กระบอกสูบ

ทรงกระบอก ( จากภาษากรีกโบราณκύλινδρος ( kúlindros ) ' ลูกกลิ้ง, แก้วน้ำ' ) ^[¹^]ตามประเพณีแล้วถือเป็นทรงสามมิติ ซึ่งเป็นหนึ่งใน รูปทรงเรขาคณิตโค้งพื้นฐานที่สุดในเรขาคณิตเบื้องต้นถือว่าเป็นปริซึมที่มีฐานเป็นวงกลม

ในสาขาเรขาคณิตและโทโพโลยี สมัยใหม่หลายสาขา ทรงกระบอกอาจถูกนิยามว่าเป็นพื้นผิวโค้งอนันต์ได้ เช่นกัน การเปลี่ยนแปลงความหมายพื้นฐาน—จากของแข็งเป็นพื้นผิว (เช่นลูกบอล แข็ง เทียบกับ พื้นผิว ทรงกลม )—ได้สร้างความกำกวมในคำศัพท์บางประการ แนวคิดทั้งสองอาจแยกแยะได้โดยการอ้างถึงทรงกระบอกแข็งและพื้นผิวทรงกระบอกในเอกสารทางวิชาการ คำว่า "ทรงกระบอก" โดยไม่มีคำขยายใดๆ อาจหมายถึงสิ่งใดสิ่งหนึ่งเหล่านี้ หรืออาจหมายถึงวัตถุที่เฉพาะเจาะจงยิ่งกว่านั้น เช่นทรงกระบอกกลมที่ถูกต้อง

ประเภท

พื้นผิวทรงกระบอกคือพื้นผิวที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดบนเส้นตรงทั้งหมดที่ขนานกับเส้นตรงที่กำหนดและผ่านเส้นโค้งระนาบ คงที่ ในระนาบที่ไม่ขนานกับเส้นตรงที่กำหนด เส้นตรงใดๆ ในกลุ่มเส้นตรงขนานนี้เรียกว่าองค์ประกอบของพื้นผิวทรงกระบอก^{[ 2 ]}จากมุมมองทางจลนศาสตร์ เมื่อกำหนดเส้นโค้งระนาบที่เรียกว่า ไดเรกทริก ซ์ พื้นผิวทรงกระบอกคือพื้นผิวที่ลากโดยเส้นตรงที่เรียกว่าเจเนอทริกซ์ซึ่งไม่ได้อยู่ในระนาบของไดเรกทริกซ์ เคลื่อนที่ขนานกับตัวเองและผ่านไดเรกทริกซ์เสมอ ตำแหน่งใดๆ ของเจเนอทริกซ์ถือเป็นองค์ประกอบของพื้นผิวทรงกระบอก

ทรงตันที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกระบอกและระนาบขนานสองระนาบเรียกว่าทรงกระบอก (ทรงตัน) ส่วนของเส้นตรงที่กำหนดโดยองค์ประกอบของพื้นผิวทรงกระบอกระหว่างระนาบขนานสองระนาบเรียกว่าองค์ประกอบของทรงกระบอก [ ^{2 ] องค์ประกอบ}ทั้งหมดของทรงกระบอกมีความยาวเท่ากัน บริเวณที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกระบอกในระนาบขนานใดระนาบหนึ่งเรียกว่าฐานของทรงกระบอก ฐานทั้งสองของทรงกระบอกเป็น รูปทรง ที่เท่ากันทุกประการถ้าองค์ประกอบของทรงกระบอกตั้งฉากกับระนาบที่บรรจุฐาน ทรงกระบอกนั้นเรียกว่าทรงกระบอกตรงมิฉะนั้นจะเรียกว่าทรงกระบอกเฉียงถ้าฐานเป็นวงกลม (บริเวณที่มีขอบเขตเป็นวงกลม ) ทรงกระบอกนั้นเรียกว่าทรงกระบอกวงกลมในการศึกษาเบื้องต้นบางอย่าง ทรงกระบอกมักหมายถึงทรงกระบอกวงกลมเสมอ^{[ 3 ]} ทรงกระบอกเปิดคือพื้นผิวทรงกระบอกที่ไม่มีฐาน

