วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 8 นาที

เวกเตอร์หน่วย

ในทางคณิตศาสตร์เวกเตอร์หน่วยในปริภูมิเวกเตอร์มาตรฐานคือเวกเตอร์ (มักเป็นเวกเตอร์เชิงพื้นที่ ) ที่มีความยาว 1 โดยทั่วไป...

เวกเตอร์หน่วย

ในทางคณิตศาสตร์เวกเตอร์หน่วยในปริภูมิเวกเตอร์มาตรฐานคือเวกเตอร์ (มักเป็นเวกเตอร์เชิงพื้นที่ ) ที่มีความยาว 1 โดยทั่วไป เวกเตอร์หน่วยมักเขียนแทนด้วยตัวอักษรพิมพ์เล็กที่มีเครื่องหมายกำกับ (circumflexหรือ "หมวก") เช่น ` {{ }}`วี^{\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}(ออกเสียงว่า "วี-แฮท") บางครั้งคำว่าเวกเตอร์นอร์มาไลซ์ (normalized vector ) ถูกใช้เป็นคำพ้องความหมายกับเวกเตอร์หน่วย (unit vector )

เวกเตอร์หน่วย û ของเวกเตอร์ uที่ไม่ใช่ศูนย์คือเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของuกล่าวคือ

คุณ^=คุณ‖คุณ‖=(คุณ1‖คุณ‖,คุณ2‖คุณ‖,...,คุณn‖คุณ‖){\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}=\left({\frac {u_{1}}{\|\mathbf {u} \|}},{\frac {u_{2}}{\|\mathbf {u} \|}},...,{\frac {u_{n}}{\|\mathbf {u} \|}}\right)}

โดยที่ ‖ u ‖ คือค่ามาตรฐาน (หรือความยาว) ของuและคุณ=(คุณ1,คุณ2,...,คุณn){\textstyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},...,u_{n})}[ 1 ] [ 2 ]​

หลักฐานมีดังต่อไปนี้:‖คุณ^‖=คุณ1คุณ12+...+คุณn22+...+คุณnคุณ12+...+คุณn22=คุณ12+...+คุณn2คุณ12+...+คุณn2=1=1{\textstyle \|\mathbf {\hat {u}} \|={\sqrt {{\frac {u_{1}}{\sqrt {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}^{2}+...+{\frac {u_{n}}{\sqrt {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}^{2}}}={\sqrt {\frac {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}{u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}={\sqrt {1}}=1}

เวกเตอร์หน่วยมักใช้เพื่อแสดงทิศทางเช่นทิศทางตั้งฉากเวกเตอร์หน่วยมักถูกเลือกใช้เป็นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ และเวกเตอร์ทุกตัวในปริภูมิสามารถเขียนได้ใน รูปผล รวมเชิงเส้นของเวกเตอร์หน่วย

พิกัดเชิงตั้งฉาก

พิกัดคาร์ทีเซียน

เวกเตอร์หน่วยสามารถใช้แทนแกนของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้ ตัวอย่างเช่นเวกเตอร์หน่วย มาตรฐาน ในทิศทางของ แกน x , yและzของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติได้แก่

x^=[100],y^=[010],z^=[001]{\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}

เวกเตอร์ เหล่านี้ประกอบกันเป็นเซตของเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉาก ซึ่งกันและกัน ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าฐานมาตรฐานในพีชคณิตเชิงเส้น

โดยทั่วไปมักใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์ ทั่วไปในการแสดง (เช่นxหรือ )x→{\displaystyle {\vec {x}}}) แทนที่จะใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์หน่วยมาตรฐาน (เช่นx̂ ) ในบริบทส่วนใหญ่สามารถสันนิษฐานได้ว่าx , yและz (หรือx→,{\displaystyle {\vec {x}},}y→,{\displaystyle {\vec {y}},}และz→{\displaystyle {\vec {z}}}) เป็นตัวแปรของ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 3 มิติสัญลักษณ์ ( î , ĵ , k̂ ), ( x̂ , x̂ , x̂ ), ( ê , ê , ê ) หรือ ( ê , ê , ê ) ที่มีหรือไม่มีหมวกก็ถูกใช้เช่นกัน[ 1 ]โดยเฉพาะในบริบทที่i , j , kอาจทำให้เกิดความสับสนกับปริมาณอื่น (ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์ ดัชนีเช่นi , j , kซึ่งใช้ในการระบุองค์ประกอบของเซตหรืออาร์เรย์หรือลำดับของตัวแปร)

