ต่อไปนี้คือเอกลักษณ์ ที่สำคัญ เกี่ยวกับการอนุพันธ์และการอินทิกรัลในแคลคูลัสเวก เตอร์
สัญกรณ์ตัวดำเนินการ
ไล่ระดับสี สำหรับฟังก์ชัน ในตัวแปร พิกัดคาร์ทีเซียน สามมิติเกรเดียนต์คือสนามเวกเตอร์: โดยที่i , j , k คือเวกเตอร์หน่วย มาตรฐาน สำหรับ แกน x , y , z โดยทั่วไปแล้ว สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรn ตัว หรือที่เรียกว่า สนาม สเกลาร์ เกร เดียนต์คือสนามเวกเตอร์ : โดยที่เป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากซึ่งกันและกัน เอฟ ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} บัณฑิต ( เอฟ ) = ∇ เอฟ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) เอฟ = ∂ เอฟ ∂ x ฉัน + ∂ เอฟ ∂ y เจ + ∂ เอฟ ∂ z เค {\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} } ψ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})} ∇ ψ = ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) ψ = ∂ ψ ∂ x 1 อี 1 + ⋯ + ∂ ψ ∂ x n อี n {\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}} อี ฉัน ( ฉัน = 1 , 2 , . . . , n ) {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)}
ตามชื่อที่บ่งบอกไว้ ค่าความชันจะเป็นสัดส่วนกับ และชี้ไปในทิศทางของการเปลี่ยนแปลงที่เร็วที่สุด (ในเชิงบวก) ของฟังก์ชัน
สำหรับฟิลด์เวกเตอร์หรือที่เรียกว่าฟิลด์เทนเซอร์อันดับ 1 เกรเดียนต์หรืออนุพันธ์รวม คือเมทริกซ์จาโคเบียน n × n : [ 1 ] A = ( A 1 , … , A n ) {\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)} J A = d A = ( ∇ A ) T = ( ∂ A i ∂ x j ) i j . {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}
สำหรับฟิลด์เทนเซอร์ที่ มีอันดับk ใดๆ เกรเดียนต์จะเป็นฟิลด์เทนเซอร์ที่มีอันดับk + 1 T {\displaystyle \mathbf {T} } grad ( T ) = d T = ( ∇ T ) T {\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}}
สำหรับฟิลด์เทนเซอร์ที่มีอันดับk > 0 ฟิลด์เทนเซอร์ที่มีอันดับk + 1 ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด โดยที่เป็นเวกเตอร์ค่าคงที่ใดๆ T {\displaystyle \mathbf {T} } ∇ T {\displaystyle \nabla \mathbf {T} } ( ∇ T ) ⋅ C = ∇ ( T ⋅ C ) {\displaystyle (\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )} C {\displaystyle \mathbf {C} }
ความแตกต่าง ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ ที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง คือฟังก์ชันค่าสเกลาร์: F = F x i + F y j + F z k {\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} } div F = ∇ ⋅ F = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ ( F x , F y , F z ) = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} &={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}},\ {\dfrac {\partial }{\partial y}},\ {\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.\end{aligned}}}
ตามชื่อที่บ่งบอก การล divergence คือการวัด (ในระดับท้องถิ่น) ของระดับที่เวกเตอร์ในฟิลด์นั้นล diverge ออกจากกัน
ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเทนเซอร์ ที่มีอันดับไม่เป็นศูนย์k เขียนได้เป็น ซึ่งเป็นการหดตัว ของสนามเทนเซอร์ที่มีอันดับk − 1 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไดเวอร์เจนซ์ของเวกเตอร์เป็นสเกลาร์ ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเทนเซอร์ที่มีอันดับสูงกว่าสามารถหาได้โดยการแยกสนามเทนเซอร์ออกเป็นผลรวมของผลคูณภายนอก และใช้เอกลักษณ์ โดยที่คืออนุพันธ์ทิศทาง ในทิศทางของคูณด้วยขนาดของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สองตัว[ 2 ] T {\displaystyle \mathbf {T} } div ( T ) = ∇ ⋅ T {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T} } ∇ ⋅ ( A ⊗ T ) = T ( ∇ ⋅ A ) + ( A ⋅ ∇ ) T {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T} } A ⋅ ∇ {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla } A {\displaystyle \mathbf {A} } ∇ ⋅ ( A B T ) = B ( ∇ ⋅ A ) + ( A ⋅ ∇ ) B . {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .}
สำหรับฟิลด์เทนเซอร์ที่มีอันดับk > 1 ฟิลด์เทนเซอร์ที่มีอันดับk − 1 ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด โดยที่เป็นเวกเตอร์ค่าคงที่ใดๆ T {\displaystyle \mathbf {T} } ∇ ⋅ T {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} } ( ∇ ⋅ T ) ⋅ C = ∇ ⋅ ( T ⋅ C ) {\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )} C {\displaystyle \mathbf {C} }
เคิร์ล ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเคิร์ลคือสนามเวกเตอร์: โดยที่i , j และk คือเวกเตอร์หน่วย สำหรับ แกน x , y และz ตามลำดับ F = F x i + F y j + F z k {\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} } curl F = ∇ × F = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) × ( F x , F y , F z ) = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) j + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1em]&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}
