เมื่อกำหนดเส้นตรงขนานlและmในปริภูมิยุคลิดคุณสมบัติต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

1. ทุกจุดบนเส้นตรงm จะอยู่ห่างจากเส้นตรง lในระยะทางที่เท่ากัน (ระยะทางต่ำสุด) ( เส้นตรงที่มีระยะห่างเท่ากัน )
2. เส้นตรงmอยู่ในระนาบเดียวกับเส้นตรงlแต่ไม่ตัดกับ เส้นตรง l (โปรดจำไว้ว่าเส้นตรงสามารถทอดยาวไปถึงอนันต์ได้ทั้งสองทิศทาง)
3. เมื่อเส้นตรงmและlถูกตัดโดยเส้นตรงที่สาม (เส้นตัดขวาง ) ในระนาบเดียวกันมุมที่สอดคล้องกับจุดตัดกับเส้นตัดขวางนั้นจะมีขนาดเท่ากัน

เนื่องจากคุณสมบัติเหล่านี้เทียบเท่ากัน จึงสามารถใช้คุณสมบัติใดคุณสมบัติหนึ่งเป็นนิยามของเส้นขนานในปริภูมิยุคลิดได้ แต่คุณสมบัติแรกและคุณสมบัติที่สามเกี่ยวข้องกับการวัด ดังนั้นจึง "ซับซ้อนกว่า" คุณสมบัติที่สอง ดังนั้น คุณสมบัติที่สองจึงเป็นคุณสมบัติที่มักถูกเลือกเป็นนิยามของเส้นขนานในเรขาคณิตยุคลิด^{[ 6 ]}คุณสมบัติอื่นๆ จึงเป็นผลสืบเนื่องมาจากสมมติฐานเส้นขนานของยุคลิด

นิยามของเส้นขนานว่าเป็นคู่ของเส้นตรงในระนาบที่ไม่ตัดกัน ปรากฏเป็นนิยามที่ 23 ในหนังสือเล่มที่ 1 ของElements ของยูคลิด [ ^{7 ] นัก}ปรัชญากรีกคนอื่นๆ ได้อภิปรายนิยามทางเลือกอื่นๆ ซึ่งมักเป็นส่วนหนึ่งของความพยายามที่จะพิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานโพรคลัสให้นิยามของเส้นขนานว่าเป็นเส้นที่อยู่ห่างกันเท่ากันแก่โพซิโดเนียสและอ้างถึงเจมินัสในทำนองเดียวกันซิมพลิเซียสยังกล่าวถึงนิยามของโพซิโดเนียส รวมถึงการดัดแปลงโดยนักปรัชญาอากานิสด้วย^{[ 7 ]}

ในช่วงปลายศตวรรษที่สิบเก้าในอังกฤษ ตำรา Elements ของยูคลิดยังคงเป็นตำรามาตรฐานในโรงเรียนมัธยมศึกษา การสอนเรขาคณิตแบบดั้งเดิมกำลังถูกกดดันให้เปลี่ยนแปลงโดยการพัฒนาใหม่ๆ ในเรขาคณิตเชิงฉายและเรขาคณิตนอกยุคยูคลิดดังนั้นจึงมีการเขียนตำราใหม่หลายเล่มสำหรับการสอนเรขาคณิตในช่วงเวลานี้ ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างตำราปฏิรูปเหล่านี้ ทั้งระหว่างกันเองและระหว่างตำราเหล่านั้นกับยูคลิด คือการจัดการเส้นขนาน^{[ 8 ]}ตำราปฏิรูปเหล่านี้ก็มีผู้ติชมเช่นกัน และหนึ่งในนั้นคือ ชาร์ลส์ ดอดจ์สัน (หรือที่รู้จักในนามลูอิส แคร์โรลล์ ) ได้เขียนบทละครเรื่องEuclid and His Modern Rivalsซึ่งวิพากษ์วิจารณ์ตำราเหล่านี้อย่างรุนแรง^{[ 9 ]}

หนึ่งในตำราเรียนการปฏิรูปยุคแรกคือElementary Geometry ของ James Maurice Wilson ในปี 1868 ^{[ 10 ]} Wilson กำหนดนิยามของเส้นขนานโดยอิงจากแนวคิดพื้นฐานของทิศทางตามที่Wilhelm Killing ^{[ 11 ]} กล่าวไว้ แนวคิดนี้อาจสืบย้อนไปถึงLeibniz ได้ [ ^{12 ] Wilson}แม้จะไม่ได้กำหนดนิยามของทิศทางเนื่องจากเป็นแนวคิดพื้นฐาน แต่ก็ใช้คำนี้ในนิยามอื่นๆ เช่น นิยามที่หกของเขาที่ว่า "เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันจะมีทิศทางต่างกัน และผลต่างของทิศทางของเส้นทั้งสองคือมุมระหว่างเส้นทั้งสอง" Wilson (1868 , หน้า 2)ในนิยามที่ 15 เขาแนะนำเส้นขนานในลักษณะนี้ว่า "เส้นตรงที่มีทิศทางเดียวกันแต่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่าเส้นขนาน " Wilson (1868 , หน้า 12) Augustus De Morganได้วิจารณ์ตำราเล่มนี้และประกาศว่าเป็นตำราที่ล้มเหลว โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากนิยามนี้และวิธีที่ Wilson ใช้มันเพื่อพิสูจน์สิ่งต่างๆ เกี่ยวกับเส้นขนาน นอกจากนี้ Dodgson ยังอุทิศส่วนใหญ่ของบทละครของเขา (องก์ที่ 2 ฉากที่ 6 § 1) เพื่อประณามการจัดการเรื่องความคล้ายคลึงกันของ Wilson Wilson ได้ตัดแนวคิดนี้ออกจากฉบับที่ 3 และฉบับที่สูงกว่าของบทละครของเขา^{[ 13 ]}

