ขึ้นอยู่กับบริบท อาจมีคำที่แตกต่างกันที่ใช้สำหรับเลขศูนย์หรือแนวคิดของศูนย์ สำหรับแนวคิดง่ายๆ ของการขาดแคลนมักใช้ คำว่า " ไม่มีอะไร " ( แม้ว่าจะไม่ถูกต้องก็ตาม ) และ "ไม่มี" คำภาษาอังกฤษ "nought" หรือ "naught" , " nil " และnullก็มีความหมายเหมือนกัน^{[ 5 ] [ 6 ]}

มักเรียก กันว่า "โอ" ในบริบทของการอ่านชุดตัวเลข เช่นหมายเลขโทรศัพท์ที่อยู่ หมายเลขบัตรเครดิตเวลาแบบทหารหรือปี ตัวอย่างเช่นรหัสพื้นที่ 201 อาจออกเสียงว่า "ทูโอวัน" และปี 1907 มักออกเสียงว่า "ไนน์ทีนโอเซเว่น" การมีตัวเลขอื่นๆ บ่งชี้ว่าสตริงนั้นมีเฉพาะตัวเลขเท่านั้น เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับตัวอักษรโอ ด้วยเหตุนี้ ระบบที่รวมสตริงที่มีทั้งตัวอักษรและตัวเลข (เช่นรหัสไปรษณีย์ในสหราชอาณาจักร ) อาจไม่ใช้ตัวอักษรโอ^{[ 7 ]}

คำแสลงที่ใช้แทนเลขศูนย์ ได้แก่ "zip", "zilch", "nada" และ "scratch" ^{[ 8 ]}ในบริบทของกีฬา บางครั้งมีการใช้คำว่า "nil" โดยเฉพาะในภาษาอังกฤษแบบบริติช กีฬาหลายประเภทมีคำเฉพาะสำหรับคะแนนศูนย์ เช่น " love " ในเทนนิสซึ่งอาจมาจากภาษาฝรั่งเศสl'œufซึ่งแปลว่า "ไข่" และ " duck " ในคริกเก็ตซึ่งเป็นคำย่อของ "duck's egg" "Goose egg" เป็นอีกคำแสลงทั่วไปที่ใช้แทนเลขศูนย์^{[ 8 ]}

ในระบบตัวเลขแบบตำแหน่ง (เช่นสัญกรณ์ทศนิยม ทั่วไป สำหรับการแสดงตัวเลข) ตัวเลข 0 ทำหน้าที่เป็นตัวแทนตำแหน่ง โดยระบุว่ากำลังบางอย่างของฐานไม่ได้มีส่วนร่วม ตัวอย่างเช่น ตัวเลขทศนิยม 205 คือผลรวมของสองร้อยและห้าหน่วย โดยตัวเลข 0 บ่งชี้ว่าไม่มีการเพิ่มหลักสิบ ตัวเลขนี้มีบทบาทเดียวกันในเศษส่วนทศนิยมและในการแสดงทศนิยมของจำนวนจริงอื่น ๆ (บ่งชี้ว่ามีหลักสิบ หลักร้อย หลักพัน ฯลฯ อยู่หรือไม่) และในฐานอื่นที่ไม่ใช่ 10 (ตัวอย่างเช่น ในระบบเลขฐานสอง ซึ่งบ่งชี้ว่ากำลังใดของ 2 ถูกละเว้น) ^{[ 9 ]}

เลข 0 เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุด และเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกที่ใหญ่ที่สุดจำนวนธรรมชาติที่อยู่ถัดจาก 0 คือ 1 และไม่มีจำนวนธรรมชาติใดอยู่ก่อนหน้า 0 เลข 0 อาจจะถือว่าเป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่ก็ได้^{[ 10 ] [ 11 ]}แต่มันเป็นจำนวนเต็มดังนั้นจึง เป็น จำนวนตรรกยะและจำนวนจริง^{[ 12 ]} ศูนย์เป็น จำนวน คู่^{[ 13 ]} (นั่นคือ เป็นพหุคูณของ 2) และยังเป็นพหุคูณของจำนวนเต็มอื่น ๆ อีกด้วย^{[ 14 ]}มันไม่ใช่ทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ^{[ 15 ]}

