ตรีโกณมิติ (จากภาษากรีกโบราณτρίγωνον ( trígōnon ) ' สามเหลี่ยม'และμέτρον ( métron ) ' การวัด' ) ^{[ 1 ]}เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างมุมและความยาวด้านของสามเหลี่ยมโดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันตรีโกณมิติจะเชื่อมโยงมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากกับอัตราส่วนของความยาวด้าน สาขานี้เกิดขึ้นในโลกเฮลเลนิสติกในช่วงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราชจากการประยุกต์ใช้เรขาคณิตในการศึกษาดาราศาสตร์ [ ^{2 ] ชาว}กรีกมุ่งเน้นไปที่การคำนวณคอร์ดในขณะที่นักคณิตศาสตร์ในอินเดียได้สร้างตารางค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติ (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ) เช่นไซน์ ที่รู้จักกัน ใน ยุคแรก ^{[ 3 ]}

ตลอดประวัติศาสตร์ ตรีโกณมิติถูกนำไปประยุกต์ใช้ในด้านต่างๆ เช่น การ ^{สำรวจ}ทางภูมิศาสตร์การสำรวจกลศาสตร์ท้องฟ้าและการนำทาง[ ^{4 ]}

ตรีโกณมิติเป็นที่รู้จักจากเอกลักษณ์ มากมาย เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเหล่านี้ ^{[ 5 ]}มักใช้สำหรับการเขียนนิพจน์ ตรีโกณมิติ ใหม่โดยมีเป้าหมายเพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เพื่อหารูปแบบที่มีประโยชน์มากขึ้นของนิพจน์ หรือเพื่อแก้สมการ^{[ 6 ]}

นักดาราศาสตร์ ชาวสุเมเรียนศึกษาการวัดมุมโดยใช้การแบ่งวงกลมออกเป็น 360 องศา^{[ 8 ]}พวกเขาและชาวบาบิโลน ในภายหลัง ได้ศึกษาอัตราส่วนของด้านของ สามเหลี่ยม ที่คล้ายกันและค้นพบคุณสมบัติบางอย่างของอัตราส่วนเหล่านี้ แต่ไม่ได้เปลี่ยนให้เป็นวิธีการที่เป็นระบบในการหาด้านและมุมของสามเหลี่ยม ชาวนูเบียโบราณใช้วิธีการที่คล้ายกัน^{[ 9 ]}

ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราชนักคณิตศาสตร์ชาวเฮลเลนิสติกเช่นยูคลิดและอาร์คิมิดีส ได้ศึกษาคุณสมบัติของคอร์ดและมุมภายในวงกลม และพวกเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เทียบเท่ากับสูตรตรีโกณมิติสมัยใหม่ แม้ว่าพวกเขาจะนำเสนอในรูปแบบเรขาคณิตมากกว่าพีชคณิตก็ตาม ในปี 140 ก่อนคริสต์ศักราชฮิปปาร์คัส (จากนิเคียเอเชียไมเนอร์) ได้จัดทำตารางคอร์ดเป็นครั้งแรก ซึ่งคล้ายกับตารางค่าไซน์ สมัยใหม่ และใช้ตารางเหล่านี้ในการแก้ปัญหาในตรีโกณมิติและตรีโกณมิติทรงกลม^{[ 10 ]}ในศตวรรษที่ 2 หลังคริสต์ศักราช นักดาราศาสตร์ชาวกรีก-อียิปต์ปโตเลมี (จากอเล็กซานเดรีย อียิปต์) ได้สร้างตารางตรีโกณมิติโดยละเอียด ( ตารางคอร์ดของปโตเลมี ) ในหนังสือเล่มที่ 1 บทที่ 11 ของAlmagest ของ เขา^{[ 11 ]}ปโตเลมีใช้ ความยาว คอร์ดในการกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติของเขา ซึ่งมีความแตกต่างเล็กน้อยจากการ ใช้สัญลักษณ์ ไซน์ที่เราใช้ในปัจจุบัน^{[ 12 ]} (ค่าที่เราเรียกว่า sin(θ) สามารถหาได้โดยการดูความยาวคอร์ดสำหรับสองเท่าของมุมที่สนใจ (2θ) ในตารางของปโตเลมี แล้วหารค่านั้นด้วยสอง) หลายศตวรรษผ่านไปก่อนที่จะมีการสร้างตารางที่มีรายละเอียดมากขึ้น และตำราของปโตเลมียังคงถูกนำมาใช้ในการคำนวณตรีโกณมิติในทางดาราศาสตร์ตลอด 1200 ปีต่อมาในยุคกลางของไบแซนไทน์อิสลามและต่อมาในโลกยุโรปตะวันตก

