ในกลศาสตร์ควอนตัมเมทริกซ์ความหนาแน่น (หรือตัวดำเนินการความหนาแน่น ) คือเมทริกซ์ที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของการวัดที่ดำเนินการกับระบบทางกายภาพ [ ^{1 ] มัน}เป็นการวางนัยทั่วไปของเวกเตอร์สถานะหรือฟังก์ชันคลื่น : ในขณะที่เวกเตอร์เหล่านั้นสามารถแสดงเฉพาะสถานะบริสุทธิ์ เท่านั้น เมทริกซ์ความหนาแน่นยังสามารถแสดงกลุ่มสถานะผสมได้อีกด้วย^{[ 2 ] : 73 [ 3 ] : 100}สิ่งเหล่านี้เกิดขึ้นในกลศาสตร์ควอนตัมในสองสถานการณ์ที่แตกต่างกัน:

1. เมื่อการเตรียมระบบสามารถสร้างสถานะบริสุทธิ์ที่แตกต่างกันได้โดยสุ่ม ดังนั้นจึงต้องพิจารณาสถิติของกลุ่มการเตรียมที่เป็นไปได้ทั้งหมด และ
2. เมื่อต้องการอธิบายระบบทางกายภาพที่พันกันกับระบบอื่น โดยไม่ต้องอธิบายสถานะรวมของระบบทั้งสอง กรณีนี้มักเกิดขึ้นกับระบบที่ปฏิสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อมบางอย่าง (เช่น การลดทอนความสอดคล้อง ทางควอนตัม ) ในกรณีนี้ เมทริกซ์ความหนาแน่นของระบบที่พันกันจะแตกต่างจากเมทริกซ์ความหนาแน่นของกลุ่มสถานะบริสุทธิ์ ซึ่งเมื่อรวมกันแล้วจะให้ผลลัพธ์ทางสถิติเดียวกันเมื่อทำการวัด

ดังนั้น เมทริกซ์ความหนาแน่นจึงเป็นเครื่องมือที่สำคัญอย่างยิ่งในสาขาของกลศาสตร์ควอนตัมที่เกี่ยวข้องกับสถานะผสม (ซึ่งไม่ควรสับสนกับสถานะซ้อนทับ ) เช่นกลศาสตร์สถิติควอนตัมระบบควอนตัมแบบเปิดและสารสนเทศควอนตัม

เมทริกซ์ความหนาแน่นเป็นตัวแทนของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่เรียกว่าตัวดำเนินการความหนาแน่นเมทริกซ์ความหนาแน่นได้มาจากตัวดำเนินการความหนาแน่นโดยการเลือกฐานตั้งฉากปกติ ในปริภูมิพื้นฐาน^{[ 4 ]}ในทางปฏิบัติ คำว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นและตัวดำเนินการความหนาแน่นมักใช้แทนกันได้

เลือกฐานโดยใช้รัฐต่างๆ${\displaystyle |0\rangle }$,${\displaystyle |1\rangle }$ใน ปริภูมิฮิลเบิร์ตสองมิติ ตัวดำเนินการความหนาแน่นจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ $${\displaystyle (\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)}$$ โดยที่องค์ประกอบในแนวทแยงเป็นจำนวนจริงที่รวมกันได้เท่ากับหนึ่ง (เรียกอีกอย่างว่าจำนวนประชากรของทั้งสองรัฐ)${\displaystyle |0\rangle }$,${\displaystyle |1\rangle }$องค์ประกอบนอกแนวทแยงมุมเป็นคู่สังยุคเชิงซ้อนของกันและกัน (เรียกอีกอย่างว่าความสอดคล้อง) โดยขนาดขององค์ประกอบเหล่านี้ถูกจำกัดด้วยข้อกำหนดที่ว่า${\displaystyle (\rho _{ij})}$เป็นตัวดำเนินการกึ่งบวกแน่นอนดูรายละเอียดด้านล่าง

