สี่เหลี่ยมคางหมู(ภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน)สี่เหลี่ยมคางหมู(ภาษาอังกฤษแบบอังกฤษ)
สี่เหลี่ยมคางหมูหรือสี่เหลี่ยมคางหมู
พิมพ์	รูปสี่เหลี่ยม
ขอบและจุดยอด	4
พื้นที่	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h}$
คุณสมบัติ	นูน

ในทางเรขาคณิตรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ( / ˈ t r æ p ə z ɔɪ d / )ในภาษาอังกฤษแบบอเมริกาเหนือหรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ( / t r ə ˈ p iː z i ə m / ) ในภาษาอังกฤษแบบบริติช^{[ 1 ] [ 2 ]}เป็นรูปสี่เหลี่ยม ที่มี ด้าน ขนานกันอย่างน้อยหนึ่งคู่

ด้านขนานเรียกว่าฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู^{[ 3 ]}อีกสองด้านเรียกว่าขา^{[ 3 ]}หรือด้านข้างหากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานการเลือกฐานและขาจะเป็นไปตามอำเภอใจ

โดยทั่วไปแล้ว รูปสี่เหลี่ยมคางหมูถือเป็น รูปสี่เหลี่ยม ด้านนูนในเรขาคณิตแบบยุคลิดแต่ก็มี กรณีที่เป็น รูปสี่เหลี่ยมคางหมูไขว้ ด้วยเช่นกัน หากรูปABCDเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้านนูนแล้ว รูปABDCก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูไขว้ สูตรเมตริกในบทความนี้ใช้ได้กับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้านนูน

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถนิยามได้ทั้งแบบเฉพาะเจาะจงและแบบรวม ภายใต้นิยามแบบเฉพาะเจาะจง รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมที่มี ด้านขนานกัน เพียงคู่เดียว โดยที่อีกคู่หนึ่งที่อยู่ตรงข้ามกันไม่ขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมผืนผ้า และสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงไม่ถือว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู^{[ 4 ] [ 5 ]}ภายใต้นิยามแบบรวม รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่มี ด้านขนานกัน อย่างน้อยหนึ่งคู่^{[ 6 ]}ในแผนการจำแนกประเภทแบบรวม นิยามจะเป็นแบบลำดับชั้น: สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นประเภทหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและประเภทหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นประเภทหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทุกรูปเป็นประเภทหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู^{[ 7 ]}รูปสี่เหลี่ยมคางหมูยังสามารถนิยามได้ว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน นิยามนี้ก็เป็นนิยามแบบเฉพาะเจาะจงเช่นกันและใช้ในElements ของยู คลิด

นักคณิตศาสตร์มืออาชีพและ ตำราเรขาคณิต ระดับอุดมศึกษามักจะนิยมใช้คำจำกัดความและการจำแนกประเภทแบบรวม เพราะจะทำให้ข้อความและการพิสูจน์ทฤษฎีทางเรขาคณิตง่ายขึ้น^{[ 8 ]}ในการศึกษาระดับประถมศึกษาและมัธยมศึกษา คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสี่เหลี่ยมด้านขนานมักจะเป็นแบบรวมเช่นกัน แต่คำจำกัดความแบบไม่รวมของสี่เหลี่ยมคางหมูมักพบได้ทั่วไป^{[ 9 ] [ 10 ]}บทความนี้ใช้คำจำกัดความแบบรวมและถือว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูชนิดพิเศษ ( ดู หมวดการจำแนกประเภทรูปสี่เหลี่ยม )

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน แหล่งข้อมูลบางแห่งใช้คำว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกต้องเพื่ออธิบายรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านขนานกันเพียงคู่เดียว ซึ่งคล้ายคลึงกับการใช้คำว่าถูกต้องในวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ^{[ 11 ] [ 12 ]}

ในเรขาคณิตกรีกโบราณของหนังสือ Elementsของยูคลิด ( ประมาณ 300 ปี ก่อนคริสตกาล) รูปสี่เหลี่ยมถูกจัดประเภทเป็นหมวดหมู่เฉพาะ ได้แก่สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า ( สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ) สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (ที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและไม่ใช่สี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (τραπέζιον, แปลตรงตัวว่า "โต๊ะ") ซึ่งหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่ยังไม่รวมอยู่ในหมวดหมู่ก่อนหน้านี้^{[ 13 ]}