เลข 0 ถือว่าไม่เป็นทั้งบวกหรือลบ^{[ 16 ]}และมักจะแสดงเป็นจุดกำเนิดของเส้นจำนวน^{[ 17 ]}เมื่อขยายจำนวนจริงเพื่อสร้างจำนวนเชิงซ้อน 0 จะกลายเป็นจุดกำเนิดของระนาบเชิงซ้อน^{[ 18 ]}

ต่อไปนี้เป็นกฎพื้นฐานบางประการสำหรับการจัดการกับเลข 0 กฎเหล่านี้ใช้ได้กับจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนx ใดๆ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

• การบวก : x + 0 = 0 + x = xนั่นคือ 0 เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ (หรือองค์ประกอบที่เป็นกลาง) เมื่อเทียบกับการบวก^{[ 19 ]}
• การลบ : x − 0 = xและ 0 − x = − x . ^{[ 20 ]}
• การคูณ : x · 0 = 0 · x = 0 ^{[ 21 ]}บทกลับก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าx · y = 0 แล้ว x=0 หรือ y=0

• การหาร : 0 / x = 0 สำหรับx ที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่x / 0นั้นไม่นิยาม เพราะ 0ไม่มีตัวผกผันการคูณ (ไม่มีจำนวนจริงใดที่คูณกับ 0 แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1) ซึ่ง เป็นผลมาจากกฎก่อนหน้านี้^{[ 22 ]}
• การยกกำลัง : x ⁰ = ⁠ x / x ⁠ = 1 ยกเว้นกรณี ที่ x = 0ถือว่าไม่นิยามในบางบริบท สำหรับจำนวนจริงบวกx ทั้งหมด 0 ^x = 0 ^{[ 23 ]}

นิพจน์⁠ 0 / 0 ⁠ซึ่งอาจได้มาจากการพยายามหาลิมิตของนิพจน์ในรูปแบบ⁠ f ( x ) / g ( x ) ⁠อันเป็นผลมาจากการใช้ ตัวดำเนินการ limอย่างอิสระกับตัวถูกดำเนินการทั้งสองของเศษส่วน เรียกว่า " รูปแบบที่ไม่แน่นอน " นั่นไม่ได้หมายความว่าลิมิตที่ต้องการหา ^นั้นไม่สามารถนิยามได้ แต่หมายความว่าลิมิตของ⁠ f ( x ) / g ( x ) ⁠ถ้ามีอยู่ จะต้องหาด้วยวิธีอื่น เช่นกฎของ l'Hôpital [ ^{24 ]}

ผลรวมของจำนวน 0 จำนวน ( ผลรวมว่างเปล่า ) คือ 0 และผลคูณของจำนวน 0 จำนวน ( ผลคูณว่างเปล่า ) คือ 1 แฟกทอเรียล 0! มีค่าเท่ากับ 1 ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของผลคูณว่างเปล่า^{[ 25 ]}

บทบาทของ 0 ในฐานะจำนวนนับที่เล็กที่สุดสามารถสรุปหรือขยายได้หลายวิธี ในทฤษฎีเซต 0 คือจำนวนสมาชิกของเซตว่าง (เขียนแทนด้วย "{ }", "${\textstyle \emptyset }$", หรือ "∅"): ถ้าไม่มีแอปเปิ้ลเลย ก็จะมีแอปเปิ้ล 0 ลูก ในความเป็นจริง ในการพัฒนาเชิงสัจพจน์บางอย่างของคณิตศาสตร์จากทฤษฎีเซต 0 ถูกกำหนดให้เป็นเซตว่าง^{[ 26 ]}เมื่อทำเช่นนี้ เซตว่างจะเป็นการกำหนดจำนวนเชิงคาร์ดินัลของฟอน นอยมันน์สำหรับเซตที่ไม่มีองค์ประกอบ ซึ่งก็คือเซตว่าง^{[ 27 ]}

ในทฤษฎีเซต 0 เป็นจำนวนเชิงอันดับ ต่ำสุด ซึ่งสอดคล้องกับเซตว่างที่มองว่าเป็นเซตที่มีลำดับที่ดีในทฤษฎีลำดับ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีแลตทิซ ซึ่งเป็นสาขาย่อยของทฤษฎีนี้ ) 0 อาจหมายถึงสมาชิกที่เล็กที่สุดของแลตทิซหรือเซตที่มีลำดับบางส่วนอื่น ๆ