ความสูง (หรือระดับความสูง) ของทรงกระบอก คือ ระยะทาง ตั้งฉากระหว่างฐานทั้งสองของทรงกระบอกนั้น

ทรงกระบอกที่ได้จากการหมุนส่วนของเส้นตรงรอบเส้นตรงคงที่ซึ่งขนานกับส่วนของเส้นตรงนั้น เรียกว่า ทรงกระบอกหมุนรอบแกนทรงกระบอกหมุนรอบแกนเป็นทรงกระบอกกลมตรง ความสูงของทรงกระบอกหมุนรอบแกนเท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ใช้สร้างทรงกระบอก เส้นตรงที่ใช้หมุนส่วนของเส้นตรงเรียกว่าแกนของทรงกระบอก และแกนนี้จะผ่านจุดศูนย์กลางของฐานทั้งสอง

ทรงกระบอกกลมตั้งตรง

คำว่า " ทรงกระบอก" โดยทั่วไป มักหมายถึงทรงกระบอกตันที่มีปลายทั้งสองข้างเป็นวงกลมตั้งฉากกับแกน นั่นคือ ทรงกระบอกตรง ดังแสดงในรูป ส่วนพื้นผิวทรงกระบอกที่ไม่มีปลายทั้งสองข้างเรียกว่าทรงกระบอกเปิดสูตรสำหรับพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอกตรงเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ

ทรงกระบอกกลมตรงยังสามารถคิดได้ว่าเป็นทรงตันของการหมุนที่เกิดจากการหมุนสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบด้านใดด้านหนึ่ง ทรงกระบอกเหล่านี้ใช้ในเทคนิคการบูรณาการ (วิธี "ดิสก์") เพื่อหาปริมาตรของทรงตันของการหมุน^{[ 4 ]}

กระบอกเข็มทรงสูงและบางจะมีส่วนสูงมากกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางมาก ในขณะที่กระบอกแผ่นกลมทรง สั้นและกว้าง จะมีเส้นผ่านศูนย์กลางมากกว่าส่วนสูงมาก

คุณสมบัติ

ส่วนทรงกระบอก

ส่วนตัดทรงกระบอกคือส่วนที่พื้นผิวของทรงกระบอกตัดกับระนาบโดยทั่วไปแล้วจะเป็นเส้นโค้งและเป็นส่วนตัดระนาบ ชนิดพิเศษ ส่วนตัดทรงกระบอกโดยระนาบที่ประกอบด้วยสองส่วนของทรงกระบอกคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน[ ^{5 ] ส่วน}ตัดทรงกระบอกของทรงกระบอกตรงคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า^{[ 5 ]}

ส่วนตัดทรงกระบอกที่ระนาบตัดตัดและตั้งฉากกับองค์ประกอบทั้งหมดของทรงกระบอกเรียกว่า ส่วน ตัดมุมฉาก^{[ 6 ]}ถ้าส่วนตัดมุมฉากของทรงกระบอกเป็นวงกลม ทรงกระบอกนั้นจะเป็นทรงกระบอกวงกลม โดยทั่วไปแล้ว ถ้าส่วนตัดมุมฉากของทรงกระบอกเป็นภาคตัดกรวย(พาราโบลา วงรี ไฮเปอร์โบลา) ทรงกระบอกตันนั้นจะเรียกว่าทรงกระบอกพาราโบลา ทรงกระบอกวงรี และทรงกระบอกไฮเปอร์โบลา ตามลำดับ

สำหรับทรงกระบอกกลมตรง มีหลายวิธีที่ระนาบสามารถตัดกับทรงกระบอกได้ ประการแรก ระนาบที่ตัดกับฐานอย่างมากที่สุดหนึ่งจุด ระนาบจะสัมผัสกับทรงกระบอกหากตัดกับทรงกระบอกในองค์ประกอบเดียว ส่วนตัดตรงจะเป็นวงกลม และระนาบอื่นๆ ทั้งหมดจะตัดกับพื้นผิวทรงกระบอกในรูปวงรี^{[ 7 ]}หากระนาบตัดกับฐานของทรงกระบอกเพียงสองจุด เส้นตรงที่เชื่อมจุดเหล่านี้จะเป็นส่วนหนึ่งของส่วนตัดทรงกระบอก หากระนาบดังกล่าวมีองค์ประกอบสองส่วน ส่วนตัดทรงกระบอกจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มิฉะนั้น ด้านข้างของส่วนตัดทรงกระบอกจะเป็นส่วนของวงรี สุดท้าย หากระนาบมีจุดมากกว่าสองจุดบนฐาน ระนาบนั้นจะครอบคลุมฐานทั้งหมด และส่วนตัดทรงกระบอกจะเป็นวงกลม