ตัวดำเนินการความหนาแน่นคือ ตัวดำเนินการ กึ่งบวกที่แน่นอนและสมมาตรในตัวเองที่มีร่องรอยหนึ่งซึ่งกระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ตของระบบ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}คำจำกัดความนี้สามารถอธิบายได้ด้วยการพิจารณาสถานการณ์ที่มีสถานะบริสุทธิ์บางสถานะ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$(ซึ่งไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน) ถูกเตรียมด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle p_{j}}$แต่ละ^{[ 8 ]}สิ่งนี้เรียกว่ากลุ่มของสถานะบริสุทธิ์ ความน่าจะเป็นของการได้รับผลลัพธ์การวัดเชิงฉาย${\displaystyle m}$เมื่อใช้โปรเจ็กเตอร์${\displaystyle \Pi _{m}}$กำหนดโดย^{[ 3 ] : 99}$${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle ,}$$ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่าเท่ากับ $${\displaystyle p(m)=\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right].}$$ ดังนั้นตัวดำเนินการความหนาแน่นจึงถูกกำหนดดังนี้ $${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,}$$ เป็นตัวแทนที่สะดวกสำหรับสถานะของกลุ่มนี้ ตัวดำเนินการนี้เป็นบวกกึ่งกำหนด สมมาตรในตัวเอง และมีร่องรอยเป็นหนึ่ง ในทางกลับกัน จากทฤษฎีบทสเปกตรัม จะได้ ว่าตัวดำเนินการทุกตัวที่มีคุณสมบัติเหล่านี้สามารถเขียนได้เป็น${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$สำหรับบางรัฐ${\displaystyle \left|\psi _{j}\right\rangle }$และสัมประสิทธิ์${\displaystyle p_{j}}$ซึ่งไม่เป็นลบและรวมกันได้หนึ่ง^{[ 9 ] [ 3 ] : 102}อย่างไรก็ตาม การแสดงแทนนี้จะไม่เป็นเอกลักษณ์ ดังที่แสดงโดยทฤษฎีบท Schrödinger– HJW

แรงจูงใจอีกประการหนึ่งสำหรับการกำหนดนิยามของตัวดำเนินการความหนาแน่นมาจากการพิจารณาการวัดเฉพาะที่บนสถานะพันกัน ให้${\displaystyle |\Psi \rangle }$เป็นสถานะพันกันบริสุทธิ์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงประกอบ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$ความน่าจะเป็นของการได้ผลการวัด${\displaystyle m}$เมื่อทำการวัดโปรเจคเตอร์${\displaystyle \Pi _{m}}$บนพื้นที่ฮิลเบิร์ต${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$เพียงอย่างเดียวได้รับจาก^{[ 3 ] : 107}$${\displaystyle p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle ,}$$ ซึ่งหลังจากดำเนินการทางพีชคณิตแล้วจะได้ $${\displaystyle p(m)=\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],}$$ ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$หมายถึงร่องรอยบางส่วนเหนือปริภูมิฮิลเบิร์ต${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$สิ่งนี้ทำให้ผู้ดำเนินการ $${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$$ เครื่องมือที่สะดวกในการคำนวณความน่าจะเป็นของการวัดในพื้นที่เหล่านี้ ตัวดำเนินการนี้มีคุณสมบัติทั้งหมดของตัวดำเนินการความหนาแน่น และเป็นที่รู้จักในชื่อเมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปของ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ในระบบย่อยที่ 1 ในทางกลับกันทฤษฎีบท Schrödinger–HJWบ่งชี้ว่าตัวดำเนินการความหนาแน่นทั้งหมดสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$สำหรับบางรัฐ${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }$.

สถานะควอนตัมบริสุทธิ์คือสถานะที่ไม่สามารถเขียนเป็นส่วนผสมเชิงความน่าจะเป็นหรือการรวมแบบนูนของสถานะควอนตัมอื่นได้^{[ 7 ]}มีการกำหนดลักษณะที่เทียบเท่ากันหลายประการของสถานะบริสุทธิ์ในภาษาของตัวดำเนินการความหนาแน่น^{[ 2 ] : 73}ตัวดำเนินการความหนาแน่นแสดงถึงสถานะบริสุทธิ์ก็ต่อเมื่อ:

• สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สถานะ${\displaystyle |\psi \rangle }$นั่นคือกับตัวมันเอง$${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$$
• มันเป็นการฉายภาพโดยเฉพาะอย่างยิ่งการฉายภาพในลำดับที่หนึ่ง
• มันเป็นคุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ (idempotent ) นั่นคือ$${\displaystyle \rho =\rho ^{2}.}$$
• มันมีความบริสุทธิ์ระดับหนึ่ง นั่นคือ$${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.}$$

สิ่งสำคัญคือต้องเน้นย้ำถึงความแตกต่างระหว่างการผสมเชิงความน่าจะเป็น (เช่น กลุ่มของสถานะควอนตัม) และการซ้อนทับของสองสถานะ หากกลุ่มของสถานะควอนตัมถูกเตรียมให้ครึ่งหนึ่งของระบบอยู่ในสถานะ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$และอีกครึ่งหนึ่งใน${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$สามารถอธิบายได้ด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