นิยามสมัยใหม่ของไซน์ได้รับการบันทึกไว้ครั้งแรกในสุริยสิทธันตะและคุณสมบัติของมันได้รับการบันทึกเพิ่มเติมในศตวรรษที่ 5 (ค.ศ.) โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ ชาวอินเดีย อารยภัตตา [ ^{13 ] งาน}เขียนของกรีกและอินเดียเหล่านี้ได้รับการแปลและขยายความโดยนักคณิตศาสตร์อิสลามในยุคกลางในปี ค.ศ. 830 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียฮาบาช อัล-ฮาซิบ อัล-มาร์วาซีได้สร้างตารางโคแทนเจนต์เป็นครั้งแรก^{[ 14 ] [ 15 ]}ในศตวรรษที่ 10 ในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียอะบู อัล-วาฟา อัล-บูซจานี ได้มีการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหก ฟังก์ชัน ^{[ 16 ]}อะบู อัล-วาฟา มีตารางไซน์ในหน่วย 0.25° โดยมีความแม่นยำถึงทศนิยม 8 ตำแหน่ง และตารางค่าแทนเจนต์ที่แม่นยำ^{[ 16 ]}เขายังได้สร้างนวัตกรรมที่สำคัญในตรีโกณมิติทรงกลม อีกด้วย ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}นักปราชญ์ชาวเปอร์เซียนาซีร์ อัล-ดิน อัล-ตูซีได้รับการกล่าวขานว่าเป็นผู้สร้างตรีโกณมิติในฐานะสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เป็นอิสระ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}เขาเป็นคนแรกที่ถือว่าตรีโกณมิติเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เป็นอิสระจากดาราศาสตร์ และเขาได้พัฒนาตรีโกณมิติทรงกลมให้เป็นรูปแบบปัจจุบัน^{[ 15 ]}เขาได้ระบุกรณีที่แตกต่างกันหกกรณีของสามเหลี่ยมมุมฉากในตรีโกณมิติทรงกลม และในหนังสือOn the Sector Figure ของเขา เขาได้กล่าวถึงกฎของไซน์สำหรับสามเหลี่ยมระนาบและสามเหลี่ยมทรงกลม ค้นพบกฎของแทนเจนต์สำหรับสามเหลี่ยมทรงกลม และได้ให้การพิสูจน์สำหรับกฎทั้งสองนี้^{[ 23 ]}ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันและวิธีการตรีโกณมิติแพร่มาถึงยุโรปตะวันตกผ่านการแปลภาษาละติน ของ Almagestของปโตเลมี จากภาษากรีก รวมถึงผลงานของนักดาราศาสตร์ชาวเปอร์เซียและอาหรับเช่นอัล บัตตานีและนาซีร์ อัล-ดิน อัล-ตูซี [ ^{24 ] หนึ่ง}ในผลงานแรกๆ เกี่ยวกับตรีโกณมิติโดยนักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปเหนือคือDe Triangulis โดย เรจิโอโมทานัสนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 15 ซึ่งได้รับการสนับสนุนให้เขียน และได้รับสำเนาของAlmagestจากนักวิชาการชาวกรีกไบแซนไทน์ พระคาร์ดินัลบาซิลิออส เบสซาริออนซึ่งเขาอาศัยอยู่ด้วยเป็นเวลาหลายปี^{[ 25 ]}ในเวลาเดียวกัน การแปล Almagest จากภาษากรีกเป็นภาษาละตินอีกฉบับหนึ่งก็เสร็จสมบูรณ์โดยจอร์จแห่งเทรบิซอนด์ชาวครีต [ ^{​​26 ] ตรีโกณมิติ}ยังไม่เป็นที่รู้จักมากนักในยุโรปเหนือในศตวรรษที่ 16 นิโคลาอุส โคเปอร์นิคัสจึงอุทิศสองบทในDe revolutionibus orbium coelestiumเพื่ออธิบายแนวคิดพื้นฐานของมัน