ตามชื่อที่บ่งบอก เคิร์ลคือการวัดว่าเวกเตอร์ที่อยู่ใกล้เคียงกันมีแนวโน้มไปในทิศทางวงกลมมากน้อยเพียงใด
ในสัญกรณ์ของไอน์สไตน์ เวกเตอร์ฟิลด์จะมีค่า curl ดังนี้: โดยที่= ±1 หรือ 0 คือ สัญลักษณ์พาริตี ของ Levi-Civita F = ( F 1 , F 2 , F 3 ) {\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}} ∇ × F = ε i j k e i ∂ F k ∂ x j {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}} ε {\displaystyle \varepsilon }
สำหรับฟิลด์เทนเซอร์ที่มีอันดับk > 1 ฟิลด์เทนเซอร์ที่มีอันดับk ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด โดยที่เป็นเวกเตอร์ค่าคงที่ใดๆ T {\displaystyle \mathbf {T} } ∇ × T {\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} } ( ∇ × T ) ⋅ C = ∇ × ( T ⋅ C ) {\displaystyle (\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )} C {\displaystyle \mathbf {C} }
ฟิลด์เทนเซอร์ที่มีอันดับมากกว่าหนึ่งสามารถแยกออกเป็นผลรวมของผลคูณภายนอกได้ จากนั้นสามารถใช้เอกลักษณ์ต่อไปนี้ได้: โดยเฉพาะสำหรับผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สองตัว[ 3 ] ∇ × ( A ⊗ T ) = ( ∇ × A ) ⊗ T − A × ( ∇ T ) . {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).} ∇ × ( A B T ) = ( ∇ × A ) B T − A × ( ∇ B ) . {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).}
ลาปลาเซียน ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ลาปลาเซียนของฟังก์ชันคือ f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} Δ f = ∇ 2 f = ( ∇ ⋅ ∇ ) f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}
ค่าลาปลาเซียนเป็นตัววัดว่าฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงมากน้อยเพียงใดบนทรงกลมขนาดเล็กที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น
เมื่อค่า Laplacian เท่ากับ 0 ฟังก์ชันนั้นเรียกว่าฟังก์ชันฮาร์มอนิก นั่นคือ Δ f = 0. {\displaystyle \Delta f=0.}
สำหรับฟิลด์เทนเซอร์ , , โดยทั่วไปแล้วตัวดำเนินการลาปลาเซียนจะเขียนได้ดังนี้: และ เป็นฟิลด์เทนเซอร์ที่มีลำดับเดียวกัน T {\displaystyle \mathbf {T} } Δ T = ∇ 2 T = ( ∇ ⋅ ∇ ) T {\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} }
สำหรับฟิลด์เทนเซอร์อันดับk > 0 ฟิลด์เทนเซอร์อันดับk ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด โดยที่เป็นเวกเตอร์ค่าคงที่ใดๆ T {\displaystyle \mathbf {T} } ∇ 2 T {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} } ( ∇ 2 T ) ⋅ C = ∇ 2 ( T ⋅ C ) {\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )} C {\displaystyle \mathbf {C} }
หมายเหตุพิเศษ ใน สัญกร ณ์ตัวห้อยของ Feynman โดย ที่สัญกรณ์ ∇ B B เท่านั้น [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] ∇ B ( A ⋅ B ) = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }
โดยทั่วไปแต่คล้ายกันคือสัญกรณ์จุดเหนือตัวอักษร ของ Hestenes ในพีชคณิตเรขาคณิต [ 7 ] [ 8 ] เอกลักษณ์ B จะถูกหาอนุพันธ์ ในขณะที่ A (ที่ไม่มีจุด) จะคงที่ ∇ ˙ ( A ⋅ B ˙ ) = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }
ประโยชน์ของการใช้สัญลักษณ์ตัวห้อยของเฟย์นแมนอยู่ที่การนำไปใช้ในการพิสูจน์เอกลักษณ์อนุพันธ์ของเวกเตอร์และเทนเซอร์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ซึ่งใช้เอกลักษณ์ทางพีชคณิตC ⋅( A × B ) = ( C × A )⋅ B :
∇ ⋅ ( A × B ) = ∇ A ⋅ ( A × B ) + ∇ B ⋅ ( A × B ) = ( ∇ A × A ) ⋅ B + ( ∇ B × A ) ⋅ B = ( ∇ A × A ) ⋅ B − ( A × ∇ B ) ⋅ B = ( ∇ A × A ) ⋅ B − A ⋅ ( ∇ B × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}
อีกวิธีหนึ่งคือการใช้ส่วนประกอบคาร์ทีเซียนของตัวดำเนินการเดล ดังต่อไปนี้ (โดยมีการรวมผลโดยปริยาย เหนือดัชนี i ):
∇ ⋅ ( A × B ) = e i ∂ i ⋅ ( A × B ) = e i ⋅ ∂ i ( A × B ) = e i ⋅ ( ∂ i A × B + A × ∂ i B ) = e i ⋅ ( ∂ i A × B ) + e i ⋅ ( A × ∂ i B ) = ( e i × ∂ i A ) ⋅ B + ( e i × A ) ⋅ ∂ i B = ( e i × ∂ i A ) ⋅ B − ( A × e i ) ⋅ ∂ i B = ( e i × ∂ i A ) ⋅ B − A ⋅ ( e i × ∂ i B ) = ( e i ∂ i × A ) ⋅ B − A ⋅ ( e i ∂ i × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot \partial _{i}(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}
อีกวิธีหนึ่งในการหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์และเทนเซอร์ คือ การแทนที่เวกเตอร์ทุกตัวในเอกลักษณ์ทางพีชคณิตด้วยตัวดำเนินการเดล โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีตัวแปรใดปรากฏทั้งภายในและภายนอกขอบเขตของตัวดำเนินการ หรือทั้งภายในขอบเขตของตัวดำเนินการหนึ่งในเทอม และภายนอกขอบเขตของตัวดำเนินการอื่นในเทอมเดียวกัน (กล่าวคือ ตัวดำเนินการต้องซ้อนกัน) ความถูกต้องของกฎนี้เป็นผลมาจากความถูกต้องของวิธีของไฟน์แมน เพราะเราสามารถแทนที่ด้วยเดลที่มีตัวห้อยได้เสมอ แล้วจึงตัดตัวห้อยออกทันทีภายใต้เงื่อนไขของกฎนี้ ตัวอย่างเช่น จากเอกลักษณ์A ⋅( B × C ) = ( A × B )⋅ C เราอาจได้A ⋅(∇× C ) = ( A ×∇)⋅ C แต่ไม่สามารถได้ ∇⋅( B × C ) = (∇× B )⋅ C และจากA ⋅( B × A ) = 0 ก็ไม่สามารถได้A ⋅(∇× A ) = 0 ในทางกลับกัน เครื่องหมาย del ที่มีตัวห้อยจะกระทำกับตัวห้อยทั้งหมดในพจน์ ดังนั้นA ⋅(∇ A A ) = ∇ A A × A ) = ∇⋅( A × A ) = 0 นอกจากนี้ จากA ×( A × C ) = A ( A ⋅ C ) − ( A ⋅ A ) C เราอาจได้ ∇×(∇× C ) = ∇(∇⋅ C ) − ∇ 2 C แต่จาก ( A ψ )⋅( A φ ) = ( A ⋅ A )( ψφ ) เราอาจไม่ได้รับ (∇ ψ )⋅(∇ φ ) = ∇ 2 ( ψφ )