โพ รคลัส นักปรัชญาแนวนีโอเพลโต นิ สต์ (กลางศตวรรษที่ 5 ค.ศ.) ได้เขียนคำอธิบายที่มีอิทธิพลต่อยูคลิดด้วยชุดหมวดหมู่ที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ซึ่งเขาอ้างว่าเป็นผลงานของโพซิโดเนียส ( ประมาณ 100ปีก่อนคริสตกาล) ในแผนผังนี้ รูปสี่เหลี่ยมสามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือรูปที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมด้านขนานได้ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นสามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (ที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและไม่ใช่สี่เหลี่ยมผืนผ้า) รูปที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านขนานกันเพียงคู่เดียว ซึ่งอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (มีด้านเท่ากัน) หรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ไม่เท่า กัน (มีด้านไม่เท่ากัน) หรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (τραπεζοειδή, แปลตรงตัวว่า "เหมือนโต๊ะ") ที่ไม่มีด้านขนานกันเลย^{[ 13 ] [ 14 ]}

ภาษาในยุโรปทั้งหมด ยกเว้นภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน ใช้ความหมายของ รูปสี่เหลี่ยมคางหมูและรูปสี่เหลี่ยมคางหมูตามที่ Proclus กำหนดไว้^{[ 15 ]}อย่างไรก็ตาม ความหมายในภาษาอังกฤษแบบบริติชกลับกันในช่วงศตวรรษที่ 19 ในปี 1795 พจนานุกรมคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลซึ่งตีพิมพ์โดยCharles Huttonได้สลับคำสองคำนี้โดยไม่มีคำอธิบาย ทำให้เกิดความไม่สอดคล้องกันอย่างกว้างขวาง การเปลี่ยนแปลงของ Hutton ถูกยกเลิกในภาษาอังกฤษแบบบริติชประมาณปี 1875 แต่ยังคงใช้ในภาษาอังกฤษแบบอเมริกันมาจนถึงปัจจุบัน^{[ 13 ]}ตำราเรขาคณิตของอเมริกาในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 กำหนดให้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูไม่มีด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยมคางหมูมี ด้านขนาน เพียงคู่เดียว และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านขนานตรงข้ามสองคู่^{[ 3 ] [ 16 ]} เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างความหมายที่ขัดแย้งกันของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ในภาษาอังกฤษแบบบริติชและอเมริกัน บางครั้งรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่มีด้านขนานจึงถูกเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมที่ไม่ปกติ^{[ 17 ]}

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มุมฐานมีขนาดเท่ากัน^{[ 18 ] [ 19 ]}ผลที่ตามมาคือด้านทั้งสองข้างมีความยาวเท่ากันและมีสมมาตรแบบสะท้อน [ ^{20 ] ซึ่ง}เป็นไปได้สำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมุมแหลมหรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉากเช่นเดียวกับสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมคางหมูมุมแหลมคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมแหลมสองมุมที่อยู่ติดกันบนฐานที่ยาวกว่า และรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเป็นตัวอย่างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมุมแหลม รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีกรณีพิเศษที่เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูสามด้าน หมายความว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ด้านทั้งสองข้างมีความยาวเท่ากับฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ด้านบน^{[ 21 ]}รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเป็นรูปทรงนูนของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ตรงข้าม ซึ่ง เป็นรูป สี่เหลี่ยมไขว้ชนิดหนึ่งรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตรงข้ามทุกรูปถูกสร้างขึ้นด้วยรูปสี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าวโดยการแทนที่ด้านขนานสองด้านด้วยเส้นทแยงมุมสองเส้น^{[ 22 ]}

ในทางกลับกัน รูปสี่เหลี่ยมคางหมูมุมป้านจะมีมุมแหลมหนึ่งมุมและมุมป้านหนึ่งมุมบนฐานแต่ละด้าน ตัวอย่างเช่นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมแหลมเท่ากัน^{[ 21 ]}

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉากคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมฉาก สองมุมที่อยู่ติดกัน ^รูปสี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉากแบบพิเศษชนิดหนึ่งคือรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสามรูป [ ^{23 ]} ซึ่ง เจมส์ การ์ฟิลด์ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส^{[ 24 ]}

