ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ชั้นStiefel–Whitneyเป็นเซตของค่าคงที่ ทางโทโพโลยี ของ บันเดิ ลเวกเตอร์จริงซึ่งอธิบายอุปสรรคในการสร้างเซตของส่วนต่างๆ ของบันเดิลเวกเตอร์ที่เป็นอิสระทุกหนทุกแห่งชั้น Stiefel–Whitney มีดัชนีตั้งแต่ 0 ถึงnโดยที่nคืออันดับของบันเดิลเวกเตอร์ ถ้าชั้น Stiefel–Whitney ที่มีดัชนีiไม่เป็นศูนย์ แสดงว่าไม่มีส่วนต่างๆ ของบันเดิลเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นทุกหนทุกแห่ง ชั้น Stiefel–Whitney ที่ n ที่ไม่เป็นศูนย์แสดงว่าส่วนทุกส่วนของบันเดิลจะต้องหายไป ณ จุดใดจุดหนึ่ง ชั้น Stiefel–Whitney แรกที่ไม่เป็นศูนย์แสดงว่าบันเดิลเวกเตอร์นั้นไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ตัวอย่างเช่น ชั้น Stiefel–Whitney แรกของแถบโมเบียสซึ่ง เป็น บันเดิลเส้นตรงบนวงกลม ไม่เป็นศูนย์ ในขณะที่ชั้น Stiefel–Whitney แรกของบันเดิลเส้นตรงแบบไม่สำคัญบนวงกลมเป็นศูนย์ ${\displaystyle (n-i+1)}$${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

คลาส Stiefel–Whitney ตั้งชื่อตามEduard StiefelและHassler Whitneyและเป็นตัวอย่างหนึ่งของคลาสลักษณะเฉพาะ a ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มเวกเตอร์จริง ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเราสามารถกำหนดคลาส Stiefel–Whitney ที่คล้ายคลึงกันสำหรับเวกเตอร์บันเดิลที่มีรูปแบบกำลังสอง ที่ไม่เสื่อมสภาพ โดยมีค่าอยู่ในกลุ่มโคฮอโมโลยีแบบเอทาลหรือในทฤษฎี K ของ Milnorได้เช่นกัน ในกรณีพิเศษ เราสามารถกำหนดคลาส Stiefel–Whitney สำหรับรูปแบบกำลังสองเหนือฟิลด์ได้ โดยสองกรณีแรกคือดิสคริมิแนนต์และอินวาเรียนต์ของ Hasse–Witt ( Milnor 1970 )

สำหรับเวกเตอร์บันเดิลจริงEนั้นชั้น Stiefel–Whitney ของEจะถูกแทนด้วยw ( E )ซึ่งเป็นองค์ประกอบของวงแหวนโคฮอโมโลยี

${\displaystyle H^{\ast }(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

โดยที่XคือปริภูมิฐานของบันเดิลEและ(บางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์) คือวงแหวนสลับที่ซึ่งมีสมาชิกเพียง 0 และ 1 เท่านั้นส่วนประกอบของในจะใช้สัญลักษณ์และเรียกว่าชั้น Stiefel–Whitney ที่i ของ Eดังนั้น ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle w_{i}(E)}$

${\displaystyle w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\cdots }$,

โดยที่แต่ละอันเป็นองค์ประกอบของ. ${\displaystyle w_{i}(E)}$${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

ชั้น Stiefel–Whitney เป็นค่าคงที่ของเวกเตอร์บันเดิลจริงEกล่าวคือ เมื่อFเป็นเวกเตอร์บันเดิลจริงอีกตัวหนึ่งที่มีปริภูมิฐานX เดียวกัน กับEและถ้าFเป็นไอโซมอร์ฟิกกับEแล้ว ชั้น Stiefel–Whitney และจะเท่ากัน (ในที่นี้ไอโซมอร์ฟิกหมายความว่ามีไอโซมอร์ฟิซึมของเวกเตอร์บันเดิลที่ครอบคลุมเอกลักษณ์) แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะยากที่จะตัดสินว่าเวกเตอร์บันเดิลจริงสองตัวEและFเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหรือไม่ แต่ชั้น Stiefel–Whitney และมักจะคำนวณได้ง่าย หากพวกมันแตกต่างกัน เราจะรู้ว่าEและFไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกกัน ${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle w(F)}$${\displaystyle E\to F}$${\displaystyle \mathrm {id} _{X}\colon X\to X}$${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle w(F)}$