ด้วยแรงผลักดันจากความต้องการในการนำทางและความต้องการแผนที่ที่แม่นยำของพื้นที่ทางภูมิศาสตร์ขนาดใหญ่ที่เพิ่มมากขึ้น ตรีโกณมิติจึงกลายเป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์^{[ 27 ]}บาร์โธโลเมอุส พิทิสคัสเป็นคนแรกที่ใช้คำนี้ โดยตีพิมพ์Trigonometria ของเขา ในปี 1595 ^{[ 28 ]}เจมมา ฟริเซียสอธิบายวิธีการสามเหลี่ยม เป็นครั้งแรก ซึ่งยังคงใช้กันอยู่ในปัจจุบันในการสำรวจเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ เป็น ผู้ที่รวมจำนวนเชิงซ้อนเข้ากับตรีโกณมิติอย่างสมบูรณ์ ผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต เจมส์ เกรกอรีในศตวรรษที่ 17 และโคลิน แมคลาอรินในศตวรรษที่ 18 มีอิทธิพลต่อการพัฒนาอนุกรมตรีโกณมิติ^{[ 29 ]}นอกจากนี้ ในศตวรรษที่ 18 บรูค เทย์เลอร์ได้ กำหนด อนุกรมเทย์เลอร์ทั่วไป^{[ 30 ]}

อัตราส่วนตรีโกณมิติคืออัตราส่วนระหว่างขอบของสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนเหล่านี้ขึ้นอยู่กับมุมแหลมมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น เนื่องจากสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปใดๆ ที่มีมุมแหลมมุมเดียวกันจะคล้ายกัน^{[ 31 ]}

ดังนั้น อัตราส่วนเหล่านี้จึงกำหนดฟังก์ชันของมุมนี้ ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยจะนิยามไว้อย่างชัดเจนด้านล่างว่าเป็นฟังก์ชันของมุมA ที่ทราบค่า โดยที่a , bและhหมายถึงความยาวของด้านในรูปประกอบ

ในคำจำกัดความต่อไปนี้ ด้านตรงข้าม มุมฉากคือ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม 90 องศาในสามเหลี่ยมมุมฉาก เป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมและเป็นหนึ่งในสองด้านที่อยู่ติดกับมุมAด้านประชิดคือ ด้านอีกด้านที่อยู่ติดกับมุมAด้านตรงข้ามคือ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมA บางครั้งอาจใช้ คำว่า ด้านตั้งฉากและด้านฐานสำหรับด้านตรงข้ามและด้านประชิดตามลำดับ ดูด้านล่างในหัวข้อเทคนิคช่วยจำ

• ไซน์ (เขียนแทนด้วย sin) คือ อัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {ด้านตรงข้าม}}{\textrm {ด้านตรงข้ามมุมฉาก}}}={\frac {a}{h}}.}$

• โคไซน์ (เขียนแทนด้วย cos) คือ อัตราส่วนของด้านประชิด (ด้านของสามเหลี่ยมที่เชื่อมมุมฉากกับมุมฉาก) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}.}$

• ค่าแทนเจนต์ (แทนด้วย tan) นิยามว่าคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามต่อด้านที่อยู่ติดกัน

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {ตรงข้าม}}{\textrm {ติดกัน}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}$

ส่วนกลับของอัตราส่วนเหล่านี้เรียกว่าโคเซแคนต์ (csc), เซแคนต์ (sec) และโคแทนเจนต์ (cot) ตามลำดับ:

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {h}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

โคไซน์ โคแทนเจนต์ และโคเซแคนต์ ได้รับการตั้งชื่อเช่นนั้นเนื่องจากเป็นไซน์ แทนเจนต์ และเซแคนต์ ตามลำดับของมุมเสริมซึ่งย่อเป็น "โค-" ^{[ 32 ]}

ด้วยฟังก์ชันเหล่านี้ เราสามารถตอบคำถามเกือบทั้งหมดเกี่ยวกับสามเหลี่ยมใดๆ ได้โดยใช้กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ [ ^{33 ] กฎ}เหล่านี้สามารถใช้คำนวณมุมและด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมใดๆ ได้ตราบใดที่ทราบด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง หรือมุมสองมุมและด้านหนึ่งหรือสามด้าน

การใช้ตัวช่วยจำ ทั่วไป คือการจดจำข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ในตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่นอัตราส่วนไซน์โคไซน์และแทนเจนต์ ในสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถจดจำได้โดยการแสดง อัตราส่วนเหล่านั้นและด้านที่สอดคล้องกันเป็นสตริงของตัวอักษร ตัวอย่างเช่น ตัวช่วยจำคือ SOH-CAH-TOA: ^{[ 34 ]}

ไซน์ = ด้านตรงข้าม ÷ ด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ = ด้านประชิด ÷ ด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ = ตรงข้าม ÷ ติดกัน