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีวงกลมแนบใน

ความยาวสี่ด้านa , c , b , dสามารถประกอบเป็นด้านต่อเนื่องของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ โดยที่aและbขนานกันเฉพาะเมื่อ^{[ 25 ]}

${\displaystyle \displaystyle |dc|<|ba|<d+c.}$

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเมื่อแต่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมสัมผัสภายนอก (ซึ่งไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู) เมื่อ^{[ 26 ]}${\displaystyle dc=ba=0}$${\displaystyle |dc|=|ba|\neq 0}$

เมื่อกำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านนูนมาให้ คุณสมบัติต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน และแต่ละคุณสมบัติบ่งชี้ว่ารูปสี่เหลี่ยมนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู:

• มุมนี้มีมุมประชิด สองมุม ที่รวมกันได้ 180 องศากล่าวคือ ผลรวมของมุมทั้งสองเท่ากับ 180 องศา
• มุมระหว่างด้านหนึ่งกับเส้นทแยงมุมจะมีค่าเท่ากับมุมระหว่างด้านตรงข้ามกับเส้นทแยงมุมเดียวกัน
• เส้นทแยงมุมตัดกันในอัตราส่วน เดียวกัน (อัตราส่วนนี้เหมือนกับอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านขนาน)
• เส้นทแยงมุมแบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นสี่สามเหลี่ยมโดยที่สามเหลี่ยมคู่ตรงข้ามคู่หนึ่งมีพื้นที่เท่ากัน^{[ 27 ]}
• ผลคูณของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดจากเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งเท่ากับผลคูณของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดจากเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่ง^{[ 28 ]}
• พื้นที่SและTของสามเหลี่ยมตรงข้ามสองรูปจากสามเหลี่ยมสี่รูปที่เกิดจากเส้นทแยงมุมนั้น สอดคล้องกับสมการ

${\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}$

โดยที่Kคือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม^{[ 29 ]}

• จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและจุดตัดของเส้นทแยงมุมอยู่บนเส้นเดียวกัน^{[ 30 ]}
• มุมในรูปสี่เหลี่ยมABCDเป็นไปตาม^{[ 31 ]}${\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}$
• ผลรวมของค่าโคไซน์ของมุมที่อยู่ติดกันสองมุมเท่ากับ 0 เช่นเดียวกับผลรวมของค่าโคไซน์ของมุมอีกสองมุม^{[ 31 ]}
• ผลรวมของค่าโคแทนเจนต์ของมุมประชิดสองมุมเท่ากับ 0 เช่นเดียวกับผลรวมของค่าโคแทนเจนต์ของมุมประชิดอีกสองมุม^{[ 32 ]}
• เส้นแบ่งครึ่งหนึ่งเส้นแบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน^{[ 32 ]}
• ความยาวของเส้นกึ่งกลางที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามสองด้านจะเท่ากับผลรวมของความยาวของด้านอื่นๆ สองเท่า^{[ 33 ]}

นอกจากนี้ คุณสมบัติต่อไปนี้มีความเทียบเท่ากัน และแต่ละข้อบ่งชี้ว่าด้านตรงข้ามaและbขนานกัน:

• ด้านที่ต่อเนื่องกันa , c , b , dและเส้นทแยงมุมp , qสอดคล้องกับสมการ^{[ 34 ]}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}$

• ระยะทางvระหว่างจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมเป็นไปตามสมการ^{[ 35 ]}

${\displaystyle v={\frac {|ab|}{2}}.}$

เส้นกลางหรือเส้นมัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของขา โดยเส้นนี้จะขนานกับฐาน ความยาวm ของเส้นนี้ จะเท่ากับค่าเฉลี่ยของความยาวของฐานaและbของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู^{[ 36 ] [ 19 ] [ 37 ] [ 6 ]}

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

ส่วนกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือหนึ่งในสองเส้นแบ่งครึ่งด้าน (อีกเส้นแบ่งครึ่งด้านจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นส่วนที่มีพื้นที่เท่ากัน)

ความสูง (หรือระดับความสูง) คือ ระยะ ตั้งฉากระหว่างฐาน^{[ 3 ]}ในกรณีที่ฐานทั้งสองมีความยาวต่างกัน ( a ≠ b ) ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูhสามารถกำหนดได้จากความยาวของด้านทั้งสี่โดยใช้สูตร^{[ 38 ]}

