ในเรขาคณิตยุคลิดทฤษฎีบทของวาริญงกล่าวว่าจุดกึ่งกลางของด้านของ รูป สี่เหลี่ยม ใดๆ จะก่อให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงตั้งชื่อตามปิแอร์ วาริญงซึ่งการพิสูจน์ของเขาได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี 1731 ^{[ 1 ]}

จุดกึ่งกลางของด้านต่างๆ ของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ จะก่อให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมนั้นเป็นรูปนูนหรือรูปเว้า (ไม่ใช่รูปเชิงซ้อน ) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนั้น

หากนำแนวคิดของพื้นที่เชิงทิศทางสำหรับรูปหลายเหลี่ยมn ด้าน มาใช้ ความเท่าเทียมกันของพื้นที่นี้ก็ยังคงใช้ได้กับรูปสี่เหลี่ยมเชิงซ้อนด้วย^{[ 2 ]}

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงมีอยู่แม้สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเฉียงและเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานบนระนาบ ไม่ว่ารูปสี่เหลี่ยมนั้นจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานบนระนาบหรือไม่ก็ตาม ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายความไปยังรูปหลายเหลี่ยมจุดกึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ได้

จากแผนภาพด้านบนสามเหลี่ยมADCและHDGคล้ายกันตามเกณฑ์ด้าน-มุม-ด้าน ดังนั้นมุมDACและDHGจึงเท่ากัน ทำให้HGขนานกับACในทำนองเดียวกันEFขนานกับACดังนั้นHGและEFจึงขนานกัน และเช่นเดียวกันสำหรับ HEและGF

ทฤษฎีบทของวาริญงสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเรขาคณิตเชิงเส้น แบบแอฟฟิน ซึ่งจัดเรียงเป็นพีชคณิตเชิงเส้นโดยที่ผลรวมเชิงเส้นมีข้อจำกัดอยู่ที่สัมประสิทธิ์รวมกันได้ไม่เกิน 1 หรือที่เรียกว่าพิกัดแอฟฟินหรือพิกัดแบรีเซนทริกการพิสูจน์นี้ใช้ได้แม้กระทั่งกับรูปสี่เหลี่ยมเฉียงในปริภูมิที่มีมิติใดๆ ก็ตาม

จุดสามจุดใดๆE , F , Gสามารถสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ซึ่งอยู่ในระนาบที่ประกอบด้วยE , Fและ  G ) ได้ โดยกำหนดให้จุดยอดที่สี่เป็นE  −  F  + Gในการสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบบวาริญง จุดนี้คือ ( A  +  B )/2 − ( B  +  C )/2 + ( C  +  D )/2 = ( A  +  D )/2 แต่จุดนี้คือจุดHในรูป ดังนั้นEFGH จึง สร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้

กล่าวโดยสรุปจุดศูนย์กลางมวลของจุดทั้งสี่A , B , C , Dคือจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมEGและFHของEFGHซึ่งแสดงว่าจุดกึ่งกลางเหล่านั้นตรงกัน

จากบทพิสูจน์แรก จะเห็นได้ว่าผลรวมของเส้นทแยงมุมเท่ากับเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดขึ้น นอกจากนี้ เรายังสามารถใช้เวกเตอร์ที่มีความยาวครึ่งหนึ่งของแต่ละด้าน เพื่อหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก่อน แล้วจึงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสี่ที่แบ่งตามแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านในได้

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงในระนาบยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ด้านตรงข้ามแต่ละคู่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงจะขนานกับเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมดั้งเดิม
• ด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงมีความยาวเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมเดิมที่มันขนานอยู่
• พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมเดิม นี่เป็นจริงในรูปสี่เหลี่ยมด้านนูน ด้านเว้า และด้านไขว้ โดยที่พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านไขว้ถูกกำหนดให้เป็นผลต่างของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่ประกอบขึ้น^{[ 2 ]}
• เส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงเท่ากับผลรวมของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมเดิม
• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญง คือเส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมเดิม
• เส้นกึ่งกลางสองเส้นในรูปสี่เหลี่ยมและส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมนั้นจะตัดกันที่จุดเดียวกันและถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัดของเส้นทั้ง สอง ^{[ 3 ] : หน้า 125}