ในกรณีของทรงกระบอกกลมที่มีหน้าตัดทรงกระบอกเป็นรูปวงรี ค่าความเยื้องศูนย์ $e$ ของหน้าตัดทรงกระบอกและแกนกึ่งเอก $a$ ของหน้าตัดทรงกระบอกจะขึ้นอยู่กับรัศมี $r$ ของทรงกระบอก และมุม $α$ ระหว่างระนาบตัดกับแกนของทรงกระบอกในลักษณะดังต่อไปนี้: ${\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}$

ปริมาณ

ถ้าฐานของทรงกระบอกวงกลมมีรัศมี $r$ และทรงกระบอกมีความสูง $h$ ปริมาตรของ ทรงกระบอก จะคำนวณได้จากสูตร $V=\pi r^{2}h$

สูตรนี้ใช้ได้ไม่ว่าทรงกระบอกจะเป็นทรงกระบอกตรงหรือไม่ก็ตาม^{[ 8 ]}

สูตรนี้สามารถกำหนดได้โดยใช้หลักการของ Cavalieri

โดยทั่วไปแล้ว ด้วยหลักการเดียวกัน ปริมาตรของทรงกระบอกใดๆ จะเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง ตัวอย่างเช่น ทรงกระบอกวงรีที่มีฐานยาวแกนกึ่งเอก $a$ ยาวแกนกึ่งรอง $b$ และความสูง $h$ จะมีปริมาตร $V = Ah$ โดยที่ $A$ คือพื้นที่ฐานวงรี (= $π ab$ ) ผลลัพธ์นี้สำหรับทรงกระบอกวงรีตั้งตรงสามารถหาได้จากการอินทิเกรต โดยกำหนดให้แกนของทรงกระบอกเป็นแกน $x$ บวก และ $A (x) = A$ คือพื้นที่หน้าตัดวงรีแต่ละด้าน ดังนี้: $V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.$

โดยใช้พิกัดทรงกระบอก เราสามารถคำนวณปริมาตรของทรงกระบอกกลมตรงได้โดยการอินทิเกรต ${\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}$

พื้นที่ผิว

ทรงกระบอกกลมที่มีรัศมี $r$ และความสูง $h$ พื้นที่ผิวของทรงกระบอกกลมตรงที่วางตัวโดยให้แกนอยู่ในแนวตั้ง ประกอบด้วยสามส่วน:

พื้นที่ฐานด้านบน $:$ $π r²$
พื้นที่ฐานด้านล่าง: $π r 2$
พื้นที่ของด้าน: $2π rh$

พื้นที่ของฐานด้านบนและด้านล่างเท่ากัน เรียกว่าพื้นที่ฐาน ( $B$ ) ส่วนพื้นที่ของด้านข้างเรียกว่าพื้นที่ด้านข้าง ( $L$ )

ทรงกระบอกเปิดไม่มีส่วนประกอบด้านบนหรือด้านล่าง ดังนั้นจึงมีพื้นที่ผิว (พื้นที่ด้านข้าง) $L=2\pi rh$

พื้นที่ผิวของทรงกระบอกกลมตันตั้งตรงนั้นเกิดจากผลรวมของพื้นที่ผิวทั้งสามส่วน ได้แก่ ด้านบน ด้านล่าง และด้านข้าง ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกระบอกกลมตันตั้งตรงจึงเท่ากับ... $A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)$ โดยที่ $d = 2r คือ$ เส้นผ่านศูนย์กลางของส่วนบนหรือส่วนล่างที่เป็นวงกลม