ตัวห้อยc บนปริมาณบ่งชี้ว่าปริมาณนั้นถือเป็นค่าคงที่ชั่วคราว เนื่องจากค่าคงที่ไม่ใช่ตัวแปร เมื่อใช้กฎการแทนที่ (ดูย่อหน้าก่อนหน้า) ค่าคงที่จึงสามารถย้ายเข้าหรือออกจากขอบเขตของตัวดำเนินการ del ได้ ซึ่งแตกต่างจากตัวแปร ดังตัวอย่างต่อไปนี้: [ 9 ]
∇ ⋅ ( A × B ) = ∇ ⋅ ( A × B c ) + ∇ ⋅ ( A c × B ) = ∇ ⋅ ( A × B c ) − ∇ ⋅ ( B × A c ) = ( ∇ × A ) ⋅ B c − ( ∇ × B ) ⋅ A c = ( ∇ × A ) ⋅ B − ( ∇ × B ) ⋅ A {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })+\nabla \cdot (\mathbf {A} _{\mathrm {c} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })-\nabla \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {A} _{\mathrm {c} })\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} _{\mathrm {c} }-(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} _{\mathrm {c} }\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}
อีกวิธีหนึ่งในการระบุว่าปริมาณเป็นค่าคงที่คือการติดเป็นตัวห้อยให้กับขอบเขตของตัวดำเนินการเดล ดังนี้: [ 10 ] ∇ ( A ⋅ B ) A = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \nabla \left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)_{\mathbf {A} }=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }
ในส่วนที่เหลือของบทความนี้ จะใช้สัญลักษณ์ตัวห้อยของเฟย์นแมนในส่วนที่เหมาะสม
เอกลักษณ์อนุพันธ์อันดับแรก สำหรับฟิลด์สเกลาร์และฟิลด์เวกเตอร์เรามีเอกลักษณ์อนุพันธ์ดังต่อไปนี้ ψ {\displaystyle \psi } ϕ {\displaystyle \phi } A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} }
คุณสมบัติการกระจาย ∇ ( ψ + ϕ ) = ∇ ψ + ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi } ∇ ( A + B ) = ∇ A + ∇ B {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} } ∇ ⋅ ( A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} } ∇ × ( A + B ) = ∇ × A + ∇ × B {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }
คุณสมบัติการสัมพันธ์ของอนุพันธ์อันดับแรก ( A ⋅ ∇ ) ψ = A ⋅ ( ∇ ψ ) {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\psi =\mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )} ( A ⋅ ∇ ) B = A ⋅ ( ∇ B ) {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )} ( A × ∇ ) ψ = A × ( ∇ ψ ) {\displaystyle (\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\mathbf {A} \times (\nabla \psi )} ( A × ∇ ) B = A × ( ∇ B ) {\displaystyle (\mathbf {A} \times \nabla )\mathbf {B} =\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} )}
กฎการคูณด้วยสเกลาร์ เรามีข้อสรุปทั่วไปของกฎผลคูณ ใน แคลคูลัส ตัวแปรเดียว ดังต่อไป นี้
∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi } ∇ ( ψ A ) = ( ∇ ψ ) A T + ψ ∇ A = ∇ ψ ⊗ A + ψ ∇ A {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi \mathbf {A} )&=(\nabla \psi )\mathbf {A} ^{\textsf {T}}+\psi \nabla \mathbf {A} \\&=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \end{aligned}}} ∇ ⋅ ( ψ A ) = ψ ∇ ⋅ A + ( ∇ ψ ) ⋅ A {\displaystyle \nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi )\,{\cdot }\mathbf {A} } ∇ × ( ψ A ) = ψ ∇ × A + ( ∇ ψ ) × A {\displaystyle \nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} } ∇ 2 ( ψ ϕ ) = ψ ∇ 2 ϕ + 2 ∇ ψ ⋅ ∇ ϕ + ϕ ∇ 2 ψ {\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \phi )=\psi \,\nabla ^{2\!}\phi +2\,\nabla \!\psi \cdot \!\nabla \phi +\phi \,\nabla ^{2\!}\psi }
กฎการหารด้วยสเกลาร์โดยใช้ผลหาร ∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ − ψ ∇ ϕ ϕ 2 {\displaystyle \nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}} ∇ ( A ϕ ) = ϕ ∇ A − ∇ ϕ ⊗ A ϕ 2 {\displaystyle \nabla \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla \mathbf {A} -\nabla \phi \otimes \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}} ∇ ⋅ ( A ϕ ) = ϕ ∇ ⋅ A − ∇ ϕ ⋅ A ϕ 2 {\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}} ∇ × ( A ϕ ) = ϕ ∇ × A − ∇ ϕ × A ϕ 2 {\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}} ∇ 2 ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ 2 ψ − 2 ϕ ∇ ( ψ ϕ ) ⋅ ∇ ϕ − ψ ∇ 2 ϕ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla ^{2\!}\psi -2\,\phi \,\nabla \!\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)\cdot \!\nabla \phi -\psi \,\nabla ^{2\!}\phi }{\phi ^{2}}}}
