ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในทฤษฎีริงองค์ประกอบทอร์ชั่น ( torsion element ) คือองค์ประกอบของโมดูลที่ให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เมื่อคูณด้วยตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์ของริง โมดูล ย่อยทอร์ชั่น ( torsion submodule ) ของโมดูลคือโมดูลย่อยที่เกิดจากองค์ประกอบทอร์ชั่น (ในกรณีที่มันเป็นโมดูลย่อยจริง ๆ เช่น เมื่อริงเป็นโดเมนเชิงจำนวนเต็ม ) โมดูลทอร์ชั่น (torsion module ) คือโมดูลที่ประกอบด้วยองค์ประกอบทอร์ชั่นทั้งหมด โมดูลจะเรียกว่าปราศจากทอร์ชั่น (torsion-free ) ถ้าองค์ประกอบทอร์ชั่นเพียงตัวเดียวของมันคือองค์ประกอบศูนย์

คำศัพท์นี้มักใช้กับโมดูลเหนือโดเมนกล่าวคือ เมื่อองค์ประกอบปกติของริงทั้งหมดเป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์

คำศัพท์นี้ใช้กับกลุ่มอาเบเลียน (โดยแทนที่ "โมดูล" และ "โมดูลย่อย" ด้วย " กลุ่ม " และ " กลุ่มย่อย ") นี่เป็นเพียงกรณีพิเศษของสถานการณ์ทั่วไป เพราะกลุ่มอาเบเลียนเป็นโมดูลเหนือวงแหวนของจำนวนเต็ม (อันที่จริง นี่คือที่มาของคำศัพท์นี้ ซึ่งถูกนำมาใช้กับกลุ่มอาเบเลียนก่อนที่จะขยายไปใช้กับโมดูล)

ในกรณีของกลุ่มที่ไม่สลับที่กันได้สมาชิกทอร์ชั่นจะเป็นสมาชิกที่มีอันดับ จำกัด ซึ่งตรงกันข้ามกับ กรณีของกลุ่ม ที่สลับที่กันได้โดยทั่วไปแล้วสมาชิกทอร์ชั่นจะไม่ก่อตัวเป็นกลุ่มย่อย

สมาชิกmของโมดูลMเหนือริงRเรียกว่าสมาชิกทอร์ชั่นของโมดูล ถ้ามีสมาชิกปกติrของริง (สมาชิกที่ไม่ใช่ตัวหารศูนย์ ซ้ายหรือขวา ) ที่ทำให้m เป็นศูนย์ กล่าว คือr m = 0 ในโดเมนเชิงอินทิก รัล ( ริงสลับที่ที่ไม่มีตัวหารศูนย์) สมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวเป็นสมาชิกปกติ ดังนั้นสมาชิกทอร์ชั่นของโมดูลเหนือโดเมนเชิงอินทิกรัลคือสมาชิกที่ถูกทำให้เป็นศูนย์โดยสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ของโดเมนเชิงอินทิกรัล ผู้เขียนบางคนใช้สิ่งนี้เป็นนิยามของสมาชิกทอร์ชั่น แต่นิยามนี้ใช้ไม่ได้ผลดีกับริงทั่วไปมากกว่านี้

โมดูลMบนริงRเรียกว่าโมดูลทอร์ชั่นถ้าสมาชิกทั้งหมดของมันเป็นสมาชิกทอร์ชั่น และ เรียก ว่าโมดูลทอร์ชั่นฟรีถ้าศูนย์เป็นสมาชิกทอร์ชั่นเพียงตัวเดียว^{[ 1 ]}ถ้าริงRเป็นริงสลับที่ได้ เซตของสมาชิกทอร์ชั่นทั้งหมดจะประกอบเป็นซับโมดูลของMเรียกว่าซับโมดูลทอร์ชั่นของMบางครั้งเขียนแทนด้วย T( M ) ถ้าRไม่ใช่ริงสลับที่ได้ T( M ) อาจเป็นหรือไม่เป็นซับโมดูลก็ได้ มีการแสดงให้เห็นใน ( Lam 2007 ) ว่าR เป็น ริง Oreขวาก็ต่อเมื่อ T( M ) เป็นซับโมดูลของMสำหรับR-โมดูลขวาทั้งหมด เนื่องจากโดเมน Noetherian ขวา เป็น Ore กรณีนี้จึงครอบคลุมกรณีที่R เป็น โดเมนNoetherian ขวา(ซึ่งอาจไม่ใช่ริงสลับที่ได้)