สำหรับปริมาตรที่กำหนด ทรงกระบอกกลมที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดจะมี $h = 2r ใน$ ทำนองเดียวกัน สำหรับพื้นที่ผิวที่กำหนด ทรงกระบอกกลมที่มีปริมาตรมากที่สุดจะมี $h = 2r นั่น$ คือ ทรงกระบอกจะพอดีกับลูกบาศก์ที่มีความยาวด้านเท่ากับความสูง ( = เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมฐาน) ^{[ 9 ]}

พื้นที่ด้านข้าง $L$ ของทรงกระบอกวงกลม ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นทรงกระบอกฉาก โดยทั่วไปจะกำหนดโดยสูตร $L=e\times p,$ โดยที่ $e$ คือความยาวขององค์ประกอบ และ $p$ คือเส้นรอบวงของส่วนด้านขวาของทรงกระบอก^{[ 10 ]}ซึ่งจะสร้างสูตรก่อนหน้าสำหรับพื้นที่ด้านข้างเมื่อทรงกระบอกเป็นทรงกระบอกวงกลมด้านขวา

ทรงกระบอกกลวงกลม (เปลือกทรงกระบอก)

ทรงกระบอกกลวงกลมตั้งตรง (หรือเปลือกทรงกระบอก ) คือบริเวณสามมิติที่ล้อมรอบด้วยทรงกระบอกกลมตั้งตรงสองอันที่มีแกนเดียวกันและ ฐาน วงแหวน ขนานสอง ฐานที่ตั้งฉากกับแกนร่วมของทรงกระบอกทั้งสอง ดังแสดงในแผนภาพ

ให้ความสูงเป็น $h$ รัศมีภายใน $เป็น r$ และรัศมีภายนอก $เป็น R$ ปริมาตรหาได้จากการลบปริมาตรของทรงกระบอกสมมติภายใน (เช่น ช่องว่าง) ออกจากปริมาตรของทรงกระบอกภายนอก: $V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(Rr).$ ดังนั้นปริมาตรของเปลือกทรงกระบอกจึงเท่ากับ $2π$ × รัศมีเฉลี่ย× ความสูง×ความหนา^[¹¹^]

พื้นที่ผิวรวมทั้งด้านบนและด้านล่างคำนวณได้จากสูตร $A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).$ เปลือกทรงกระบอกใช้ในเทคนิคการบูรณาการทั่วไปเพื่อหาปริมาตรของทรงตันจากการหมุน^{[ 12 ]}

บนทรงกลมและทรงกระบอก

ในตำราชื่อเดียวกันนี้ ซึ่งเขียนขึ้นราวปีค.ศ. 225 ก่อนคริสต์ศักราช อา ร์คิมิดีสได้ผลลัพธ์ที่เขาภาคภูมิใจที่สุด นั่นคือ การได้สูตรสำหรับปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมโดยใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมและทรงกระบอกกลมตรงที่ล้อม รอบมัน ซึ่งมีความสูงและเส้นผ่านศูนย์กลาง เท่ากัน ทรงกลมมีปริมาตรเป็นสองในสามของปริมาตรของทรงกระบอกที่ล้อมรอบ และมีพื้นที่ผิว เป็นสองในสามของพื้นที่ผิวของทรงกระบอก (รวมฐาน) เนื่องจากค่าของทรงกระบอกเป็นที่ทราบอยู่แล้ว เขาจึงได้ค่าที่สอดคล้องกันสำหรับทรงกลมเป็นครั้งแรก ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี $r$ คือ $⁠$ $4$ $/$ $3$ $⁠$ $π$ $r$ $3$ $=$ $⁠$ $2$ $/$ $3$ $⁠$ $(2$ $π$ $r$ $3$ $)$ พื้นที่ผิวของทรงกลมนี้คือ4 $π$ $r$ $2$ $=$ $⁠$ $2$ $/$ $3$ $⁠$ $($ $6$ $π$ $r$ $2$ $)$ รูปปั้นทรงกลมและทรงกระบอกถูกนำไปวางไว้บนหลุมฝังศพของอาร์คิมีเดสตามคำขอของเขา