ตัวอย่างเช่นเหนือวงกลมมีบันเดิลเส้นตรง (กล่าวคือ บันเดิลเวกเตอร์จริงอันดับ 1) ที่ไม่สมสัณฐานกับ บันเดิลแบบ ไม่สำคัญ บันเดิ ล เส้นตรงนี้Lคือแถบโมเบียส (ซึ่งเป็นบันเดิลไฟเบอร์ที่ไฟเบอร์สามารถประกอบกับโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ในลักษณะที่กลายเป็นบันเดิลเวกเตอร์ได้) กลุ่มโคฮอโมโลยีมีองค์ประกอบเพียงตัวเดียวที่ไม่ใช่ 0 องค์ประกอบนี้คือชั้น Stiefel–Whitney แรกของL [ ^{1 ]}เนื่องจากบันเดิลเส้นตรงแบบไม่สำคัญเหนือ มีชั้น Stiefel–Whitney แรก ^เป็น 0 จึงไม่สมสัณฐานกับ L${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle w_{1}(L)}$${\displaystyle S^{1}}$

บันเดิลเวกเตอร์จริงสองอันEและFซึ่งมีคลาส Stiefel–Whitney เดียวกัน ไม่จำเป็นต้องเป็นไอโซมอร์ฟิกกันเสมอไป ตัวอย่างเช่น เกิดขึ้นเมื่อEและFเป็นบันเดิลเวกเตอร์จริงแบบไม่สำคัญที่มีอันดับต่างกันบนปริภูมิฐานเดียวกันXนอกจากนี้ยังสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อEและFมีอันดับเดียวกัน: บันเดิลสัมผัสของ ทรง กลม 2 มิติ และบันเดิลเวกเตอร์จริงแบบไม่สำคัญอันดับ 2 บน X มีคลาส Stiefel–Whitney เดียวกัน แต่ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน แต่ถ้า บันเดิล เส้น ตรงจริงสองอัน บนXมีคลาส Stiefel–Whitney เดียวกัน บันเดิลทั้งสองนั้นจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

คลาส Stiefel–Whitney ได้ชื่อนี้มาจากการที่Eduard StiefelและHassler Whitneyค้นพบว่าคลาสเหล่านี้เป็นการ ลดรูป mod-2ของคลาสสิ่งกีดขวางเพื่อสร้างส่วนย่อยที่เป็นอิสระเชิงเส้นทุกจุดของเวกเตอร์บันเดิลEที่จำกัดอยู่บน โครงร่าง iของXโดยที่nแทนขนาดของไฟเบอร์ของเวกเตอร์บันเดิล ${\displaystyle w_{i}(E)}$${\displaystyle n-i+1}$${\displaystyle F\to E\to X}$

กล่าวโดยละเอียดคือ หากXเป็นCW-complexวิทนีย์ได้กำหนดคลาสในกลุ่มโคฮอโมโลยีเซลลูลาร์ที่iของXที่มีสัมประสิทธิ์บิดเบี้ยว ระบบสัมประสิทธิ์คือกลุ่มโฮโมโทปีที่ i ของแมนิโฟลด์สติเฟลของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นในไฟเบอร์ของEวิทนีย์พิสูจน์ว่า E จะเป็นอิสระเชิงเส้น ก็ต่อเมื่อEเมื่อถูกจำกัดไว้ที่ โครงร่าง ที่ iของX เท่านั้น${\displaystyle W_{i}(E)}$${\displaystyle (i-1)}$${\displaystyle V_{n-i+1}(F)}$${\displaystyle n-i+1}$${\displaystyle W_{i}(E)=0}$${\displaystyle n-i+1}$

