ทฤษฎีบทของวิกเนอร์ซึ่งพิสูจน์โดยยูจีน วิกเนอร์ในปี พ.ศ. 2474 ^{[ 2 ]} เป็นรากฐานสำคัญของการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมทฤษฎีบทนี้ระบุถึงวิธีการแสดงสมมาตร ทางกายภาพ เช่นการหมุนการเลื่อนและการแปลง CPT บน ปริภูมิฮิลเบิร์ตของสถานะ

สถานะทางกายภาพในทฤษฎีควอนตัมถูกแทนด้วยเวกเตอร์หน่วยในปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยมีค่าต่างกันเพียงปัจจัยเฟส กล่าวคือ โดยเส้นหรือรังสี เชิงซ้อน ที่เวกเตอร์นั้นทอดผ่าน นอกจากนี้ ตามกฎของบอร์นค่าสัมบูรณ์ของผลคูณภายใน ของเวกเตอร์หน่วย กับเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะหน่วย หรือเทียบเท่ากับค่าโคไซน์กำลังสองของมุมระหว่างเส้นที่เวกเตอร์นั้นทอดผ่าน จะสอดคล้องกับความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะ ปริภูมิรังสีในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตเชิงโปรเจกทีฟคือปริภูมิของเวกเตอร์หน่วยทั้งหมดในปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยมีค่าต่างกันเพียงปัจจัยเฟส ตามทฤษฎีบทของวิกเนอร์ การแปลงใดๆ ของปริภูมิรังสีที่รักษาค่าสัมบูรณ์ของผลคูณภายใน สามารถแทนด้วยการ แปลง เอกภาพหรือ การแปลง ตรงข้ามเอกภาพของปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวโดยมีค่าต่างกันเพียงปัจจัยเฟส ผลที่ตามมาคือ การแทนกลุ่มสมมาตรบนปริภูมิรังสีสามารถยกขึ้นเป็นการแทนเชิงโปรเจก ทีฟ หรือบางครั้งอาจเป็นการแทน แบบธรรมดา บนปริภูมิฮิลเบิร์ตได้

เป็นสมมติฐานหนึ่งในกลศาสตร์ควอนตัมที่ระบุว่าเวกเตอร์อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ต เชิงซ้อน ที่แยกออกจากกันได้${\displaystyle H}$เวกเตอร์ ที่เป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ของกันและกัน แสดงถึงสถานะบริสุทธิ์ เดียวกัน กล่าวคือ เวกเตอร์เหล่านั้น${\displaystyle \Psi \in H\setminus \{0\}}$และ${\displaystyle \lambda \Psi }$, กับ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$แสดงถึงสถานะเดียวกัน^{[ 3 ]} โดยการคูณเวกเตอร์สถานะด้วยตัวประกอบเฟสจะได้ชุดเวกเตอร์ที่เรียกว่ารังสี^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\underline {\Psi }}=\left\{e^{i\alpha }\Psi$ :\alpha \in \mathbb {R} \right\}.}

เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัว${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}}$กำหนดให้รังสีทั้งสองเหมือนกันก็ต่อเมื่อแตกต่างกันด้วยจำนวนเชิงซ้อน ที่ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น :${\displaystyle \Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}}$หรืออีกทางเลือกหนึ่ง เราอาจพิจารณารังสี${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$เป็นเซตของเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1, รังสีหน่วยโดยการตัดกับเส้นตรง${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$ด้วยทรงกลมหน่วย^{[ 6 ]}

${\displaystyle SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}}$.

เวกเตอร์หน่วยสองตัว${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}}$จากนั้นกำหนดรังสีหน่วยเดียวกัน${\displaystyle {\underline {\Psi _{1}}}={\underline {\Psi _{2}}}}$หากมีความแตกต่างกันด้วยปัจจัยเฟส:${\displaystyle \Psi _{1}=e^{i\alpha }\Psi _{2}}$นี่คือภาพที่พบได้ทั่วไปในวิชาฟิสิกส์ ชุดของรังสีมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับชุดของรังสีหน่วย และเราสามารถระบุพวกมันได้ นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสถานะบริสุทธิ์ทางฟิสิกส์ด้วย${\displaystyle \rho }$และรังสี (หน่วย)${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$มอบให้โดย

${\displaystyle \rho =P_{\Phi }={\frac {|\Phi \rangle \langle \Phi |}{\langle \Phi |\Phi \rangle }}}$