ที่ไหน${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$และ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$เพื่อความง่าย จึงถือว่าสถานะทั้งสองนี้ตั้งฉากกันและมีมิติ 2 ในทางกลับกันการซ้อนทับเชิงควอนตัมของสถานะทั้งสองนี้ด้วยแอมพลิจูดความน่าจะเป็น ที่เท่ากัน จะส่งผลให้เกิดสถานะบริสุทธิ์${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$ด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

ต่างจากการผสมความน่าจะเป็น การซ้อนทับนี้สามารถแสดงการรบกวนควอนตัมได้^{[ 3 ] : 81}

ในทางเรขาคณิต เซตของตัวดำเนินการความหนาแน่นเป็นเซตแบบนูนและสถานะบริสุทธิ์คือจุดสุดขั้วของเซตนั้น กรณีที่ง่ายที่สุดคือปริภูมิฮิลเบิร์ตสองมิติ ซึ่งเรียกว่าคิวบิตสถานะผสมใดๆ สำหรับคิวบิตสามารถเขียนได้เป็นผลรวมเชิงเส้นของเมทริกซ์ Pauliซึ่งเมื่อรวมกับเมทริกซ์เอกลักษณ์จะให้ฐานสำหรับ${\displaystyle 2\times 2}$เมทริกซ์สมมาตรตัวเอง : ^{[ 10 ] : 126}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

ตัวเลขจริงอยู่ที่ไหน${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$คือพิกัดของจุดภายในทรงกลมหน่วยและ

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

คะแนนกับ${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$จุดภายในแสดงถึงสถานะบริสุทธิ์ ในขณะที่สถานะผสมแสดงถึงสถานะผสม นี่คือ ภาพ ทรงกลมบล็อกของปริภูมิสถานะคิวบิต

ตัวอย่าง: การโพลาไรซ์ของแสง

ตัวอย่างหนึ่งของสถานะบริสุทธิ์และสถานะผสมคือการโพลาไรซ์ของแสงโฟตอนแต่ละตัว สามารถอธิบายได้ว่ามีการโพลาไรซ์แบบวงกลม ขวาหรือซ้าย ซึ่งอธิบายได้ด้วยสถานะควอนตัมตั้งฉาก${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$และ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$หรือเป็นการซ้อนทับกันของทั้งสองอย่าง: มันสามารถอยู่ในสถานะใดก็ได้${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$(กับ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$) ซึ่งสอดคล้องกับ การโพลาไรซ์ เชิงเส้น วงกลมหรือวงรีลองพิจารณาโฟตอนที่มีการโพลาไรซ์ในแนวตั้ง ซึ่งอธิบายได้ด้วยสถานะ${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$ถ้าเราส่งแสงผ่านตัวกรองโพลาไรซ์แบบวงกลมที่ยอมให้แสงผ่านได้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$แสงโพลาไรซ์ หรือเพียงเท่านั้น${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$แสงโพลาไรซ์ ครึ่งหนึ่งของโฟตอนจะถูกดูดซับในทั้งสองกรณี ซึ่งอาจทำให้ดูเหมือนว่าครึ่งหนึ่งของโฟตอนอยู่ในสถานะโพลาไรซ์${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$และอีกครึ่งหนึ่งอยู่ในรัฐ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$แต่สิ่งนี้ไม่ถูกต้อง: ถ้าเราผ่านไป${\displaystyle (|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$เมื่อผ่านตัวกรองโพลาไรซ์เชิงเส้นจะไม่มีการดูดกลืนใดๆ เลย แต่ถ้าเราผ่านสถานะใดสถานะหนึ่ง${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$หรือ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$โฟตอนครึ่งหนึ่งถูกดูดซับ