เนื่องจากเป็นได้ทั้งวัฏจักร อนันต์ หรือสมมาตรกับ จึงมีการลดรูป คลาส แบบแคนอนิกไปเป็นคลาสที่เป็นคลาส Stiefel–Whitney ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อใดก็ตามที่สองคลาสนี้จะเหมือนกัน ดังนั้นก็ต่อเมื่อบันเดิลนั้นสามารถกำหนดทิศทางได้ ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle W_{i}(E)}$${\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle w_{1}(E)=0}$${\displaystyle E\to X}$

คลาส นี้ไม่มีข้อมูลใดๆ เนื่องจากมีค่าเท่ากับ 1 ตามนิยาม การสร้างคลาสนี้โดย Whitney เป็นการกระทำของสัญกรณ์เชิงสร้างสรรค์ ซึ่งทำให้สูตรผลรวมของ Whitneyเป็นจริงได้^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle w_{0}(E)}$${\displaystyle w(E_{1}\oplus E_{2})=w(E_{1})w(E_{2})}$

ตลอดทั้งเอกสารนี้หมายถึงโคฮอโมโลยีเอกฐานของปริภูมิXที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในกลุ่มGคำว่า " แผนที่" หมายถึง ฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี เสมอ${\displaystyle H^{i}(X;G)}$

ชั้นลักษณะเฉพาะของ Stiefel-Whitney ของกลุ่มเวกเตอร์จริงที่มีอันดับจำกัดEบนปริภูมิฐานพาราคอมแพ็กต์Xถูกกำหนดให้เป็นชั้นที่ไม่ซ้ำกันซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้: ${\displaystyle w(E)\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

1. การทำให้เป็นมาตรฐาน:คลาส Whitney ของกลุ่มเส้นตรงที่เป็น จริง เหนือพื้นที่ฉายจริง ไม่ใช่สิ่งที่ไม่สำคัญ กล่าวคือ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[a]/(a^{2})}$
2. อันดับ: และสำหรับiเหนืออันดับของE , , นั่นคือ^{[ 4 ]}${\displaystyle w_{0}(E)=1\in H^{0}(X),}$${\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)}$${\displaystyle w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).}$
3. สูตรผลคูณของ Whitney: , ^{[ 2 ] [ 3 ]}นั่นคือ คลาส Whitney ของผลรวมโดยตรงคือผลคูณถ้วยของคลาสของผลรวม${\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smile w(F)}$
4. ความเป็นธรรมชาติ: สำหรับเวกเตอร์บันเดิลจริงใดๆและแผนที่โดยที่แสดงถึงเวกเตอร์บันเดิลแบบดึงกลับ^{[ 5 ]}${\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}$${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle f\colon X'\to X}$${\displaystyle f^{*}E}$

ความเป็นเอกลักษณ์ของคลาสเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว ตัวอย่างเช่น ในส่วนที่ 17.2 – 17.6 ในงานของ Husemoller หรือส่วนที่ 8 ในงานของ Milnor และ Stasheff มีการพิสูจน์การมีอยู่หลายวิธี ซึ่งมาจากโครงสร้างที่หลากหลายและมีลักษณะแตกต่างกันหลายแบบ ความสอดคล้องกันของวิธีการเหล่านี้ได้รับการรับรองโดยข้อความแสดงความเป็นเอกลักษณ์

ส่วนนี้อธิบายถึงการสร้างโดยใช้แนวคิด การ จำแนก พื้นที่

สำหรับปริมาณเวกเตอร์V ใดๆ ให้แทนGrassmannianซึ่งเป็นปริมาณของปริมาณย่อยเชิงเส้นn มิติของ Vและให้ แทน Grassmannian อนันต์ ${\displaystyle Gr_{n}(V)}$

${\displaystyle Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$.

