ในเรขาคณิตยุคลิด แบบคลาสสิก (เช่นเรขาคณิตสังเคราะห์ ) เวกเตอร์ถูกนำมาใช้ (ในช่วงศตวรรษที่ 19) ในฐานะชั้นสมมูลภายใต้ความเท่าเทียมกันของ คู่ จุดเรียงลำดับ^{[ 13 ]}โดยสองคู่( A , B )และ( C , D )จะมีความเท่าเทียมกันหากจุดA , B , D , Cตามลำดับนี้ก่อให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานชั้นสมมูลดังกล่าวเรียกว่าเวกเตอร์หรือเรียกให้แม่นยำยิ่งขึ้นว่าเวกเตอร์ยุคลิด^{[ 14 ]}ชั้นสมมูลของ( A , B )มักจะแสดงด้วย${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.}$

เวกเตอร์ยุคลิดจึงเป็นชั้นสมมูลของส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางซึ่งมีขนาดเท่ากัน (เช่น ความยาวของส่วนของเส้นตรง( A , B ) ) และทิศทางเดียวกัน (เช่น ทิศทางจากAไปB ) ^{[ 15 ]}ในฟิสิกส์ เวกเตอร์ยุคลิดใช้เพื่อแสดงปริมาณทางกายภาพที่มีทั้งขนาดและทิศทาง แต่ไม่ได้อยู่ที่ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งโดยเฉพาะ ซึ่งแตกต่างจากสเกลาร์ซึ่งไม่มีทิศทาง^{[ 7 ]}ตัวอย่างเช่นความเร็วแรงและความเร่งจะถูกแทนด้วยเวกเตอร์

ในเรขาคณิตสมัยใหม่ ปริภูมิยุคลิดมักถูกนิยามจากพีชคณิตเชิงเส้น กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น ปริภูมิยุคลิดEถูกนิยามว่าเป็นเซตที่เชื่อมโยงกับปริภูมิผลคูณภายในที่มีมิติจำกัดเหนือจำนวนจริง${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$และการกระทำกลุ่มของกลุ่มบวกของ${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$ซึ่งเป็นอิสระและถ่ายทอดได้ (ดู รายละเอียดของโครงสร้างนี้ได้ที่ พื้นที่เชิงเส้น ) องค์ประกอบของ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$เรียกว่าการแปลมีการพิสูจน์แล้วว่านิยามทั้งสองของปริภูมิยุคลิดนั้นเทียบเท่ากัน และชั้นสมมูลภายใต้ความเท่าเทียมกันสามารถระบุได้กับการแปล

บางครั้ง เวกเตอร์ยุคลิดถูกพิจารณาโดยไม่เกี่ยวข้องกับปริภูมิยุคลิด ในกรณีนี้ เวกเตอร์ยุคลิดคือองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐานที่มีมิติจำกัดบนจำนวนจริง หรือโดยทั่วไปแล้วคือองค์ประกอบของปริภูมิพิกัดจำนวนจริง${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$พร้อมด้วยผลคูณดอทซึ่งสมเหตุสมผล เนื่องจากผลบวกในปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวจะกระทำอย่างอิสระและถ่ายทอดได้บนปริภูมิเวกเตอร์นั้นเอง กล่าวคือ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เป็นปริภูมิยูคลิด โดยมีตัวมันเองเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง และผลคูณดอทเป็นผลคูณภายใน

ปริภูมิยูคลิด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$โดยทั่วไปมักนำเสนอในรูป ของ ปริภูมิยูคลิดมาตรฐานที่ มีมิติnเหตุผลก็คือปริภูมิยูคลิดทุกปริภูมิที่มีมิติnนั้นสมisomorphicกับปริภูมิยูคลิด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อกำหนดปริภูมิยูคลิดดังกล่าวแล้ว เราสามารถเลือกจุดO ใดๆ เป็นจุดกำเนิดได้ โดยกระบวนการแกรม-ชมิดท์เรายังสามารถหาฐานเชิงตั้งฉากปกติของปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องได้ (ฐานที่ผลคูณภายในของเวกเตอร์ฐานสองตัวเป็น 0 ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองต่างกัน และเป็น 1 ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากัน) ซึ่งจะกำหนดพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดP ใดๆ ในปริภูมินั้น ให้เป็นพิกัดบนฐานของเวกเตอร์นี้${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$ตัวเลือกเหล่านี้กำหนดไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิยุคลิดที่กำหนดไปยัง${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$โดยการแมปจุดใดๆ ไปยังn -tupleของพิกัดคาร์ทีเซียน และแมปเวกเตอร์ทุกตัวไปยังเวกเตอร์พิกัด ของ มัน