แสงที่ไม่เป็นโพลาไรซ์ (เช่น แสงจากหลอดไฟไส้ ) ไม่สามารถอธิบายได้ว่าเป็น สถานะ ใดๆของรูปแบบ${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$(การโพลาไรซ์เชิงเส้น วงกลม หรือวงรี) ต่างจากแสงโพลาไรซ์ แสงที่ไม่โพลาไรซ์จะผ่านตัวกรองโพลาไรซ์โดยสูญเสียความเข้ม 50% ไม่ว่าตัวกรองโพลาไรซ์จะอยู่ในทิศทางใด และไม่สามารถทำให้เป็นแสงโพลาไรซ์ได้โดยการผ่านแผ่นคลื่น ใดๆ อย่างไรก็ตาม แสงที่ไม่โพลาไรซ์สามารถอธิบายได้ว่าเป็นกลุ่มทางสถิติ เช่น โฟตอนแต่ละตัวมีอย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$การโพลาไรเซชัน หรือ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$การโพลาไรเซชันด้วยความน่าจะเป็น 1/2 พฤติกรรมเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นหากโฟตอนแต่ละตัวมีการโพลาไรเซชันในแนวตั้ง${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$หรือการโพลาไรซ์แนวนอน${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$ด้วยความน่าจะเป็น 1/2 กลุ่มทั้งสองนี้ไม่สามารถแยกแยะได้อย่างสมบูรณ์ในทางทดลอง ดังนั้นจึงถือว่าเป็นสถานะผสมเดียวกัน สำหรับตัวอย่างแสงที่ไม่โพลาไรซ์นี้ ตัวดำเนินการความหนาแน่นเท่ากับ^{[ 2 ] : 75}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่นในการสร้างแสงที่ไม่เป็นโพลาไรซ์: วิธีหนึ่งคือการสร้างความไม่แน่นอนในการเตรียมโฟตอน เช่น การส่งผ่านโฟตอนผ่านผลึกไบรีฟริงเจนต์ที่มีพื้นผิวขรุขระ เพื่อให้ส่วนต่างๆ ของลำแสงมีโพลาไรเซชันที่แตกต่างกันเล็กน้อย อีกวิธีหนึ่งคือการใช้สถานะพันกัน: การสลายตัวของกัมมันตรังสีสามารถปล่อยโฟตอนสองตัวที่เดินทางในทิศทางตรงกันข้ามในสถานะควอนตัมได้${\displaystyle (|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}}$สถานะร่วมของโฟตอนทั้งสองนั้นบริสุทธิ์แต่เมทริกซ์ความหนาแน่นของแต่ละโฟตอนแยกกัน ซึ่งหาได้จากการหาร่องรอยบางส่วนของเมทริกซ์ความหนาแน่นร่วมนั้น ผสมกันอย่างสมบูรณ์^{[ 3 ] : 106}

ตัวดำเนินการความหนาแน่นที่กำหนดไม่ได้กำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงว่ากลุ่มของสถานะบริสุทธิ์ใดก่อให้เกิดตัวดำเนินการนั้น โดยทั่วไปแล้วจะมีกลุ่มที่แตกต่างกันมากมายนับไม่ถ้วนที่สร้างเมทริกซ์ความหนาแน่นเดียวกัน^{[ 11 ]}ซึ่งไม่สามารถแยกแยะได้ด้วยการวัดใดๆ^{[ 12 ]}กลุ่มที่เทียบเท่ากันสามารถระบุลักษณะได้อย่างสมบูรณ์: ให้${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$เป็นกลุ่มตัวอย่าง จากนั้นสำหรับเมทริกซ์เชิงซ้อนใดๆ${\displaystyle U}$โดยที่${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$( ความสมมาตรบางส่วน ) กลุ่ม${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$กำหนดโดย

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

จะทำให้เกิดตัวดำเนินการความหนาแน่นเดียวกัน และกลุ่มที่เทียบเท่าทั้งหมดจะมีรูปแบบนี้

ข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือ ตัวดำเนินการความหนาแน่นที่กำหนดจะมีสถานะบริสุทธิ์ ที่แตกต่างกันอย่างไม่จำกัดจำนวน ซึ่งเป็นสถานะบริสุทธิ์ที่สร้างตัวดำเนินการความหนาแน่นขึ้นเมื่อทำการหาผลรวมบางส่วน ให้

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

เป็นตัวดำเนินการความหนาแน่นที่สร้างขึ้นโดยกลุ่ม${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$โดยมีรัฐต่างๆ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกันเสมอไป จากนั้นสำหรับไอโซเมตรีบางส่วนทั้งหมด${\displaystyle U}$เรามีสิ่งนั้น

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

เป็นการทำให้บริสุทธิ์ของ${\displaystyle \rho }$, ที่ไหน${\displaystyle |a_{j}\rangle }$เป็นฐานเชิงตั้งฉาก และยิ่งไปกว่านั้น การทำให้บริสุทธิ์ทั้งหมดของ${\displaystyle \rho }$มีลักษณะเช่นนี้

อนุญาต${\displaystyle A}$ให้ เป็นปริมาณที่สังเกตได้ของระบบ และสมมติว่ากลุ่มตัวอย่างอยู่ในสถานะผสม โดยที่แต่ละสถานะบริสุทธิ์${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle p_{j}}$ดังนั้น ตัวดำเนินการความหนาแน่นที่สอดคล้องกันจึงเท่ากับ

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

ค่าคาดหวังของการวัดสามารถคำนวณได้โดยขยายจากกรณีของสถานะบริสุทธิ์:

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {tr} }$หมายถึงร่องรอยดังนั้น สำนวนที่คุ้นเคยคือ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$สำหรับสถานะบริสุทธิ์จะถูกแทนที่ด้วย

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

สำหรับสถานะผสม^{[ 2 ] : 73}

นอกจากนี้ หาก${\displaystyle A}$มีความละเอียดเชิงสเปกตรัม

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

ที่ไหน${\displaystyle P_{i}}$คือตัวดำเนินการฉายภาพไปยังปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ${\displaystyle a_{i}}$ตัวดำเนินการความหนาแน่นหลังการวัดจะได้รับจาก^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

เมื่อได้ผลลัพธ์iแล้ว ในกรณีที่ผลการวัดไม่เป็นที่ทราบ กลุ่มตัวอย่างจะถูกอธิบายโดยวิธีอื่นแทน

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

หากเราสมมติว่าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์การวัดเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวฉายภาพ${\displaystyle P_{i}}$จากนั้นจะต้องกำหนดโดยร่องรอยของโปรเจกเตอร์ด้วยตัวดำเนินการความหนาแน่นทฤษฎีบทของ Gleasonแสดงให้เห็นว่าในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติ 3 หรือมากกว่านั้น สมมติฐานเรื่องความเป็นเส้นตรงสามารถแทนที่ด้วยสมมติฐานเรื่องไม่มีบริบทได้ [ ^{15 ] ข้อ}จำกัดเกี่ยวกับมิตินี้สามารถลบออกได้โดยการสมมติว่าไม่มีบริบทสำหรับPOVMเช่นกัน^{[ 16 ] [ 17 ]}แต่สิ่งนี้ถูกวิพากษ์วิจารณ์ว่าไม่มีแรงจูงใจทางกายภาพ^{[ 18 ]}

เอนโทรปีของฟอน นอยมันน์${\displaystyle S}$คุณสมบัติของส่วนผสมสามารถแสดงได้ในรูปของค่าลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle \rho }$หรือในแง่ของร่องรอยและลอการิทึมของตัวดำเนินการความหนาแน่น${\displaystyle \rho }$. เนื่องจาก${\displaystyle \rho }$เป็นตัวดำเนินการกึ่งบวกแน่นอน (positive semi-definite operator) และมีการแยกส่วนสเปกตรัมดังนี้${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$, ที่ไหน${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกัน${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$, และ${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$จากนั้นเอนโทรปีของระบบควอนตัมที่มีเมทริกซ์ความหนาแน่น${\displaystyle \rho }$เป็น

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

คำจำกัดความนี้หมายความว่าเอนโทรปีของฟอนนอยมันน์ของสถานะบริสุทธิ์ใดๆ มีค่าเป็นศูนย์^{[ 19 ] : 217}ถ้า${\displaystyle \rho _{i}}$หากสถานะเหล่านั้นมีส่วนรองรับบนปริภูมิย่อยเชิงตั้งฉาก เอนโทรปีของฟอน นอยมันน์ของการรวมกันแบบนูนของสถานะเหล่านั้นจะเป็นดังนี้

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

กำหนดโดยเอนโทรปีของสถานะแบบฟอน นอยมันน์${\displaystyle \rho _{i}}$และเอนโทรปีของแชนนอนของการกระจายความน่าจะเป็น${\displaystyle p_{i}}$:

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

เมื่อรัฐต่างๆ${\displaystyle \rho _{i}}$เนื่องจากไม่มีส่วนรองรับเชิงตั้งฉาก ผลรวมทางด้านขวามือจึงมากกว่าเอนโทรปีของฟอน นอยมันน์ของการรวมเชิงนูนอย่างชัดเจน${\displaystyle \rho }$. ^{[ 3 ] : 518}

กำหนดตัวดำเนินการความหนาแน่น${\displaystyle \rho }$และการวัดเชิงฉายภาพดังในส่วนก่อนหน้า สถานะ${\displaystyle \rho '}$กำหนดโดยการรวมกันแบบนูน

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นสถานะที่เกิดขึ้นจากการทำการวัดแต่ไม่ได้บันทึกผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น^{[ 10 ] : 159}มีเอนโทรปีของฟอน นอยมันน์มากกว่าของ${\displaystyle \rho }$ยกเว้นในกรณี${\displaystyle \rho =\rho '}$อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่${\displaystyle \rho '}$สร้างขึ้นโดย การวัด แบบทั่วไปหรือPOVMเพื่อให้มีเอนโทรปีของฟอน นอยมันน์ต่ำกว่า${\displaystyle \rho }$. ^{[ 3 ] : 514}

