เซตที่นับไม่ได้

ในทางคณิตศาสตร์เซตที่นับไม่ได้หมายถึงเซตอนันต์ ที่มี สมาชิกมากเกินกว่าจะนับได้ความนับไม่ได้ของเซตมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับจำนวนสมาชิก ของเซตนั้น กล่าว คือ เซตจะนับไม่ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนสมาชิกของเซตนั้นมากกว่าอะเลฟนัล ซึ่งเป็น จำนวนสมาชิกของจำนวนธรรมชาติ

ตัวอย่างของเซตที่นับไม่ได้ ได้แก่ เซตของจำนวน${\displaystyle \mathbb {R} }$จริงทั้งหมดและเซตของเซตย่อยทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ

มีลักษณะเฉพาะที่เทียบเท่ากันหลายประการของเซตที่นับไม่ได้ เซตXจะนับไม่ได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

• ไม่มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (ดังนั้นจึงไม่มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ) จากXไปยังเซตของจำนวนธรรมชาติ
• Xเป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่า และสำหรับลำดับ ω ใดๆ ของสมาชิกในXจะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวใน X ที่ไม่ได้รวมอยู่ในลำดับนั้น กล่าวคือXเป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่า และไม่มีฟังก์ชันทั่วถึงจากจำนวนธรรมชาติไปยังX
• จำนวนสมาชิกของXไม่ใช่จำนวนจำกัดและไม่เท่ากับ( aleph-null )${\displaystyle \aleph _{0}}$
• เซตXมีจำนวนสมาชิกมากกว่าอย่างชัดเจน${\displaystyle \aleph _{0}}$

ลักษณะเฉพาะสามประการแรกนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเทียบเท่ากันในทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelโดยไม่ต้องใช้สัจพจน์ของการเลือกแต่ความเทียบเท่าของประการที่สามและสี่ไม่สามารถพิสูจน์ได้หากไม่มีหลักการเลือกเพิ่มเติม

ถ้าเซตX ซึ่งเป็นเซตที่นับไม่ได้ เป็นเซตย่อยของเซตYแล้วYก็เป็นเซตที่นับไม่ได้เช่นกัน

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของเซตที่นับไม่ได้คือเซตของจำนวน${\displaystyle \mathbb {R} }$จริงทั้งหมดการพิสูจน์โดยใช้แนวทแยงของแคนเตอร์แสดงให้เห็นว่าเซตนี้นับไม่ได้ เทคนิคการพิสูจน์โดยใช้แนวทแยงยังสามารถใช้เพื่อแสดงว่าเซตอื่นๆ อีกหลายเซตนับไม่ได้ เช่น เซตของลำดับ อนันต์ทั้งหมด ของจำนวนธรรมชาติ( ดู :${\displaystyle \mathbb {N} }$ (ลำดับA102288ในOEIS )) และเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตของจำนวนธรรมชาติ ขนาดของเซตนี้มักเรียก${\displaystyle \mathbb {R} }$ว่าขนาดของเซตต่อเนื่องและใช้สัญลักษณ์หรือ^{[ 1 ]}หรือ( beth-one ) ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \beth _{1}}$

เซตแคนเตอร์เป็นเซตย่อย ที่นับไม่ได้ ของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$เซตแคนเตอร์เป็นแฟรกทัลและมีมิติเฮาส์ดอร์ฟมากกว่าศูนย์แต่ต่ำกว่าหนึ่ง ( ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$มีมิติหนึ่ง) นี่เป็นตัวอย่างของข้อเท็จจริงต่อไปนี้: เซตย่อยใดๆ ของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ที่มีมิติเฮาส์ดอร์ฟมากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัดจะต้องเป็นเซตที่นับไม่ได้

อีกตัวอย่างหนึ่งของเซตที่นับไม่ได้คือเซตของฟังก์ชัน ทั้งหมด จาก⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ไปยัง⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$เซตนี้ "นับไม่ได้ยิ่งกว่า" ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ในแง่ที่ว่าจำนวนสมาชิกของเซตนี้คือ( สอง ) ซึ่ง มากกว่า${\displaystyle \beth _{2}}$${\displaystyle \beth _{1}}$