เนื่องจากแนวคิดเรื่อง แรงของนักฟิสิกส์มีทั้งทิศทางและขนาด จึงอาจมองได้ว่าเป็นเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น พิจารณาแรงF ที่กระทำไปทางขวา ขนาด 15 นิวตันถ้าแกนบวกชี้ไปทางขวาด้วย แรงFจะถูกแทนด้วยเวกเตอร์ 15  N และถ้าแกนบวกชี้ไปทางซ้าย เวกเตอร์ของFจะเป็น−15  N ในทั้งสองกรณี ขนาดของเวกเตอร์คือ 15 N  เช่นเดียวกัน การแสดงเวกเตอร์ของการกระจัด Δs 4เมตรจะเป็น 4 เมตร หรือ−4 เมตร ขึ้นอยู่กับทิศทาง และขนาดของมันจะเท่ากับ 4  เมตรเสมอ

เวกเตอร์เป็นพื้นฐานในวิทยาศาสตร์กายภาพ สามารถใช้แทนปริมาณใดๆ ที่มีขนาด มีทิศทาง และเป็นไปตามกฎการบวกเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่นความเร็วซึ่งขนาดของมันคืออัตราเร็วตัวอย่างเช่น ความเร็ว5 เมตรต่อวินาทีขึ้นไปสามารถแทนด้วยเวกเตอร์ (0, 5) (ใน 2 มิติ โดยแกนyบวกเป็น 'ขึ้น') ปริมาณอีกอย่างหนึ่งที่แสดงด้วยเวกเตอร์คือแรงเนื่องจากมีขนาดและทิศทาง และเป็นไปตามกฎการบวกเวกเตอร์^{[ 7 ]}เวกเตอร์ยังอธิบายปริมาณทางกายภาพอื่นๆ อีกมากมาย เช่น การกระจัดเชิงเส้นการกระจัด ความเร่งเชิงเส้นความเร่งเชิงมุมโมเมนตัมเชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุมเวกเตอร์ทางกายภาพอื่นๆ เช่น สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กจะถูกแทนด้วยระบบของเวกเตอร์ ณ แต่ละจุดในพื้นที่ทางกายภาพ นั่นคือสนามเวกเตอร์ตัวอย่างของปริมาณที่มีขนาดและทิศทาง แต่ไม่เป็นไปตามกฎการบวกเวกเตอร์ ได้แก่ การกระจัดเชิงมุมและกระแสไฟฟ้า ดังนั้น สิ่งเหล่านี้จึงไม่ใช่เวกเตอร์

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเวกเตอร์ขอบเขตสามารถแสดงได้โดยการระบุพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ตัวอย่างเช่น จุดA = (1, 0, 0)และB = (0, 1, 0)ในอวกาศกำหนดเวกเตอร์ขอบเขต${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ชี้จากจุดx = 1บน แกน xไปยังจุดy = 1บนแกนy

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เวกเตอร์อิสระอาจถูกมองในแง่ของเวกเตอร์ผูกพันที่สอดคล้องกัน ในความหมายนี้ จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ผูกพันจะมีพิกัดอยู่ที่จุดกำเนิดO = (0, 0, 0)จากนั้นเวกเตอร์อิสระจะถูกกำหนดโดยพิกัดของจุดปลายของเวกเตอร์ผูกพันนั้น ดังนั้น เวกเตอร์อิสระที่แสดงด้วย (1, 0, 0) จึงเป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวหนึ่งหน่วย โดยชี้ไปตามทิศทางของแกนxบวก