โปรดจำไว้ว่ามันมีบันเดิลเชิงสัจพจน์ ซึ่งเป็นบันเดิลเวกเตอร์ อันดับnที่สามารถนิยามได้ว่าเป็นบันเดิลย่อยของบันเดิลที่ไม่สำคัญซึ่งมีไฟเบอร์Vโดยที่ไฟเบอร์ ณ จุดหนึ่งคือปริภูมิย่อยที่แสดงโดย W${\displaystyle \gamma ^{n}\to Gr_{n},}$${\displaystyle W\in Gr_{n}(V)}$

ให้f เป็นแผนที่ต่อเนื่องไปยังกราสส์มันเนียนอนันต์ จากนั้น ภายใต้สภาวะไอโซมอร์ฟิซึม บันเดิลที่เหนี่ยวนำโดยแผนที่fบนX${\displaystyle f\colon X\to Gr_{n}}$

${\displaystyle f^{*}\gamma ^{n}\in \mathrm {Vect} _{n}(X)}$

ขึ้นอยู่กับคลาสโฮโมโทปีของแผนที่ [ f ] เท่านั้น การดำเนินการพูลแบ็กจึงให้มอร์ฟิซึมจากเซต

${\displaystyle [X;Gr_{n}]}$

ของแผนที่โมดูลัสความสมมูลโฮโมโทปี ไปยังเซต ${\displaystyle X\to Gr_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Vect} _{n}(X)}$

ของคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของเวกเตอร์บันเดิลอันดับ nเหนือX

(ข้อเท็จจริงที่สำคัญในการสร้างนี้คือ ถ้าXเป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ แผนที่นี้จะเป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงนี่คือเหตุผลที่เราเรียกกราสส์มันเนียนอนันต์ว่าปริภูมิจำแนกของเวกเตอร์บันเดิล)

ตอนนี้ ตามสัจพจน์ความเป็นธรรมชาติ (4) ข้างต้นดังนั้นโดยหลักการแล้ว การรู้ค่าของ สำหรับทุกj ก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตาม วงแหวนโคฮอโมโลยีเป็นอิสระบนตัวสร้างเฉพาะที่เกิดขึ้นจากการแบ่งเซลล์มาตรฐาน และปรากฏว่าตัวสร้างเหล่านี้ถูกกำหนดโดยดังนั้น สำหรับบันเดิลอันดับ n ใดๆโดยที่fคือแผนที่จำแนกประเภทที่เหมาะสม สิ่งนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งให้การพิสูจน์หนึ่งข้อของการมีอยู่ของคลาส Stiefel–Whitney ${\displaystyle w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f^{*}w_{j}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle w_{j}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle x_{j}=w_{j}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle w_{j}=f^{*}x_{j}}$

ต่อไปนี้เราจะจำกัดการสร้างข้างต้นไว้เฉพาะกลุ่มเส้นตรง กล่าวคือเราจะพิจารณาปริภูมิของกลุ่มเส้นตรงเหนือXกราสส์มันเนียนของเส้นตรงก็คือปริภูมิเชิงโปร เจกทีฟอนันต์นั่นเอง${\displaystyle \mathrm {Vect} _{1}(X)}$${\displaystyle Gr_{1}}$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},}$

ซึ่งถูกคลุมทับสองชั้นด้วยทรงกลมอนันต์ที่มีจุดตรงข้ามเป็นเส้นใย ทรงกลมนี้สามารถหดตัวได้ดังนั้นเราจึงมี ${\displaystyle S^{\infty }}$${\displaystyle S^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}}$

ดังนั้นP ^∞ ( R ) จึงเป็นปริภูมิ Eilenberg- Maclane ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,1)}$

นี่คือคุณสมบัติอย่างหนึ่งของพื้นที่แบบ Eilenberg-Maclane

${\displaystyle \left[X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )\right]=H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

สำหรับX ใดๆ ที่มีการสมสัณฐานโดยf → f* η โดยที่ η คือตัวสร้างของ

${\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

เมื่อนำข้อสังเกตก่อนหน้านี้ที่ว่า α : [ X , Gr ₁ ] → Vect ₁ ( X ) มาเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง เราจะได้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง

${\displaystyle w_{1}\colon {\text{Vect}}_{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$