เมื่อเวกเตอร์หน่วยในปริภูมิถูกแสดงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของx , y , zส่วนประกอบสเกลาร์ทั้งสามของมันสามารถเรียกว่าโคไซน์ทิศทางได้ค่าของแต่ละส่วนประกอบจะเท่ากับโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์หน่วยทำกับเวกเตอร์ฐานที่เกี่ยวข้อง นี่เป็นหนึ่งในวิธีการที่ใช้ในการอธิบายทิศทาง (ตำแหน่งเชิงมุม) ของเส้นตรง ส่วนของเส้นตรง แกนที่กำหนดทิศทาง หรือส่วนของแกนที่กำหนดทิศทาง ( เวกเตอร์ )

พิกัดทรงกระบอก

เวกเตอร์หน่วย ตั้งฉากสามตัวที่เหมาะสมกับสมมาตรทรงกระบอก ได้แก่:

  • ρ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}(กำหนดไว้เช่นกัน)อี^{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }หรือส^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}) ซึ่งแสดงถึงทิศทางที่ใช้วัดระยะห่างของจุดจากแกนสมมาตร
  • φ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}ซึ่งแสดงถึงทิศทางการเคลื่อนที่ที่จะสังเกตได้หากจุดนั้นหมุนทวนเข็มนาฬิกาไปรอบแกนสมมาตร
  • z^{\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }ซึ่งแสดงถึงทิศทางของแกนสมมาตร

สิ่งเหล่านี้เกี่ยวข้องกับฐานคาร์ทีเซียนx^{\displaystyle {\hat {x}}},y^{\displaystyle {\hat {y}}},z^{\displaystyle {\hat {z}}}โดย:

ρ^=คอส⁡(φ)x^+บาป⁡(φ)y^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }
φ^=−บาป⁡(φ)x^+คอส⁡(φ)y^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }
z^=z^.{\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .}

เวกเตอร์ρ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}และφ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}เป็นฟังก์ชันของφ,{\displaystyle \varphi ,}และมี ทิศทาง ไม่คงที่ เมื่อทำการหาอนุพันธ์หรืออินทิกรัลในพิกัดทรงกระบอก เวกเตอร์หน่วยเหล่านี้เองก็ต้องได้รับการดำเนินการด้วยเช่นกัน อนุพันธ์เทียบกับφ{\displaystyle \varphi }เป็น:

∂ρ^∂φ=−บาป⁡φx^+คอส⁡φy^=φ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂φ^∂φ=−คอส⁡φx^−บาป⁡φy^=−ρ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}}
∂z^∂φ=0.{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .}

พิกัดทรงกลม

เวกเตอร์หน่วยที่เหมาะสมกับสมมาตรทรงกลม ได้แก่:ร^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }ทิศทางที่ระยะทางรัศมีจากจุดกำเนิดเพิ่มขึ้นφ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}ทิศทางที่มุมใน ระนาบ x - yทวนเข็มนาฬิกาจากแกนxบวกเพิ่มขึ้น และθ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}ทิศทางที่มุมจาก แกน z บวก เพิ่มขึ้น เพื่อลดความซ้ำซ้อนของการแสดงผล มุมเชิงขั้วθ{\displaystyle \theta }โดยทั่วไปถือว่ามุมนั้นอยู่ระหว่างศูนย์ถึง 180 องศา สิ่งสำคัญอย่างยิ่งคือต้องสังเกตบริบทของชุดตัวเลขสามตัวที่เรียงลำดับแล้วซึ่งเขียนในพิกัดทรงกลมเนื่องจากบทบาทของ...φ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}และθ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}มักจะกลับด้านกัน ที่นี่ใช้ แบบแผน "ฟิสิกส์" ของอเมริกา [ 3 ] ซึ่งทำให้ มุมอะซิมุทอล เหลืออยู่φ{\displaystyle \varphi }กำหนดเหมือนกับในระบบพิกัดทรงกระบอก ความสัมพันธ์ในระบบพิกัด คาร์ทีเซียนมีดังนี้:

ร^=บาป⁡θคอส⁡φx^+บาป⁡θบาป⁡φy^+คอส⁡θz^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }
θ^=คอส⁡θคอส⁡φx^+คอส⁡θบาป⁡φy^−บาป⁡θz^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} }
φ^=−บาป⁡φx^+คอส⁡φy^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }

เวกเตอร์หน่วยทรงกลมขึ้นอยู่กับทั้งสองอย่างφ{\displaystyle \varphi }และθ{\displaystyle \theta }ดังนั้นจึงมีอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ได้ 5 ค่า สำหรับคำอธิบายที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น โปรดดูเมทริกซ์จาโคเบียนและดีเทอร์มิแนนต์ อนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์มีดังนี้:

∂ร^∂φ=−บาป⁡θบาป⁡φx^+บาป⁡θคอส⁡φy^=บาป⁡θφ^{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂ร^∂θ=คอส⁡θคอส⁡φx^+คอส⁡θบาป⁡φy^−บาป⁡θz^=θ^{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}}
∂θ^∂φ=−คอส⁡θบาป⁡φx^+คอส⁡θคอส⁡φy^=คอส⁡θφ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂θ^∂θ=−บาป⁡θคอส⁡φx^−บาป⁡θบาป⁡φy^−คอส⁡θz^=−ร^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} }
∂φ^∂φ=−คอส⁡φx^−บาป⁡φy^=−บาป⁡θร^−คอส⁡θθ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}

เวกเตอร์หน่วยทั่วไป

ธีมทั่วไปของเวกเตอร์หน่วยปรากฏอยู่ทั่วทั้งฟิสิกส์และเรขาคณิต : [ 4 ]

เวกเตอร์หน่วยการตั้งชื่อแผนภาพ
เวกเตอร์สัมผัสกับเส้นโค้ง/เส้นแรงที^{\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }"200 พิกเซล""200 พิกเซล"

เวกเตอร์ปกติn^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }ไปยังระนาบที่บรรจุและกำหนดโดยเวกเตอร์ตำแหน่งรัศมีรร^{\displaystyle r\mathbf {\hat {r}} }และทิศทางการหมุนสัมผัสเชิงมุมθθ^{\displaystyle \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}จำเป็นเพื่อให้สมการเวกเตอร์ของการเคลื่อนที่เชิงมุมเป็นจริง

ตั้งฉากกับระนาบสัมผัสพื้นผิว/ระนาบที่มีส่วนประกอบตำแหน่งรัศมีและส่วนประกอบสัมผัสเชิงมุมn^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }

ในแง่ของพิกัดเชิงขั้ว ; n^=ร^×θ^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}

เวกเตอร์ไบนอร์มอลไปยังเส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉากข^=ที^×n^{\displaystyle \mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}} }[ 5 ]
ขนานกับแกน/เส้นบางเส้นอี^∥{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }}"200 พิกเซล"

เวกเตอร์หน่วยหนึ่งอี^∥{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }}ขนานกับทิศทางหลัก (เส้นสีแดง) และเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากอี^⊥{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }}อยู่ในทิศทางรัศมีใดๆ เมื่อเทียบกับเส้นหลัก

ตั้งฉากกับแกน/เส้นตรงบางเส้นในทิศทางรัศมีบางทิศทางอี^⊥{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }}
อาจเกิดการเบี่ยงเบนเชิงมุมเมื่อเทียบกับแกน/เส้นตรงบางเส้นอี^∠{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\angle }}"200 พิกเซล"

เวกเตอร์หน่วยที่มุมเบี่ยงเบนแหลมφ (รวมถึง 0 หรือπ /2 เรเดียน) เทียบกับทิศทางหลัก

พิกัดโค้ง

โดยทั่วไป ระบบพิกัดสามารถระบุได้อย่างเฉพาะเจาะจงโดยใช้เวกเตอร์หน่วยที่เป็นอิสระเชิงเส้น จำนวนหนึ่งอี^n{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}}[ 1 ] (จำนวนจริงเท่ากับระดับความเป็นอิสระของพื้นที่) สำหรับพื้นที่ 3 มิติธรรมดา เวกเตอร์เหล่านี้สามารถแสดงได้ดังนี้อี^1,อี^2,อี^3{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}โดยทั่วไปแล้ว การกำหนดให้ระบบเป็นระบบตั้งฉากปกติและมือขวา จะสะดวกกว่าเสมอ :

อี^ฉัน⋅อี^เจ=δฉันเจ{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}}
อี^ฉัน⋅(อี^เจ×อี^เค)=εฉันเจเค{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}}