การแสดงเวกเตอร์อิสระในรูปแบบพิกัดนี้ช่วยให้สามารถแสดงคุณสมบัติทางพีชคณิตของเวกเตอร์เหล่านั้นในรูปแบบตัวเลขที่สะดวกได้ ตัวอย่างเช่น ผลรวมของเวกเตอร์อิสระสองตัวคือ (1, 2, 3) และ (−2, 0, 4) คือเวกเตอร์อิสระ $${\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,.}$$

ในบริบททางเรขาคณิตและฟิสิกส์ บางครั้งเราสามารถเชื่อมโยงความยาวหรือขนาดและทิศทางเข้ากับเวกเตอร์ได้อย่างเป็นธรรมชาติ นอกจากนี้ แนวคิดเรื่องทิศทางยังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว หาก เรากำหนด ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว ซึ่งเป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวแล้ว เราก็สามารถกำหนดความยาวได้เช่นกัน ผลคูณดอทให้ลักษณะทางพีชคณิตที่สะดวกสำหรับทั้งมุม (ฟังก์ชันของผลคูณดอทระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวใดๆ) และความยาว (รากที่สองของผลคูณดอทของเวกเตอร์ตัวมันเอง) ในสามมิติ เรายังสามารถกำหนดผลคูณไขว้ ได้ ซึ่งให้ลักษณะทางพีชคณิตของพื้นที่และทิศทางในอวกาศของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยเวกเตอร์สองตัว (ใช้เป็นด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ในมิติใดๆ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งมิติที่สูงกว่า) เราสามารถกำหนดผลคูณภายนอก ได้ ซึ่ง (ในบรรดาสิ่งอื่นๆ) ให้ลักษณะทางพีชคณิตของพื้นที่และทิศทางในอวกาศของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานnมิติที่กำหนดโดยเวกเตอร์n ตัว

ในปริภูมิเสมือนยุคลิดกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์อาจเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ ตัวอย่างที่สำคัญคือปริภูมิมิงคอฟสกี (ซึ่งมีความสำคัญต่อความเข้าใจของเราเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ )

อย่างไรก็ตาม การกำหนดความยาวของเวกเตอร์นั้นไม่ใช่เรื่องที่เป็นไปได้หรือพึงประสงค์เสมอไป เวกเตอร์เชิงพื้นที่ประเภททั่วไปนี้เป็นหัวข้อของปริภูมิเวกเตอร์ (สำหรับเวกเตอร์อิสระ) และปริภูมิเชิงเส้น (สำหรับเวกเตอร์ที่ถูกผูกไว้ โดยแต่ละเวกเตอร์จะถูกแทนด้วยคู่ลำดับของ "จุด") ตัวอย่างทางกายภาพหนึ่งมาจากอุณหพลศาสตร์ซึ่งปริมาณที่น่าสนใจหลายอย่างสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิที่ไม่มีแนวคิดเรื่องความยาวหรือมุม^{[ 16 ]}

ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เวกเตอร์มักถูกระบุด้วยทูเปิลของส่วนประกอบ หรือรายการของตัวเลข ที่ทำหน้าที่เป็นสัมประสิทธิ์สเกลาร์สำหรับชุดของเวกเตอร์ฐานเมื่อฐานถูกแปลง เช่น โดยการหมุนหรือการยืด ส่วนประกอบของเวกเตอร์ใดๆ ในรูปของฐานนั้นก็จะแปลงไปในทิศทางตรงกันข้ามด้วย เวกเตอร์เองไม่ได้เปลี่ยนแปลง แต่ฐานเปลี่ยนไป ดังนั้นส่วนประกอบของเวกเตอร์จึงต้องเปลี่ยนแปลงเพื่อชดเชย เวกเตอร์นั้นเรียกว่า เวกเตอร์ร่วมแปร (covariant)หรือ เวกเตอร์ ผกผันแปร (contravariant ) ขึ้นอยู่กับว่าการแปลงส่วนประกอบของเวกเตอร์นั้นสัมพันธ์กับการแปลงฐานอย่างไร โดยทั่วไป เวกเตอร์ผกผันแปรเป็น "เวกเตอร์ปกติ" ที่มีหน่วยเป็นระยะทาง (เช่น การกระจัด) หรือระยะทางคูณด้วยหน่วยอื่นๆ (เช่น ความเร็วหรือความเร่ง) ในทางกลับกัน เวกเตอร์ร่วมแปรมีหน่วยเป็นหนึ่งส่วนระยะทาง เช่นความชันถ้าคุณเปลี่ยนหน่วย (กรณีพิเศษของการเปลี่ยนฐาน ) จากเมตรเป็นมิลลิเมตร ซึ่งเป็นตัวคูณมาตราส่วน 1/1000 การกระจัด 1  เมตรจะกลายเป็น 1000  มิลลิเมตร—เป็นการเปลี่ยนแปลงค่าตัวเลขแบบผกผัน ในทางตรงกันข้าม ความชัน 1 K /เมตร จะกลายเป็น 0.001 K/มิลลิเมตร—เป็นการเปลี่ยนแปลงค่าแบบร่วมแปร (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูที่ความร่วมแปรและความผกผันของเวกเตอร์ ) เทนเซอร์ เป็นปริมาณอีกประเภทหนึ่งที่แสดงพฤติกรรมในลักษณะนี้ เวกเตอร์เป็น เทนเซอร์ประเภทหนึ่ง  

ในคณิตศาสตร์ บริสุทธิ์ เวกเตอร์คือองค์ประกอบใดๆ ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์บางฟิลด์และมักแสดงด้วยเวกเตอร์พิกัดเวกเตอร์ที่อธิบายในบทความนี้เป็นกรณีพิเศษมากของนิยามทั่วไปนี้ เพราะเวกเตอร์เหล่านี้แปรผกผันกับปริภูมิแวดล้อม คุณสมบัติแปรผกผันนี้สะท้อนถึงสัญชาตญาณทางกายภาพที่อยู่เบื้องหลังแนวคิดที่ว่าเวกเตอร์มี "ขนาดและทิศทาง"

ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้นเวกเตอร์มักถูกอธิบายด้วยชุดของส่วนประกอบเวกเตอร์ที่รวมกันแล้วได้เป็นเวกเตอร์ที่กำหนด โดยทั่วไป ส่วนประกอบเหล่านี้คือการฉายภาพของเวกเตอร์บนชุดของแกนอ้างอิงที่ตั้งฉากกัน (เวกเตอร์ฐาน) กล่าวได้ว่าเวกเตอร์นั้นถูกแยกส่วนหรือแยกวิเคราะห์โดยสัมพันธ์กับชุดของแกนอ้างอิงดังกล่าว

การแยกส่วนหรือการแยก^{[ 17 ]}ของเวกเตอร์ออกเป็นส่วนประกอบนั้นไม่เป็นเอกลักษณ์ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกแกนที่เวกเตอร์ถูกฉาย

นอกจากนี้ การใช้เวกเตอร์หน่วยคาร์ทีเซียน เช่น${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$ไม่มีข้อกำหนดตายตัว ว่า ต้องใช้ ฐานใดในการแสดงเวกเตอร์ เวกเตอร์สามารถแสดงในรูปของฐานใดก็ได้ รวมถึงเวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดทรงกระบอก (${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} }$) หรือระบบพิกัดทรงกลม (${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$ตัวเลือกสองข้อหลังนี้สะดวกกว่าสำหรับการแก้ปัญหาที่มีสมมาตรทรงกระบอกหรือทรงกลมตามลำดับ

การเลือกฐานไม่ส่งผลต่อคุณสมบัติของเวกเตอร์หรือพฤติกรรมของเวกเตอร์ภายใต้การแปลง

เวกเตอร์ยังสามารถแยกออกได้โดยสัมพันธ์กับเวกเตอร์ฐาน "ที่ไม่คงที่" ซึ่งเปลี่ยนทิศทางตามฟังก์ชันของเวลาหรือพื้นที่ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ในพื้นที่สามมิติสามารถแยกออกได้โดยสัมพันธ์กับแกนสองแกน ได้แก่ แกนตั้งฉากและแกนสัมผัสของพื้นผิว (ดูรูป) ยิ่งไปกว่านั้นส่วนประกอบแนวรัศมีและ แนวสัมผัส ของเวกเตอร์มีความสัมพันธ์กับรัศมีของการหมุนของวัตถุ โดยส่วนประกอบแนวรัศมีจะขนานกับรัศมี และส่วนประกอบแนวสัมผัสจะตั้งฉากกับรัศมี^{[ 18 ]}