ที่ไหน${\displaystyle P_{\Phi }}$คือการฉายภาพตั้งฉากบนเส้นตรง${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$ไม่ว่าจะตีความอย่างไรก็ตาม หาก${\displaystyle \Phi \in {\underline {\Psi }}}$หรือ${\displaystyle P_{\Phi }=P_{\Psi }}$แล้ว${\displaystyle \Phi }$เป็นตัวแทนของ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$[ ^{nb 1 ]}

พื้นที่ของรังสีทั้งหมดเป็นพื้นที่ฮิลเบิร์ตเชิงโปรเจกทีฟที่เรียกว่าพื้นที่รังสี^{[ 7 ]}สามารถกำหนดได้หลายวิธี อาจกำหนดความสัมพันธ์สมมูล ได้${\displaystyle \sim }$บน${\displaystyle H\setminus \{0\}}$โดย

${\displaystyle \Psi \sim \Phi \Leftrightarrow \Psi =\lambda \Phi ,\quad \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

และกำหนดปริภูมิรังสีเป็นเซตผลหาร

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=(H\setminus \{0\})/{\sim }}$.

หรืออีกทางหนึ่ง สำหรับความสัมพันธ์สมมูลบนทรงกลม${\displaystyle SH}$ปริภูมิรังสีหน่วยเป็นรูปแบบหนึ่งของปริภูมิรังสีที่นิยาม (โดยไม่แยกความแตกต่างทางสัญลักษณ์กับปริภูมิรังสี) ว่าเป็นเซตของชั้นสมมูล

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=SH/\sim }$.

นิยามที่เทียบเท่ากันประการที่สามของปริภูมิรังสีคือปริภูมิรังสีสถานะบริสุทธิ์กล่าวคือเมทริกซ์ความหนาแน่นที่เป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉากของอันดับ 1

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}}$,

ที่ไหน${\displaystyle B(H)}$คือปริภูมิบานาคของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบน${\displaystyle H}$,${\displaystyle P^{\dagger }}$คือตัวดำเนินการผกผัน (เทียบเท่ากับการสลับตำแหน่งแบบสังยุค )${\displaystyle H}$(มีมิติจำกัด) และ${\displaystyle \mathbb {tr} (P)}$คือร่องรอยของ P.

เงื่อนไขเหล่านี้สามารถเข้าใจได้ดังนี้${\displaystyle P=P^{2}}$หมายความว่า P เป็นไอเดมโพเทนต์ (การฉายภาพสองครั้งให้ผลลัพธ์เหมือนกับการฉายภาพครั้งเดียว)${\displaystyle P=P^{\dagger }}$วิธี${\displaystyle Px}$และ${\displaystyle Px-x}$ตั้งฉากกันสำหรับใดๆ${\displaystyle x\in H}$การฉายภาพเชิงตั้งฉากจะมีค่าไอเกนได้เพียง 0 หรือ 1 เท่านั้น และในบริบทนี้${\displaystyle \mathbb {tr} (P)=1}$หมายความว่าปริภูมิไอเกนสำหรับค่าไอเกน 1 มีมิติเดียว ซึ่งหมายความว่า P เป็นการฉายภาพลงบนปริภูมิย่อยที่มีมิติเดียว ลักษณะเฉพาะทางพีชคณิตนี้ถือว่ามีความสำคัญ แม้ว่าจะเทียบเท่ากับลักษณะอื่นๆ ก็ตาม เนื่องจากเป็นการยืนยันว่าปริภูมิของรังสีเป็น วาไรตี้ ทางพีชคณิต

ถ้า${\displaystyle H}$เป็นมิติn นั่นคือ${\displaystyle H_{n}:=H}$, แล้ว${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})}$มีโครงสร้างสมมาตรกับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{n})}$. ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \lambda _{1}|+\rangle +\lambda _{2}|-\rangle ,\quad (\lambda _{1},\lambda _{2})\in \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}$

สร้างจุดบนทรงกลมบล็อกซึ่งมีโครงสร้างเหมือนกับทรงกลมรีมันน์${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$.

