถ้วนวิธีดั้งเดิมในการแยกแยะจากระนาบ n มิติอื่นๆคือโดยความถูกต้องของทฤษฎีบทของ Desarguesหรือทฤษฎีบทของ Pappos (ดูเช่น Pickert ^{[ 13 ]}สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับทฤษฎีบทการกำหนดค่าทั้งสองนี้) เป็นที่ทราบกันดีว่าข้อหลังหมายถึงข้อแรก ( Hessenberg ^{[ 14 ]} ) ทฤษฎีบทของ Desargues แสดงถึงความเป็นเอกรูปของระนาบชนิดหนึ่ง โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้จะเป็นจริงในระนาบเชิงโปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อระนาบนั้นสามารถประสานงานได้ด้วยฟิลด์ (ไม่จำเป็นต้องสลับที่ได้) ^{[ 3 ] [ 15 ] [ 13 ]}ดังนั้นจึงหมายความว่ากลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมเป็นแบบทรานซิทีฟบนเซตของรูปสี่เหลี่ยม ( ซึ่ง ไม่มีจุดใดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) ในการตั้งค่าปัจจุบัน เงื่อนไขความเป็นเอกรูปที่อ่อนกว่ามากจะบ่งบอกลักษณะดังนี้: ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

ทฤษฎีบทถ้ากลุ่มออโตมอร์ ฟิซึม ของระนาบกระชับมิติ - เป็นแบบทรานซิทีฟบนเซตจุด (หรือเซตเส้น) แล้วจะมีกลุ่มย่อยกระชับซึ่งเป็นแบบทรานซิทีฟคู่บนเซตของแฟล็ก${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Phi }$ (=คู่จุด-เส้นที่ตกกระทบ) และเป็นแบบคลาสสิ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ก^{[ 10 ]}

กลุ่มออโตมอร์ ฟิซึม ของระนาบกระชับมิติซึ่งพิจารณาด้วยโทโพโลยีของการลู่เข้าสม่ำเสมอในปริภูมิจุด เป็นกลุ่มกระชับเฉพาะที่ที่มีมิติไม่เกินในความเป็นจริงแล้วเป็นกลุ่มลีด้วย ซ้ำ ระนาบมิติ ทั้งหมดที่สามารถอธิบายได้อย่างชัดเจน^{[ 10 ]}ระนาบที่มีคือระนาบมอลตัน ระนาบคลาสสิกเป็นระนาบมิติ เพียงระนาบเดียวที่มี; ดูเพิ่มเติม^{[ 16 ]}${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \dim \Sigma \geq 3}$${\displaystyle \dim \Sigma =4}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \dim \Sigma >4}$

ผลลัพธ์ที่ได้จากระนาบมิติ n ได้ถูกขยายไปสู่ระนาบกระชับมิติ n แล้วซึ่งเป็นไปได้เนื่องจากทฤษฎีบทพื้นฐานต่อไปนี้: ${\displaystyle 2}$${\displaystyle >2}$

โทโพโลยีของระนาบกระชับถ้ามิติของปริภูมิจุดของระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่เชื่อมต่อกระชับมีค่าจำกัด แล้วด้วย. ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละเส้นเป็นทรงกลมโฮโมโทปีที่มีมิติ${\displaystyle P}$${\displaystyle \dim P=2^{m}}$${\displaystyle m\in \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle 2^{m-1}}$ดู^{[ 17 ]}หรือ^{[ 18 ]}

ลักษณะพิเศษของระนาบ 4 มิติได้รับการกล่าวถึงใน^{[ 19 ]}ผลลัพธ์ล่าสุดสามารถพบได้ใน^{[ 20 ]}เส้นของระนาบกระชับมิติ -มิติมีลักษณะโฮโมมอร์ฟิกกับทรงกลม -มิติ^{[ 21 ]}ในกรณีที่เส้นเหล่านั้นไม่ทราบว่าเป็นแมนิโฟลด์ แต่ในตัวอย่างทั้งหมดที่พบจนถึงปัจจุบัน เส้นเหล่านั้นเป็นทรงกลม ระนาบย่อยของระนาบเชิงโปรเจกทีฟเรียกว่าระนาบย่อยแบร์^{[ 22 ]}ถ้าแต่ละจุดของตกกระทบกับเส้นของและแต่ละเส้นของประกอบด้วยจุดของระนาบย่อยปิดเป็นระนาบย่อยแบร์ของระนาบเชื่อมต่อกระชับก็ต่อเมื่อปริภูมิจุดของและเส้นของมีมิติเดียวกัน ดังนั้นเส้นของระนาบ 8 มิติจึงมีลักษณะโฮโมมอร์ฟิกกับทรงกลมถ้ามีระนาบย่อยแบร์ปิด^{[ 23 ]}${\displaystyle 4}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle m>2}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