ในกรณีเหล่านี้ แต่ละองค์ประกอบอาจถูกแยกย่อยออกไปอีกโดยสัมพันธ์กับระบบพิกัดหรือชุดฐานที่กำหนดไว้ (เช่น ระบบพิกัด สากลหรือกรอบอ้างอิงเฉื่อย )

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีขนาดและทิศทางเดียวกัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อพิกัดของเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากัน ดังนั้น เวกเตอร์สองตัว... $${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$ และ $${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$ เท่ากันถ้า $${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,}$$

เวกเตอร์สองตัวจะตรงข้ามกันหากมีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงข้ามกัน [ ^{19 ] ดังนั้น}เวกเตอร์สองตัว

$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

และ

$${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

ตรงกันข้ามกับถ้า

$${\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,}$$

เวกเตอร์สองตัวจะมีทิศทางเดียวกัน (หรือมีทิศทางเดียวกัน ) หากมีทิศทางเดียวกันแต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน^{[ 19 ]} เวกเตอร์สองตัวจะขนานกันหากมีทิศทางเดียวกันหรือทิศทางตรงข้ามกัน แต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน เวกเตอร์สองตัวจะตรงข้ามกันหากมีทิศทางตรงข้ามกันอย่างชัดเจน แต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน^{[ a ]}

ผลรวมของ เวกเตอร์ aและbของเวกเตอร์สองตัวสามารถนิยามได้ดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$เวก เตอร์ที่ได้นี้บางครั้งเรียกว่าเวกเตอร์ลัพธ์ของaและb

การบวกสามารถแสดงได้ทางกราฟิกโดยการวางปลายลูกศรbไว้ที่หัวลูกศรaแล้วลากลูกศรจากปลายของaไปยังหัวของbลูกศรใหม่ที่ลากแสดงถึงเวกเตอร์a + bดังแสดงในภาพด้านล่าง: ^{[ 7 ]}

วิธีการบวกนี้บางครั้งเรียกว่ากฎสี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะaและbเป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานและa + bเป็นหนึ่งในเส้นทแยงมุม ถ้าaและbเป็นเวกเตอร์ที่ผูกติดกันและมีจุดฐานเดียวกัน จุดนั้นจะเป็นจุดฐานของa + b ด้วย เราสามารถตรวจสอบได้ทางเรขาคณิตว่าa + b = b + aและ ( a + b ) + c = a + ( b + c )

ผลต่างระหว่างaและbคือ

$${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

การลบเวกเตอร์สองตัวสามารถแสดงให้เห็นในเชิงเรขาคณิตได้ดังนี้: ในการลบb ออก จากaให้วางปลายของaและb ไว้ ที่จุดเดียวกัน จากนั้นลากลูกศรจากหัวของbไปยังหัวของaลูกศรใหม่นี้แสดงถึงเวกเตอร์(-b) + aโดยที่(-b)เป็นค่าตรงข้ามของbดูภาพประกอบ และ(-b ) + a = a − b

เวกเตอร์อาจถูกคูณหรือปรับขนาดด้วยจำนวนจริงr ใดๆ ก็ได้ ในบริบทของพีชคณิตเวกเตอร์แบบดั้งเดิมจำนวนจริงเหล่านี้มักเรียกว่าสเกลาร์ (จากคำว่า scale ) เพื่อแยกความแตกต่างจากเวกเตอร์ การดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์เรียกว่าการคูณด้วยสเกลาร์เวกเตอร์ที่ได้คือ

$${\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

โดยสัญชาตญาณ การคูณด้วยค่าคงที่rจะทำให้เวกเตอร์ยืดออกไปเป็นปัจจัยrในทางเรขาคณิต สามารถมองเห็นภาพนี้ได้ (อย่างน้อยในกรณีที่rเป็นจำนวนเต็ม) ว่าเป็นการวาง เวกเตอร์ rตัวเรียงกันเป็นเส้นตรง โดยที่จุดปลายของเวกเตอร์ตัวหนึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตัวถัดไป

ถ้าrเป็นค่าลบ เวกเตอร์จะเปลี่ยนทิศทาง โดยจะพลิกกลับด้วยมุม 180° ตัวอย่างสองกรณี ( r = −1 และr = 2) แสดงไว้ด้านล่าง:

การคูณด้วยสเกลาร์มีการกระจายตัวเหนือการบวกเวกเตอร์ในความหมายต่อไปนี้: r ( a + b ) = r a + r bสำหรับเวกเตอร์aและb ทั้งหมด และสเกลาร์r ทั้งหมด นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าa − b = a + (−1) b

ความยาวขนาดหรือค่าปกติของเวกเตอร์aจะถูกแทนด้วย ‖ a ‖ หรือ ที่พบได้น้อยกว่าคือ | a | ซึ่งไม่ควรสับสนกับค่าสัมบูรณ์ (ค่าปกติแบบสเกลาร์)

ความยาวของเวกเตอร์aสามารถคำนวณได้โดยใช้ค่านอร์มแบบยุคลิด

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}$$

ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสเนื่องจากเวกเตอร์ฐานe , e , e เป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกัน

ค่านี้บังเอิญเท่ากับรากที่สองของผลคูณดอทซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป ระหว่างเวกเตอร์กับตัวมันเอง:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}$$

เวกเตอร์หน่วย

เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ใดๆ ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่ง โดยปกติเวกเตอร์หน่วยจะใช้เพื่อระบุทิศทางเท่านั้น เวกเตอร์ที่มีความยาวใดๆ ก็สามารถหารด้วยความยาวของมันเพื่อสร้างเวกเตอร์หน่วยได้[ ^{15 ] ซึ่ง}เรียกว่าการทำให้เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์หน่วย เวกเตอร์หน่วยมักจะแสดงด้วยเครื่องหมายหมวก เช่นâ

ในการทำให้เวกเตอร์a = ( a , a , a ) เป็นเวก เตอร์หน่วย ให้ปรับขนาดเวกเตอร์ด้วยส่วนกลับของความยาว ‖ a ‖ นั่นคือ:

$${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}}$$

ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวaและb (บางครั้งเรียกว่าผลคูณภายในหรือ เนื่องจากผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ จึงเรียกว่าผลคูณสเกลาร์ ) เขียนแทนด้วยa  ∙ bและนิยามได้ดังนี้: 

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

โดยที่θคือขนาดของมุมระหว่างaและb (ดู คำอธิบาย ของฟังก์ชันโคไซน์ในส่วนฟังก์ชันตรีโกณมิติ) ในทางเรขาคณิต หมายความว่าaและbถูกลากโดยเริ่มต้นจากจุดเดียวกัน จากนั้นความยาวของaจะถูกคูณด้วยความยาวของส่วนประกอบของbที่ชี้ไปในทิศทางเดียวกับa

ผลคูณดอทสามารถนิยามได้ว่าเป็นผลรวมของผลคูณของส่วนประกอบของแต่ละเวกเตอร์ ดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$$

ผลคูณเวกเตอร์ (หรือเรียกว่าผลคูณเวกเตอร์หรือผลคูณภายนอก ) มีความหมายเฉพาะในสามมิติหรือเจ็ดมิติเท่านั้น ผลคูณเวกเตอร์แตกต่างจากผลคูณจุดเป็นหลักตรงที่ผลลัพธ์ของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นเวกเตอร์ ผลคูณเวกเตอร์ ซึ่งเขียนแทนด้วยa  × bคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งaและbและนิยามได้ดังนี้ 

$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} }$$

โดยที่θคือขนาดของมุมระหว่างaและbและnคือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับทั้งaและbซึ่งทำให้ ระบบ เป็นแบบมือขวาข้อจำกัดเรื่องมือขวาเป็นสิ่งจำเป็นเนื่องจากมี เวกเตอร์หน่วย สองตัวที่ตั้งฉากกับทั้งaและbคือnและ (− n )