โดยทั่วไปแล้ว ให้Mเป็นโมดูลเหนือริงRและSเป็นเซตย่อยที่ปิดการคูณของRสมาชิกmของMเรียกว่า สมาชิก S -torsion ถ้ามีสมาชิกsในSที่ ทำให้ sทำลายm กล่าว คือs m = 0โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถเลือกเซตของสมาชิกปกติของริงR มาเป็น Sและได้นิยามข้างต้นกลับคืนมา

สมาชิกgของกลุ่มGเรียกว่าสมาชิกทอร์ชั่นของกลุ่ม ถ้าสมาชิกนั้นมีอันดับจำกัด กล่าวคือ ถ้ามีจำนวนเต็มบวกmที่ทำให้g ^m = eโดยที่eแทนสมาชิกเอกลักษณ์ของกลุ่ม และg ^mแทนผลคูณของg จำนวน m ตัว กลุ่มหนึ่งเรียกว่ากลุ่มทอร์ชั่น (หรือกลุ่มคาบ)ถ้าสมาชิกทั้งหมดของกลุ่มนั้นเป็นสมาชิกทอร์ชั่น และกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกบิดเบี้ยวคือกลุ่มที่สมาชิกบิดเบี้ยวเพียงตัวเดียวคือสมาชิกเอกลักษณ์กลุ่มอาเบเลียนก็สามารถมองได้ว่าเป็นโมดูลเหนือริงZของจำนวนเต็ม และในกรณีนี้ แนวคิดเรื่องสมาชิกบิดเบี้ยวทั้งสองจะตรงกัน

1. ให้Mเป็นโมดูลอิสระเหนือริงR ใดๆ จากนั้นจะเห็นได้ทันทีจากนิยามว่าMเป็นโมดูลอิสระทอร์ชั่น (ถ้าริงRไม่ใช่โดเมน ทอร์ชั่นจะถูกพิจารณาโดยสัมพันธ์กับเซตSของตัวหารที่ไม่เป็นศูนย์ของR ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มอาเบเลียนอิสระ ใดๆ ก็ เป็นโมดูลอิสระทอร์ชั่น และปริภูมิเวกเตอร์ ใดๆ เหนือฟิลด์K ก็เป็น โมดูลอิสระทอร์ชั่นเมื่อมองว่าเป็นโมดูลเหนือK
2. ตรงกันข้ามกับตัวอย่างที่ 1 กลุ่มจำกัด ใดๆ (ไม่ว่าจะเป็นกลุ่มอาเบเลียนหรือไม่) ล้วนเป็นกลุ่มคาบและสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด ในทางกลับกัน ปัญหาของเบิร์นไซด์ถามว่ากลุ่มคาบที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดจะต้องเป็นกลุ่มจำกัดหรือไม่ คำตอบโดยทั่วไปคือ "ไม่" แม้ว่าคาบจะคงที่ก็ตาม
3. องค์ประกอบทอร์ชั่นของกลุ่มการคูณของฟิลด์คือรากแห่งความเป็นเอกภาพของ ฟิลด์ นั้น
4. ในกลุ่มมอดูลาร์ Γ ที่ได้มาจากกลุ่ม SL(2, Z ) ของเมทริกซ์ จำนวนเต็ม 2×2 ที่มี ดีเทอร์ มิแนน ต์เท่ากับ 1 โดยการแยกตัวประกอบศูนย์กลางออกมา องค์ประกอบทอร์ชั่นที่ไม่ใช่ ศูนย์ใดๆ จะมีอันดับสองและเป็นคู่สมกับองค์ประกอบSหรือมีอันดับสามและเป็นคู่สมกับองค์ประกอบSTในกรณีนี้ องค์ประกอบทอร์ชั่นจะไม่ก่อตัวเป็นกลุ่มย่อย เช่นS · ST = Tซึ่งมีอันดับอนันต์
5. กลุ่มอาเบเลียนQ / Zซึ่งประกอบด้วยจำนวนตรรกยะมอดูล 1 เป็นกลุ่มคาบ กล่าวคือ สมาชิกทุกตัวมีอันดับจำกัด ในทำนองเดียวกัน มอดูลK ( t )/ K [ t ] เหนือริงR  =  K [ t ] ของพหุนามตัวแปรเดียวเป็นทอร์ชั่นบริสุทธิ์ ตัวอย่างทั้งสองนี้สามารถสรุปได้ดังนี้: ถ้าRเป็นโดเมนจำนวนเต็มและQเป็นฟิลด์เศษส่วน ของมัน แล้วQ / Rเป็นมอดูลทอร์ชั่นR
6. กลุ่มย่อยทอร์ชั่นของ ( R / Z , +) คือ ( Q / Z , +) ในขณะที่กลุ่ม ( R , +) และ ( Z , +) เป็นกลุ่มไร้ทอร์ชั่น ผลหารของกลุ่มอาเบเลียนไร้ทอร์ชั่นโดยกลุ่มย่อยจะเป็นกลุ่มไร้ทอร์ชั่นก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยนั้นเป็น กลุ่ม ย่อยบริสุทธิ์ เท่านั้น
7. พิจารณาตัวดำเนินการเชิงเส้นLที่กระทำบนปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดVเหนือฟิลด์Kถ้าเรามองVเป็นK [ L ]-โมดูลในแบบธรรมชาติแล้ว (อันเป็นผลมาจากหลายสิ่งหลายอย่าง ไม่ว่าจะโดยมิติที่จำกัดหรือเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบท Cayley–Hamilton ) Vจะเป็นทอร์ชั่นK [ L ]-โมดูล