วิธีหนึ่งในการจำตัวอักษรคือการออกเสียงตามหลักสัทศาสตร์ (เช่น/ ˌ s oʊ k ə ˈ t oʊ ə / SOH -kə- TOH -əคล้ายกับKrakatoa ) [ ^{35 ] อีก} วิธีหนึ่งคือการ ขยายตัวอักษรเป็นประโยคเช่น " Some Old Hippie Catch A another Hippie Trippin ' On A cid " ^{[ 36 ]}

อัตราส่วนตรีโกณมิติยังสามารถแสดงได้โดยใช้วงกลมหน่วยซึ่งเป็นวงกลมรัศมี 1 ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดในระนาบ^{[ 37 ]}ในการตั้งค่านี้ด้านปลายของมุมAที่วางอยู่ในตำแหน่งมาตรฐานจะตัดกับวงกลมหน่วยที่จุด (x,y) โดยที่และ^[ 37 ^]การแสดงแบบนี้ช่วยให้สามารถคำนวณค่าตรีโกณมิติที่พบได้ทั่วไป เช่น ค่าในตารางต่อไปนี้^{: [ 38 ]}${\displaystyle x=\cos A}$${\displaystyle y=\sin A}$

อินพุต (เรเดียน)	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$	${\displaystyle 2\pi /3}$	${\displaystyle 3\pi /4}$	${\displaystyle 5\pi /6}$	${\displaystyle \pi }$
อินพุต (องศา)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
ไซน์	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$
โคไซน์	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle -1}$
เส้นสัมผัส	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	ไม่ได้กำหนด	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$
เส้นตัด	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	ไม่ได้กำหนด	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$
โคเซแคนท์	ไม่ได้กำหนด	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	ไม่ได้กำหนด
โคแทนเจนต์	ไม่ได้กำหนด	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	ไม่ได้กำหนด

การใช้วงกลมหน่วยทำให้สามารถขยายคำจำกัดความของอัตราส่วนตรีโกณมิติไปยังอาร์กิวเมนต์บวกและลบทั้งหมดได้^{[ 39 ]} (ดูฟังก์ชันตรีโกณมิติ )

ตารางต่อไปนี้สรุปคุณสมบัติของกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักทั้งหก: ^{[ 40 ] [ 41 ]}

การทำงาน	ระยะเวลา	โดเมน	พิสัย	กราฟ
ไซน์	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
โคไซน์	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
เส้นสัมผัส	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
เส้นตัด	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
โคเซแคนท์	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
โคแทนเจนต์	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักทั้งหกเป็นฟังก์ชันคาบ จึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (หรือ 1 ต่อ 1) และดังนั้นจึงไม่สามารถหาฟังก์ชันผกผันได้ อย่างไรก็ตาม การจำกัดโดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะทำให้ฟังก์ชันเหล่านั้นสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้^{[ 42 ] : 48ff}

ชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน พร้อมด้วยโดเมนและเรนจ์ สามารถพบได้ในตารางต่อไปนี้: ^{[ 42 ] : 48ff [ 43 ] : 521ff}

เมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริง อัตราส่วนตรีโกณมิติสามารถแสดงได้ด้วยอนุกรม Maclaurinตัวอย่างเช่น ไซน์และโคไซน์มีการแสดงดังต่อไปนี้^{[ 44 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}$

^{ด้วยคำ จำกัดความ}เหล่านี้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถกำหนดได้สำหรับจำนวนเชิงซ้อน [ ^{45 ]}เมื่อขยายเป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริงหรือเชิงซ้อนสูตร ต่อไปนี้ ใช้ได้กับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน:

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนนี้ ซึ่งเขียนในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติ มีประโยชน์อย่างยิ่ง^{[ 46 ] [ 47 ]}

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นหนึ่งในการใช้งานแรกๆ ของตารางทางคณิตศาสตร์ [ ^{48 ] ตาราง}ดังกล่าวถูกรวมไว้ในตำราเรียนคณิตศาสตร์ และนักเรียนได้รับการสอนให้ค้นหาค่าและวิธีการประมาณ ค่า ระหว่างค่าที่ระบุไว้เพื่อให้ได้ความแม่นยำที่สูงขึ้น^{[ 49 ]}ไม้บรรทัดคำนวณมีมาตราส่วนพิเศษสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ^{[ 50 ]}

เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์มีปุ่มสำหรับคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติหลัก (sin, cos, tan และบางครั้งก็cisและฟังก์ชันผกผัน) ^{[ 51 ]}ส่วนใหญ่สามารถเลือกวิธีการวัดมุมได้หลายวิธี ได้แก่องศาเรเดียน และบางครั้งก็เกรเดียน ภาษาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่มีไลบรารีฟังก์ชันที่รวมฟังก์ชันตรีโกณมิติไว้ด้วย^{[ 52 ]}ฮาร์ดแวร์หน่วยประมวลผลจุดลอยตัวที่รวมอยู่ในชิปไมโครโปรเซสเซอร์ที่ใช้ในคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลส่วนใหญ่มีคำสั่งในตัวสำหรับการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติ^{[ 53 ]}

นอกจากอัตราส่วนทั้งหกที่กล่าวถึงไปก่อนหน้านี้แล้ว ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพิ่มเติมอีกหลายฟังก์ชันที่มีความสำคัญในเชิงประวัติศาสตร์ แม้ว่าจะไม่ค่อยได้ใช้ในปัจจุบันแล้วก็ตาม ฟังก์ชันเหล่านี้ได้แก่คอร์ด ( crd θ = 2 sin ⁠)θ/2⁠ ) ​​เวอร์ซีน (ข้อθ = 1 − cos θ = 2 sin ² ⁠θ/2) (ซึ่งปรากฏในตารางแรกสุด ^{[ 54 ]} )คัฟเวอร์ไซน์ (คัฟเวอร์θ = 1 − sin θ = เวอร์ส⁠π/2⁠ − θ ), ค่าฮาเวอร์ไซน์ ( hav θ = ⁠1/2⁠ vers θ = sin ² ⁠θ/2) , ^{[ 55 ]}ตัวแยก ( exsec θ = sec θ − 1 ) ดูรายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติสำหรับความสัมพันธ์เพิ่มเติมระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้

เป็นเวลาหลายศตวรรษที่ตรีโกณมิติเชิงทรงกลมถูกใช้เพื่อระบุตำแหน่งของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดาวฤกษ์^{[ 56 ]}ทำนายการเกิดสุริยุปราคา และอธิบายวงโคจรของดาวเคราะห์^{[ 57 ]}

ในยุคปัจจุบัน เทคนิคการหาตำแหน่ง โดยใช้สามเหลี่ยม ถูกนำมาใช้ในทางดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางไปยังดาวฤกษ์ที่อยู่ใกล้เคียง^{[ 58 ]}รวมถึงในระบบนำทางด้วยดาวเทียม^{[ 19 ]}

ในอดีต ตรีโกณมิติถูกใช้เพื่อระบุตำแหน่งละติจูดและลองจิจูดของเรือใบ วางแผนเส้นทาง และคำนวณระยะทางระหว่างการเดินเรือ^{[ 59 ]}

ตรีโกณมิติยังคงใช้ในการนำทางผ่านวิธีการต่างๆ เช่น ระบบ ^ระบุตำแหน่งทั่วโลกและปัญญาประดิษฐ์สำหรับยานพาหนะอัตโนมัติ [ ^{60 ]}

ในการสำรวจ ที่ดิน ตรีโกณมิติใช้ในการคำนวณความยาว พื้นที่ และมุมสัมพัทธ์ระหว่างวัตถุ^{[ 61 ]}

ในระดับที่ใหญ่ขึ้น ตรีโกณมิติถูกนำมาใช้ในทางภูมิศาสตร์เพื่อวัดระยะทางระหว่างจุดสังเกต^{[ 62 ]}

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์เป็นพื้นฐานสำหรับทฤษฎีของฟังก์ชันคาบ [ ^{63 ] เช่น}ฟังก์ชันที่อธิบายคลื่นเสียงและคลื่นแสงฟูริเยร์ ค้นพบว่า ฟังก์ชันคาบต่อเนื่องทุก ฟังก์ชัน สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลรวมอนันต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แม้แต่ฟังก์ชันที่ไม่เป็นคาบก็สามารถแสดงเป็นอินทิกรัลของไซน์และโคไซน์ผ่านการแปลงฟูริเยร์ได้ สิ่งนี้มีการประยุกต์ใช้กับกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 64 ]}และการสื่อสาร^{[ 65 ]}รวมถึงสาขาอื่นๆ