ผลคูณเวกเตอร์a  × bถูกกำหนดขึ้นเพื่อให้a , bและa × bกลายเป็นระบบมือขวาด้วย (ถึงแม้ว่าaและbจะไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกันก็ตาม) นี่คือกฎมือขวา   

ความยาวa  × bสามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านยาวaและ ด้านยาว b 

ผลคูณเชิงเวกเตอร์สามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle {\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

สำหรับการเลือกทิศทางเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ (กล่าวคือ อนุญาตให้ใช้ระบบพิกัดมือซ้ายและมือขวาได้) ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นเวกเตอร์เสมือนแทนที่จะเป็นเวกเตอร์ (ดูด้านล่าง)

ผล คูณสามเวกเตอร์แบบสเกลาร์ (เรียกอีกอย่างว่าผลคูณแบบกล่องหรือผลคูณสามเวกเตอร์แบบผสม ) ไม่ใช่ตัวดำเนินการใหม่ แต่เป็นวิธีการประยุกต์ใช้ตัวดำเนินการคูณอีกสองตัวกับเวกเตอร์สามตัว ผลคูณสามเวกเตอร์แบบสเกลาร์บางครั้งเขียนแทนด้วย ( a b c ) และนิยามดังนี้:

$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$$

ผลคูณของเวกเตอร์สามตัวมีค่าหลักสามประการ ประการแรก ค่าสัมบูรณ์ของผลคูณของเวกเตอร์สาม ตัวคือปริมาตรของทรง สี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มีขอบซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์ทั้งสามตัว ประการที่สอง ผลคูณของเวกเตอร์สามตัวจะมีค่าเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ทั้งสามตัวเป็น อิสระเชิงเส้นซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ โดยพิจารณาว่าเพื่อให้เวกเตอร์ทั้งสามตัวไม่ก่อให้เกิดปริมาตร พวกมันจะต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน ประการที่สาม ผลคูณของเวกเตอร์สามตัวจะมีค่าเป็นบวกก็ต่อเมื่อเวกเตอร์a , bและcเป็นเวกเตอร์มือขวา

ในส่วนประกอบ ( โดยอ้างอิงจากฐานออร์โทนอร์มอลมือขวา ) หากเรามองว่าเวกเตอร์ทั้งสามเป็นแถว (หรือคอลัมน์ แต่ในลำดับเดียวกัน) ผลคูณสามเวกเตอร์แบบสเกลาร์ก็คือดีเทอร์มิแน นต์ของ เมทริกซ์ 3x3 ที่มีเวกเตอร์ทั้งสามเป็นแถวนั่นเอง $${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}}$$

ผลคูณสามตัวแบบสเกลาร์เป็นเชิงเส้นในทั้งสามตัว และสมมาตรแบบผกผันในความหมายดังต่อไปนี้: $${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).}$$

ตัวอย่างทั้งหมดที่กล่าวมาแล้วนั้นเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ที่แสดงในรูปของฐานเดียวกัน นั่นคือ ฐาน e { e , e , e } อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์สามารถแสดงในรูปของฐานที่แตกต่างกันได้หลายฐาน ซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกัน และยังคงเป็นเวกเตอร์เดียวกัน ใน ฐาน eเวกเตอร์aจะถูกแสดงตามนิยามดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}.}$$

ตามนิยามแล้วส่วนประกอบสเกลาร์ใน ฐาน e คือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\\r&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$$

ในฐานออร์โทนอร์มอลอีกฐานหนึ่งn = { n , n , n } ซึ่งไม่จำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกับeเวกเตอร์aจะถูกแสดงดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}}$$

และส่วนประกอบสเกลาร์ใน ฐาน nนั้น ตามคำนิยามแล้ว คือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