บทบาทของ 0 ในฐานะเอกลักษณ์การบวกนั้นขยายไปไกลกว่าพีชคณิตพื้นฐาน ในพีชคณิตนามธรรม 0 มักใช้เพื่อแทนองค์ประกอบศูนย์ซึ่งเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับการบวก (ถ้ากำหนดไว้ในโครงสร้างที่กำลังพิจารณา) และเป็นองค์ประกอบดูดซับสำหรับการคูณ (ถ้ากำหนดไว้) ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มการบวกและปริภูมิเวกเตอร์อีกตัวอย่างหนึ่งคือฟังก์ชันศูนย์ (หรือแผนที่ศูนย์ ) บนโดเมนDนี่คือฟังก์ชันคงที่ที่มีค่าเอาต์พุตที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวคือ 0 กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันfที่กำหนดโดยf ( x ) = 0สำหรับทุกxในDในฐานะฟังก์ชันจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง ฟังก์ชันศูนย์เป็นฟังก์ชันเดียวที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่

นอกจากนี้ เลข 0 ยังถูกนำไปใช้ในรูปแบบอื่นๆ อีกหลายวิธีในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์:

• จุดศูนย์ของฟังก์ชัน fคือจุดxในโดเมนของฟังก์ชันซึ่งf ( x ) = 0
• ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ 0 อาจใช้เพื่อแทนค่าความจริงที่เป็นเท็จ
• ในทฤษฎีความน่าจะเป็น 0 คือค่าที่น้อยที่สุดที่อนุญาตสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ^{[ 28 ]}
• ทฤษฎีหมวดหมู่นำเสนอแนวคิดของวัตถุศูนย์ซึ่งมักจะใช้สัญลักษณ์ 0 และแนวคิดที่เกี่ยวข้องของมอร์ฟิซึมศูนย์ซึ่งเป็นการขยายฟังก์ชันศูนย์^{[ 29 ]}

เอ็นเอฟอาร์	หัวใจที่มีหลอดลมสวยงาม น่ารื่นรมย์ ดี

ตัวเลขของชาวอียิปต์โบราณมี ฐาน เป็น10 ^{[ 30 ]}พวกเขาใช้อักษรฮี โรกลิฟ แทนตัวเลขและไม่ได้ กำหนด ตำแหน่งในปาปิรัสฉบับหนึ่งที่เขียนขึ้นราว1770 ปีก่อนคริสตกาล เสมียนได้บันทึกรายรับและรายจ่ายประจำวันของ ราชสำนัก ฟาโรห์โดยใช้ อักษรฮีโรกลิฟ nfrเพื่อระบุกรณีที่ปริมาณอาหารที่ได้รับเท่ากับปริมาณที่จ่ายไปพอดี นักอียิปต์วิทยาAlan Gardinerแนะนำว่า อักษรฮีโรกลิ ฟ nfrถูกใช้เป็นสัญลักษณ์แทนศูนย์^{[ 31 ]}สัญลักษณ์เดียวกันนี้ยังใช้เพื่อระบุระดับฐานในภาพวาดสุสานและพีระมิด และระยะทางจะวัดเทียบกับเส้นฐานว่าอยู่เหนือหรือใต้เส้นนี้^{[ 32 ]}

ในช่วงกลางของสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราชคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนมี ระบบตัวเลขฐาน 60 ที่ ซับซ้อน แต่ค่าตำแหน่งศูนย์จะแสดงด้วยช่องว่างระหว่างตัวเลขในแผ่นจารึกที่ขุดพบที่คิช (ซึ่งมีอายุย้อนไปถึง700 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ผู้เขียน Bêl-bân-aplu ใช้ตะขอสามอันเป็นสัญลักษณ์แทนตำแหน่ง^{[ 33 ]}เมื่อถึง300 ปีก่อนคริสต์ศักราชสัญลักษณ์วรรคตอน (ลิ่มเอียงสองอัน) ถูกนำมาใช้ใหม่เป็นสัญลักษณ์แทนตำแหน่ง^{[ 34 ] [ 35 ]}อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญคือ สัญลักษณ์แทนตำแหน่งเหล่านี้ไม่ได้ถูกพิจารณาว่าเป็นค่าตัวเลข พวกมันไม่เคยถูกใช้โดยลำพัง “ดังนั้นจึงไม่สามารถตีความได้ว่าเป็นตัวแทนของแนวคิดหรือตัวเลขศูนย์” ^{[ 36 ]}นอกจากนี้ยังไม่ได้เขียนไว้ท้ายตัวเลข (ดังนั้น 1 และ 60 และ 60×60 จึงเขียนเป็น) ^{[ 37 ]}