ตรีโกณมิติมีประโยชน์ในวิทยาศาสตร์กายภาพ หลาย ^{สาขา [ 66 ] รวมถึงด้านเสียง [} 67 ^{] และ}ด้านทัศนศาสตร์[ ^{67 ] ใน}พื้นที่เหล่านี้^{ตรีโกณมิติใช้เพื่อ}อธิบายคลื่นเสียงและคลื่นแสงและเพื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตและการส่งผ่าน^{[ 68 ]}

สาขาอื่นๆ ที่ใช้ตรีโกณมิติหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่^{ทฤษฎี}ดนตรี[ 69 ^{]ภูมิศาสตร์การ}สังเคราะห์เสียง^{[ 70 ] สถาปัตยกรรม [ 71 ] อิเล็กทรอนิกส์ [ 69 ] ชีววิทยา [ 72} ]การ^{ถ่ายภาพ}ทางการ^{แพทย์ (}การสแกน^CTและ^{อัลตรา}ซา^{วนด์)} [ 73 ]เคมี[ 74 ^{]ทฤษฎีจำนวน} (และ^{ด้วยเหตุ}นี้จึงรวมถึง^{วิทยาการเข้ารหัส}ลับ ) ^{[ 75 ]}แผ่นดินไหววิทยา [ 67 ^{] อุตุนิยมวิทยา} [ ^{76 ] สมุทรศาสตร์} [ ^{77 ] การ}บีบอัดภาพ^{[ 78 ]}สัทศาสตร์^{[ 79 ]}เศรษฐศาสตร์^[ 80 ^]วิศวกรรมไฟฟ้าวิศวกรรมเครื่องกลวิศวกรรมโยธา^[ 69 ^]กราฟิกคอมพิวเตอร์^{[ 81 ]}การทำ^{แผนที่[ 69 ]}ผลึก^{ศาสตร์[ 82 ]}และการ^{พัฒนา}เกม^{[ 81 ]}

ตรีโกณมิติได้รับการกล่าวถึงว่ามีเอกลักษณ์มากมาย กล่าวคือสมการที่เป็นจริงสำหรับอินพุตที่เป็นไปได้ทั้งหมด^{[ 83 ]}

เอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับมุมเท่านั้นเรียกว่าเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ สมการอื่นๆ ที่เรียกว่า^{เอกลักษณ์}สามเหลี่ยม [ ^{84 ]}เชื่อมโยงทั้งด้านและมุมของสามเหลี่ยมที่กำหนด

ในเอกลักษณ์ต่อไปนี้A , BและCคือมุมของสามเหลี่ยม และa , bและcคือความยาวด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยมกับมุมนั้นๆ (ดังแสดงในแผนภาพ)

กฎของไซน์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อ "กฎไซน์") สำหรับสามเหลี่ยมใดๆ ระบุว่า: ^{[ 85 ]}

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}$

โดยที่คือพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม และRคือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+bc)(b+ca)}}}.}$

กฎของโคไซน์ (ที่รู้จักกันในชื่อสูตรโคไซน์ หรือ "กฎโคไซน์") เป็นการขยายทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปยังสามเหลี่ยมใดๆ: ^{[ 85 ]}

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$

หรือเทียบเท่า:

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

กฎของแทนเจนต์ซึ่งพัฒนาโดยFrançois Vièteเป็นทางเลือกแทนกฎของโคไซน์เมื่อแก้ปัญหาสำหรับขอบที่ไม่ทราบค่าของสามเหลี่ยม โดยให้การคำนวณที่ง่ายกว่าเมื่อใช้ตารางตรีโกณมิติ^{[ 86 ]}โดยกำหนดดังนี้:

${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(AB)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

เมื่อกำหนดด้านสองด้านคือaและbและมุมระหว่างด้านคือCพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวด้านสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างด้านสองด้าน: ^{[ 85 ]}

${\displaystyle {\mbox{พื้นที่}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C}$

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทพีทาโกเรียนและใช้ได้กับค่าใดๆ: ^{[ 87 ]}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

${\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }$

สมการที่สองและสามได้มาจากการหารสมการแรกด้วยและตามลำดับ ${\displaystyle \cos ^{2}{A}}$${\displaystyle \sin ^{2}{A}}$

สูตรของออยเลอร์ซึ่งระบุว่า ก่อให้เกิดเอกลักษณ์ เชิงวิเคราะห์ต่อไปนี้สำหรับไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ในรูปของeและหน่วยจินตนาการi : ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติอื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไป ได้แก่ เอกลักษณ์ครึ่งมุม เอกลักษณ์ผลรวมและผลต่างของมุม และเอกลักษณ์ผลคูณเป็นผลรวม^{[ 31 ]}