กฎลูกโซ่ ให้เป็นฟังก์ชันตัวแปรเดียวจากสเกลาร์ไปยังสเกลาร์, เป็น เส้นโค้ง พาราเมตริก , เป็นฟังก์ชันจากเวกเตอร์ไปยังสเกลาร์ และ เป็นฟิลด์เวกเตอร์ เรามีกรณีพิเศษต่อไปนี้ของ กฎลูกโซ่ หลายตัวแปร f ( x ) {\displaystyle f(x)} r ( t ) = ( x 1 ( t ) , … , x n ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))} ϕ : R n → R {\displaystyle \phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } A : R n → R n {\displaystyle \mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
∇ ( f ∘ ϕ ) = ( f ′ ∘ ϕ ) ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (f\circ \phi )=\left(f'\circ \phi \right)\nabla \phi } ( r ∘ f ) ′ = ( r ′ ∘ f ) f ′ {\displaystyle (\mathbf {r} \circ f)'=(\mathbf {r} '\circ f)f'} ( ϕ ∘ r ) ′ = ( ∇ ϕ ∘ r ) ⋅ r ′ {\displaystyle (\phi \circ \mathbf {r} )'=(\nabla \phi \circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '} ( A ∘ r ) ′ = r ′ ⋅ ( ∇ A ∘ r ) {\displaystyle (\mathbf {A} \circ \mathbf {r} )'=\mathbf {r} '\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {r} )} ∇ ( ϕ ∘ A ) = ( ∇ A ) ⋅ ( ∇ ϕ ∘ A ) {\displaystyle \nabla (\phi \circ \mathbf {A} )=(\nabla \mathbf {A} )\cdot (\nabla \phi \circ \mathbf {A} )} ∇ ⋅ ( r ∘ ϕ ) = ∇ ϕ ⋅ ( r ′ ∘ ϕ ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {r} \circ \phi )=\nabla \phi \cdot (\mathbf {r} '\circ \phi )} ∇ × ( r ∘ ϕ ) = ∇ ϕ × ( r ′ ∘ ϕ ) {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {r} \circ \phi )=\nabla \phi \times (\mathbf {r} '\circ \phi )} ∇ ( r ∘ ϕ ) = ∇ ϕ ⊗ ( r ′ ∘ ϕ ) {\displaystyle \nabla (\mathbf {r} \circ \phi )=\nabla \phi \otimes (\mathbf {r} '\circ \phi )} สำหรับการแปลงเวกเตอร์เรามี: u : R n → R n {\displaystyle \mathbf {u} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
∇ ⋅ ( A ∘ u ) = t r ( ( ∇ u ) ⋅ ( ∇ A ∘ u ) ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \mathbf {u} )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {u} )\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {u} )\right)}
ในที่นี้ เราจะหาผลรวม ของกำลังสองของเทนเซอร์อันดับสองสองตัว ซึ่งสอดคล้องกับผลคูณของเมทริกซ์ของเทนเซอร์ทั้งสองนั้น
กฎผลคูณดอท ∇ ( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ ) B + ( B ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × B ) + B × ( ∇ × A ) = A ⋅ J B + B ⋅ J A = ( ∇ B ) ⋅ A + ( ∇ A ) ⋅ B {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}}
โดยที่หมายถึงเมทริกซ์จาโคเบียน ของสนามเวกเตอร์ J A = ( ∇ A ) T = ( ∂ A i / ∂ x j ) i j {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}} A = ( A 1 , … , A n ) {\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}
หรืออีกวิธีหนึ่งคือการใช้สัญกรณ์ตัวห้อยของเฟย์นแมน
∇ ( A ⋅ B ) = ∇ A ( A ⋅ B ) + ∇ B ( A ⋅ B ) . {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}
ดูหมายเหตุเหล่านี้[ 11 ]
ในกรณีพิเศษเมื่อ A = B
1 2 ∇ ( A ⋅ A ) = A ⋅ J A = ( ∇ A ) ⋅ A = ( A ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × A ) = A ∇ A . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.}
การขยาย สูตร ผลคูณจุด ไปยังแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ เป็นคุณสมบัติที่กำหนดของการเชื่อมต่อแบบรีมันน์ ซึ่งทำการหาอนุพันธ์ของสนามเวกเตอร์เพื่อให้ได้รูปแบบ 1 มิติ ที่มีค่าเป็นเวก เตอร์
กฎผลคูณไขว้ ∇ ( A × B ) = ( ∇ A ) × B − ( ∇ B ) × A {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {B} \,-\,(\nabla \mathbf {B} )\times \mathbf {A} } ∇ ⋅ ( A × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )} ∇ × ( A × B ) = A ( ∇ ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B = A ( ∇ ⋅ B ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( B ( ∇ ⋅ A ) + ( A ⋅ ∇ ) B ) = ∇ ⋅ ( B A T ) − ∇ ⋅ ( A B T ) = ∇ ⋅ ( B A T − A B T ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}} A × ( ∇ × B ) = ∇ B ( A ⋅ B ) − ( A ⋅ ∇ ) B = A ⋅ J B − ( A ⋅ ∇ ) B = ( ∇ B ) ⋅ A − A ⋅ ( ∇ B ) = A ⋅ ( J B − J B T ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt]\end{aligned}}} ( A × ∇ ) × B = ( ∇ B ) ⋅ A − A ( ∇ ⋅ B ) = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B − A ( ∇ ⋅ B ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\end{aligned}}} ( A × ∇ ) ⋅ B = A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle (\mathbf {A} \times \nabla )\cdot \mathbf {B} \ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )} โปรดทราบว่าเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์ปฏิสมมาตร J B − J B T {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}}
เอกลักษณ์อนุพันธ์อันดับสอง
ค่าเบี่ยงเบนของเคิร์ลเป็นศูนย์ ไดเวอร์เจนซ์ ของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ A ใดๆ ที่สามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่องจะมีค่าเป็นศูนย์เสมอ: ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}