ระนาบเอกพันธุ์ถ้าเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่เชื่อมต่อกันแบบกะทัดรัด และถ้าเป็นแบบทรานซิทีฟบนเซตจุดของแล้วจะมีกลุ่มย่อยแบบกะทัดรัดแบบแฟล็กทราน ซิทีฟ และเป็นแบบคลาสสิก${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ดู^{[ 24 ]}หรือ^{[ 25 ]}ในความเป็นจริงเป็นกลุ่มการเคลื่อนที่แบบวงรี^{[ 26 ]}${\displaystyle \Phi }$

ให้เป็นระนาบกระชับที่มีมิติและเขียนถ้าแล้วเป็นแบบคลาสสิก^{[ 27 ]}และเป็นกลุ่ม Lie ง่ายที่มีมิติตามลำดับ ระนาบทั้งหมดที่มี เป็นที่รู้จักอย่างชัดเจน^{[ 28 ]}ระนาบที่มีคือการปิดเชิงโปรเจคทีฟของระนาบแอฟฟินที่ประสานโดยสิ่งที่เรียกว่าการกลายพันธุ์ของพีชคณิตอ็อกโทเนียนโดยการคูณใหม่ถูกกำหนดดังนี้: เลือกจำนวนจริงที่มีและใส่ตระกูลขนาดใหญ่ของระนาบที่มีกลุ่มมิติขนาดใหญ่ได้รับการค้นพบอย่างเป็นระบบโดยเริ่มจากสมมติฐานเกี่ยวกับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ดูเช่น^{[ 20 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}หลายระนาบเป็นการปิดเชิงโปรเจคทีฟของระนาบการแปล (ระนาบแอฟฟินที่ยอมรับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบทรานซิทีฟที่คมชัดซึ่งแมปแต่ละเส้นไปยังเส้นขนาน) ดู; ^{[ 33 ]}ดูเพิ่มเติมที่^{[ 34 ]}สำหรับผลลัพธ์ล่าสุดในกรณีนี้และ^{[ 30 ]}สำหรับ. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle 2^{m},\;m=2,3,4}$${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \dim \Sigma >8,18,40}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$${\displaystyle 16,35,78}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \dim \Sigma =8,18,40}$${\displaystyle \dim \Sigma =40}$${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\circ )}$${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\ \,)}$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle t}$${\displaystyle 1/2<t\neq 1}$${\displaystyle a\circ b=t\cdot ab+(1-t)\cdot ba}$${\displaystyle m=3}$${\displaystyle m=4}$

ระนาบย่อยของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่มี มิติ ทางเรขาคณิตอย่างน้อย 3 จำเป็นต้องเป็นแบบเดซาร์เกเซียน ดู^{[ 35 ]} §1 หรือ^{[ 4 ]} §16 หรือ^{[ 36 ]}ดังนั้น ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่เชื่อมต่อกันแบบกระชับทั้งหมดสามารถกำหนดพิกัดได้ด้วยจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนหรือฟิลด์ควอเทอร์เนียน^{[ 37 ]}

ระนาบไฮเปอร์โบลิกแบบคลาสสิกที่ไม่ใช่ยุคลิดสามารถแสดงได้ด้วยจุดตัดของเส้นตรงในระนาบจริงกับวงกลมเปิด โดยทั่วไปแล้ว ส่วนเปิด (นูน) ของระนาบแอฟฟินแบบคลาสสิกเป็นระนาบเสถียรทั่วไป การสำรวจเรขาคณิตเหล่านี้สามารถพบได้ใน^{[ 38 ]}สำหรับ กรณีมิติ - โปรดดูที่ ^{[ 39 ]}ด้วย${\displaystyle 2}$

กล่าวโดยละเอียดระนาบเสถียร คือเรขาคณิตเชิงเส้นเชิงทอพอโลยีซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle (P,{\mathfrak {L}})}$