ปริภูมิเรย์ (หรือปริภูมิเชิงฉาย ) ไม่ใช่ปริภูมิเวกเตอร์ แต่เป็นเซตของเส้นเวกเตอร์ (ปริภูมิย่อยเวกเตอร์มิติหนึ่ง) ในปริภูมิเวกเตอร์มิติn + 1ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์สองตัวใดๆ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}\in H_{2}}$และอัตราส่วนของจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle (\lambda _{1}:\lambda _{2})}$(เช่น องค์ประกอบของ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$มีรังสีที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน${\displaystyle {\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}}$ดังนั้น สำหรับรังสีที่แตกต่างกัน${\displaystyle {\underline {\Psi }}_{1},{\underline {\Psi }}_{2}}$(เช่น เส้นที่เป็นอิสระเชิงเส้น) มีเส้นรังสีเชิงโปรเจกทีฟในรูปแบบ${\displaystyle {\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}}$ใน${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$เส้นเชิงซ้อน 1 มิติทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อน 2 มิติที่เกิดจาก${\displaystyle \Psi _{1}}$และ${\displaystyle \Psi _{2}}$อย่างไรก็ตาม ตรงกันข้ามกับกรณีของปริภูมิเวกเตอร์ เซตแผ่ขยายอิสระเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอสำหรับการกำหนดพิกัด (ดู: กรอบโปรเจคทีฟ )

โครงสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ตบน${\displaystyle H}$กำหนดโครงสร้างเพิ่มเติมในปริภูมิรังสี กำหนดความสัมพันธ์ของรังสี (หรือผลคูณของรังสี )

${\displaystyle {\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}={\frac {\left|\left\langle \Psi ,\Phi \right\rangle \right|}{\|\Phi \|\|\Psi \|}}={\sqrt {\mathrm {tr} (P_{\Psi }P_{\Phi })}},}$

ที่ไหน${\displaystyle \langle \,,\,\rangle }$คือผลคูณภายใน ของปริภูมิฮิลเบิร์ต และ${\displaystyle \Psi ,\Phi }$เป็นตัวแทนของ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$และ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$โปรดสังเกตว่าด้านขวามือไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแทน ความสำคัญทางกายภาพของคำจำกัดความนี้คือ ตามกฎของบอร์นซึ่งเป็นสมมติฐานอีกประการหนึ่งของกลศาสตร์ควอนตัมความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะระหว่างสถานะมาตรฐาน${\displaystyle \Psi }$และ${\displaystyle \Phi }$ในปริภูมิฮิลเบิร์ตนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle P(\Psi \rightarrow \Phi )=|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}}$

กล่าวคือ เราสามารถกำหนดกฎของบอร์นในปริภูมิรังสีได้โดย...

${\displaystyle P({\underline {\Psi }}\to {\underline {\Phi }}):=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}.}$

ในทางเรขาคณิต เราสามารถกำหนดมุมได้${\displaystyle \theta }$กับ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ระหว่างบรรทัด ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$และ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$โดย${\displaystyle \cos(\theta )=({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }})}$มุมดังกล่าวจึงสอดคล้องกับอสมการสามเหลี่ยมและกำหนดโครงสร้างเมตริกบนปริภูมิรังสี ซึ่งมาจากเมตริกแบบรีมันน์ นั่นคือเมตริกฟูบินี-สตูดี

โดยคร่าวๆ แล้ว การแปลงสมมาตรคือการเปลี่ยนแปลงที่ "ไม่มีอะไรเกิดขึ้น" ^{[ 8 ]}หรือ "การเปลี่ยนแปลงมุมมองของเรา" ^{[ 9 ]}ที่ไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ของการทดลองที่เป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น การแปลระบบใน สภาพแวดล้อม ที่เป็นเนื้อเดียวกันไม่ควรมีผลกระทบเชิงคุณภาพต่อผลลัพธ์ของการทดลองที่ทำกับระบบ เช่นเดียวกับการหมุนระบบใน สภาพแวดล้อม ที่เป็นไอโซโทรปิกสิ่งนี้จะชัดเจนยิ่งขึ้นเมื่อพิจารณาการแปลงแบบพาสซีฟ ที่เทียบเท่าทางคณิตศาสตร์ กล่าวคือ การเปลี่ยนพิกัดอย่างง่ายๆ และปล่อยให้ระบบคงอยู่ โดยปกติแล้ว โดเมนและเรนจ์ของปริภูมิฮิลเบิร์ตจะเหมือนกัน ข้อยกเว้นคือ (ในทฤษฎีที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพ) ปริภูมิฮิลเบิร์ตของสถานะอิเล็กตรอนที่อยู่ภายใต้ การแปลง การผันประจุในกรณีนี้ สถานะอิเล็กตรอนจะถูกแมปไปยังปริภูมิฮิลเบิร์ตของ สถานะ โพซิตรอนและในทางกลับกัน อย่างไรก็ตาม นี่หมายความว่าสมมาตรกระทำต่อผลรวมโดยตรงของปริภูมิฮิลเบิร์ต