นี่เป็นกรณีพิเศษของการหายไปของกำลังสองของอนุพันธ์ภายนอก ในคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ เดอ แรม
การล divergence ของ gradient คือ Laplacian ตัวดำเนินการลาปลาเซียน ของฟิลด์สเกลาร์คือไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ของมัน ผลลัพธ์ที่ได้คือปริมาณสเกลาร์ Δ ψ = ∇ 2 ψ = ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) {\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}
ความแตกต่างของความแตกต่างไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์A เป็นปริมาณสเกลาร์ และไดเวอร์เจนซ์ของปริมาณสเกลาร์นั้นหาค่าไม่ได้ ดังนั้น ∇ ⋅ ( ∇ ⋅ A ) is undefined. {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}
เคิร์ลของเกรเดียนต์เป็นศูนย์ เคิร์ล ของเกรเดียนต์ ของฟิลด์สเกลาร์ ใดๆ ที่สามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่อง(เช่นคลาสความสามารถในการหาอนุพันธ์ ) จะเป็นเวกเตอร์ศูนย์ เสมอ : φ {\displaystyle \varphi } C 2 {\displaystyle C^{2}} ∇ × ( ∇ φ ) = 0 . {\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .}
สามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ โดยการแสดงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ด้วยทฤษฎีบทของ Schwarz (หรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทของ Clairaut เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์ย่อยแบบผสม) ผลลัพธ์นี้เป็นกรณีพิเศษของการที่ค่ากำลังสองของอนุพันธ์ภายนอก ในคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ De Rham มีค่าเป็น ศูนย์ ∇ × ( ∇ φ ) {\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}
ลอนของลอน ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }
ในที่นี้ ∇ 2 คือเวกเตอร์ลาปลาเซียน ที่ กระทำ กับสนามเวกเตอร์A
เคิร์ลของไดเวอร์เจนซ์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ไดเวอร์เจนซ์ ของสนามเวกเตอร์A เป็นปริมาณสเกลาร์ และเคิร์ลของปริมาณสเกลาร์นั้นไม่มีนิยาม ดังนั้น ∇ × ( ∇ ⋅ A ) is undefined. {\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}
คุณสมบัติการสัมพันธ์ของอนุพันธ์อันดับสอง ( ∇ ⋅ ∇ ) ψ = ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) = ∇ 2 ψ {\displaystyle (\nabla \cdot \nabla )\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi } ( ∇ ⋅ ∇ ) A = ∇ ⋅ ( ∇ A ) = ∇ 2 A {\displaystyle (\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \mathbf {A} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} } ( ∇ × ∇ ) ψ = ∇ × ( ∇ ψ ) = 0 {\displaystyle (\nabla \times \nabla )\psi =\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} } ( ∇ × ∇ ) A = ∇ × ( ∇ A ) = 0 {\displaystyle (\nabla \times \nabla )\mathbf {A} =\nabla \times (\nabla \mathbf {A} )=\mathbf {0} } แผนภูมิ DCG: กฎบางประการสำหรับอนุพันธ์อันดับสอง
ตัวช่วยจำ รูปทางด้านขวาเป็นตัวช่วยจำสำหรับเอกลักษณ์บางอย่างเหล่านี้ ตัวย่อที่ใช้มีดังนี้:
D: ความแตกต่าง C: ม้วน G: การไล่ระดับ ซ้าย: ลาปลาเซียน CC: ลอนของลอน ลูกศรแต่ละอันจะมีป้ายกำกับแสดงผลลัพธ์ของการหาค่าเอกลักษณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลลัพธ์ของการนำตัวดำเนินการที่ปลายลูกศรไปใช้กับตัวดำเนินการที่หัวลูกศร วงกลมสีน้ำเงินตรงกลางหมายความว่า curl ของ curl มีอยู่จริง ในขณะที่วงกลมสีแดงอีกสองวง (เส้นประ) หมายความว่า DD และ GG ไม่มีอยู่จริง
สรุปข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับอัตลักษณ์
ความแตกต่าง
ไล่ระดับสี ∇ ( ψ + ϕ ) = ∇ ψ + ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi } ∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi } ∇ ( ψ A ) = ∇ ψ ⊗ A + ψ ∇ A {\displaystyle \nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} } ∇ ( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ ) B + ( B ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × B ) + B × ( ∇ × A ) {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}
ความแตกต่าง ∇ ⋅ ( A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} } ∇ ⋅ ( ψ A ) = ψ ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇ ψ {\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi } ∇ ⋅ ( A × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − ( ∇ × B ) ⋅ A {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} }
เคิร์ล ∇ × ( A + B ) = ∇ × A + ∇ × B {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} } ∇ × ( ψ A ) = ψ ( ∇ × A ) − ( A × ∇ ) ψ = ψ ( ∇ × A ) + ( ∇ ψ ) × A {\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+(\nabla \psi )\times \mathbf {A} } ∇ × ( ψ ∇ ϕ ) = ∇ ψ × ∇ ϕ {\displaystyle \nabla \times \left(\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi } ∇ × ( A × B ) = A ( ∇ ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} } [ 12 ]