คุณสมบัติอื่นๆ ที่เสนอโดยนักปฏิรูปคนอื่นๆ ซึ่งใช้แทนคำจำกัดความของเส้นขนาน ก็ไม่ได้ดีขึ้นมากนัก ความยากลำบากหลัก ดังที่ Dodgson ชี้ให้เห็น คือ การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในลักษณะนี้จำเป็นต้องเพิ่มสัจพจน์เพิ่มเติมเข้าไปในระบบ คำจำกัดความของเส้นตรงที่มีระยะห่างเท่ากันของ Posidonius ซึ่งอธิบายโดย Francis Cuthbertson ในตำราEuclidean Geometry ปี 1874 ของเขา ประสบปัญหาที่ว่า จุดที่พบที่ระยะห่างคงที่บนด้านหนึ่งของเส้นตรงจะต้องแสดงให้เห็นว่าก่อให้เกิดเส้นตรง ซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้และต้องถือว่าเป็นจริง^{[ 14 ]}มุมที่สอดคล้องกันที่เกิดจากคุณสมบัติของเส้นตัดขวาง ซึ่งใช้โดย WD Cooley ในตำราThe Elements of Geometry ปี 1860 ของเขา ได้รับการทำให้ง่ายขึ้นและอธิบายแล้วจำเป็นต้องมีการพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าเส้นตัดขวางเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงคู่หนึ่งที่มุมที่สอดคล้องกันเท่ากัน เส้นตัดขวางทั้งหมดจะต้องทำเช่นนั้นเช่นกัน อีกครั้ง จำเป็นต้องมีสัจพจน์ใหม่เพื่อพิสูจน์ข้อความนี้

คุณสมบัติทั้งสามข้างต้นนำไปสู่วิธีการสร้างเส้นขนานที่แตก ต่างกันสามวิธี ^{[ 15 ]}

• 
  คุณสมบัติข้อ ที่1: เส้นตรงm มีระยะห่างจากเส้นตรง lเท่ากันทุกจุด
• 
  คุณสมบัติที่ 2: ลากเส้นตรงสุ่มผ่านจุด aที่ตัดกับเส้นตรงlที่ จุด x จาก นั้นเลื่อนจุดxไปยังอนันต์
• 
  คุณสมบัติที่ 3: ทั้งlและmมีเส้นตัดขวางร่วมกันที่ลากผ่านaและตัดกันที่มุม 90°

เนื่องจากเส้นขนานในระนาบยูคลิดมีระยะห่างเท่ากันดังนั้นจึงมีระยะห่างเพียงค่าเดียวระหว่างเส้นขนานสองเส้นนั้น เมื่อกำหนดสมการของเส้นขนานสองเส้นที่ไม่เป็นเส้นแนวตั้งและไม่เป็นเส้นแนวนอนแล้ว

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

ระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้นสามารถหาได้โดยการหาจุดสองจุด (จุดหนึ่งบนแต่ละเส้น) ที่อยู่บนเส้นตั้งฉากร่วมกับเส้นขนานทั้งสอง และคำนวณระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองนั้น เนื่องจากเส้นตรงทั้งสองมีค่าความชันเท่ากับm ดังนั้นเส้น ตั้งฉากร่วมจะมีค่าความชันเท่ากับ −1/ mและเราสามารถใช้เส้นตรงที่มีสมการy = −x / m เป็นเส้นตั้งฉากร่วมได้ จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}$

และ

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}$

เพื่อให้ได้พิกัดของจุดต่างๆ คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นคือจุดเหล่านั้น

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}$

และ

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}$

สูตรเหล่านี้ยังคงให้พิกัดจุดที่ถูกต้องแม้ว่าเส้นขนานจะเป็นแนวนอน (เช่นm = 0) ระยะห่างระหว่างจุดคือ

${\displaystyle d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

ซึ่งลดลงเหลือ

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

เมื่อกำหนดเส้นโดยใช้รูปแบบทั่วไปของสมการเส้นตรง (รวมทั้งเส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้ง):

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

ระยะห่างระหว่างพวกเขาสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$