อีกวิธีหนึ่งในการหาจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบคือ การลากเส้นตรงสองเส้น โดยแต่ละเส้นออกจากจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ทำมุมกับด้านร่วม โดยมุมร่วมที่ออกจากจุดยอดทั้งสองนั้น มีค่าเท่ากับ 90° ลบด้วยมุมของจุดยอดตรงข้าม (ในกรณีที่มุมตรงข้ามเป็นมุมป้าน การลากเส้นตรงทำมุมลบ หมายถึงการลากเส้นออกนอกสามเหลี่ยม)

ในการเดินเรือชายฝั่งบางครั้งจะใช้เส้นล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยมเป็นวิธีในการหาเส้นบอกตำแหน่งโดยใช้เซ็กซ์แทนท์เมื่อไม่มีเข็มทิศมุมแนวนอนระหว่างจุดสังเกตสองจุดจะเป็นตัวกำหนดเส้นล้อมรอบซึ่งผู้สังเกตการณ์อยู่

ในระนาบยุคลิด เราสามารถเขียนสมการของวงกลมล้อมรอบได้อย่างชัดเจนโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอดของสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลมนั้น สมมติว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}$

คือพิกัดของจุดA, B, Cวงกลมล้อมรอบคือตำแหน่งของจุดในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$

รับประกันว่าจุดA , B , C , vทั้งหมดอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางร่วมของวงกลม เป็นระยะทาง r เท่ากัน โดยใช้ เอกลักษณ์การโพลาไรเซชันสมการเหล่านี้จะลดลงเหลือเงื่อนไขที่ว่าเมทริกซ์${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}$

มีเคอร์เนล ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นวงกลมล้อมรอบอาจอธิบายได้อีกแบบหนึ่งว่าเป็นตำแหน่งของค่าศูนย์ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}$

โดยใช้การขยายโคแฟกเตอร์ให้

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

จากนั้นเราจะได้ว่าและ – โดยสมมติว่าจุดทั้งสามไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (มิฉะนั้นวงกลมล้อมรอบจะเป็นเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นวงกลมทั่วไปที่มีSอยู่ที่อนันต์) – ซึ่งจะให้จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบและรัศมีวงกลมล้อมรอบ วิธีการที่คล้ายกันนี้ช่วยให้เราสามารถอนุมานสมการของ ทรงกลม ล้อมรอบของ ทรง สี่เหลี่ยม ด้านเท่า ได้${\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}$${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),}$${\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},}$${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}}$${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.}$

เวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบที่บรรจุวงกลมนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}$

ดังนั้น เมื่อกำหนดรัศมีrจุดศูนย์กลางP จุดบนวงกลมP ฉาก${\displaystyle {\widehat {n}},}$กับระนาบที่บรรจุวงกลมสมการพาราเมตริกหนึ่งของวงกลมที่เริ่มต้นจากจุดP และดำเนินไปในทิศทางบวก (เช่นมือขวา ) เกี่ยวกับr จะ${\displaystyle {\widehat {n}}}$เป็นดังนี้:

${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$

สมการสำหรับวงกลมล้อมรอบในพิกัดสามมิติx  : y  : zคือ^{[ 1 ]} สมการสำหรับวงกลมล้อมรอบในพิกัดศูนย์กลางมวลx : y : zคือ${\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.}$  ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.}$

เส้นไอโซโกนัลคอนจูเกตของวงกลมล้อมรอบคือเส้นที่ระยะอนันต์ซึ่งกำหนดในพิกัดสามมิติโดยและในพิกัดแบรีเซนทริกโดย${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle x+y+z=0.}$

นอกจากนี้ วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมที่ฝังอยู่ในสามมิติสามารถหาได้โดยใช้วิธีทั่วไป ให้A , B , Cเป็นจุดสามมิติซึ่งเป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม เราเริ่มต้นด้วยการสลับตำแหน่งระบบเพื่อให้Cอยู่ที่จุดกำเนิด:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

รัศมีวงกลมล้อมรอบrคือ

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$

โดยที่θคือมุมภายในระหว่างaและbจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบp กำหนดโดย

${\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$

สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะในสามมิติเท่านั้น เนื่องจากผลคูณเชิงเวกเตอร์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในมิติอื่น แต่สามารถขยายให้ครอบคลุมมิติอื่นได้โดยการแทนที่ผลคูณเชิงเวกเตอร์ด้วยเอกลักษณ์ต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}$

ซึ่งทำให้เราได้สมการต่อไปนี้สำหรับรัศมีวงกลมล้อมรอบr :

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2{\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}}}}$

และสมการต่อไปนี้สำหรับจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบp :

${\displaystyle p_{0}={\frac {((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} -((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }$

ซึ่งสามารถสรุปให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้:

${\displaystyle p_{0}={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} +\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )}{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }$

พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบคือ${\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$

กับ

${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$

โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปสามารถแสดงในรูปแบบที่ง่ายขึ้นได้หลังจากย้ายจุดยอดAไปยังจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน กล่าวคือ เมื่อในกรณีนี้ พิกัดของจุดยอดและแทนเวกเตอร์จากจุดยอดA'ไปยังจุดยอดเหล่านี้ สังเกตว่าการย้ายแบบง่ายๆ นี้เป็นไปได้สำหรับสามเหลี่ยมทุกรูป และพิกัดของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยม△ A'B'C'จะได้ดังนี้${\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).}$${\displaystyle B'=B-A}$${\displaystyle C'=C-A}$${\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}$

กับ

${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$

เนื่องจากการเลื่อนจุดยอดAไปยังจุดกำเนิด รัศมีวงกลมล้อมรอบrสามารถคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}$

และจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมABCที่ แท้จริง มีดังนี้

${\displaystyle U=U'+A}$

จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบมีพิกัดสามมิติ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \cos \alpha$ :\cos \beta :\cos \gamma }

โดยที่α, β, γคือมุมของรูปสามเหลี่ยม

ในแง่ของความยาวด้านa, b, cเส้นตรงสามเส้นคือ^{[ 3 ]}

${\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}$

จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบมีพิกัดแบบแบรีเซนทริก^{[ 4 ]}

${\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}$

โดยที่a, b, cคือความยาวด้านBC , CA , ABตามลำดับ ของรูปสามเหลี่ยม

ในแง่ของมุมสามเหลี่ยมα, β, γพิกัดแบรีเซนทริกของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบคือ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sin 2\alpha$ :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .}

เนื่องจากพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดใดๆ เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอด โดยน้ำหนักคือพิกัดแบรีเซนทริกของจุดนั้นที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ผลรวมเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นเวกเตอร์จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}$

ในที่นี้Uคือเวกเตอร์ของจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ และA , B, C คือเวกเตอร์ ของจุดยอด ตัวหารในที่นี้เท่ากับ16S²โดยที่^Sคือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

ในปริภูมิยูคลิดมีวงกลมเพียงวงเดียวที่ผ่านจุดสามจุดใดๆ ที่ไม่เรียงตัวกันP1 P2 , P3โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนแทนจุดเหล่านี้เป็นเตอร์ในปริภูมิเราสามารถใช้ผลคูณดอทและผลคูณไขว้ ในการ รัศมีและจุดศูนย์กลางของวงกลมได้ ให้

${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$

ดังนั้นรัศมีของวงกลมจึงกำหนดโดย

${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}$

จุดศูนย์กลางของวงกลมหาได้จากผลรวมเชิงเส้น

${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}$