ระบบตัวเลขฐานสาม( เรียกอีกอย่างว่าฐาน 3หรือไตรนารี[ ^{1 ] )}มีเลขสามเป็นฐาน

แม้ว่า โดยทั่วไปแล้ว คำ ว่า "ternary"หมายถึงระบบที่ตัวเลขทั้งสามหลักเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ (โดยเฉพาะ 0, 1 และ 2) แต่คำคุณศัพท์นี้ก็ยังใช้เรียกชื่อ ระบบ เลขฐานสามแบบสมดุล (balanced ternary system) ซึ่งประกอบด้วยตัวเลข −1, 0 และ +1 ระบบเลขฐานสามแบบสมดุลนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในตรรกะเปรียบเทียบและคอมพิวเตอร์แบบเลขฐานสาม

ตัวเลขฐานสามเรียกว่าtrit ( ตัวเลขฐานสาม)ซึ่งคล้ายคลึงกับบิตหนึ่ง trit เทียบเท่ากับlog ₂  3 (ประมาณ 1.58496) บิตของข้อมูล[ ^{2 ] ภาย}ใต้สมมติฐานฮาร์ดแวร์แบบคลาสสิก ฐาน 3 มีประสิทธิภาพมากกว่าฐานสองในทางทฤษฎีในแง่ของความประหยัดฐาน เนื่องจาก 3 เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดกับเลขออยเลอร์ ( e ) ^{[ 3 ]}

คล้ายกับนิบเบิล ในเลขฐานสอง ทริบเบิลประกอบด้วยทริต 3 ตัว มันสามารถเก็บสถานะที่แตกต่างกันได้ 27 สถานะ ( ^3³ = 27 ) ซึ่งเทียบเท่ากับข้อมูลประมาณ 4.75 บิต เนื่องจากมีสถานะ 27 สถานะพอดี ทริบเบิลจึงสามารถแทนด้วยอักขระตัวเดียวในระบบเลขฐาน 27 ( septemvigesimal ) ได้อย่างสะดวก

โดยทั่วไปแล้ว tryte จะถูกกำหนดให้เป็น trit จำนวน 6 หรือ 9 ตัวซึ่งคล้ายกับไบต์ไบนารี คอมพิวเตอร์ แบบไตรนารีในยุคแรก เช่นSetun ของโซเวียต กำหนดให้ tryte เป็น trit จำนวน 6 ตัว^{[ 4 ]} tryte จำนวน 6 trit สามารถเก็บ สถานะ ได้3 ⁶ = 729สถานะ โดยบรรจุข้อมูลได้ประมาณ 9.5 บิตซึ่งมากกว่าไบต์ไบนารี 8 บิตมาตรฐาน (256 สถานะ) อย่างมาก^{[ 5 ]}สถาปัตยกรรมเชิงทฤษฎีสมัยใหม่มักจะนิยมใช้ tryte จำนวน 9 trit ( 3 ⁹ = 19,683สถานะ) เนื่องจากสามารถแบ่งออกเป็น tribble สามตัวได้อย่างลงตัว

คำไตรนารีแสดงถึงความกว้างของรีจิสเตอร์มาตรฐานสำหรับสถาปัตยกรรมไตรนารีที่กำหนด ตัวอย่างเช่น คอมพิวเตอร์ Setun ทำงานโดยใช้คำไตรนารี 18 ตัวพร้อมสถาปัตยกรรมคำสั่งและหน่วยความจำไตรนารี 9 ตัว^{[ 5 ]}

เมื่อขยายขนาดไปสู่ความจุในการจัดเก็บข้อมูลที่มากขึ้น ระบบการตั้งชื่อคอมพิวเตอร์แบบไตรภาคจะแยกออกเป็นสองแบบที่แตกต่างกัน โดยขึ้นอยู่กับสถาปัตยกรรมของฮาร์ดแวร์:

• การปรับขนาดแบบไตรภาคดั้งเดิม:ในระบบไตรภาคบริสุทธิ์ หน่วยมหภาคจะปรับขนาดตามกำลังของ 3 แทนที่จะเป็นกำลังของ 2 (1,024) หรือ 10 (1,000) ที่ใช้ในระบบไบนารีและทศนิยมกิโลไทรต์ (KT) ในระบบนี้มีค่าเท่ากับ3¹⁰ (59,049) ไทรต์พอดี ตามรูปแบบนี้เมกะไทรต์ (MT) มี ค่าเท่ากับ 3²⁰ ไทร ^ต์และกิกะไทรต์ (GT) มีค่า^{เท่ากับ3³⁰}ไทรต์
• การปรับขนาดที่เข้ากันได้กับไบนารี:ในระบบไฮบริดที่ออกแบบมาเพื่อเชื่อมต่อโดยตรงกับโครงสร้างพื้นฐานไบนารีที่มีอยู่ วิศวกรมักจะแมปกลุ่มไตรนารีไปยังขนาดไบนารีมาตรฐาน เนื่องจาก 5 ไตรต์ (243 สถานะ) สามารถพอดีกับไบต์ 8 บิต (256 สถานะ) ได้อย่างมีประสิทธิภาพคำนำหน้า SI ไบนารีแบบดั้งเดิม จึงมักถูกนำไปใช้กับบล็อกไตรต์โดยตรง ทำให้กิโลไตรต์เท่ากับ 1,024 ไตรต์ และเมกะไตรต์เท่ากับ 1,048,576 ไตรต์

การแสดงจำนวนเต็มในระบบเลขฐานสามจะไม่ยาวจนเกินไปเหมือนในระบบเลขฐานสองตัวอย่างเช่นเลขฐานสิบ 365 ₁₀หรือเลขฐานหก1 405 ₆เทียบเท่ากับเลขฐานสอง1 0110 1101 ₂ (เก้าบิต ) และเลขฐาน สาม 111 112 ₃ (หกบิต) อย่างไรก็ตาม มันก็ยังกะทัดรัดน้อยกว่าการแสดงในระบบเลขฐานอื่นๆ เช่น เลขฐานสิบ – ดูด้านล่างสำหรับวิธีการเข้ารหัสเลขฐานสามแบบกระชับโดยใช้เลขฐานเก้า (ฐาน 9) และ เลขฐาน เจ็ดสิบหก (ฐาน 27)

สำหรับจำนวนตรรกยะระบบเลขฐานสามเป็นวิธีที่สะดวกในการแสดงจำนวนเหล่านั้น1/3คล้ายกับระบบเลขฐาน สิบ (ตรงข้ามกับการแสดงผลที่ยุ่งยากในรูปของสตริงตัวเลขซ้ำๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในระบบเลขฐานสิบ) แต่ข้อเสียเปรียบที่สำคัญคือ ระบบเลขฐานสามไม่มีการแสดงผลแบบจำกัดสำหรับ1/2(หรือสำหรับ⁠)1/4, ⁠​1/8(เช่น 2เป็นต้น) เพราะ2มีตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ใช่ตัวประกอบของฐาน เช่นเดียวกับฐานสอง หนึ่งในสิบ (ทศนิยม)1/10,สิบเอก1/14)ไม่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำ (ซึ่งจะต้องใช้เลขฐานสิบ) และหนึ่งในหก (เลขฐานสิบหก) ก็ไม่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเช่นกัน1/10⁠ , ทศนิยม⁠1/6)​

ค่าของเลขฐานสองที่มีnบิตซึ่งทั้งหมดเป็น 1 คือ2 ⁿ  − 1

ในทำนองเดียวกัน สำหรับจำนวนที่มีฐานและหลัก ซึ่งทุกหลักมีค่าสูงสุดเราสามารถเขียนลำดับเรขาคณิตได้ดังนี้: ${\displaystyle N(b,d)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle d}$${\displaystyle b-1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}N(b,d)&=(b-1)b^{d-1}+(b-1)b^{d-2}+\dots +(b-1)b^{0}\\&=(b-1)(b^{d-1}+b^{d-2}+\dots +1)\\&=(b-1)M.\end{aligned}}}$$

การคูณด้วย จะ ได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle M}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle bM=b^{d}+b^{d-1}+\dots +b^{1}}$$

การลบออกจากค่าที่แยกออกมาจะแยกค่าขอบเขตออก: ${\displaystyle M}$${\displaystyle bM}$$${\displaystyle bM-M=b^{d}-1}$$$${\displaystyle M={\frac {b^{d}-1}{b-1}}}$$

เมื่อแทนค่านี้กลับเข้าไปในสมการเดิม จะแสดงให้เห็นว่าค่าสูงสุดสำหรับฐานใดๆ ก็ตามจะสอดคล้องกับพฤติกรรมขอบเขตของระบบไบนารี: ${\displaystyle N(b,d)}$$${\displaystyle N(b,d)=(b-1)\left({\frac {b^{d}-1}{b-1}}\right)=b^{d}-1.}$$

สำหรับเลขฐานสามหลัก. ${\displaystyle N(3,3)=3^{3}-1=26=(2\times 3^{2})+(2\times 3^{1})+(2\times 3^{0})=18+6+2}$