1. ${\displaystyle P}$เป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่ที่มีมิติจำกัดเป็นบวก
2. แต่ละเส้นเป็นเซตย่อยปิดของและเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ${\displaystyle L\in {\mathfrak {L}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$
3. เซตนี้เป็นปริภูมิย่อยแบบเปิด( เสถียรภาพ )${\displaystyle \{(K,L)\mid K\neq L,\;K\cap L\neq \emptyset \}}$${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subset {\mathfrak {L}}^{2}}$
4. แผนที่นี้เป็นแผนที่ต่อเนื่องกัน${\displaystyle (K,L)\mapsto K\cap L:{\mathfrak {O}}\to P}$

โปรดทราบว่าความเสถียรไม่รวมถึงรูปทรงเรขาคณิต เช่นปริภูมิ เชิงเส้นมิติเหนือหรือ${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ระนาบเสถียรเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อเป็นระนาบกระชับ^{[ 40 ]}${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle P}$

เช่นเดียวกับในกรณีของระนาบเชิงโปรเจกทีฟ เส้นดินสอมีความกะทัดรัดและสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับทรงกลมที่มีมิติและด้วยดู^{[ 17 ]}หรือ^{[ 41 ]}ยิ่งไปกว่านั้น พื้นที่จุดสามารถหดตัวได้ในระดับท้องถิ่น^{[ 17 ] [ 42 ]}${\displaystyle 2^{m-1}}$${\displaystyle \dim P=2^{m}}$${\displaystyle m\in \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle P}$

กลุ่ม กระชับของระนาบเสถียร(ที่เหมาะสม)มีขนาดค่อนข้างเล็ก ให้แทนกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระนาบเชิงโปรเจกทีฟมิติ คลาสสิก จากนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง: ถ้าระนาบเสถียรมิติยอมรับกลุ่มกระชับของออโตมอร์ฟิซึมเช่นนั้นแล้วดู^{[ 43 ]}${\displaystyle \Phi _{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \dim \Gamma >\dim \Phi _{d}-d}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\cong {\mathcal {P}}_{d}}$

ระนาบเสถียรที่เป็นเอกพันธุ์แฟล็กให้เป็นระนาบเสถียร ถ้ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมเป็นแบบถ่ายทอดแฟล็ก แล้วจะเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟหรือเชิงแอฟฟินแบบคลาสสิก หรือเป็นไอโซมอร์ฟิกกับส่วนภายในของทรงกลมสัมบูรณ์ของขั้วไฮเปอร์โบลิกของระนาบแบบคลาสสิก${\displaystyle {\mathcal {S}}=(P,{\mathfrak {L}})}$${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ดู^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]}

ตรงกันข้ามกับกรณีการฉายภาพ มีระนาบเสถียรที่เป็นเอกพันธุ์จุดจำนวนมาก ซึ่งรวมถึงระนาบการแปลจำนวนมาก ดู^{[ 33 ]}และ^{[ 47 ]}

ระนาบการแปลเชิงเส้นแบบแอฟฟินมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• มีกลุ่มย่อยแบบปิดที่ถ่ายทอดได้แบบจุดหนึ่งของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ซึ่งประกอบด้วยการสะท้อน ที่ไม่ซ้ำกัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง และด้วยเหตุนี้จึงประกอบด้วยการสะท้อนที่ไม่ซ้ำกัน ณ ทุกจุด${\displaystyle \Delta }$

โดยทั่วไปแล้วระนาบสมมาตรคือระนาบเสถียรที่ตรงตามเงื่อนไขที่กล่าวไว้ข้างต้น ดู^{[ 48 ]}เทียบกับ^{[ 49 ]}สำหรับการสำรวจเรขาคณิตเหล่านี้ โดย^{[ 50 ]}บทสรุป 5.5 กลุ่มเป็นกลุ่ม Lie และปริภูมิจุดเป็นแมนิโฟลด์ ดังนั้นจึงเป็นปริภูมิสมมาตรด้วยทฤษฎี Lie ของปริภูมิสมมาตร ระนาบสมมาตรทั้งหมดที่มีเซตจุดมิติหรือได้รับการจำแนกประเภทแล้ว^{[ 48 ] [ 51 ]}ระนาบเหล่านี้เป็นระนาบการแปลหรือถูกกำหนดโดยรูปแบบเฮอร์มิเชียนตัวอย่างง่ายๆ คือระนาบไฮเปอร์โบลิกจริง ${\displaystyle {\mathcal {S}}=(P,{\mathfrak {L}})}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 4}$