สมมติว่าRเป็นโดเมนไอเดียลหลัก (แบบสลับที่ได้) และMเป็นโมดูลRที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดบนโดเมนไอเดียลหลักจะให้คำอธิบายโดยละเอียดของโมดูลMจนถึงระดับไอโซมอร์ฟิซึมโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า

${\displaystyle M\simeq F\oplus \mathrm {T} (M),}$

โดยที่Fเป็นโมดูลอิสระR ที่มี อันดับจำกัด(ขึ้นอยู่กับM เท่านั้น ) และ T( M ) เป็นซับโมดูลทอร์ชั่นของM ผลที่ตามมาคือโมดูลอิสระทอร์ชั่นที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดบนRนั้นเป็นโมดูลอิสระ ผลที่ตามมานี้ไม่เป็นจริงสำหรับโดเมนสลับที่ทั่วไปกว่านี้ แม้แต่สำหรับR  =  K [ x , y ] ซึ่งเป็นวงแหวนของพหุนามในสองตัวแปร สำหรับโมดูลที่ไม่ได้สร้างขึ้นอย่างจำกัด การแยกส่วนโดยตรงข้างต้นไม่เป็นจริง ซับโมดูลทอร์ชั่นของกลุ่มอาเบเลียนอาจไม่ใช่ส่วนประกอบโดยตรงของกลุ่มนั้น

สมมติว่าRเป็นโดเมนสลับที่ และMเป็น โมดูล Rให้Qเป็นฟิลด์เศษส่วนของริงRจากนั้นเราสามารถพิจารณาโมดูล Q ได้

${\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q,}$

ได้มาจากMโดยการขยายสเกลาร์เนื่องจากQเป็นฟิลด์ ดังนั้นโมดูลเหนือQจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งอาจมีมิติอนันต์ มีโฮโมมอร์ฟิซึม แบบแคนอนิก ของกลุ่มอาเบเลียนจากMไปยังM _Qและเคอร์เนล ของโฮโมมอ ร์ ฟิซึมนี้คือซับโมดูลทอร์ชั่น T( M ) อย่างแม่นยำ โดยทั่วไปแล้ว ถ้าSเป็นเซตย่อยที่ปิดแบบทวีคูณของริงRเราอาจพิจารณาการหาโลคัลไลเซชันของโมดูลR M