สิ่งนี้กำหนดคลาส Stiefel–Whitney w ₁สำหรับมัดเส้นตรง

ถ้า พิจารณาVect ₁ ( X ) เป็นกลุ่มภายใต้การดำเนินการของผลคูณเทนเซอร์แล้ว คลาส Stiefel–Whitney, w ₁  : Vect ₁ ( X ) → H ¹ ( X ; Z /2 Z ) จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึม นั่นคือw ₁ (λ ⊗ μ) = w ₁ (λ) + w ₁ (μ) สำหรับบัน เดิ ลเส้นตรงทั้งหมด λ, μ → X

ตัวอย่างเช่น เนื่องจากH ¹ ( S ¹ ; Z /2 Z ) = Z /2 Zจึงมีเพียงสองบันเดิลเส้นตรงบนวงกลมจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิล ได้แก่ บันเดิลเส้นตรงธรรมดา และแถบโมเบียสแบบเปิด (กล่าวคือ แถบโมเบียสที่ลบขอบเขตออกแล้ว)

โครงสร้างเดียวกันสำหรับกลุ่มเวกเตอร์เชิงซ้อนแสดงให้เห็นว่าชั้น Chernกำหนดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกลุ่มเส้นเชิงซ้อนเหนือXและH ² ( X ; Z ) เนื่องจากปริภูมิจำแนกที่สอดคล้องกันคือP ^∞ ( C ) a K( Z , 2) ไอโซมอร์ฟิซึมนี้เป็นจริงสำหรับกลุ่มเส้นเชิงทอพอโลยี อุปสรรคต่อความเป็นหนึ่งเดียวของชั้น Chern สำหรับกลุ่มเวกเตอร์เชิงพีชคณิตคือวาไรตีจาโคเบียน

1. w _i ( E ) = 0 เมื่อใดก็ตามที่i > rank( E )
2. ถ้าE ^kมีส่วนที่ เป็น อิสระเชิงเส้นทุกจุดคลาส Whitney ที่ มีดีกรีสูงสุดจะหายไป: .${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0}$
3. ชั้น Stiefel–Whitney แรกจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อบันเดิลนั้นสามารถกำหนดทิศทางได้โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แมนิโฟลด์Mสามารถกำหนดทิศทางได้ก็ต่อเมื่อw ₁ ( M × R ) = 0
4. กลุ่มข้อมูลจะยอมรับโครงสร้างสปินได้ก็ต่อเมื่อคลาส Stiefel–Whitney แรกและคลาส Stiefel–Whitney ที่สองเป็นศูนย์ทั้งคู่
5. สำหรับบันเดิลที่สามารถกำหนดทิศทางได้ ชั้น Stiefel–Whitney ที่สองจะเป็นภาพของแผนที่ธรรมชาติH ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (หรือเทียบเท่ากับชั้น Stiefel–Whitney ที่สาม แบบอินทิกรัลที่เรียกว่าเป็นศูนย์) ก็ต่อเมื่อบันเดิลนั้นยอมรับโครงสร้าง สปิน ^c
6. ค่า Stiefel–Whitney ทั้งหมด(ดูด้านล่าง) ของแมนิโฟลด์เรียบกระชับXจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อแมนิโฟลด์นั้นเป็นขอบเขตของแมนิโฟลด์เรียบกระชับ (ไม่กำหนดทิศทาง) บางแมนิโฟลด์ (โปรดทราบว่าค่า Stiefel-Whitney บางค่าอาจยังคงเป็นค่าที่ไม่เป็นศูนย์ แม้ว่า ค่า Stiefel-Whitney ทั้งหมดจะเป็นศูนย์ก็ตาม!)

การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งข้างต้นสำหรับบันเดิลเส้นแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชัน θ ใดๆ ที่สอดคล้องกับสัจพจน์ทั้งสี่ข้างต้นจะเท่ากับ^{w [} 6 ] ^{โดยข้อ}โต้แย้งต่อไปนี้ สัจพจน์ข้อที่สองให้ผลลัพธ์เป็น θ(γ ¹ ) = 1 + θ ₁ (γ ¹ ) สำหรับแผนที่การรวมi  : P ¹ ( R ) → P ^∞ ( R ) บันเดิลพูลแบ็กจะเท่ากับดังนั้นสัจพจน์ข้อแรกและข้อที่สามจึงบ่งชี้ว่า ${\displaystyle i^{*}\gamma ^{1}}$${\displaystyle \gamma _{1}^{1}}$