พื้นผิวทรงกระบอก

ในบางสาขาของเรขาคณิตและโทโพโลยี คำว่าทรงกระบอกหมายถึงสิ่งที่เรียกว่าพื้นผิวทรงกระบอกทรงกระบอกถูกนิยามว่าเป็นพื้นผิวที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดบนเส้นตรงทั้งหมดที่ขนานกับเส้นตรงที่กำหนดและผ่านเส้นโค้งระนาบคงที่ในระนาบที่ไม่ขนานกับเส้นตรงที่กำหนด^{[ 13 ]}บางครั้งทรงกระบอกดังกล่าวถูกเรียกว่าทรงกระบอกทั่วไปผ่านแต่ละจุดของทรงกระบอกทั่วไปจะมีเส้นตรงที่ไม่ซ้ำกันซึ่งบรรจุอยู่ในทรงกระบอก^{[ 14 ]}ดังนั้น นิยามนี้จึงอาจกล่าวใหม่ได้ว่าทรงกระบอกคือพื้นผิวที่กำหนดโดยตระกูลเส้นตรงขนานหนึ่งพารามิเตอร์

ทรงกระบอกที่มีหน้าตัดตรงเป็นรูปวงรีพาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลา เรียก ว่าทรงกระบอกวงรีทรงกระบอกพาราโบลาและทรงกระบอกไฮเปอร์โบลาตามลำดับ สิ่งเหล่านี้เป็นพื้นผิวควอดริกที่ เสื่อมสภาพ ^[¹⁵^]

เมื่อแกนหลักของรูปทรงควอดริกอยู่ในแนวเดียวกับกรอบอ้างอิง (ซึ่งเป็นไปได้เสมอสำหรับรูปทรงควอดริก) สมการทั่วไปของรูปทรงควอดริกในสามมิติจะกำหนดโดย $f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,$ โดยที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และไม่ใช่ว่า $A$ , $B$ และ $C$ ทั้งหมดเป็น 0 หากตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่ปรากฏในสมการ แสดงว่าควอดริกนั้นเป็นควอดริกเสื่อมสภาพ หากตัวแปรหนึ่งหายไป เราอาจสันนิษฐานโดยการหมุนแกน ที่เหมาะสม ว่าตัวแปร $z$ ไม่ปรากฏ และสมการทั่วไปของควอดริกเสื่อมสภาพประเภทนี้สามารถเขียนได้เป็น^{[ 16 ]} $A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,$ ที่ไหน $\rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.$

ทรงกระบอกวงรี

ถ้า $AB > 0$ นี่คือสมการของ ทรง กระบอกวงรี^{[ 16 ]}สามารถลดรูปเพิ่มเติมได้โดยการเลื่อนแกนและการคูณสเกลาร์ ถ้า $\rho$ ถ้า มีเครื่องหมายเดียวกับสัมประสิทธิ์ $A$ และ $B$ แล้ว สมการของทรงกระบอกวงรีสามารถเขียนใหม่ในพิกัดคาร์ทีเซียนได้ดังนี้: $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.$ สมการของทรงกระบอกวงรีนี้เป็นการขยายความของสมการของทรงกระบอกวงกลม ธรรมดา ( $a = b$ ) ทรงกระบอกวงรีเรียกอีกอย่างว่าซิลินดรอยด์แต่ชื่อนี้มีความกำกวม เนื่องจากอาจหมายถึงโคนอยด์ของพลูเกอร์ได้ เช่นกัน

ถ้า $\rho$ หากค่า มีเครื่องหมายต่างจากสัมประสิทธิ์ เราจะได้ทรงกระบอกวงรีเชิงจินตนาการ : $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,$ ซึ่งไม่มีประเด็นสำคัญอะไรเลย ( $\rho =0$ (ให้จุดจริงเพียงจุดเดียว)

ทรงกระบอกไฮเปอร์โบลิก

ถ้า $A$ และ $B$ มีเครื่องหมายต่างกัน และ $\rho \neq 0$ เราจะได้ทรงกระบอกไฮเปอร์โบลิกซึ่งสามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้: $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.$

ทรงกระบอกพาราโบลา

สุดท้ายนี้ ถ้า $AB = 0$ ให้สมมติโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่า $B = 0$ และ $A = 1$ เพื่อให้ได้ทรงกระบอกพาราโบลาที่มีสมการที่สามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 17 ]} $x^{2}+2ay=0.$