ปฏิทินนับยาวของเมโสอเมริกาที่พัฒนาขึ้นในเม็กซิโกตอนกลางและอเมริกากลาง จำเป็นต้องใช้เลขศูนย์เป็นตัวยึดตำแหน่งภายในระบบตัวเลขฐาน 20 ( vigesimal ) มีการใช้สัญลักษณ์หลายแบบ รวมถึงรูป สี่แฉก บางส่วน เป็นสัญลักษณ์แทนเลขศูนย์สำหรับวันที่นับยาวเหล่านี้ ซึ่งวันที่ที่เก่าแก่ที่สุด (บนศิลาจารึกหมายเลข 2 ที่ Chiapa de Corzo, Chiapas ) มีอายุ 36 ปี ก่อนคริสตกาล^{[ a ] ​​[ 38 ]}

เนื่องจากวันที่นับยาวที่เก่าแก่ที่สุดแปดวันปรากฏอยู่นอกดินแดนของชาวมายา^{[ 39 ]}จึงเชื่อกันโดยทั่วไปว่าการใช้เลขศูนย์ในทวีปอเมริกาเกิดขึ้นก่อนชาวมายาและอาจเป็นสิ่งประดิษฐ์ของชาวออลเมค [ ^{40 ] วัน}ที่นับยาวที่เก่าแก่ที่สุดหลายวันพบในใจกลางดินแดนของชาวออลเมค แม้ว่าอารยธรรมออลเมคจะสิ้นสุดลงใน ศตวรรษที่ 4 ^ก่อนคริสต์ศักราช [ ^{41 ]}หลายศตวรรษก่อนวันที่นับยาวที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จัก^{[ 42 ]}

แม้ว่าเลขศูนย์จะกลายเป็นส่วนสำคัญของตัวเลขมายา โดยใช้ รูปทรงคล้าย กระดอง เต่าที่ว่างเปล่าแตกต่างกันในการแสดงเลขศูนย์หลายครั้ง แต่ก็สันนิษฐานว่าเลขศูนย์ไม่ได้มีอิทธิพลต่อระบบตัวเลขของโลกเก่า^{[ 43 ]}

Quipuซึ่งเป็นอุปกรณ์เชือกผูกปมที่ใช้ในอาณาจักรอินคาและสังคมก่อนหน้าใน ภูมิภาค แอนเดียนเพื่อบันทึกบัญชีและข้อมูลดิจิทัลอื่นๆ จะถูกเข้ารหัสใน ระบบตำแหน่ง ฐานสิบโดยเลขศูนย์แทนการไม่มีปมในตำแหน่งที่เหมาะสม^{[ 44 ]}

ตัวอย่างที่เก่าแก่ที่สุดที่มีการอ้างอิงอย่างมั่นใจเกี่ยวกับการใช้เลขศูนย์แบบเฮลเลนิสติก ในภาษากรีก ปรากฏอยู่ในงานเขียนของฮิปปาร์คัสในปี ค.ศ. 140