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(p-2a)(p-2b)(p-2b-2d)(p-2b-2c)}}{2|ba|}}}$

โดยที่cและdคือความยาวของขาทั้งสองข้างตามลำดับ ${\displaystyle p=a+b+c+d}$

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหาได้จากผลคูณของเส้นกึ่งกลาง (ค่าเฉลี่ยของฐานทั้งสอง) และความสูง โดยที่และคือความยาวของฐาน และคือความสูง (ระยะตั้งฉากระหว่างด้านทั้งสอง) ^{[ 39 ]}วิธีนี้ถูกใช้ในยุคคลาสสิกของอินเดียในAryabhatiyaของAryabhata (ส่วนที่ 2.8) ซึ่งให้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เป็น กรณีพิเศษโดยพิจารณารูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่เสื่อมสภาพซึ่งด้านขนานด้านหนึ่งหดตัวลงจนเหลือเพียงจุดเดียว ${\displaystyle K}$$${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(a+b)h}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในศตวรรษที่ 7 ชื่อBhāskara Iได้กำหนดสูตรต่อไปนี้สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านต่อเนื่อง, , , : โดยที่และขนานกัน และ[ ^{40 ] สูตร}นี้สามารถแยกตัวประกอบเป็นเวอร์ชันที่สมมาตรมากขึ้นได้^{[ 38 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((ba)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}\right)^{2}}}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b>a}$

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|ba|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd)(ab-c+d)}}.}$

เมื่อด้านขนานด้านใดด้านหนึ่งหดตัวลงจนเหลือเพียงจุดเดียว (เช่นa = 0) สูตรนี้จะลดรูปเหลือเป็นสูตรของเฮรอนสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม

สูตรเทียบเท่าอีกสูตรหนึ่งสำหรับพื้นที่ ซึ่งมีความคล้ายคลึงกับสูตรของ Heron มากกว่า คือ^{[ 38 ]}

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {(sb)(sa)(sbc)(sbd)}}}$

ครึ่งเส้นรอบรูป ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู อยู่ที่ไหน(สูตรนี้คล้ายกับสูตรของพรหมคุปตะแต่แตกต่างกันตรงที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูอาจไม่ใช่รูปวงกลม (ที่บรรจุอยู่ในวงกลม) สูตรนี้ยังเป็นกรณีพิเศษของสูตรของเบรตช์ไนเดอร์สำหรับรูปสี่เหลี่ยม ทั่วไปด้วย ) ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

จากสูตรของเบรตช์ไนเดอร์ สรุปได้ว่า

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {\left(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}\right)\left(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}\right)}{4(ba)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}$

เส้นมัธยฐานที่เชื่อมด้านขนานจะแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน โดยทั่วไปแล้ว เส้นใดๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของเส้นมัธยฐาน ขนานกับฐาน และตัดกับฐาน จะแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน สามเหลี่ยมใดๆ ที่เชื่อมปลายทั้งสองข้างของด้านหนึ่งกับจุดกึ่งกลางของด้านอีกข้างหนึ่ง ก็จะมีพื้นที่ครึ่งหนึ่งของพื้นที่ทั้งหมดเช่นกัน^{[ 41 ]}

ความยาวของเส้นทแยงมุมคือ โดยที่คือฐานสั้นคือฐานยาว และและคือขาของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู^{[ 42 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{ba}}},\\q&={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{ba}}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูถูกแบ่งออกเป็นสี่สามเหลี่ยมโดยเส้นทแยงมุมACและBD (ดังแสดงในภาพด้านขวา) ซึ่งตัดกันที่จุดOพื้นที่ของAODจะเท่ากับพื้นที่ของBOCและผลคูณของพื้นที่ของAODและBOCจะเท่ากับพื้นที่ของAOBและCODอัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกันแต่ละคู่จะเท่ากับอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านขนาน^{[ 38 ]}${\displaystyle \triangle }$${\displaystyle \triangle }$${\displaystyle \triangle }$${\displaystyle \triangle }$${\displaystyle \triangle }$${\displaystyle \triangle }$

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \ell }$คือความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ขนานกับฐาน ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุม โดยมีจุดปลายหนึ่งอยู่บนขาแต่ละข้าง แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \ell }$คือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของความยาวของฐาน: ^{[ 43 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{\ell }}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right).}$