เรขาคณิตเชิงฉาย

ในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟ ทรงกระบอกก็คือกรวยที่มีจุดยอดอยู่บนระนาบที่อนันต์หากกรวยเป็นกรวยกำลังสอง ระนาบที่อนันต์ (ซึ่งผ่านจุดยอด) สามารถตัดกับกรวยได้ที่เส้นจำนวนจริงสองเส้น เส้นจำนวนจริงเส้นเดียว (ที่จริงแล้วเป็นเส้นคู่ที่ทับกัน) หรือที่จุดยอดเท่านั้น กรณีเหล่านี้ทำให้เกิดทรงกระบอกไฮเปอร์โบลิก พาราโบลิก หรือวงรี ตามลำดับ^{[ 18 ]}

แนวคิดนี้มีประโยชน์เมื่อพิจารณาภาคตัดกรวยเสื่อมสภาพซึ่งอาจรวมถึงภาคตัดกรวยทรงกระบอกด้วย

ปริซึม

ท้องฟ้าจำลองไทโค บราเฮในโคเปนเฮเกน เป็นตัวอย่างหนึ่งของรูปทรงกระบอกที่ถูกตัดยอด

ทรงกระบอกตันสามารถถือได้ว่าเป็นกรณีจำกัดของ ปริซึม $n$ ด้านเมื่อ $n$ เข้าใกล้อนันต์เนื่องจากความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดนี้ ตำราเรขาคณิตก่อนหน้านี้หลายเล่มจึงกล่าวถึงปริซึมและทรงกระบอกร่วมกัน สูตรมาตรฐานสำหรับพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอกสามารถหาได้จากสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับปริซึมโดยพิจารณาปริซึมที่แนบในและปริซึมที่ล้อมรอบ และหาลิมิตเมื่อจำนวนด้านเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด^{[ 19 ]}

การให้ความสำคัญกับทรงกระบอกวงกลมในการศึกษาแบบคลาสสิกนั้น เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าฐานวงกลมเป็นรูปทรงเรขาคณิตบนระนาบเพียงรูปเดียวที่สามารถใช้การหาลิมิตโดยใช้วิธีพื้นฐาน โดยไม่ต้องอาศัยแคลคูลัส นอกจากนี้ ทรงกระบอกและปริซึมยังมีคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน เช่นปริซึมตัดยอดคือปริซึมที่มีฐานไม่ขนานกัน และในทำนองเดียวกัน ทรงกระบอกตันที่มีฐานไม่ขนานกันก็เรียกว่าทรงกระบอกตัดยอดเช่น กัน

จากมุมมองของทรงหลายเหลี่ยม ทรงกระบอกอาจถูกมองว่าเป็นคู่ตรงข้ามของทรงกรวย สองด้าน ซึ่ง ตีความได้ว่าเป็น พีระมิดสองด้านที่มีด้านอนันต์

กลุ่มของ ปริซึม n เหลี่ยม ที่มี รูปร่างสม่ำเสมอ วี ที อี
ชื่อปริซึม	ปริซึมแนวทแยง	ปริซึมสามเหลี่ยม (ทรงสามเหลี่ยม)	ปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัส)	ปริซึมห้าเหลี่ยม	ปริซึมหกเหลี่ยม	ปริซึมเจ็ดเหลี่ยม	ปริซึมแปดเหลี่ยม	ปริซึมแปดเหลี่ยม	ปริซึมสิบเหลี่ยม	ปริซึมสิบเอ็ดเหลี่ยม	ปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยม	...	ปริซึมอะพีโรโกนัล
ภาพทรงหลายเหลี่ยม												...
ภาพการปูพื้นทรงกลม												ภาพปูกระเบื้องระนาบ
การกำหนดค่าจุดยอด	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
แผนภาพค็อกซ์เตอร์												...