ตัวอย่างที่เป็นนามธรรมมากขึ้นของเซตที่นับไม่ได้คือเซตของจำนวนเชิงอันดับ นับได้ทั้งหมด ซึ่งแสดงด้วย Ω หรือ ω ₁ ^{[ 2 ]}ขนาดของ Ω แสดงด้วย( aleph-one ) สามารถแสดงได้โดยใช้สัจพจน์ของการเลือกว่าเป็นจำนวนเชิงอันดับนับไม่ได้ที่เล็กที่สุด ดังนั้น ขนาดของจำนวนจริง จึงเท่ากับหรือ มากกว่าอย่างชัดเจนGeorg Cantorเป็นคนแรกที่เสนอคำถามว่าเท่ากับ หรือ ไม่ ในปี 1900 David Hilbertตั้งคำถามนี้เป็นปัญหาแรกใน23 ปัญหา ของเขา ข้อความที่ปัจจุบันเรียกว่าสมมติฐานต่อเนื่องและเป็นที่ทราบกันว่าเป็นอิสระจากสัจพจน์ Zermelo–Fraenkelสำหรับทฤษฎีเซต (รวมถึงสัจพจน์ของการเลือก ) ${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \beth _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \beth _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$

หากปราศจากสัจพจน์ของการเลือกอาจมีจำนวนสมาชิกที่ไม่สามารถเปรียบเทียบได้(กล่าวคือ จำนวนสมาชิกของ เซตอนันต์จำกัด เดเดคินด์ ) เซตที่มีจำนวนสมาชิกเหล่านี้เป็นไปตามลักษณะเฉพาะสามข้อแรกข้างต้น แต่ไม่เป็นไปตามลักษณะเฉพาะข้อที่สี่ เนื่องจากเซตเหล่านี้ไม่ได้มีขนาดใหญ่กว่าจำนวนธรรมชาติในแง่ของจำนวนสมาชิก บางคนอาจไม่ต้องการเรียกเซตเหล่านี้ว่านับไม่ได้ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

ถ้าสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง เงื่อนไขต่อไปนี้เกี่ยวกับจำนวนเชิงคาร์ดินัลจะเทียบเท่ากัน: ${\displaystyle \kappa }$

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0};}$
• ${\displaystyle \kappa >\aleph _{0};}$และ
• ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}}$โดยที่และคือลำดับเริ่มต้น ที่น้อย ที่สุดที่มากกว่า${\displaystyle \aleph _{1}=|\โอเมก้า _{1}|}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega .}$

อย่างไรก็ตาม สิ่งเหล่านี้อาจแตกต่างกันทั้งหมดหากสัจพจน์ของการเลือกไม่เป็นจริง ดังนั้นจึงไม่ชัดเจนว่าข้อใดเป็นการสรุปทั่วไปที่เหมาะสมของ "ความไม่สามารถนับได้" เมื่อสัจพจน์ไม่เป็นจริง อาจเป็นการดีที่สุดที่จะหลีกเลี่ยงการใช้คำนี้ในกรณีนี้และระบุว่าข้อใดในจำนวนเหล่านี้หมายถึงอะไร

• เลขอะเลฟ
• หมายเลขเบธ
• ลำดับที่นับไม่ได้แรก
• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

• Halmos, Paul , ทฤษฎีเซตแบบง่าย . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. พิมพ์ซ้ำโดย Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6(ฉบับ Springer-Verlag) พิมพ์ซ้ำโดย Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4(ฉบับปกอ่อน)
• เจค, โทมัส (2002), ทฤษฎีเซต , Springer Monographs in Mathematics (ฉบับศตวรรษที่ 3), Springer, ISBN 3-540-44085-2

• พิสูจน์ว่าRเป็นจำนวนนับไม่ได้