เส้นที่ลากผ่านทั้งจุดตัดของด้านที่ไม่ขนานกันที่ขยายออกและจุดตัดของเส้นทแยงมุม จะแบ่งฐานแต่ละฐานออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน^{[ 44 ]}

จุดศูนย์กลางของพื้นที่ ( จุดศูนย์กลางมวลสำหรับแผ่นบาง สม่ำเสมอ ) อยู่ตามส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านขนาน โดยอยู่ที่ระยะตั้งฉากxจากด้านที่ยาวกว่าbที่กำหนดโดย^{[ 45 ]}

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

จุดศูนย์กลางของพื้นที่แบ่งส่วนนี้ตามอัตราส่วน (เมื่อนำมาจากด้านสั้นไปด้านยาว) ^{[ 46 ] : หน้า 862}

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งมุมของมุมAและBตัดกันที่Pและเส้นแบ่งครึ่งมุมของมุมCและDตัดกันที่Qแล้ว^{[ 44 ]}

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

กฎสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับการอินทิเกรตเชิงตัวเลข

วิหารเดนดูร์ในพิพิธภัณฑ์ศิลปะเมโทรโพลิแทนในนครนิวยอร์ก

ตัวอย่างของส่วนอกรูป สี่เหลี่ยมคางหมู ที่วาดขึ้นบนตัวแมลงปีกแข็งชนิดหนึ่ง

ทางหลวงออนแทรีโอหมายเลข 502

ในแคลคูลัสอินทิกรัลจำกัดของฟังก์ชัน สามารถ ประมาณ ค่าเชิงตัวเลขเป็นผลรวมแบบไม่ต่อเนื่องได้โดยการแบ่งช่วงของการอินทิเกรตออกเป็นช่วงเล็กๆ ที่สม่ำเสมอ และประมาณค่าของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเป็นค่าเฉลี่ยของค่าที่จุดปลาย: โดยที่คือจำนวนช่วง , , และในทางกราฟิก วิธีนี้เทียบเท่ากับการประมาณพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันด้วยชุดของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นวิธีนี้จึงเรียกว่ากฎสี่เหลี่ยมคางหมู^{[ 47 ]}${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x_{k-1})+f(x_{k}){\bigr )}\Delta x,}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{0}=a}$${\displaystyle x_{N}=b}$${\displaystyle \Delta x=(b-a)/N}$

เมื่อมองรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าใดๆ จากมุม มองแบบ เปอร์สเปคทีฟจากตำแหน่งที่อยู่กึ่งกลางแกนหนึ่งแต่ไม่อยู่กึ่งกลางอีกแกนหนึ่ง จะปรากฏเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ซึ่งเรียกว่าปรากฏการณ์คีย์สโตนเนื่องจากหินหลัก ของซุ้ม ประตูมักเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ตัวอย่างเช่น เมื่อ ถ่ายภาพ ด้านหน้า อาคารรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากพื้นดินในตำแหน่งตรงหน้าโดยใช้เลนส์แบบเส้นตรงภาพของอาคารจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ภาพถ่ายดังกล่าวบางครั้งมีการใช้ "การแปลงคีย์สโตน" กับภาพเพื่อคืนค่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโปรเจ็กเตอร์วิดีโอบางครั้งใช้การแปลงคีย์สโตนกับภาพที่บันทึกไว้ก่อนฉาย เพื่อให้ภาพที่ฉายบนจอแบนดูไม่บิดเบี้ยว

ประตูและหน้าต่างรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปแบบมาตรฐานของชาวอินคาแม้ว่าจะพบการใช้งานในวัฒนธรรมก่อนหน้าของภูมิภาคเดียวกันและไม่ได้มาจากพวกเขาโดยตรงก็ตาม^{[ 48 ] [ 49 ]} อัลเมนา ซึ่งเป็นส่วนประกอบของกำแพงป้อมปราการ ที่เป็นเอกลักษณ์ของ สถาปัตยกรรมมัวร์ก็มีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู^{[ 50 ]} การออกแบบใหม่ของจัตุรัสปิอาซซา เดล คัมปิโดกลิโอ โดยไมเคิลแองเจโล (ดูภาพถ่ายด้านขวา) ได้รวมเอาสี่เหลี่ยมคางหมูล้อมรอบวงรี ทำให้เกิดเอฟเฟกต์เหมือนสี่เหลี่ยมล้อมรอบวงกลมเมื่อมองจากระดับพื้นดินแบบย่อส่วน^{[ 51 ]}การถ่ายทำภาพยนตร์ใช้ประโยชน์จากสี่เหลี่ยมคางหมูในทางตรงกันข้าม เพื่อสร้างเอฟเฟกต์การย่อส่วนที่มากเกินไปจากมุมมองของกล้อง ทำให้เกิดภาพลวงตาของความลึกที่มากกว่าในห้องในสตูดิโอภาพยนตร์มากกว่าที่ฉากจริงมีอยู่^{[ 52 ]} สี่เหลี่ยมคางหมูยังถูกใช้เพื่อสร้างความบิดเบี้ยวทางสายตาของศิลปะแบบคาลิการ์อีก ด้วย ^{[ 52 ]}คลองและร่อง ระบายน้ำ มักมีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