ดูเพิ่มเติม

รายการรูปทรง
ทรงตันสไตน์เมทซ์คือ จุดตัดของทรงกระบอกตั้งฉากสองหรือสามอัน

หมายเหตุ

↑ κύлινδρος เก็บไว้30-07-2013 ที่Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , บน Perseus
1 2เวนท์เวิร์ธแอนด์ สมิธ 1913หน้า 353
↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry , WH Freeman and Co., หน้า 607, ISBN 0-7167-0456-0
↑ Swokowski 1983 , หน้า 283.
1 2เวนท์เวิร์ธแอนด์ สมิธ 1913หน้า 354
↑เวนท์เวิร์ธและสมิธ 1913หน้า 357
↑ "ภาคตัดขวางทรงกระบอก" , MathWorld
↑เวนท์เวิร์ธและสมิธ 1913หน้า 359
↑ Lax, Peter D. ; Terrell, Maria Shea (2013), Calculus With Applications , Springer, หน้า178, ISBN 9781461479468.
↑เวนท์เวิร์ธและสมิธ 1913หน้า 358
↑ Swokowski 1983 , หน้า 292.
↑ Swokowski 1983 , หน้า 291.
↑อัลเบิร์ต 2016 , หน้า 43.
↑อัลเบิร์ต 2016 , หน้า 49.
↑แบรนแนน, เดวิด เอ.; เอสเพลน, แมทธิว เอฟ.; Grey, Jeremy J. (1999), เรขาคณิต , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, p. 34, ไอเอสบีเอ็น 978-0-521-59787-6
1 2อัลเบิร์ต 2016หน้า 74
↑อัลเบิร์ต 2016 , หน้า 75.
↑ Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry a Comprehensive Course , Dover, หน้า398, ISBN 0-486-65812-0
↑ Slaught, HE ; Lennes, NJ (1919). เรขาคณิตทรงสามมิติพร้อมปัญหาและการประยุกต์ใช้ (PDF) (ฉบับปรับปรุง). Allyn and Bacon. หน้า79– 81.

ลิงก์ภายนอก

ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "กระบอก" . แมทเวิลด์ .
พื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่ MATHguide
ปริมาตรของทรงกระบอกที่ MATHguide

[1] κύлινδρος เก็บไว้30-07-2013 ที่Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , บน Perseus

[FOOTNOTEWentworthSmith1913353-2] 1 2เวนท์เวิร์ธแอนด์ สมิธ 1913หน้า 353

[3] Jacobs, Harold R. (1974), Geometry , WH Freeman and Co., หน้า 607, ISBN 0-7167-0456-0

[FOOTNOTESwokowski1983283-4] Swokowski 1983 , หน้า 283.

[FOOTNOTEWentworthSmith1913354-5] 1 2เวนท์เวิร์ธแอนด์ สมิธ 1913หน้า 354

[FOOTNOTEWentworthSmith1913357-6] เวนท์เวิร์ธและสมิธ 1913หน้า 357

[7] "ภาคตัดขวางทรงกระบอก" , MathWorld

[FOOTNOTEWentworthSmith1913359-8] เวนท์เวิร์ธและสมิธ 1913หน้า 359

[9] Lax, Peter D. ; Terrell, Maria Shea (2013), Calculus With Applications , Springer, หน้า178, ISBN 9781461479468.

[FOOTNOTEWentworthSmith1913358-10] เวนท์เวิร์ธและสมิธ 1913หน้า 358

[FOOTNOTESwokowski1983292-11] Swokowski 1983 , หน้า 292.

[FOOTNOTESwokowski1983291-12] Swokowski 1983 , หน้า 291.

[FOOTNOTEAlbert201643-13] อัลเบิร์ต 2016 , หน้า 43.

[FOOTNOTEAlbert201649-14] อัลเบิร์ต 2016 , หน้า 49.

[15] แบรนแนน, เดวิด เอ.; เอสเพลน, แมทธิว เอฟ.; Grey, Jeremy J. (1999), เรขาคณิต , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, p. 34, ไอเอสบีเอ็น 978-0-521-59787-6

[FOOTNOTEAlbert201674-16] 1 2อัลเบิร์ต 2016หน้า 74

[FOOTNOTEAlbert201675-17] อัลเบิร์ต 2016 , หน้า 75.

[18] Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry a Comprehensive Course , Dover, หน้า398, ISBN 0-486-65812-0

[19] Slaught, HE ; Lennes, NJ (1919). เรขาคณิตทรงสามมิติพร้อมปัญหาและการประยุกต์ใช้ (PDF) (ฉบับปรับปรุง). Allyn and Bacon. หน้า79– 81.

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

5 ] ส่วน

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]