ระบบเลขฐานเก้า (Nonary / ˈ n ɒ n ər i /) (ฐาน 9 แต่ละหลักประกอบด้วยเลขฐานสามสองหลัก) หรือ ระบบเลขฐาน เจ็ดสิบหก (Septemvigesimal ) (ฐาน 27 แต่ละหลักประกอบด้วยเลขฐานสามสามหลัก) สามารถใช้สำหรับการแสดงเลขฐานสามในรูปแบบกระชับ คล้ายกับวิธี การใช้ระบบเลข ฐานแปดและ เลข ฐานสิบหกแทนระบบเลขฐานสอง

ในวงจรลอจิกแบบอนาล็อกบางประเภท สถานะของวงจรมักแสดงเป็นแบบไตรภาค (ternary) ซึ่งพบเห็นได้บ่อยที่สุดใน วงจร CMOSและในวงจรลอจิกแบบทรานซิสเตอร์-ทรานซิสเตอร์ที่มีเอาต์พุตแบบโทเทมโพล (totem-pole output ) เอาต์พุตจะอยู่ในสถานะต่ำ ( ต่อลงดิน ) สูง หรือเปิด ( high- Z ) ในการกำหนดค่านี้ เอาต์พุตของวงจรไม่ได้เชื่อมต่อกับแรงดันอ้างอิงใดๆ เลย โดยปกติแล้ว สัญญาณจะต่อลงดินกับแรงดันอ้างอิงที่กำหนด หรือที่ระดับแรงดันที่กำหนด แต่ในสถานะนี้เรียกว่ามีความต้านทาน สูง (high impedance ) เนื่องจากเป็นสถานะเปิดและทำหน้าที่เป็นแรงดันอ้างอิงของตัวเอง ดังนั้น ระดับแรงดันจริงจึงอาจคาดเดาได้ยาก

จุดทศนิยม (ternary point) ที่ใช้กันไม่บ่อยนัก มักพบในสถิติการป้องกันในเบสบอล อเมริกัน (โดยเฉพาะสำหรับผู้ขว้าง ) เพื่อแสดงเศษส่วนของอินนิ่ง เนื่องจากทีมรุกได้รับอนุญาตให้เอาท์ได้ สามครั้ง ต่อครึ่งอินนิ่ง ดังนั้นแต่ละเอาท์จึงคิดเป็นหนึ่งในสามของอินนิ่งฝ่ายรับ และโดยทั่วไปจะเขียนเป็นจุดทศนิยมตามด้วยจำนวนเอาท์

ตัวอย่างเช่น หากผู้เล่นขว้างลูกในอินนิ่งที่ 4, 5 และ 6 ทั้งหมด และทำได้ 2 เอาท์ในอินนิ่งที่ 7 สถิติจำนวน อินนิ่งที่ขว้าง (IP) ของเขาจะแสดงเป็น3.2ซึ่งหมายถึง3+2/3จำนวน อินนิ่งที่ขว้าง (สัญลักษณ์ที่บางครั้งผู้บันทึกสถิติแบบดั้งเดิมนิยมใช้) ในบริบทของกีฬาเฉพาะนี้ เฉพาะส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเท่านั้นที่คำนวณโครงสร้างในฐาน 3 ^{[ 6 ]}

ตัวเลขฐานสามสามารถใช้เพื่อสื่อโครงสร้างที่คล้ายคลึงกัน เช่นสามเหลี่ยม Sierpinskiหรือเซต Cantorได้อย่างสะดวก นอกจากนี้ พบว่าการแสดงตัวเลขฐานสามมีประโยชน์สำหรับการกำหนดเซต Cantor และเซตจุดที่เกี่ยวข้อง เนื่องจากวิธีการสร้างเซต Cantor เซต Cantor ประกอบด้วยจุดตั้งแต่ 0 ถึง 1 ที่มีนิพจน์ฐานสามที่ไม่ประกอบด้วยเลข 1 ใดๆ^{[ 7 ] [ 8 ]}การขยายที่สิ้นสุดใดๆ ในระบบฐานสามจะเทียบเท่ากับนิพจน์ที่เหมือนกันจนถึงพจน์ก่อนหน้าพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้าย ตามด้วยพจน์ที่น้อยกว่าพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายของนิพจน์แรกหนึ่งตัว ตามด้วยเลขสองที่ต่อท้ายเป็นอนันต์ ตัวอย่างเช่น 0.1020 เทียบเท่ากับ 0.1012222... เพราะการขยายเหมือนกันจนถึง "สอง" ของนิพจน์แรก สองถูกลดลงในการขยายครั้งที่สอง และศูนย์ที่ต่อท้ายถูกแทนที่ด้วยเลขสองที่ต่อท้ายในนิพจน์ที่สอง

เลขฐานสามเป็นฐานจำนวนเต็มที่มีประสิทธิภาพด้านความประหยัดของฐาน ต่ำที่สุด รองลงมาคือเลขฐานสองและเลขฐานสี่เนื่องจากมีค่าใกล้เคียงกับค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์eจึงมีการนำไปใช้ในระบบคอมพิวเตอร์บางระบบเพราะประสิทธิภาพนี้ นอกจากนี้ยังใช้ในการแสดงโครงสร้างต้นไม้ แบบสามตัวเลือก เช่น ระบบเมนูโทรศัพท์ ซึ่งช่วยให้สามารถเลือกเส้นทางไปยังสาขาใดก็ได้ง่ายๆ

เมื่อนำไปใช้เป็นเลขฐานสามที่สมดุล (ประกอบด้วยตัวเลข −1, 0 และ +1) ระบบตัวเลขจะให้ข้อได้เปรียบในการคำนวณที่แตกต่างจากเลขฐานสอง ที่สำคัญที่สุดคือ เลขฐานสามที่สมดุลจะขจัดความจำเป็นในการใช้บิตเครื่องหมาย อย่างชัดเจน เนื่องจากเครื่องหมายของตัวเลขจะถูกกำหนดโดยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มีนัยสำคัญที่สุดอยู่แล้ว ยิ่งไปกว่านั้น การปฏิเสธทางคณิตศาสตร์มีประสิทธิภาพสูง โดยต้องใช้เพียงการกลับสัญลักษณ์แบบง่ายๆ (สลับ +1 และ −1) แทนที่จะเป็นการดำเนินการเสริมสองที่ซับซ้อนซึ่งจำเป็นสำหรับฮาร์ดแวร์เลขฐานสอง^{[ 9 ]}

รูปแบบการแสดงเลขฐานสองที่ซ้ำซ้อนที่เรียกว่าระบบเลขฐานสองแบบมีเครื่องหมาย ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของการแสดงเลขฐานสองแบบมีเครื่องหมายบางครั้งใช้ในซอฟต์แวร์และฮาร์ดแวร์ระดับต่ำเพื่อให้สามารถบวกเลขจำนวนเต็มได้อย่างรวดเร็ว เนื่องจากสามารถกำจัดตัวทดได้^{[ 10 ]}

การจำลองคอมพิวเตอร์แบบไตรนารีโดยใช้คอมพิวเตอร์แบบไบนารี หรือการเชื่อมต่อระหว่างคอมพิวเตอร์แบบไตรนารีและไบนารี อาจเกี่ยวข้องกับการใช้ตัวเลขไตรนารีที่เข้ารหัสแบบไบนารี (BCT) โดยใช้สองหรือสามบิตในการเข้ารหัสแต่ละไตรต์^{[ 11 ] [ 12 ]}การเข้ารหัส BCT นั้นคล้ายคลึงกับ การเข้ารหัส เลขฐานสิบที่เข้ารหัสแบบไบนารี (BCD) หากค่าไตรต์ 0, 1 และ 2 ถูกเข้ารหัสเป็น 00, 01 และ 10 การแปลงในทิศทางใดก็ได้ระหว่างไตรนารีที่เข้ารหัสแบบไบนารีและไบนารีสามารถทำได้ในเวลาลอการิทึม [ ^{13 ] มี}ไลบรารีโค้ด Cที่รองรับเลขคณิต BCT ให้ใช้งาน^{[ 14 ]}

• คูทริต
• เซตุนคอมพิวเตอร์แบบไตรภาค
• ตรรกศาสตร์ไตรภาค
• ไท่ซวนจิง

• เฮย์ส, ไบรอัน (พฤศจิกายน–ธันวาคม 2544). "เบสที่สาม" (PDF) . นักวิทยาศาสตร์อเมริกัน . 89 (6). ซิกมา ซี , สมาคมวิจัยวิทยาศาสตร์: 490–494 . doi : 10.1511/2001.40.3268 . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 30 ตุลาคม 2562. สืบค้นเมื่อ12 เมษายน 2563 .

• เลขคณิตไตรภาค (Ternary Arithmetic) ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 14 พฤษภาคม 2011 ที่Wayback Machine
• เครื่องคำนวณเลขฐานสามของโทมัส ฟาวเลอร์
• การแปลงฐานสาม  – รวมถึงส่วนที่เป็นเศษส่วน จาก Maths Is Fun
• ระบบเลขฐานสามทดแทนของกิเดียน ฟรีเดอร์
• การแสดงภาพระบบเลขฐานสาม