คลายปม
ชื่อสามัญ	วงกลม
ตัวแปรอาร์ฟ	0
ถักเปียเบอร์	1
สะพานหมายเลข	0
ทางแยกหมายเลข	0
ประเภท	0
หมายเลขลิงก์	0
แท่งที่ 1	3
อุโมงค์หมายเลข	0
แก้ปมหมายเลข	0
สัญกรณ์คอนเวย์	-
สัญกรณ์ A–B	0
สัญกรณ์ดาวเกอร์	-
ต่อไป	3
อื่น
ทอรัส , มีเส้นใย , หลัก , ชิ้น , แอมฟิไครัลอย่างสมบูรณ์

ในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของปม ปมที่ไม่มีปมหรือปมที่ไม่สำคัญคือปมที่น้อยที่สุดในบรรดาปมทั้งหมด^{[ 1 ]} ตามสัญชาตญาณ ป มที่ไม่มีปมคือห่วงเชือกปิดที่ไม่มีปมผูกติดอยู่ สำหรับนักทฤษฎีปม ปมที่ไม่มีปมคือวงกลมเชิงทอ พอโลยี ที่ฝังอยู่ ใน ทรง กลม 3 มิติ ใดๆ ที่มีไอโซโทปิกโดยรอบ (นั่นคือ สามารถเปลี่ยนรูปได้) กับ วงกลม ทางเรขาคณิต ที่เป็นทรงกลม ซึ่งก็คือ ปม ที่ไม่มีปมมาตรฐาน

ปมที่ไม่ผูกปม (unknot) เป็นปมเดียวที่เป็นขอบเขตของวงกลม ที่ฝังตัวอยู่ ซึ่งทำให้ได้ลักษณะเฉพาะที่ว่ามีเพียงปมที่ไม่ผูกปมเท่านั้นที่มีจีนัสของไซเฟิร์ต (Seifert genus ) เป็น 0 ในทำนองเดียวกัน ปมที่ไม่ผูกปมเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ (identity element)เมื่อเทียบกับ การดำเนินการผล รวมของปม (knot sum operation)

วงปิดในสามมิติที่ไม่มีปม (unknot) สามารถยืดออกเป็นวงกลมได้โดยหลักการแล้วโดยไม่มีส่วนใดของวงผ่านส่วนอื่น แผนภาพของวงปิดที่ไม่มีปมคือการฉายภาพรูปทรงสามมิติลงบนสองมิติ ซึ่งวงอาจปรากฏว่าตัดกันเอง ณ จุดตัดแต่ละจุดที่ส่วนโค้งสองส่วนตัดกัน แผนภาพจะแสดงให้เห็นว่าส่วนใดของเส้นโค้งผ่านเหนือหรือใต้ส่วนอื่น เพื่อแสดงให้เห็นว่าแผนภาพใดเป็นวงปิดที่ไม่มีปม จะต้องใช้ลำดับการเคลื่อนไหวของ Reidemeisterกับแผนภาพเพื่อกำจัดจุดตัดทั้งหมดจนกว่าแผนภาพจะเป็นวงกลม ซึ่งเรียกว่าการทำให้แผนภาพง่ายขึ้น โดยทั่วไปแล้วจะเกี่ยวข้องกับการให้ส่วนต่างๆ ของแผนภาพผ่านกัน (Reidemeister ประเภท II และ III) หรือการคลายเกลียววง (ประเภท I) แม้ว่าแผนภาพแต่ละภาพอาจง่ายขึ้นได้ด้วยการเคลื่อนไหวของ Reidemeister เพียงไม่กี่ครั้ง แต่ก็ยากมากที่จะทราบว่าต้องใช้การเคลื่อนไหวจำนวนเท่าใดสำหรับแผนภาพใดๆ ก็ตาม

การตัดสินใจว่าปมใดเป็นปมที่ไม่ต้องการนั้นเป็นแรงผลักดันสำคัญเบื้องหลังแนวคิดเรื่องตัวแปรคงที่ของปมเนื่องจากเชื่อว่าแนวทางนี้อาจให้ขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพในการระบุปมที่ไม่ต้องการจากรูปแบบการนำเสนอ เช่นแผนภาพปมการระบุปมที่ไม่ต้องการนั้นเป็นที่ทราบกันดีว่าอยู่ในกลุ่มปัญหา NPและco- NP