กรีกโบราณไม่มีสัญลักษณ์สำหรับเลขศูนย์ (μηδέν, ออกเสียงว่าmēdén ) และไม่ได้ใช้ตัวเลขแทนเลขศูนย์^{[ 45 ]}ตามที่นักคณิตศาสตร์Charles Seife กล่าวไว้ หลังจากที่เลขศูนย์ซึ่งเป็นตัวเลขแทนเลขศูนย์ของชาวบาบิโลนปรากฏขึ้นในช่วงเวลาไม่นานหลังจาก 500 ปีก่อนคริสตกาล นักดาราศาสตร์ชาวกรีกเริ่มใช้ตัวอักษรกรีกตัวเล็กό ( όμικρον : omicron ) เป็นตัวเลขแทนหรือตัวแทนของค่าระดับพื้นดิน/ศูนย์องศา^{[ 46 ]}อย่างไรก็ตาม หลังจากใช้เลขศูนย์ซึ่งเป็นตัวเลขแทนเลขศูนย์ของชาวบาบิโลนในการคำนวณทางดาราศาสตร์ พวกเขามักจะแปลงตัวเลขกลับเป็นตัวเลขกรีกเช่นเดียวกับการปฏิเสธค่าอนันต์ของพีทาโกรัส ชาวกรีกดูเหมือนจะยึดมั่นในการต่อต้านทางปรัชญาต่อการใช้เลขศูนย์เป็นตัวเลข^{[ 47 ]} "จักรวาลกรีกทั้งหมดตั้งอยู่บนเสาหลักนี้: ไม่มีช่องว่าง" ^{[ 48 ]} Nieder ระบุว่าเลขศูนย์ปรากฏในตำราดาราศาสตร์กรีกหลัง 400 ปีก่อนคริสตกาล และนักคณิตศาสตร์ Robert Kaplan ระบุเพิ่มเติมว่าต้องเกิดขึ้นหลังจากการพิชิตของอเล็กซานเดอร์^{[ 49 ] [ 50 ]}

ชาวกรีกดูเหมือนจะไม่แน่ใจเกี่ยวกับสถานะของศูนย์ในฐานะตัวเลข บางคนถามตัวเองว่า "การไม่มีอยู่จะเป็นไปได้อย่างไร" ซึ่งนำไปสู่การโต้แย้งทางปรัชญา และใน ยุค กลาง ก็ มีการโต้แย้งทางศาสนาเกี่ยวกับธรรมชาติและการดำรงอยู่ของศูนย์และสุญญากาศปริศนาของ ซี โนแห่งเอเลียขึ้นอยู่กับการตีความศูนย์ที่ไม่แน่นอนเป็นส่วนใหญ่^{[ 51 ]}

ในปี ค.ศ.  150 ปโตเลมีได้รับอิทธิพลจากฮิปปาร์คัสและชาวบาบิโลนจึงใช้สัญลักษณ์แทนศูนย์ ( — ° ) ^{[ 52 ] [ 53 ]}ในงานเขียนเกี่ยวกับดาราศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าSyntaxis Mathematicaหรือที่รู้จักกันในชื่อAlmagest ^{[ 54 ]}ศูนย์แบบเฮลเลนิสติกนี้อาจเป็นการใช้ตัวเลขแทนศูนย์ที่เก่าแก่ที่สุดในโลกยุคโบราณที่ มีการบันทึกไว้ ^{[ 55 ]}ปโตเลมีใช้มันหลายครั้งในAlmagest ของเขา (VI.8) สำหรับขนาดของสุริยุปราคาและจันทรุปราคามันแสดงถึงค่าของทั้งจำนวนหลักและนาทีของการจุ่มลงในการสัมผัสครั้งแรกและครั้งสุดท้าย จำนวนหลักจะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องจาก 0 ถึง 12 ถึง 0 เมื่อดวงจันทร์เคลื่อนผ่านดวงอาทิตย์ (พัลส์รูปสามเหลี่ยม) โดยที่สิบสองหลักคือเส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมของดวงอาทิตย์ นาทีของการจุ่มถูกบันทึกตั้งแต่ 0 ′ 0 ″ถึง 31 ′ 20 ″ถึง 0 ′ 0 ″โดยที่ 0 ′ 0 ″ใช้สัญลักษณ์เป็นตัวยึดตำแหน่งในสองตำแหน่งของระบบตัวเลขฐานหกสิบ ของเขา ^{[ b ]}ในขณะที่การรวมกันหมายถึงมุมศูนย์ นาทีของการจุ่มยังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง⁠ 1 / 12 ⁠ 31 ′ 20 ″ √ d(24−d) (พัลส์รูปสามเหลี่ยมที่มี ด้าน นูน ) โดยที่ d คือฟังก์ชันตัวเลขและ 31 ′ 20 ″คือผลรวมของรัศมีของจานดวงอาทิตย์และดวงจันทร์^{[ 56 ]}สัญลักษณ์ของปโตเลมีเป็นตัวยึดตำแหน่งเช่นเดียวกับตัวเลขที่ใช้โดยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ต่อเนื่องสองฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง ดังนั้นจึงหมายถึงศูนย์ ไม่ใช่ไม่มีเลย เมื่อเวลาผ่านไป เลขศูนย์ของปโตเลมีมีแนวโน้มที่จะมีขนาดใหญ่ขึ้นและไม่มีเส้นขีดด้านบนบางครั้งแสดงเป็นเลข 0 ที่ยาวคล้ายโอไมครอน "Ο" หรือเป็นโอไมครอนที่มีเส้นขีดด้านบน "ō" แทนที่จะเป็นจุดที่มีเส้นขีดด้านบน^{[ 57 ]}