แบบจำลองคลาสสิก^{[ 52 ]}กำหนดโดยระนาบตัดของพื้นผิวกำลังสองในปริภูมิโปรเจคทีฟจริง ถ้าเป็นทรงกลม เรขาคณิตจะเรียกว่าระนาบโมเบียส [ ^{39 ] ระนาบ}ตัดของพื้นผิวแบบเส้นตรง (ไฮเปอร์โบโลอิดแผ่นเดียว) ให้ระนาบมินคอฟสกี แบบคลาสสิก ดู^{[ 53 ]}สำหรับการวางนัยทั่วไป ถ้าเป็นกรวยวงรีที่ไม่มีจุดยอด เรขาคณิตจะเรียกว่าระนาบลากูร์โดยรวมแล้วระนาบเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าระนาบเบนซ์ ระนาบเบนซ์เชิงทอพอโล ยีเป็นแบบคลาสสิก ถ้าแต่ละจุดมีบริเวณใกล้เคียงที่สมมาตรกับชิ้นส่วนเปิดบางส่วนของระนาบเบนซ์แบบคลาสสิกที่สอดคล้องกัน^{[ 54 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

ระนาบโมเบียสประกอบด้วยกลุ่มของวงกลม ซึ่งเป็นทรงกลมเชิงทอพอโลยี 1 มิติ บนทรงกลมโดยที่สำหรับแต่ละจุดโครงสร้างที่ได้มาจะเป็นระนาบเชิงทอพอโลยีแบบแอฟฟิน[ ^{55 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่งจุดที่แตกต่างกันใดๆ จะเชื่อมต่อกันด้วยวงกลมที่ไม่ซ้ำกัน ปริภูมิวงกลมจึงมีลักษณะทาง โทโพโล ยีเหมือนกับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจริง โดยลบจุดหนึ่งจุดออก^{[ 56 ]}ตัวอย่างจำนวนมากแสดงโดยระนาบตัดของพื้นผิวคล้ายไข่ในปริภูมิ จริง${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (S\setminus \{p\},\{C\setminus \{p\}\mid p\in C\in {\mathfrak {C}}\})}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3}$

ถ้ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระนาบโมเบียสเป็นแบบทรานซิทีฟบนเซตจุดหรือบนเซตของวงกลม หรือถ้าแล้วจะเป็นแบบคลาสสิกและ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$${\displaystyle (S,{\mathfrak {C}})}$${\displaystyle \dim \Sigma =6}$ดู^{[ 57 ] [ 58 ]}

ตรงกันข้ามกับระนาบเชิงโปรเจกทีฟแบบกะทัดรัด ไม่มีระนาบโมเบียสเชิงทอพอโลยีที่มีวงกลมมิติโดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีระนาบโมเบียสแบบกะทัดรัดที่มีปริภูมิจุดมิติ^{[ 59 ]}ระนาบโมเบียส 2 มิติทั้งหมดที่สามารถอธิบายได้อย่างชัดเจน^{[ 60 ] [ 61 ]}${\displaystyle >1}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle \dim \Sigma \geq 3}$

แบบจำลองคลาสสิกของระนาบลากูร์ประกอบด้วยพื้นผิวทรงกระบอกวงกลม ใน ปริภูมิจริงn เป็นเซตของจุด และส่วนตัดระนาบแบบกะทัดรัดของพื้นผิวดังกล่าวเป็นวงกลม คู่ของจุดที่ไม่ได้เชื่อมต่อกันด้วยวงกลมเรียกว่าจุดขนาน ให้ แทนกลุ่มของจุดขนาน ดังนั้น คือระนาบวงกลมในระนาบนี้สามารถแทนด้วยพาราโบลาในรูปแบบได้ ${\displaystyle C}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C\setminus P}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