เป็นที่ทราบกันว่าFloer homologyและKhovanov homologyสามารถตรวจจับปมที่ไม่คลายได้ แต่ยังไม่ทราบว่าสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพเพื่อจุดประสงค์นี้หรือไม่ นอกจากนี้ยังไม่ทราบว่า Jones polynomial หรือinvariants ประเภทจำกัดสามารถตรวจจับปมที่ไม่คลายได้หรือไม่

การแก้ปมเชือกอาจเป็นเรื่องยาก แม้ว่าตอนแรกมันจะคลายปมอยู่แล้วก็ตาม ซึ่งแสดงให้เห็นว่างานนี้เป็นไปได้ Thistlewaite และ Ochiai ได้ยกตัวอย่างแผนภาพของปมที่แก้ไม่ได้หลายแบบ ซึ่งไม่มีวิธีใดที่จะทำให้ง่ายขึ้นได้อย่างชัดเจน จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนจุดตัด ในแผนภาพชั่วคราว กรณีเช่นนี้เรียกว่าปมที่แก้ไม่ได้แบบยาก (hard unknots )

• 
  ทิสเซิลเวท อังค์น็อต
• 
  หนึ่งในปมที่คลายออกของโอจิไอ

แม้ว่าโดยทั่วไปเชือกจะไม่ได้อยู่ในรูปของห่วงปิด แต่บางครั้งก็มีวิธีมาตรฐานในการจินตนาการว่าปลายทั้งสองข้างเชื่อมต่อกัน จากมุมมองนี้ ปมที่ใช้งานได้จริงหลายอย่างก็คือปมที่ไม่มีห่วง รวมถึงปมที่สามารถผูกเป็นห่วงได้^{[ 2 ]}

ปมที่เชื่องทุก ปม สามารถแสดงได้ในรูปของกลไกเชื่อมโยงซึ่งเป็นชุดของส่วนของเส้นตรงแข็งที่เชื่อมต่อกันด้วยข้อต่อสากลที่จุดปลายจำนวนแท่งคือจำนวนส่วนขั้นต่ำที่จำเป็นในการแสดงปมในรูปของกลไกเชื่อมโยง และปมที่ติดคือกลไกเชื่อมโยงที่ไม่มีปมซึ่งไม่สามารถปรับเปลี่ยนให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนแบนได้^{[ 3 ]}เช่นเดียวกับจำนวนจุดตัด กลไกเชื่อมโยงอาจต้องทำให้ซับซ้อนมากขึ้นโดยการแบ่งส่วนย่อยก่อนที่จะสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้

แผนภาพ ปมที่แก้ยาก (Hard unknot diagram ) คือแผนภาพของปมที่แก้ยากซึ่งการพิสูจน์ว่าปมนั้นแก้ยาก โดยทั่วไปแล้ว แผนภาพปมที่แก้ยากจะมีจุดตัดอย่างน้อยสิบจุด และความยากลำบากนี้เกิดขึ้นจากทั้งการรับรู้ของมนุษย์เกี่ยวกับปมและจากจำนวนการเคลื่อนไหวของ Reidemeisterที่จำเป็นในการลดแผนภาพให้เหลือเพียงรูปวงกลม โดยทั่วไปแล้ว แผนภาพปมที่แก้ยากจะต้องมีการเพิ่มจุดตัดเพิ่มเติมก่อนที่จำนวนจุดตัดจะลดลงเหลือศูนย์ แผนภาพเหล่านี้มีความสำคัญต่อสาขาทฤษฎีปมเพราะสามารถใช้เป็นกรณีศึกษาเพื่อทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับอัลกอริทึมการแก้ปมได้^{[ 4 ]}