ในรูปสี่เหลี่ยมด้านนูนที่มีด้านยาวa , b , cและdความยาวของเส้นมัธยฐานที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านaและcคือ

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

โดยที่pและqคือความยาวของเส้นทแยงมุม^{[ 4 ]}ความยาวของเส้นกึ่งกลางที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านbและdคือ

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

ดังนั้น^{[ 3 ] : หน้า 126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

นี่เป็นผลลัพธ์ที่สืบเนื่องมาจากกฎของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ใช้ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญง ด้วยเช่นกัน

ความยาวของเส้นกึ่งกลางสามารถแสดงได้ในรูปของด้านตรงข้ามสองด้านและระยะทางxระหว่างจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม ซึ่งเป็นไปได้เมื่อใช้ทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมของออยเลอร์ในสูตรข้างต้น ดังนั้น^{[ 5 ]}

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

และ

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

ด้านตรงข้ามสองด้านในสูตรเหล่านี้ไม่ใช่สองด้านที่เส้นมัธยฐานเชื่อมต่อกัน

ในรูปสี่เหลี่ยมนูน จะมี การเชื่อมต่อ คู่ระหว่างเส้นกึ่งกลางและเส้นทแยงมุมดังต่อไปนี้: ^{[ 6 ]}

• เส้นกึ่งกลางทั้งสองจะมีความยาวเท่ากันก็ต่อเมื่อเส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากกัน
• เส้นกึ่งกลางสองเส้นจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อเส้นทแยงมุมทั้งสองมีความยาวเท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็ต่อเมื่อเส้นทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมมีความยาวเท่ากัน นั่นคือ ถ้ารูปสี่เหลี่ยมเป็น รูป สี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากัน^{[ 7 ]}

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าก็ต่อเมื่อเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมนั้นตั้งฉากกันนั่นคือ ถ้ารูปสี่เหลี่ยมนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก^{[ 6 ] : หน้า 14 [ 7 ] : หน้า 169}

สำหรับรูป สี่เหลี่ยม ที่ตัดกันเองรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงสามารถลดรูปเป็นจุดสี่จุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ทำให้เกิดส่วนของเส้นตรงที่ถูกตัดผ่านสองครั้ง เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่รูปหลายเหลี่ยมถูกสร้างขึ้นโดยการแทนที่ด้านขนานสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยเส้นทแยงมุมสองเส้นของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เช่นในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตรงข้าม^{[ 8 ]}

• การสร้างรูปสี่เหลี่ยมโดยใช้เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากเป็นอีกวิธีหนึ่งในการสร้างรูปสี่เหลี่ยมอีกรูปหนึ่งจากรูปสี่เหลี่ยมที่กำหนดให้
• ทฤษฎีบทการแบ่งสามเหลี่ยมของมอร์ลีย์ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม

• HSM Coxeter, SL Greitzer: Geometry Revisited . MAA, Washington 1967, หน้า 52-54
• Peter N. Oliver: ผลที่ตามมาของทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมด้านขนานของ Varignonวารสารครูคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 94 เล่มที่ 5 พฤษภาคม 2544 หน้า 406-408

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของวาริญง

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทของวาริญง" . แมธเวิลด์ .
• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญงในเรขาคณิตเชิงเปรียบเทียบ
• การขยายทฤษฎีบทของวาริญงไปสู่รูป 2n เหลี่ยมและสามมิติในDynamic Geometry Sketchesซึ่งเป็นภาพร่างเรขาคณิตแบบไดนามิกเชิงโต้ตอบ
• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน Varignonที่ cut-the-knot-org