${\displaystyle i^{*}\theta _{1}\left(\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=i^{*}w_{1}\left(\gamma ^{1}\right).}$

เนื่องจากแผนที่

${\displaystyle i^{*}:H^{1}\left(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)}$

เป็นการสมสัณฐานและ θ(γ ¹ ) = w (γ ¹ ) เป็นผลตามมา ให้Eเป็นเวกเตอร์บันเดิลจริงที่มีอันดับnเหนือปริภูมิXแล้วEยอมรับแผนที่แยกส่วน นั่นคือ แผนที่f  : X′ → XสำหรับปริภูมิX′ บาง ส่วนที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และสำหรับบันเดิลเส้นบางส่วนบันเดิลเส้นใดๆ เหนือXจะอยู่ในรูปแบบสำหรับแผนที่g บางส่วน และ ${\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})}$${\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$${\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}}$${\displaystyle \lambda _{i}\to X'}$${\displaystyle g^{*}\gamma ^{1}}$

${\displaystyle \theta \left(g^{*}\gamma ^{1}\right)=g^{*}\theta \left(\gamma ^{1}\right)=g^{*}w\left(\gamma ^{1}\right)=w\left(g^{*}\gamma ^{1}\right),}$

โดยธรรมชาติ ดังนั้น θ = wบนซึ่งเป็นผลมาจากสัจพจน์ข้อที่สี่ข้างต้นว่า ${\displaystyle {\text{Vect}}_{1}(X)}$

${\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).}$

เนื่องจากเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น θ = wด้วยเหตุนี้ คลาส Stiefel–Whitney จึงเป็นฟังก์ชันเฉพาะตัวเดียวที่สอดคล้องกับสัจพจน์ทั้งสี่ข้างต้น ${\displaystyle f^{*}}$

แม้ว่าแผนที่จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง แต่แผนที่ที่สอดคล้องกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในมิติที่สูงกว่า ตัวอย่างเช่น พิจารณาบันเดิลสัมผัสด้วยการฝังแบบแคนอนิกของในบันเดิลปกติของคือบันเดิลเส้นตรง เนื่องจากสามารถกำหนดทิศทางได้ ดังนั้น จึงเป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญ ผลรวมเป็นเพียงการจำกัดของไปยังซึ่งเป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญเนื่องจากสามารถหดตัวได้ ดังนั้นw ( TS ⁿ ) = w ( TS ⁿ ) w (ν) = w ( TS ⁿ ⊕ ν) = 1 แต่ถ้าnเป็นจำนวนคู่ TS ⁿ → S ⁿจะไม่เป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญ (โดยที่ [ S ⁿ ] หมายถึงชั้นพื้นฐานของS ⁿและχ คือลักษณะเฉพาะของ ออยเลอร์ ) ดังนั้นชั้นออยเลอร์ ของมัน ต้องไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle w_{1}\colon \mathrm {Vect} _{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle TS^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle TS^{n}\oplus \nu }$${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle e(TS^{n})[S^{n}]=\chi (TS^{n})=2\neq 0}$${\displaystyle e}$

ถ้าเราพิจารณาแมนิโฟลด์ที่มีมิติnแล้ว ผลคูณใดๆ ของคลาส Stiefel–Whitney ที่มีดีกรีรวม  nสามารถจับคู่กับคลาสพื้นฐานZ /2Z ของแมนิโฟลด์เพื่อให้ได้องค์ประกอบของZ /2Z ซึ่งเป็นจำนวน Stiefel–Whitneyของเวกเตอร์บันเดิลได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าแมนิโฟลด์มีมิติ 3 จะมีจำนวน Stiefel–Whitney ที่เป็นอิสระเชิงเส้นสามจำนวน ซึ่งกำหนดโดยโดยทั่วไปแล้ว ถ้าแมนิโฟลด์มีมิติnจำนวนจำนวน Stiefel–Whitney ที่เป็นอิสระที่เป็นไปได้คือจำนวนพาร์ ติชันของ  n${\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}}$