การใช้เลขศูนย์ในการคำนวณวันอีสเตอร์ตามปฏิทินจูเลียน ครั้งแรก เกิดขึ้นก่อนปี ค.ศ.  311 ในรายการแรกของตารางepactsที่เก็บรักษาไว้ใน เอกสาร เอธิโอปิกสำหรับปี ค.ศ. 311 ถึง 369 โดยใช้ คำภาษา เกเอซที่แปลว่า "ไม่มี" (คำแปลภาษาอังกฤษคือ "0" ในที่อื่น) ควบคู่ไปกับตัวเลขภาษาเกเอซ (อิงตามตัวเลขกรีก) ซึ่งแปลมาจากตารางที่เทียบเท่ากันซึ่งเผยแพร่โดยคริสตจักรแห่งอเล็กซานเดรียใน ภาษา กรีกยุคกลาง^{[ 58 ]}การใช้งานนี้ถูกทำซ้ำในปี ค.ศ. 525 ในตารางที่เทียบเท่ากัน ซึ่งแปลผ่านคำภาษาละตินnulla ("ไม่มี") โดยDionysius Exiguusควบคู่ไปกับตัวเลขโรมัน [ ^{59 ] เมื่อ}การหารได้เศษเป็นศูนย์ จะใช้ nihilซึ่งหมายถึง "ไม่มีอะไร" เลขศูนย์ในยุคกลางเหล่านี้ถูกใช้โดยเครื่องคำนวณวันอีสเตอร์ ในยุคกลางทั้งหมดใน อนาคต ตัวอักษร "N" ตัวแรกถูกใช้เป็นสัญลักษณ์ศูนย์ในตารางตัวเลขโรมันโดยเบเดหรือเพื่อนร่วมงานของเขา ในช่วงประมาณ ค.ศ.  725 ^{[ 60 ]}

ตำราซุนซีซวนจิงซึ่งไม่ทราบอายุที่แน่ชัด แต่คาดว่ามีอายุตั้งแต่ศตวรรษที่ 1 ถึง5 คริสต์ศักราชอธิบายว่า ระบบ แท่งนับเลขของจีนในศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราชช่วยให้สามารถคำนวณเลขฐานสิบแบบตำแหน่ง ได้ ^{[ 62 ] [ 63 ]}ดังที่กล่าวไว้ในตำราเซี่ยโหวหยางซวนจิง (ค.ศ. 425–468) การคูณหรือหารจำนวนด้วย 10, 100, 1000 หรือ 10000 สิ่งที่ต้องทำก็คือ ใช้แท่งบนกระดานนับเลข เลื่อนไปข้างหน้าหรือข้างหลัง 1, 2, 3 หรือ 4 ตำแหน่ง^{[ 64 ]}แท่งเหล่านี้ให้ค่าเลขฐานสิบ โดยช่องว่างแทนเลขศูนย์^{[ 61 ] [ 65 ]}คู่มือ "หมายเหตุเพิ่มเติมเกี่ยวกับศิลปะแห่งตัวเลข" โดยXu Yue ซึ่งเขียนขึ้นราวปี ค.ศ. 190 ยังได้อธิบายเทคนิคการบวก ลบ คูณ และหารจำนวนที่มีค่าเป็นศูนย์ในเลขยกกำลังทศนิยม บนอุปกรณ์นับซึ่งรวมถึงไม้บรรทัดนับและลูกคิด^{[ 66 ] [ 67 ]}นักเขียนชาวจีนคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องจำนวนลบและเศษส่วนทศนิยมมาตั้งแต่สมัยราชวงศ์ฮั่น(คริสต์ศตวรรษที่ 2)ดังที่เห็นได้ใน หนังสือเก้าบทว่าด้วย ศิลปะแห่งคณิตศาสตร์^{[ 68 ]}ตำราคณิตศาสตร์เก้าบทของQín Jiǔsháo ในปี ค.ศ. 1247 เป็นตำราคณิตศาสตร์ภาษาจีนที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ซึ่งใช้สัญลักษณ์วงกลม '〇' แทนเลขศูนย์^{[ 69 ]}ที่มาของสัญลักษณ์นี้ไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด อาจเกิดจากการดัดแปลงสัญลักษณ์สี่เหลี่ยม^{[ 70 ]} ในเวลานั้น ศูนย์ไม่ได้ถูกมองว่าเป็นตัวเลข แต่เป็น "ตำแหน่งว่าง" ^{[ 71 ]}