การแปลงระบบทางกายภาพคือการแปลงสถานะ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์จึงเป็นการแปลง ไม่ใช่ปริภูมิฮิลเบิร์ต แต่เป็นปริภูมิเรย์ ดังนั้นในกลศาสตร์ควอนตัม การแปลงระบบทางกายภาพจึงก่อให้เกิดการแปลงเรย์แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (H)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto T{\underline {\Psi }}.\\\end{aligned}}}$

เนื่องจากการประกอบกันของการแปลงทางกายภาพสองอย่างและการกลับด้านของการแปลงทางกายภาพก็เป็นการแปลงทางกายภาพเช่นกัน และเนื่องจากการประกอบกันนั้นมีคุณสมบัติการสลับที่ ดังนั้นเซตของการแปลงรังสีทั้งหมดที่ได้มาจึงเป็นกลุ่มที่กระทำต่อ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ไม่ใช่ว่าทุกการประมาณค่าแบบหนึ่งต่อหนึ่งของ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ การแปลงสมมาตรนั้นสามารถทำได้ อย่างไรก็ตาม การแปลงทางกายภาพต้องรักษากฎของบอร์นไว้

สำหรับการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพ ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะในระบบที่เปลี่ยนแปลงแล้วและระบบที่ยังไม่เปลี่ยนแปลงควรได้รับการรักษาไว้:

${\displaystyle P({\underline {\Psi }}\rightarrow {\underline {\Phi }})=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}=\left(T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}\right)^{2}=P\left(T\Psi \rightarrow T\Phi \right)}$

การแปลงรังสีแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง${\displaystyle T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (H)}$เรียกว่าการแปลงสมมาตรก็ต่อเมื่อ: ^{[ 10 ]}${\displaystyle T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)}$การตีความทางเรขาคณิตคือ การแปลงสมมาตรเป็นการแปลงไอโซเมตรีของปริภูมิรังสี

ข้อเท็จจริงบางประการเกี่ยวกับการแปลงสมมาตรที่สามารถตรวจสอบได้โดยใช้คำนิยาม:

• ผลคูณของการแปลงสมมาตรสองครั้ง กล่าวคือ การแปลงสมมาตรสองครั้งที่ใช้ต่อเนื่องกัน ก็คือการแปลงสมมาตรนั่นเอง
• การแปลงสมมาตรใดๆ ย่อมมีการแปลงผกผัน
• การแปลงเอกลักษณ์เป็นการแปลงสมมาตร
• การคูณการแปลงสมมาตรมีคุณสมบัติการสลับที่ได้

ชุดของการแปลงสมมาตรจึงก่อตัวเป็นกลุ่ม ซึ่ง ก็ คือ กลุ่มสมมาตรของระบบกลุ่มย่อย ที่สำคัญและเกิดขึ้นบ่อย ในกลุ่มสมมาตรของระบบ ได้แก่การเกิดขึ้นจริงของ

• กลุ่มสมมาตรพร้อมกลุ่มย่อย สิ่งนี้มีความสำคัญต่อการแลกเปลี่ยนป้ายกำกับอนุภาค
• กลุ่มปวงกาเร (Poincaré group ) เป็นกลุ่มที่เข้ารหัส ไอโซเมตรีพื้นฐานของปริภูมิเวลาได้แก่ การเลื่อนปริภูมิเวลาและการแปลงลอเรนซ์
• กลุ่มสมมาตรภายใน เช่นSU(2)และSU(3)พวกมันอธิบายสิ่งที่เรียกว่าสมมาตรภายในเช่นไอโซสปินและประจุสีซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของระบบกลศาสตร์ควอนตัม

กลุ่มเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มสมมาตรของระบบ

ถ้าGเป็นกลุ่มสมมาตร (ในความหมายหลังนี้ คือการฝังตัวเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรของระบบที่กระทำบนปริภูมิรังสี) และถ้าf , g , h ∈ Gโดยที่fg = hแล้ว

${\displaystyle T(f)T(g)=T(h),}$

โดยที่Tคือการแปลงรังสี จากส่วนความเป็นเอกลักษณ์ของทฤษฎีบทของวิกเนอร์ จะได้ว่าสำหรับตัวแทนที่เข้ากันได้U ,

${\displaystyle U(f)U(g)=\omega (f,g)U(fg)=e^{i\xi (f,g)}U(fg),}$

โดยที่ω ( f , g )คือปัจจัยเฟส^{[ nb 3 ]}

ฟังก์ชันωเรียกว่า2-โคไซเคิลหรือตัวคูณชูร์แผนที่U : G → GL( V )ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ข้างต้นสำหรับปริภูมิเวกเตอร์V บางส่วน เรียกว่าการแทนเชิงโปรเจคที ฟ หรือการแทนเชิงเรย์ถ้าω ( f , g ) = 1แล้ว จะเรียกว่าการแทน