ที่ไหนδฉันเจ{\displaystyle \delta _{ij}}คือเดลต้าโครเนกเกอร์ (ซึ่งมีค่าเป็น 1 สำหรับi = jและ 0 สำหรับกรณีอื่น ๆ) และ εฉันเจเค{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}คือสัญลักษณ์ Levi-Civita (ซึ่งมีค่าเป็น 1 สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนที่เรียงลำดับเป็นijkและ −1 สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนที่เรียงลำดับเป็นkji )

ขวา

เวกเตอร์หน่วยในอาร์3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}WR Hamiltonเรียกมันว่า " right versor"ขณะที่เขาพัฒนาควอเทอร์เนียน ของเขาชม⊂อาร์4{\displaystyle \mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}}อันที่จริง เขาเป็นผู้ริเริ่มใช้คำว่าเวกเตอร์เนื่องจากควอเทอร์เนียนทุกตัวq=ส+วี{\displaystyle q=s+v}ประกอบด้วยส่วนที่เป็นสเกลาร์sและส่วนที่เป็นเวกเตอร์vถ้าvเป็นเวกเตอร์หน่วยในอาร์3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}ดังนั้นกำลังสองของvในควอเทอร์เนียนคือ −1 ดังนั้นตามสูตรของออยเลอร์เอ็กซ์⁡(θวี)=คอส⁡θ+วีบาป⁡θ{\displaystyle \exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta }เป็นเวกเตอร์เวกเตอร์ในทรงกลม 3 มิติเมื่อθเป็นมุมฉากเวกเตอร์เวกเตอร์นี้จะเป็นเวกเตอร์เวกเตอร์ขวา: ส่วนสเกลาร์เป็นศูนย์ และส่วนเวกเตอร์vเป็นเวกเตอร์หน่วยในอาร์3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

ดังนั้น เวอร์เซอร์ขวาจึงขยายแนวคิดของหน่วยจินตนาการที่พบในระนาบเชิงซ้อนซึ่งในที่นี้เวอร์เซอร์ขวาครอบคลุมทรงกลม 2 มิติเอส2⊂อาร์3⊂ชม{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H} }แทนที่จะเป็นคู่{ i , − i } ในระนาบเชิงซ้อน

โดยนัยแล้ว ควอเทอร์เนียนขวาเป็นผลคูณจริงของเวอร์เซอร์ขวา

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. 1 2 3 Weisstein, Eric W. "Unit Vector" . Wolfram MathWorld . สืบค้นเมื่อ2020-08-19 .
  2. ↑ "เวกเตอร์หน่วย" . วิกิคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม. สืบค้นเมื่อ19 สิงหาคม 2020 .
  3. ↑ Tevian Dray และ Corinne A. Manogue, พิกัดทรงกลม, College Math Journal 34, 168-169 (2003)
  4. ↑ F. Ayres; E. Mendelson (2009). แคลคูลัส (ชุด Schaum's Outlines) ( ฉบับที่ 5). Mc Graw Hill. ISBN  978-0-07-150861-2.
  5. ↑ MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines Series) ( ฉบับที่ 2). Mc Graw Hill. ISBN  978-0-07-161545-7.
ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Unit_vector&oldid=1353869875 "

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ เวกเตอร์หน่วย

ในทางคณิตศาสตร์เวกเตอร์หน่วยในปริภูมิเวกเตอร์มาตรฐานคือเวกเตอร์ (มักเป็นเวกเตอร์เชิงพื้นที่ ) ที่มีความยาว 1 โดยทั่วไป...

พิกัดคาร์ทีเซียน

เวกเตอร์หน่วยสามารถใช้แทนแกนของ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ได้ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์หน่วย มาตรฐาน ในทิศทางของ แกน x , y และ z ของ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ ได้แก่

พิกัดทรงกระบอก

เวกเตอร์หน่วย ตั้งฉาก สามตัวที่เหมาะสมกับสมมาตรทรงกระบอก ได้แก่:

พิกัดทรงกลม

เวกเตอร์หน่วยที่เหมาะสมกับสมมาตรทรงกลม ได้แก่: ร ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } ทิศทางที่ระยะทางรัศมีจากจุดกำเนิดเพิ่มขึ้น φ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}} ทิศทางที่มุมใน ระนาบ x - y ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x บวกเพิ่มขึ้น และ θ ^...