เช่นเดียวกับสมการชโรดิงเกอร์ที่อธิบายว่าสถานะบริสุทธิ์วิวัฒนาการอย่างไรเมื่อเวลา ผ่านไป สมการฟอนนอยมันน์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อสมการลิอูวิลล์-ฟอนนอยมันน์ ) อธิบายว่าตัวดำเนินการความหนาแน่นวิวัฒนาการอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป สมการฟอนนอยมันน์กำหนดว่า^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho =[H,\rho ]~,}$

โดยวงเล็บหมายถึงตัวสลับตำแหน่ง

สมการนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อตัวดำเนินการความหนาแน่นอยู่ในรูปชโรดิงเกอร์เท่านั้น แม้ว่าในแวบแรกสมการนี้ดูเหมือนจะเลียนแบบสมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์กในรูปไฮเซนเบิร์กแต่มีความแตกต่างที่สำคัญในเรื่องเครื่องหมาย:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}=-[H_{\text{H}},A_{\text{H}}]~,}$

ที่ไหน${\displaystyle A_{\text{H}}(t)}$เป็น ตัวดำเนินการ ภาพไฮเซนเบิร์ก บางอย่าง แต่ในภาพนี้ เมทริกซ์ความหนาแน่นไม่ขึ้นอยู่กับเวลาและเครื่องหมายสัมพัทธ์ทำให้มั่นใจได้ว่าอนุพันธ์เทียบกับเวลาของค่าที่คาดหวัง${\displaystyle \langle A\rangle }$ผลลัพธ์ที่ได้เหมือนกับภาพของชโรดิงเกอร์^{[ 7 ]}

ถ้าแฮมิลโทเนียนไม่ขึ้นกับเวลา สมการของฟอน นอยมันน์ก็สามารถแก้ได้ง่ายๆ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

สำหรับแฮมิลโทเนียนทั่วไป ถ้า${\displaystyle G(t)}$ถ้าฟังก์ชันคลื่นเป็นตัวแพร่กระจายในช่วงเวลาหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงของเมทริกซ์ความหนาแน่นตามเวลาในช่วงเวลาเดียวกันนั้นจะกำหนดโดย

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

หากพิจารณาภาพปฏิสัมพันธ์แล้ว การเลือกที่จะมุ่งเน้นไปที่องค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่ง${\displaystyle H_{1}}$ของแฮมิลโทเนียน${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}}$สมการสำหรับการวิวัฒนาการของตัวดำเนินการความหนาแน่นภาพปฏิสัมพันธ์${\displaystyle \rho _{\,\mathrm {I} }(t)}$มีโครงสร้างเหมือนกับสมการของฟอน นอยมันน์ทุกประการ ยกเว้นว่าแฮมิลโทเนียนจะต้องถูกแปลงให้เข้ากับภาพใหม่ด้วยเช่นกัน:

${\displaystyle {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}}$

ที่ไหน${\displaystyle {\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }H_{1}e^{-iH_{0}t/\hbar }}}$.

ตัวดำเนินการเมทริกซ์ความหนาแน่นสามารถรับรู้ได้ในปริภูมิเฟสเช่น กัน ภายใต้แผนที่วิกเนอร์เมทริกซ์ความหนาแน่นจะแปลงเป็นฟังก์ชันวิกเนอร์ที่ เทียบเท่ากัน

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

สมการสำหรับการเปลี่ยนแปลงตามเวลาของฟังก์ชันวิกเนอร์ ซึ่งรู้จักกันในชื่อสมการโมยาลก็คือการแปลงวิกเนอร์ของสมการฟอนนอยมันน์ข้างต้นนั่นเอง

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

ที่ไหน${\displaystyle H(x,p)}$คือแฮมิลโทเนียน และ${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$คือวงเล็บโมยาลซึ่งเป็นการแปลงของตัวสลับ ควอนตั ม

สมการวิวัฒนาการของฟังก์ชันวิกเนอร์จึงคล้ายคลึงกับสมการขีดจำกัดแบบคลาสสิกของมัน ซึ่งก็คือสมการลิอูวิลล์ในฟิสิกส์คลาสสิกในกรณีที่ค่าคงที่ของพลังค์เข้าใกล้ศูนย์${\displaystyle \hbar }$,${\displaystyle W(x,p,t)}$ลดรูปเป็นฟังก์ชันความ หนาแน่นความน่าจะเป็นแบบ Liouville คลาสสิกในปริภูมิเฟส