ตัวดำเนินการเวกเตอร์ดอทเดล ( A ⋅ ∇ ) B = − 1 2 [ ∇ ( A ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + A ( ∇ ⋅ B ) ] − 1 2 [ ∇ × ( A × B ) + B × ( ∇ × A ) + A × ( ∇ × B ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} ={}&{\hphantom {{}-{}}}{\tfrac {1}{2}}{\Bigl [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\Bigr ]}\\&-{\tfrac {1}{2}}{\Bigl [}\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} ){\Big ]}\end{aligned}}} [ 13 ] ( A ⋅ ∇ ) A = 1 2 ∇ | A | 2 − A × ( ∇ × A ) = 1 2 ∇ | A | 2 + ( ∇ × A ) × A {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} &={\tfrac {1}{2}}\nabla \left|\mathbf {A} \right|^{2}-\mathbf {A} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\\&={\tfrac {1}{2}}\nabla \left|\mathbf {A} \right|^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} \end{aligned}}} A ⋅ ∇ ( B ⋅ C ) = B ⋅ ( A ⋅ ∇ ) C + C ⋅ ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla (\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {C} +\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} }
อนุพันธ์อันดับสอง ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0} ∇ × ( ∇ ψ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} } ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) = ∇ 2 ψ {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi } ลาปลาเซียนสเกลาร์ )∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ 2 A {\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} } เวกเตอร์ลาปลาเซียน )∇ ⋅ [ ∇ A + ( ∇ A ) T ] = ∇ 2 A + ∇ ( ∇ ⋅ A ) {\displaystyle \nabla \cdot {\big [}\nabla \mathbf {A} +(\nabla \mathbf {A} )^{\textsf {T}}{\big ]}=\nabla ^{2}\mathbf {A} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )} ∇ ⋅ ( ϕ ∇ ψ ) = ϕ ∇ 2 ψ + ∇ ϕ ⋅ ∇ ψ {\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi } ψ ∇ 2 ϕ − ϕ ∇ 2 ψ = ∇ ⋅ ( ψ ∇ ϕ − ϕ ∇ ψ ) {\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)} ∇ 2 ( ϕ ψ ) = ϕ ∇ 2 ψ + 2 ( ∇ ϕ ) ⋅ ( ∇ ψ ) + ( ∇ 2 ϕ ) ψ {\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi } ∇ 2 ( ψ A ) = A ∇ 2 ψ + 2 ( ∇ ψ ⋅ ∇ ) A + ψ ∇ 2 A {\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} } ∇ ⋅ [ ( A ⋅ ∇ ) B ] = ( A ⋅ ∇ ) ( ∇ ⋅ B ) + ( ∇ A ) : _ ( ∇ B ) {\displaystyle \nabla \cdot {\big [}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} {\big ]}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )(\nabla \cdot \mathbf {B} )+(\nabla \mathbf {A} )\,{\underline {:}}\,(\nabla \mathbf {B} )} ∇ × [ ( A ⋅ ∇ ) A ] + [ ( ∇ × A ) ⋅ ∇ ] A = [ ( A ⋅ ∇ ) + ( ∇ ⋅ A ) ] ( ∇ × A ) {\displaystyle \nabla \times \left[\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right]+\left[\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \nabla \right]\mathbf {A} =\left[\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)+\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)\right]\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)} ∇ 2 ( A ⋅ B ) = A ⋅ ∇ 2 B − B ⋅ ∇ 2 A + 2 ∇ ⋅ ( ( B ⋅ ∇ ) A + B × ( ∇ × A ) ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))} เอกลักษณ์เวกเตอร์ของกรีน )
อนุพันธ์อันดับสาม ∇ 2 ( ∇ ψ ) = ∇ ( ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) ) = ∇ ( ∇ 2 ψ ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)} ∇ 2 ( ∇ ⋅ A ) = ∇ ⋅ ( ∇ ( ∇ ⋅ A ) ) = ∇ ⋅ ( ∇ 2 A ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)} ∇ 2 ( ∇ × A ) = − ∇ × ( ∇ × ( ∇ × A ) ) = ∇ × ( ∇ 2 A ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}
การบูรณาการ ด้านล่างนี้สัญลักษณ์หยิก ∂ หมายถึง " ขอบเขตของ " พื้นผิวหรือทรงตัน
ในทฤษฎีบทปริพันธ์พื้นผิว-ปริมาตรต่อไปนี้V หมายถึงปริมาตรสามมิติที่มีขอบเขต สองมิติที่สอดคล้องกัน S = ∂ V ( พื้นผิวปิด ):
∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ d S = ∭ V ∇ ψ d V {\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV} ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} A ⋅ d S = ∭ V ∇ ⋅ A d V {\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV} ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ )∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} A × d S = − ∭ V ∇ × A d V {\displaystyle \mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV} ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ ∇ φ ⋅ d S = ∭ V ( ψ ∇ 2 φ + ∇ φ ⋅ ∇ ψ ) d V {\displaystyle \psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV} ตัวตนแรกของกรีน )∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( ψ ∇ φ − φ ∇ ψ ) ⋅ d S = {\displaystyle \left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( ψ ∂ φ ∂ n − φ ∂ ψ ∂ n ) d S {\displaystyle \left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS} = ∭ V ( ψ ∇ 2 φ − φ ∇ 2 ψ ) d V {\displaystyle \displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV} ตัวตนที่สองของกรีน )∭ V A ⋅ ∇ ψ d V = {\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ A ⋅ d S − ∭ V ψ ∇ ⋅ A d V {\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV} การอินทิเกรตโดยส่วน )∭ V ψ ∇ ⋅ A d V = {\displaystyle \iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ A ⋅ d S − ∭ V A ⋅ ∇ ψ d V {\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV} การอินทิเกรตโดยส่วน )∭ V A ⋅ ( ∇ × B ) d V = − {\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,dV\ =\ -} ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( A × B ) ⋅ d S + ∭ V ( ∇ × A ) ⋅ B d V {\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot d\mathbf {S} +\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \mathbf {B} \,dV} การอินทิเกรตโดยส่วน )∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} A × ( d S ⋅ ( B C T ) ) = ∭ V A × ( ∇ ⋅ ( B C T ) ) d V + ∭ V B ⋅ ( ∇ A ) × C d V {\displaystyle \mathbf {A} \times \left(d\mathbf {S} \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\ =\ \iiint _{V}\mathbf {A} \times \left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\,dV+\iiint _{V}\mathbf {B} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {C} \,dV} [ 14 ] ∭ V ( ∇ ⋅ B + B ⋅ ∇ ) A d V = {\displaystyle \iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {B} +\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \,dV\ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( B ⋅ d S ) A {\displaystyle \left(\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} \right)\mathbf {A} } [ 15 ]
ในทฤษฎีบทปริพันธ์ของเส้นโค้งและพื้นผิวต่อไปนี้S แทนพื้นผิวเปิด 2 มิติที่มีขอบเขต 1 มิติที่สอดคล้องกันC = ∂ S ( เส้นโค้งปิด ):
∮ ∂ S A ⋅ d ℓ = ∬ S ( ∇ × A ) ⋅ d S {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} } ทฤษฎีบทของสโตกส์ )∮ ∂ S ψ d ℓ = − ∬ S ∇ ψ × d S {\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} } ∮ ∂ S A × d ℓ = − ∬ S ( ∇ A − ( ∇ ⋅ A ) 1 ) ⋅ d S = − ∬ S ( d S × ∇ ) × A {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\left(\nabla \mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {1} \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ -\iint _{S}\left(d\mathbf {S} \times \nabla \right)\times \mathbf {A} } ∮ ∂ S A × ( B × d ℓ ) = ∬ S ( ∇ × ( A B T ) ) ⋅ d S + ∬ S ( ∇ ⋅ ( B A T ) ) × d S {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times d{\boldsymbol {\ell }})\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\right)\cdot d\mathbf {S} +\iint _{S}\left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\right)\times d\mathbf {S} } [ 16 ] ∮ ∂ S ( B ⋅ d ℓ ) A = ∬ S ( d S ⋅ [ ∇ × B − B × ∇ ] ) A {\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} } [ 17 ] การอินทิเกรตตามเส้นโค้งปิดใน ทิศทางตามเข็ม นาฬิกา คือค่าลบของการอินทิเกรตตามเส้นโค้งเดียวกันในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา (คล้ายกับการสลับขอบเขตในการอินทิเกรตแบบจำกัด ):
∂ S {\displaystyle {\scriptstyle \partial S}} A ⋅ d ℓ = − {\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-} ∂ S {\displaystyle {\scriptstyle \partial S}} A ⋅ d ℓ . {\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}.}
อินทิกรัลเส้นโค้งจุดปลาย ในทฤษฎีบทปริพันธ์เส้นโค้งจุดปลายต่อไปนี้P แทนเส้นทางเปิด 1 มิติที่มีจุดขอบเขต 0 มิติแบบมีเครื่องหมายและการอินทิเกรตตามP คือจากถึง: q − p = ∂ P {\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =\partial P} p {\displaystyle \mathbf {p} } q {\displaystyle \mathbf {q} }
ψ | ∂ P = ψ ( q ) − ψ ( p ) = ∫ P ∇ ψ ⋅ d ℓ {\displaystyle \psi |_{\partial P}=\psi (\mathbf {q} )-\psi (\mathbf {p} )=\int _{P}\nabla \psi \cdot d{\boldsymbol {\ell }}} ทฤษฎีบทความชัน )A | ∂ P = A ( q ) − A ( p ) = ∫ P ( d ℓ ⋅ ∇ ) A {\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \nabla \right)\mathbf {A} } A | ∂ P = A ( q ) − A ( p ) = ∫ P ( ∇ A ) ⋅ d ℓ + ∫ P ( ∇ × A ) × d ℓ {\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(\nabla \mathbf {A} \right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}+\int _{P}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\times d{\boldsymbol {\ell }}}