ตัวอย่าง

ตัวอย่างแรกๆ ของแผนภาพปมที่แก้ยากถูกสร้างขึ้นโดยLebrecht Goeritzในปี 1934 แผนภาพที่รู้จักกันในชื่อปม Goeritz มีจุดตัด 11 จุด แต่ต้องสร้างจุดตัดเพิ่มเติมเพื่อทำให้ง่ายขึ้น^{[ 5 ]}แผนภาพแรกๆ อีกอันหนึ่งที่รู้จักกันในชื่อ "the Culprit" ถูกสร้างขึ้นโดยKen Millettในปี 1988 ^{[ 6 ]}มันมีจุดตัด 10 จุด ต้องเพิ่มจุดตัดอย่างน้อยสองจุด ทำให้แผนภาพมีจุดตัดอย่างน้อย 12 จุด ก่อนที่จะสามารถแก้ปมได้โดยใช้การเคลื่อนไหว Reidemeister แบบระนาบ (อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าต้องเพิ่มจุดตัดใหม่เพียงจุดเดียวเมื่อทำงานกับการเคลื่อนไหว Reidemeister แบบทรงกลม) มีตัวอย่างอื่นๆ อีกมากมาย เช่น "the Monster" ที่สร้างโดย Rob Scharein ซึ่งใช้เอนจิ้นฟิสิกส์เพื่อแสดงให้เห็นว่าปมที่แก้ยากสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้^{[ 7 ]}การศึกษาเชิงคำนวณในปี 2025 พบกรณีของไดอะแกรมที่แก้ปมยากจำนวน 2.6 ล้านกรณีที่ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ด้วยอัลกอริทึมที่มีอยู่ แต่ถูกกำหนดให้แก้ปมได้โดยการคำนวณค่าคงที่ของปม^{[ 8 ]}

พหุนาม อเล็กซานเดอร์-คอนเวย์และพหุนามโจนส์ของปมที่ไม่มีปมนั้นเป็นพหุนามที่ไม่สำคัญ:

${\displaystyle \Delta (t)=1,\quad \nabla (z)=1,\quad V(q)=1.}$

ไม่มีปมอื่นใดที่มี จุดตัด 10 จุดหรือน้อยกว่านั้นที่มีพหุนามอเล็กซานเดอร์แบบธรรมดา แต่ปมคิโนชิตะ-เทราซากะและปมคอนเวย์ (ซึ่งทั้งสองมีจุดตัด 11 จุด) มีพหุนามอเล็กซานเดอร์และคอนเวย์เหมือนกับปมที่ไม่มีจุดตัด ส่วนปมที่ไม่ใช่ปมธรรมดาจะมีพหุนามโจนส์เหมือนกับปมที่ไม่มีจุดตัดหรือไม่นั้น ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่มีคำตอบ

ปมที่ไม่ถูกผูกมัด (unknot) เป็นป มเพียงปมเดียวที่กลุ่มปม ของมัน เป็นกลุ่มวัฏจักร อนันต์ และส่วนเติมเต็มปม ของมัน เป็นโฮโมมอร์ฟิกกับทอรัสแข็ง

หากแผนภาพวางอยู่บนพื้นผิวของทรงกลมแทนที่จะเป็นระนาบ การคลายปมอาจง่ายขึ้น เนื่องจากส่วนหนึ่งของแผนภาพอาจ (เช่น) เลื่อนผ่านขั้วโลกเหนือ ผ่านเส้นศูนย์สูตร และถูกนำขึ้นมาจากขั้วโลกใต้ ในกรณีของปมคลายปม Goeritz และ Culprit จะต้องมีการข้ามเพิ่มเติมเพียงหนึ่งครั้ง (แทนที่จะเป็นสองครั้ง) บนทรงกลม และ Monster ไม่จำเป็นต้องมีการข้ามเพิ่มเติมอีกต่อไป ในปี 2021 ได้มีการแสดงให้เห็นว่าไม่มีตัวอย่างปมคลายปมที่ยากที่ตีพิมพ์ก่อนหน้านี้ที่ต้องการการข้ามเพิ่มเติมมากกว่าหนึ่งครั้งบนทรงกลม^{[ 9 ]}มีการใช้วิธีการคำนวณเพื่อสร้างแผนภาพปมคลายปมที่ยากใหม่ซึ่งต้องการการข้ามเพิ่มเติมอย่างน้อยสามครั้ง บนทรงกลมหรือระนาบ ซึ่งปัจจุบันเป็นปมคลายปมที่ยากที่สุดที่รู้จัก

• ปม (คณิตศาสตร์) – การดำเนินการที่รวมปมสองปมที่มีทิศทางเข้าด้วยกัน 
• จำนวนครั้งในการคลายปม– จำนวนครั้งขั้นต่ำที่ต้องคลายปมนั้นๆ ด้วยตัวเองจึงจะคลายออกได้ 
• ลิงก์ ที่ไม่เชื่อมโยง– ลิงก์ที่ประกอบด้วยปมที่ไม่เชื่อมโยงกันจำนวนจำกัด 

• " แก้ปม" จากหนังสือ The Knot Atlasเข้าถึงเมื่อ: 7 พฤษภาคม 2013 
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "แก้ปม" . แมธเวิลด์ .