เมทริกซ์ความหนาแน่นเป็นเครื่องมือพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัม และปรากฏให้เห็นอย่างน้อยบ้างในเกือบทุกการคำนวณทางกลศาสตร์ควอนตัม ตัวอย่างเฉพาะที่เมทริกซ์ความหนาแน่นมีประโยชน์และพบได้ทั่วไปมีดังต่อไปนี้:

• กลศาสตร์เชิงสถิติใช้เมทริกซ์ความหนาแน่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อแสดงแนวคิดที่ว่าระบบถูกเตรียมไว้ที่อุณหภูมิที่ไม่เป็นศูนย์ การสร้างเมทริกซ์ความหนาแน่นโดยใช้กลุ่มแคนอนิกัลจะให้ผลลัพธ์ในรูปแบบ${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$, ที่ไหน${\displaystyle \beta }$คืออุณหภูมิผกผัน${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$และ${\displaystyle H}$คือแฮมิลโทเนียนของระบบ เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานที่ร่องรอยของ${\displaystyle \rho }$เท่ากับ 1 กำหนดให้ฟังก์ชันพาร์ติชันเป็น${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$หากจำนวนอนุภาคที่เกี่ยวข้องในระบบไม่แน่นอนสามารถใช้กลุ่มแกรนด์แคนอนิกัล ได้ โดยที่สถานะที่รวมกันเพื่อสร้างเมทริกซ์ความหนาแน่นจะถูกดึงมาจาก ปริภูมิฟ็อค^{[ 23 ] : 174}
• ทฤษฎี การเสื่อมสภาพของควอนตัมโดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับระบบควอนตัมที่ไม่แยกตัวซึ่งพัฒนาการพันกันกับระบบอื่นๆ รวมถึงอุปกรณ์การวัด เมทริกซ์ความหนาแน่นทำให้การอธิบายกระบวนการและการคำนวณผลที่ตามมาง่ายขึ้นมาก การเสื่อมสภาพของควอนตัมอธิบายว่าทำไมระบบที่โต้ตอบกับสิ่งแวดล้อมจึงเปลี่ยนจากสถานะบริสุทธิ์ซึ่งแสดงการซ้อนทับ ไปเป็นสถานะผสม ซึ่งเป็นการรวมกันที่ไม่สอดคล้องกันของทางเลือกแบบคลาสสิก การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถย้อนกลับได้โดยพื้นฐาน เนื่องจากสถานะรวมของระบบและสิ่งแวดล้อมยังคงบริสุทธิ์ แต่ในทางปฏิบัติแล้วไม่สามารถย้อนกลับได้ เนื่องจากสิ่งแวดล้อมเป็นระบบควอนตัมขนาดใหญ่และซับซ้อนมาก และเป็นไปไม่ได้ที่จะย้อนกลับปฏิสัมพันธ์ของพวกมัน ดังนั้นการเสื่อมสภาพจึงมีความสำคัญมากสำหรับการอธิบายขีดจำกัดแบบคลาสสิกของกลศาสตร์ควอนตัม แต่ไม่สามารถอธิบายการยุบตัวของฟังก์ชันคลื่นได้ เนื่องจากทางเลือกแบบคลาสสิกทั้งหมดยังคงมีอยู่ในสถานะผสม และการยุบตัวของฟังก์ชันคลื่นจะเลือกเพียงหนึ่งในนั้น^{[ 24 ]}
• ในทำนองเดียวกัน ในการคำนวณควอนตัมทฤษฎีสารสนเทศควอนตัมระบบควอนตัมแบบเปิดและสาขาอื่นๆ ที่การเตรียมสถานะมีสัญญาณรบกวนและอาจเกิดการเสื่อมสภาพของควอนตัมได้ เมทริกซ์ความหนาแน่นมักถูกใช้ สัญญาณรบกวนมักถูกจำลองผ่านช่องทางการลดขั้วหรือช่องทางการลดทอนแอมพลิจูด โทโมกราฟีควอนตัมเป็นกระบวนการที่เมื่อได้รับชุดข้อมูลที่แสดงผลลัพธ์ของการวัดควอนตัมแล้ว จะมีการคำนวณเมทริกซ์ความหนาแน่นที่สอดคล้องกับผลการวัดเหล่านั้น^{[ 25 ] [ 26 ]}
• เมื่อวิเคราะห์ระบบที่มีอิเล็กตรอนจำนวนมาก เช่นอะตอมหรือโมเลกุลการประมาณค่าเบื้องต้นที่ไม่สมบูรณ์แต่มีประโยชน์คือการพิจารณาว่าอิเล็กตรอนไม่มีความสัมพันธ์กันหรือแต่ละตัวมีฟังก์ชันคลื่นอนุภาคเดี่ยวที่เป็นอิสระ นี่คือจุดเริ่มต้นปกติเมื่อสร้างดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์ใน วิธีการ ฮาร์ทรี-ฟ็อกหากมี${\displaystyle N}$อิเล็กตรอนที่เติมเต็ม${\displaystyle N}$ฟังก์ชันคลื่นอนุภาคเดี่ยว${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$และหากพิจารณาเฉพาะตัวแปรที่สังเกตได้ของอนุภาคเดี่ยวเท่านั้น ค่าคาดหวังของตัวแปรเหล่านั้นสำหรับ${\displaystyle N}$ระบบอิเล็กตรอนสามารถคำนวณได้โดยใช้เมทริกซ์ความหนาแน่น${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$( เมทริกซ์ความหนาแน่นอนุภาคเดี่ยวของ${\displaystyle N}$-ระบบอิเล็กตรอน) ^{[ 27 ]}

ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปแล้วว่าคำอธิบายของกลศาสตร์ควอนตัมที่ตัวดำเนินการสมมาตรทั้งหมดแทนค่าที่สังเกตได้นั้นเป็นไปไม่ได้^{[ 28 ] [ 29 ]}ด้วยเหตุนี้ ค่าที่สังเกตได้จึงถูกระบุด้วยองค์ประกอบของพีชคณิตC*-นามธรรมA (นั่นคือพีชคณิตที่ไม่มีการแสดงที่โดดเด่นในฐานะพีชคณิตของตัวดำเนินการ) และสถานะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น บวก บนAอย่างไรก็ตาม โดยการใช้การสร้าง GNSเราสามารถกู้คืนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ทำให้A กลาย เป็นพีชคณิตย่อยของตัวดำเนินการ ได้

ในทางเรขาคณิต สถานะบริสุทธิ์บนพีชคณิต C*-A คือสถานะที่เป็นจุดสุดขั้วของเซตของสถานะทั้งหมดบนAโดยอาศัยคุณสมบัติของการสร้าง GNS สถานะเหล่านี้สอดคล้องกับการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของA

สถานะของพีชคณิต C* ของตัวดำเนินการกระชับK ( H ) สอดคล้องกับตัวดำเนินการความหนาแน่นอย่างแม่นยำ ดังนั้นสถานะบริสุทธิ์ของK ( H ) จึงเป็นสถานะบริสุทธิ์ในความหมายของกลศาสตร์ควอนตัมอย่างแท้จริง

การกำหนดสูตรทางพีชคณิต C* สามารถมองได้ว่าครอบคลุมทั้งระบบคลาสสิกและระบบควอนตัม เมื่อระบบเป็นแบบคลาสสิก พีชคณิตของตัวแปรสังเกตได้จะกลายเป็นพีชคณิต C* แบบอาเบเลียน ในกรณีนั้น สถานะต่างๆ จะกลายเป็นมาตรวัดความน่าจะเป็น

รูปแบบอย่างเป็นทางการของตัวดำเนินการและเมทริกซ์นี้ได้รับการแนะนำในปี พ.ศ. 2460 โดยJohn von Neumann ^{[ 30 ]}และโดยอิสระ แต่ไม่เป็นระบบเท่า โดยLev Landau ^{[ 31 ]}และต่อมาในปี พ.ศ. 2489 โดยFelix Bloch [ ^{32 ] Von} Neumann ได้แนะนำเมทริกซ์เพื่อพัฒนากลศาสตร์สถิติควอนตัมและทฤษฎีการวัดควอนตัม คำว่าความหนาแน่นได้รับการแนะนำโดย Dirac ในปี พ.ศ. 2474 เมื่อเขาใช้ตัวดำเนินการของ von Neumann ในการคำนวณกลุ่มเมฆความหนาแน่นของอิเล็กตรอน^{[ 33 ] [ 34 ]}

ปัจจุบันคำว่า "เมทริกซ์ความหนาแน่น" มีความสำคัญในตัวเอง และสอดคล้องกับการวัดความน่าจะเป็นของพื้นที่เฟส แบบคลาสสิก (การกระจายความน่าจะเป็นของตำแหน่งและโมเมนตัม) ในกลศาสตร์สถิติ แบบคลาสสิก ซึ่งEugene Wigner นำเสนอ ในปี พ.ศ. 2475 ^{[ 5 ]}

ในทางตรงกันข้าม แรงจูงใจที่กระตุ้นให้แลนเดาเกิดคือความเป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายระบบย่อยของระบบควอนตัมแบบผสมโดยใช้เวกเตอร์สถานะ^{[ 31 ]}