คำศัพท์ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์แตกต่างกัน ในบทความที่เชื่อมโยง คำว่า " การแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟ" มีความหมายแตกต่างออกไปเล็กน้อย แต่คำที่นำเสนอในที่นี้เป็นส่วนประกอบหนึ่ง และคณิตศาสตร์โดยตัวมันเองนั้นเหมือนกัน หากการทำให้เป็นจริงของกลุ่มสมมาตรg → T ( g )ถูกกำหนดในรูปของการกระทำบนปริภูมิของรังสีหน่วยS = PHแล้ว มันคือการแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟG → PGL( H )ในความหมายทางคณิตศาสตร์ ในขณะที่การแสดงแทนบนปริภูมิฮิลเบิร์ตคือการแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟG → GL( H )ในความหมายทางฟิสิกส์

เมื่อนำความสัมพันธ์สุดท้ายมาใช้ (หลายครั้ง) กับผลคูณfghและอ้างอิงถึงสมบัติการสลับที่ที่ทราบกันดีของการคูณตัวดำเนินการบนHจะได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (f,g)\omega (fg,h)&=\omega (g,h)\omega (f,gh),\\\xi (f,g)+\xi (fg,h)&=\xi (g,h)+\xi (f,gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ).\end{aligned}}}$

พวกเขายังตอบสนองความต้องการได้อีกด้วย

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\xi (g,e)&=\xi (e,g)=0\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\\\omega \left(g,g^{-1}\right)&=\omega (g^{-1},g),\\\xi \left(g,g^{-1}\right)&=\xi (g^{-1},g).\\\end{aligned}}}$

เมื่อมีการกำหนดนิยามใหม่ของขั้นตอนต่างๆ แล้ว

${\displaystyle U(g)\mapsto {\hat {U}}(g)=\eta (g)U(g)=e^{i\zeta (g)}U(g),}$

ซึ่งได้รับอนุญาตตามทฤษฎีบทสุดท้าย พบว่า^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\omega }}(g,h)&=\omega (g,h)\eta (g)\eta (h)\eta (gh)^{-1},\\{\hat {\xi }}(g,h)&=\xi (g,h)+\zeta (g)+\zeta (h)-\zeta (gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\end{aligned}}}$

โดยปริมาณที่มีหมวกนั้นถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {\hat {U}}(f){\hat {U}}(g)={\hat {\omega }}(f,g){\hat {U}}(fg)=e^{i{\hat {\xi }}(f,g)}{\hat {U}}(fg).}$

ทฤษฎีบทของวิกเนอร์ใช้ได้กับออโตมอร์ฟิซึมบนปริภูมิฮิลเบิร์ตของสถานะบริสุทธิ์ ทฤษฎีบทของคาดิสัน^{[ 23 ]}และไซมอน^{[ 24 ]}ใช้ได้กับปริภูมิของสถานะผสม (ตัวดำเนินการบวกของคลาสร่องรอย) และใช้แนวคิดสมมาตรที่แตกต่างกันเล็กน้อย^{[ 25 ] [ 26 ]}

• ฟิสิกส์อนุภาคและทฤษฎีการแทน

• Hall, Brian C. (2013). "ทฤษฎีควอนตัมสำหรับนักคณิตศาสตร์". ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา เล่มที่ 267. นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4614-7116-5 . ISBN 978-1-4614-7115-8ISSN 0072-5285 S2CID 117837329​​​  
• Mouchet, Amaury (2013). "การพิสูจน์ทางเลือกของทฤษฎีบทวิกเนอร์เกี่ยวกับการแปลงควอนตัมโดยอาศัยการวิเคราะห์เชิงซ้อนเบื้องต้น" Physics Letters A . 377 (39): 2709– 2711. arXiv : 1304.1376 . Bibcode : 2013PhLA..377.2709M . doi : 10.1016/j.physleta.2013.08.017 . S2CID 42994708 . 
• Molnar, Lajos (1999). "แนวทางเชิงพีชคณิตสำหรับทฤษฎีบทเอกภาพ-ปฏิเอกภาพของวิกเนอร์" (PDF) . J. Austral. Math. Soc. Ser. A . 65 (3): 354– 369. arXiv : math/9808033 . Bibcode : 1998math......8033M . doi : 10.1017/s144678870003593x . S2CID 119593689 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2019-04-24 . สืบค้น เมื่อ 2015-02-07 .