อินทิกรัลเทนเซอร์ รูปแบบเทนเซอร์ของทฤษฎีบทปริพันธ์เวกเตอร์อาจได้มาจากการแทนที่เวกเตอร์ (หรือเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่ง) ด้วยเทนเซอร์ โดยที่เวกเตอร์จะต้องปรากฏเป็นเวกเตอร์ขวาสุดของอินทิกรัลแต่ละตัวก่อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทของสโตกส์จะกลายเป็น[ 18 ]
∮ ∂ S d ℓ ⋅ T = ∬ S d S ⋅ ( ∇ × T ) . {\displaystyle \oint _{\partial S}d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {T} \ =\ \iint _{S}d\mathbf {S} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {T} \right).}
ฟิลด์สเกลาร์อาจถูกมองว่าเป็นเวกเตอร์และแทนที่ด้วยเวกเตอร์หรือเทนเซอร์ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น เอกลักษณ์แรกของกรีนจะกลายเป็น
∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ d S ⋅ ∇ A = ∭ V ( ψ ∇ 2 A + ∇ ψ ⋅ ∇ A ) d V {\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \cdot \nabla \!\mathbf {A} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +\nabla \!\psi \cdot \nabla \!\mathbf {A} \right)\,dV} กฎที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับสูตรพีชคณิตและสูตรอนุพันธ์ สำหรับสูตรพีชคณิตนั้น อาจใช้ตำแหน่งเวกเตอร์ซ้ายสุดเป็นทางเลือกได้
ดูเพิ่มเติม
อ่านเพิ่มเติม บาลานิส, คอนสแตนติน เอ. (23 พฤษภาคม 1989). วิศวกรรมแม่เหล็กไฟฟ้าขั้นสูง . ISBN 0-471-62194-3 . Schey, HM (1997). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus . WW Norton & Company. ISBN 0-393-96997-5 . Griffiths, David J. (1999). บทนำสู่พลศาสตร์ไฟฟ้า ISBN 0-13-805326-X . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} &={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}},\ {\dfrac {\partial }{\partial y}},\ {\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6717fdfb982bf77809f037fa11d4c000bd4287)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1em]&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee413ad50436d67bd344bd6a8d2c3937f6803456)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\คณิตศาสตร์ {A} }\ครั้ง \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2be73fb147d2d991b691c0322ec8602518462f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot \partial _{i}(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da7a78dfe9f3612f3cb081a39c3b376ee999e4a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })+\nabla \cdot (\mathbf {A} _{\mathrm {c} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })-\nabla \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {A} _{\mathrm {c} })\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} _{\mathrm {c} }-(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} _{\mathrm {c} }\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94a182151cdb664e661e78d773117439db78f92)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\คณิตศาสตร์ {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a05bc9e2c83fd35d4fb390cca239e0541d0197)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c699cea4f0aa1c2a0a5cb6ed39c859ab7e5426)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babcbaea6d27093697da41f818d334f51722464a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} ={}&{\hphantom {{}-{}}}{\tfrac {1}{2}}{\Bigl [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\Bigr ]}\\&-{\tfrac {1}{2}}{\Bigl [}\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+\mathbf {A} \ครั้ง (\nabla \times \mathbf {B} ){\Big ]}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25b564ffa7b5a717dee9b2681c3e06e8c40473b)
![{\displaystyle \nabla \cdot {\big [}\nabla \mathbf {A} +(\nabla \mathbf {A} )^{\textsf {T}}{\big ]}=\nabla ^{2}\mathbf {A} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348533728c9cab3450f97bf724152585b26550e4)
![{\displaystyle \nabla \cdot {\big [}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} {\big ]}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )(\nabla \cdot \mathbf {B} )+(\nabla \mathbf {A} )\,{\ขีดเส้นใต้ {:}}\,(\nabla \คณิตศาสตร์ {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d46bd359390fb6057d1e4e8b9ddd01be2ea2a8c)
![{\displaystyle \nabla \times \left[\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right]+\left[\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \nabla \right]\mathbf {A} =\left[\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)+\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)\right]\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92e1940b1a8ae5f4ce44eeb43bd059dba324ec0)
![{\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldสัญลักษณ์ {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c48d9c590a9b81aca2c1184cea2b05aad96283)