ปิงคลา ( ประมาณ ศตวรรษ ที่ 3หรือ 2 ก่อนคริสต์ศักราช) ^{[ 72 ]}นักวิชาการด้านฉันทลักษณ์ภาษาสันสกฤต^{[ 73 ]}ใช้ลำดับไบนารี ในรูปแบบของพยางค์สั้นและพยางค์ยาว (โดยพยางค์ยาวมีความยาวเท่ากับพยางค์สั้นสองพยางค์) เพื่อระบุฉันทลักษณ์ ภาษาสันสกฤตที่ถูกต้องที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นสัญกรณ์ที่คล้ายกับรหัสมอร์ส [ ^{74 ] ปิ}งคลาใช้คำภาษาสันสกฤตว่าśūnyaอย่างชัดเจนเพื่ออ้างถึงศูนย์^{[ 72 ]}

กราฟีมค่าตำแหน่งทศนิยมสำหรับศูนย์ได้รับการพัฒนาขึ้นในอินเดีย^{[ 76 ]}

Lokavibhāga ซึ่งเป็นตำราเชนเกี่ยวกับจักรวาลวิทยาที่หลงเหลืออยู่ในการแปลภาษาสันสกฤตในยุคกลางจาก ต้นฉบับ ภาษาปรากฤตซึ่งมีอายุภายในอยู่ที่ ค.ศ. 458 ( ศักราชศักราช 380) ใช้ระบบค่าประจำหลัก แบบทศนิยม รวมถึงเลขศูนย์ ในตำรานี้śūnya ("ความว่างเปล่า") ยังใช้เพื่ออ้างถึงเลขศูนย์ด้วย^{[ 77 ]}

อารยาภติยะ ( ประมาณ ค.ศ. 499) กล่าวว่าsthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt "จากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง แต่ละแห่งมีค่าเป็นสิบเท่าของที่ก่อนหน้า" ^{[ 78 ] [ 79 ] [ 80 ]}

กฎเกณฑ์ที่ควบคุมการใช้ศูนย์ปรากฏในBrahmagupta 's Brahmasputha Siddhanta (ศตวรรษที่ 7) ซึ่งระบุว่าผลรวมของศูนย์กับตัวมันเองคือศูนย์ และอธิบายการหารด้วยศูนย์ อย่างไม่ถูกต้อง ในลักษณะต่อไปนี้: ^{[ 81 ] [ 82 ]}

จำนวนบวกหรือลบเมื่อหารด้วยศูนย์จะได้เศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวส่วน ศูนย์หารด้วยจำนวนลบหรือบวกจะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ หรือแสดงเป็นเศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวเศษและจำนวนจำกัดเป็นตัวส่วน ศูนย์หารด้วยศูนย์ก็คือศูนย์

ตำรา LīlāvatīของBhāskara II ในศตวรรษที่ 12 กลับเสนอว่าการหารด้วยศูนย์ส่งผลให้ได้ปริมาณอนันต์^{[ 83 ]}