ในทางชีววิทยา โดยเฉพาะสัณฐานวิทยาและอนุกรมวิธานคำศัพท์เช่นtrapezoidalหรือtrapeziformมักมีประโยชน์ในการอธิบายอวัยวะหรือรูปร่างเฉพาะ^{[ 53 ]}

บางครั้งรูปสี่เหลี่ยมคางหมูถูกใช้เป็นสัญลักษณ์กราฟิก ในแผนภาพวงจรรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นสัญลักษณ์แทนมัลติเพล็กเซอร์ [ ^{54 ] รูป}สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วถูกใช้เป็นรูปทรงของป้ายจราจร เช่น บนทางหลวงรองในออนแทรีโอประเทศแคนาดา^{[ 55 ]}

ในเรขาคณิตทรงกลมหรือ เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมจะไม่รวมกันได้ 360° แต่รูปสี่เหลี่ยมที่คล้ายกับรูปสี่เหลี่ยมคางหมู รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าก็ยังสามารถกำหนดได้ และนอกจากนี้ยังมีรูปสี่เหลี่ยมชนิดใหม่ๆ อีกเล็กน้อยที่ไม่ได้แยกแยะไว้ในกรณีของเรขาคณิตยุคลิด

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูทรงกลมหรือไฮเปอร์โบลิกเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามสองด้านเรียกว่าด้านประกอบมุมฉาก โดยแต่ละด้านประกอบมุมฉากจะมีผลรวมของมุมประชิดสองมุมเท่ากัน ส่วนอีกสองด้านเรียกว่าด้านฐาน^{[ 56 ]}เช่นเดียวกับในเรขาคณิตแบบยุคลิด กรณีพิเศษได้แก่ รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่มีด้านประกอบมุมฉากเท่ากัน (เช่นเดียวกับมุมประชิดด้านฐานแต่ละด้าน) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมตรงข้ามเท่ากันสองคู่และด้านตรงข้ามเท่ากันสองคู่ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมตรงข้ามเท่ากันสองคู่และด้านเท่ากันสี่ด้าน รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีมุมเท่ากันสี่มุม (ไม่ใช่มุมฉาก) และด้านตรงข้ามเท่ากันสองคู่ และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีมุมเท่ากันสี่มุม (ไม่ใช่มุมฉาก) และด้านเท่ากันสี่ด้าน

เมื่อแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสองส่วนตามเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามสองด้าน ชิ้นส่วนทั้งสองที่ได้จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่มีมุมฉากสองมุม เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี่ (Saccheri quadrilateral ) เมื่อแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสี่ส่วนตามเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามเป็นคู่ๆ ชิ้นส่วนทั้งสี่ที่ได้จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากสามมุม เรียกว่า รูป สี่เหลี่ยมแล มเบิร์ต (Lambert quadrilateral ) ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี่และรูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ตก็คือสี่เหลี่ยมผืนผ้าชนิดหนึ่งนั่นเอง

จำนวนสี่เหลี่ยมคางหมูคือเซตของจำนวนเต็มบวกที่ได้จากการบวกจำนวนเต็มบวกสองจำนวนขึ้นไปที่มากกว่าหนึ่งเข้าด้วยกันอย่างต่อเนื่อง ทำให้เกิดรูปแบบสี่เหลี่ยมคางหมู^{[ 57 ]}

ปัญหาบันไดไขว้คือปัญหาในการหาระยะห่างระหว่างด้านขนานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉาก โดยกำหนดความยาวของเส้นทแยงมุมและระยะห่างจากด้านตั้งฉากไปยังจุดตัดของเส้นทแยงมุม^{[ 58 ]}