ในทำนองเดียวกันระนาบ Laguerre แบบคลาสสิกมิติ n เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของพหุนามกำลังสองเชิงซ้อน โดยทั่วไปแล้ว สัจพจน์ของระนาบ Laguerre ที่เชื่อมต่อกันแบบกระชับเฉพาะที่กำหนดให้ระนาบที่ได้มาฝังตัวลงในระนาบเชิงโปรเจกทีฟแบบกระชับที่มีมิติจำกัด วงกลมที่ไม่ผ่านจุดของการได้มาจะเหนี่ยวนำให้เกิดรูปวงรีในระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่ได้มา โดย^{[ 62 ]}หรือ^{[ 63 ]}วงกลมจะมีลักษณะทางโทโพโลยีเหมือนกับทรงกลมที่มีมิติn หรือn ดังนั้น ปริภูมิจุดของระนาบ Laguerre ที่เชื่อมต่อกันแบบกระชับเฉพาะที่จึงมีลักษณะทางโทโพโลยีเหมือนกับทรงกระบอกหรือเป็นแมนิโฟลด์มิติ n ดู^{[ 64 ]} ตัวอย่างมิติ n จำนวนมากที่เรียกว่าระนาบ Laguerre รูปไข่ กำหนดโดยระนาบตัดของทรงกระบอกในปริภูมิ 3 มิติจริงที่มีฐานเป็นรูปวงรีในn ${\displaystyle 4}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระนาบ Laguerre มิติ ( ) เป็นกลุ่ม Lie ที่เกี่ยวข้องกับโทโพโลยีของการลู่เข้าสม่ำเสมอบนเซตย่อยกระชับของปริภูมิจุด ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่มนี้มีมิติไม่เกินออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของระนาบ Laguerre ที่ตรึงแต่ละชั้นขนานจะก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยปกติซึ่ง เป็น เคอร์เนลของกลุ่มออโตมอร์ฟิ ซึมทั้งหมด ระนาบ Laguerre มิติ ที่มีคือระนาบรูปไข่เหนือพาราโบลาเฉียงที่เหมาะสม^{[ 65 ]} ระนาบ Laguerre มิติ แบบคลาสสิกเป็นระนาบเดียวที่ดู^{[ 66 ]}เปรียบเทียบด้วย^{[ 67 ]}${\displaystyle 2d}$${\displaystyle d=1,2}$${\displaystyle 7d}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \dim \Sigma =5}$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle \dim \Sigma >5d}$

ถ้ากลุ่มออโตมอร์ ฟิซึม ของระนาบลากูร์มิติ - เป็นแบบทรานซิทีฟบนเซตของคลาสขนาน และถ้าเคอร์เนลเป็นแบบทรานซิทีฟบนเซตของวงกลม แล้วจะเป็นแบบคลาสสิก${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle T\triangleleft \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ดู^{[ 68 ] [ 67 ]} 2.1,2

อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติการถ่ายทอดของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมบนเซตของวงกลมนั้นไม่เพียงพอที่จะอธิบายแบบจำลองคลาสสิกในระนาบลากูร์มิติ n ได้ ${\displaystyle 2d}$

แบบจำลองคลาสสิกของระนาบ Minkowski มีทอรัส เป็นปริภูมิจุด วงกลมเป็นกราฟของแผนที่เชิงเส้นเศษส่วนจริงบนเช่นเดียวกับระนาบ Laguerre ปริภูมิจุดของระนาบ Minkowski ที่เชื่อมต่อกันแบบกระชับเฉพาะที่นั้นมี มิติเป็น - หรือ - มิติ ปริภูมิจุดนั้นจึงมีลักษณะทางโทโพโลยีเหมือนกับทอรัสหรือกับดู^{[ 69 ]}${\displaystyle \mathbb {S} _{1}\times \mathbb {S} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {S} _{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {S} _{2}\times \mathbb {S} _{2}}$

ถ้ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระนาบมินคอฟสกีที่มีมิติเป็นแบบแฟลกทรานซิทีฟ แสดงว่าเป็นแบบคลาสสิ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ก^{[ 70 ]}

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระนาบมินคอฟสกีมิติ - คือกลุ่มลีที่มีมิติไม่เกิน ระนาบ มินคอฟสกีมิติ - ทั้งหมดเช่นสามารถอธิบายได้อย่างชัดเจน^{[ 71 ]} ระนาบมินคอฟสกีมิติ - แบบคลาสสิกเป็นระนาบเดียวที่มีดู^{[ 72 ]}${\displaystyle 2d}$${\displaystyle 6d}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle \dim \Sigma >4d}$