ปริมาณใดๆ ที่หารด้วยศูนย์ จะกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นศูนย์ เศษส่วนนี้เรียกว่าปริมาณอนันต์ ในปริมาณนี้ซึ่งประกอบด้วยสิ่งที่หารด้วยศูนย์ จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ แม้ว่าจะมีการเพิ่มหรือลดสิ่งต่างๆ มากมายก็ตาม เช่นเดียวกับที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ เกิดขึ้นในพระเจ้าผู้ทรงอนันต์และไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อโลกถูกสร้างขึ้นหรือถูกทำลาย แม้ว่าลำดับของสิ่งมีชีวิตจำนวนมากจะถูกดูดซับหรือเกิดขึ้นใหม่ก็ตาม

จารึกเอเชียยุคต้น

จารึกแซมบอร์

การใช้เลขศูนย์เป็นตัวเลขทศนิยมที่เก่าแก่ที่สุดและระบุวันที่ได้อย่างชัดเจน พบในจารึกสัมโบร์ ตัวเลข "605" เขียนด้วยตัวเลขเขมร (ด้านบน) ซึ่งหมายถึงปีที่สร้างขึ้น คือพ.ศ. 605 (ค.ศ. 683) ชิ้นส่วนที่จารึกด้วยภาษาเขมรโบราณนี้เคยเป็นส่วนหนึ่งของประตูวัด และถูกค้นพบในจังหวัดกระเตียประเทศกัมพูชา

มีจารึกแผ่นทองแดงจำนวนมากที่มีตัวอักษรo เล็กเหมือน กัน บางส่วนอาจมีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 6 แต่ช่วงเวลาหรือความถูกต้องของจารึกเหล่านั้นอาจเป็นที่น่าสงสัย^{[ 33 ]}

แผ่นศิลาที่พบในซากปรักหักพังของวัดใกล้เมืองซัมโบร์บนแม่น้ำโขงจังหวัดกระตีประเทศกัมพูชามีจารึก "605" ในตัวเลขเขมร (ชุดอักษรตัวเลขสำหรับระบบตัวเลขฮินดู-อาหรับ ) ตัวเลขดังกล่าวคือปีที่จารึกในยุคศักราชศากะซึ่งตรงกับปี ค.ศ. 683 ^{[ 84 ]}

การใช้สัญลักษณ์ พิเศษ สำหรับตัวเลขทศนิยมที่เป็นที่รู้จักครั้งแรก ซึ่งรวมถึงสัญลักษณ์สำหรับเลขศูนย์ที่เป็นรูปวงกลมเล็กๆ ปรากฏบนจารึกหินที่พบในวัดจาตุรภุช เมืองกวาลิออร์ประเทศอินเดีย ลงวันที่ ค.ศ. 876 ^{[ 85 ] [ 86 ]}

สัญลักษณ์สำหรับเลขศูนย์ ซึ่งเป็นจุดสีดำ ถูกใช้ตลอดทั้งต้นฉบับ Bakhshaliซึ่งเป็นคู่มือปฏิบัติเกี่ยวกับการคำนวณเลขคณิตสำหรับพ่อค้าห้องสมุด Bodleianรายงาน ผล การหาอายุด้วยคาร์บอนกัมมันตรังสีสำหรับเอกสาร 6 แผ่นจากต้นฉบับ ซึ่งระบุว่าเอกสารเหล่านั้นมาจากศตวรรษที่ต่างกัน แต่กำหนดอายุของต้นฉบับไว้ที่ ค.ศ. 799 – 1102 ^{[ 75 ]}

ในสัตววิทยาเปรียบเทียบและวิทยาศาสตร์ทางปัญญาการรับรู้ว่าสัตว์บางชนิดแสดงให้เห็นถึงความตระหนักรู้ในแนวคิดของศูนย์ นำไปสู่ข้อสรุปว่าความสามารถในการสร้างนามธรรมเชิงตัวเลขเกิดขึ้นตั้งแต่ช่วงต้นของการวิวัฒนาการของสายพันธุ์^{[ 114 ]}

ในยุคปฏิทิน ก่อน คริสต์ศักราช ปี 1 ก่อนคริสต์ศักราชถือเป็นปีแรกก่อนปี ค.ศ. 1 ไม่มีปีที่ศูนย์ในทางตรงกันข้าม ในการนับปีทางดาราศาสตร์ปี 1 ก่อนคริสต์ศักราชจะถูกนับเป็น 0 ปี 2 ก่อนคริสต์ศักราชจะถูกนับเป็น -1 และอื่นๆ ต่อไป^{[ 115 ]}