${\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}$

ซึ่งเป็นโมดูลเหนือโลคัลไลเซชันR _Sมีแผนที่แคนอนิกจากMไปยังM _Sซึ่งเคอร์เนลของมันคือ ซับโมดูลทอร์ชัน SของM อย่างแม่นยำ ดังนั้นซับโมดูลทอร์ชันของMสามารถตีความได้ว่าเป็นเซตขององค์ประกอบที่ "หายไปในโลคัลไลเซชัน" การตีความเดียวกันนี้ยังคงใช้ได้ในบริบทที่ไม่สลับที่กันสำหรับริงที่สอดคล้องกับเงื่อนไข Oreหรือโดยทั่วไปสำหรับเซตตัวส่วนขวาS ใดๆ และโมดูลR ขวา M

แนวคิดเรื่องทอร์ชั่นมีบทบาทสำคัญในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีถ้าMและNเป็นโมดูลสองตัวบนโดเมนสลับที่R (ตัวอย่างเช่น กลุ่มอาเบเลียนสองกลุ่ม เมื่อR  =  Z ) ฟังก์ชันทอร์จะให้ตระกูลของโมดูลR Tor _i ( M , N ) ทอร์ชั่น SของโมดูลR Mนั้นสมมูลกันโดยหลักการกับ Tor ^R ₁ ( M ,  R _S / R ) โดยลำดับที่แน่นอนของ Tor ^R _* : ลำดับที่แน่นอนสั้น ของ โมดูล Rจะให้ลำดับที่แน่นอนและดังนั้นจึงเป็นเคอร์เนลของแผนที่โลคัลไลเซชันของMสัญลักษณ์Torที่ใช้แทนฟังก์ชันสะท้อนความสัมพันธ์นี้กับทอร์ชั่นเชิงพีชคณิต ผลลัพธ์เดียวกันนี้ใช้ได้กับวงแหวนที่ไม่สลับที่เช่นกัน ตราบใดที่เซตSเป็นเซต ตัวส่วนขวา${\displaystyle 0\to R\to R_{S}\to R_{S}/R\to 0}$${\displaystyle 0\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)}$

องค์ประกอบการบิดของวาไรตี้อาเบเลียนเรียกว่าจุดการบิดหรือในศัพท์เก่าเรียกว่าจุดการหารบนเส้นโค้งวงรี จุดเหล่านี้สามารถคำนวณได้ในรูปของพหุนามการหาร

• การบิดเชิงวิเคราะห์
• พลศาสตร์เชิงเลขคณิต
• โมดูลแบน
• ผู้ทำลายล้าง (ทฤษฎีวงแหวน)
• การแปลตำแหน่งของโมดูล
• อันดับของกลุ่มอาเบเลียน
• การบิดตัวของเรย์-ซิงเกอร์
• กลุ่มอาเบเลียนไร้แรงบิด
• ทฤษฎีสัมประสิทธิ์สากล

• เอิร์นส์ คุนซ์, " บทนำสู่พีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ", เบิร์คเฮาเซอร์ 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• เออร์วิง คาปลันสกี , " กลุ่มอาเบเลียนอนันต์ ", มหาวิทยาลัยมิชิแกน, 1954
• Michiel Hazewinkel (2001) [1994], "โมดูลย่อยทอร์ชั่น" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• Lam, Tsit Yuen (2007), แบบฝึกหัดเกี่ยวกับโมดูลและวงแหวน , หนังสือโจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์, นิวยอร์ก: Springer, หน้า xviii+412, doi : 10.1007/978-0-387-48899-8 , ISBN 978-0-387-98850-4, MR  2278849
• โรมัน, สตีเฟน (2008), พีชคณิตเชิงเส้นขั้นสูง , ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา (ฉบับที่สาม), สปริงเกอร์, หน้า 446, ISBN 978-0-387-72828-5.