จำนวน Stiefel–Whitney ของกลุ่มสัมผัสของแมนิโฟลด์เรียบเรียกว่าจำนวน Stiefel–Whitney ของแมนิโฟลด์ พวกมันเป็นที่รู้จักกันว่าเป็น ตัวแปรคงที่ ของโคบอร์ดิ ซึม Lev Pontryaginได้พิสูจน์แล้วว่าถ้าBเป็นแมนิโฟลด์เรียบกระชับมิติ ( n +1) ที่มีขอบเขตเท่ากับMแล้วจำนวน Stiefel-Whitney ของMทั้งหมดจะเป็นศูนย์^{[ 7 ]} ยิ่งไปกว่านั้น René Thomได้พิสูจน์แล้วว่าถ้าจำนวน Stiefel-Whitney ของM ทั้งหมด เป็นศูนย์แล้วMสามารถเกิดขึ้นได้เป็นขอบเขตของแมนิโฟลด์เรียบกระชับบางอย่าง^{[ 8 ]}

จำนวน Stiefel–Whitney หนึ่งจำนวนที่มีความสำคัญในทฤษฎีการผ่าตัดคือค่าคงที่ de Rhamของแมนิโฟลด์มิติ (4 k +1)${\displaystyle w_{2}w_{4k-1}.}$

คลาส Stiefel–Whitney คือกำลังสอง Steenrodของคลาส Wuซึ่งกำหนดโดยWu Wenjunในปี 1947 ^{[ 9 ]}โดยง่ายที่สุด คลาส Stiefel–Whitney ทั้งหมดคือกำลังสอง Steenrod ทั้งหมดของคลาส Wu ทั้งหมด: คลาส Wu มักถูกกำหนดโดยปริยายในแง่ของกำลังสอง Steenrod ในฐานะคลาสโคฮอโมโลยีที่แสดงถึงกำลังสอง Steenrod ให้แมนิโฟลด์Xเป็น มิติ nจากนั้น สำหรับคลาสโคฮอโมโลยีx ใดๆ ที่มีดีกรี, ${\displaystyle w_{k}}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle \operatorname {Sq} (v)=w}$${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle v_{k}\cup x=\operatorname {Sq} ^{k}(x)}$.

หรือในขอบเขตที่แคบกว่านั้น เราสามารถเรียกร้องได้อีกครั้งสำหรับคลาสโคฮอโมโลยีx ที่มีดีกรี^{[ 10 ]}${\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle \operatorname {Sq} ^{k}(x),\mu \rangle }$${\displaystyle n-k}$

องค์ประกอบนี้เรียกว่า คลาส Stiefel–Whitney อินทิกรัลi + 1 โดยที่ β คือโฮโมมอร์ฟิซึมของ Bocksteinซึ่งสอดคล้องกับการลดโมดูลัส 2, Z → Z /2 Z : ${\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).}$

ตัวอย่างเช่น ชั้นอินทิกรัล Stiefel– Whitney ชั้นที่สามคือสิ่งกีดขวางโครงสร้างSpin ^c

บนพีชคณิต Steenrodชั้น Stiefel–Whitney ของแมนิโฟลด์เรียบ (ซึ่งนิยามว่าเป็นชั้น Stiefel–Whitney ของมัดสัมผัส) ถูกสร้างขึ้นโดยชั้นที่มีรูปแบบโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ชั้น Stiefel–Whitney จะเป็นไปตามเงื่อนไข${\displaystyle w_{2^{i}}}$สูตร Wuซึ่งตั้งชื่อตามWu Wenjun: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.}$

• คลาสลักษณะเฉพาะสำหรับการสำรวจทั่วไป โดยเฉพาะคลาสเชิร์นซึ่งเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้โดยตรงกับกลุ่มเวกเตอร์เชิงซ้อน
• พื้นที่ฉายภาพจริง

• ลอว์สัน, เอช. เบลน ; มิเชลโซห์น, มารี-หลุยส์ (21 กุมภาพันธ์ 1990). เรขาคณิตสปิน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน . ISBN 9780691085425.

• ชั้นเรียน Wuที่ Manifold Atlas