• ทรงกรวยตัดยอด (Frustum)คือทรงตันที่มีหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
• ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในรูป #เส้นโค้งที่ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูพิเศษ
• กราฟสี่เหลี่ยมคางหมูคือกราฟแสดงจุดตัดที่มีรูปร่างคล้ายสี่เหลี่ยมคางหมู
• การแจกแจงแบบสี่เหลี่ยมคางหมูคือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง ซึ่งกราฟของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นมีลักษณะคล้ายสี่เหลี่ยมคางหมู
• เกลียวรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปทรงเกลียวสกรูที่มีขอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
• ปีกรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือ รูปทรงปีกของเครื่องบินที่มีขอบตรงและเรียวลง
• รูปทรงลิ่ม (Wedge)คือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยหน้าสามเหลี่ยมสองหน้าและหน้าสี่เหลี่ยมคางหมูสามหน้า

• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2020). ความหลากหลายของรูปสี่เหลี่ยม . สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา. ISBN 978-1-4704-5312-1.
• คอนเวย์, จอห์น เอช.; เบอร์เกียล, ไฮดี; กู๊ดแมน-สเตราส์, ไชอิม (2016). ความสมมาตรของสรรพสิ่ง . สำนักพิมพ์ซีอาร์ซี. ISBN 978-1-4398-6489-0.
• เคิร์ล, เจมส์ สตีเวนส์ (1999). พจนานุกรมสถาปัตยกรรม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 9780198606789.
• Dodge, Clayton W. (2012). เรขาคณิตแบบยุคลิดและการแปลง . สำนักพิมพ์ Dover Books on Mathematics. บริษัท Courier Corporation. ISBN 9780486138428.
• ฮอบส์, ชาร์ลส์ ออสติน (1899). องค์ประกอบของเรขาคณิตระนาบ . สำนักพิมพ์ เอ. โลเวลล์ แอนด์ คอมปานี.
• ฮอปกินส์, จอร์จ เออร์วิง (1891). คู่มือเรขาคณิตระนาบ . ดีซี ฮีธ แอนด์ คอมพานี.
• Josefsson, Martin (2013). "ลักษณะเฉพาะของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู" (PDF) . Forum Geometricorum . 13 : 23– 35. เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 16 มิถุนายน 2013
• Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer (2008). การจำแนกประเภทของรูปสี่เหลี่ยม: การศึกษาเกี่ยวกับคำจำกัดความ . สำนักพิมพ์ Information Age . หน้า  49–52 , 63–67 .
• รามิเรซ, ฮวน อันโตนิโอ (2012). "สถาปัตยกรรมและความปรารถนา: ลักษณะของโครงสร้างภาพยนตร์" สถาปัตยกรรมสำหรับจอภาพยนตร์: การศึกษาเชิงวิพากษ์เกี่ยวกับการออกแบบฉากในยุคทองของฮอลลีวูด แปลโดย มอฟฟิตต์, จอห์น เอฟ. แมคฟาร์แลนด์ISBN 9780786469307.

• Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2016). "คุณสมบัติทั่วไปของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและรูปสี่เหลี่ยมด้านนูน"วารสารวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์: ความก้าวหน้าและการประยุกต์ใช้ 38 : 49– 71. doi : 10.18642 /jmsaa_7100121635 .

ค้นหาคำว่า "trapezoid"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• "สี่เหลี่ยมคางหมู"ในสารานุกรมคณิตศาสตร์
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "สี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉาก" . MathWorld .
• นิยามของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู , พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู , เส้นมัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (พร้อมภาพเคลื่อนไหวแบบโต้ตอบ)
• รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู (อเมริกาเหนือ)ที่ elsy.at: หลักสูตรแอนิเมชั่น (การสร้าง, เส้นรอบวง, พื้นที่)
• กฎสี่เหลี่ยมคางหมูในวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีสาขาวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี วิศวกรรมศาสตร์ และคณิตศาสตร์
• Autar Kaw และ E. Eric Kalu, วิธีการเชิงตัวเลขพร้อมการประยุกต์ใช้ (2008)
• ตัวอย่างการสำรวจรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู (Trapezium)ที่Dynamic Geometry Sketches