ค่าของp , q , rและu , v , wสัมพันธ์กับเวกเตอร์หน่วยในลักษณะที่ผลรวมของเวกเตอร์ที่ได้จะเป็นเวกเตอร์ทางกายภาพa เดียวกัน ในทั้งสองกรณี เป็นเรื่องปกติที่จะพบเวกเตอร์ที่ทราบในฐานที่แตกต่างกัน (ตัวอย่างเช่น ฐานหนึ่งยึดติดกับโลกและฐานที่สองยึดติดกับยานพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่) ในกรณีเช่นนี้ จำเป็นต้องพัฒนากระบวนการแปลงระหว่างฐานเพื่อให้สามารถดำเนินการเวกเตอร์พื้นฐาน เช่น การบวกและการลบได้ วิธีหนึ่งในการแสดงu , v , wในรูปของp , q , rคือการใช้เมทริกซ์คอลัมน์ร่วมกับเมทริกซ์โคไซน์ทิศทางที่มีข้อมูลที่เชื่อมโยงฐานทั้งสอง สามารถสร้างนิพจน์ดังกล่าวได้โดยการแทนที่สมการข้างต้นเพื่อสร้าง

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

การกระจายการคูณจุดให้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

การแทนที่ผลคูณดอทแต่ละครั้งด้วยค่าสเกลาร์ที่ไม่ซ้ำกันจะให้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned}}}$$

และสมการเหล่านี้สามารถแสดงได้ในรูปสมการเมทริกซ์เดียว

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}.}$$

สมการเมทริกซ์นี้เชื่อมโยงส่วนประกอบสเกลาร์ของaใน ฐาน n ( u , vและw ) กับส่วนประกอบสเกลาร์ใน ฐาน e ( p , qและr ) แต่ละองค์ประกอบเมทริกซ์c คือโคไซน์ทิศทางที่เชื่อมโยงn กับe ^{[ 20} ] คำว่าโคไซน์ทิศทางหมายถึงโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์หน่วยสองตัว ซึ่งเท่ากับผลคูณดอทของ^{เวก เตอร์ทั้งสอง [ 20 ]}ดังนั้น

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$

โดยการอ้างอิงถึงe , e , e โดยรวม ว่าเป็น ฐาน eและn , n , n ว่าเป็น ฐาน nเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยc ทั้งหมด เรียกว่า " เมทริกซ์การแปลงจากeไป ยัง n " หรือ " เมทริกซ์การหมุนจากeไปยังn " (เนื่องจากสามารถจินตนาการได้ว่าเป็น "การหมุน" ของเวกเตอร์จากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่ง) หรือ "เมทริกซ์โคไซน์ทิศทางจากeไปยังn " ^{[ 20 ]} (เนื่องจากมีโคไซน์ทิศทาง) คุณสมบัติของเมทริกซ์การหมุนเป็นเช่นนั้นว่าเมทริกซ์ผกผัน ของมัน เท่ากับ เมทริกซ์ทราน สโพสซึ่งหมายความว่า "เมทริกซ์การหมุนจากeไปยังn " คือเมทริกซ์ทรานสโพสของ "เมทริกซ์การหมุนจากnไปยังe "

คุณสมบัติของเมทริกซ์โคไซน์ทิศทาง C คือ: ^{[ 21 ]}

• ค่าดีเทอร์มิแนนต์คือหนึ่ง, |C| = 1;
• ตัวผกผันเท่ากับตัวสลับแถวและคอลัมน์
• แถวและคอลัมน์เป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกัน ดังนั้นผลคูณดอทของพวกมันจึงเป็นศูนย์

ข้อดีของวิธีนี้คือ โดยปกติแล้วเมทริกซ์โคไซน์ทิศทางสามารถหาได้โดยอิสระโดยใช้มุมออยเลอร์หรือควอเทอร์เนียนเพื่อเชื่อมโยงฐานเวกเตอร์ทั้งสอง ดังนั้นการแปลงฐานจึงสามารถทำได้โดยตรงโดยไม่ต้องคำนวณผลคูณดอททั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้น

โดยการใช้การคูณเมทริกซ์หลายครั้งติดต่อกัน เวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแสดงในฐานใดๆ ก็ได้ ตราบใดที่ทราบชุดของโคไซน์ทิศทางที่เชื่อมโยงฐานที่ต่อเนื่องกัน^{[ 20 ]}

ยกเว้นผลคูณไขว้และผลคูณสามเท่า สูตรข้างต้นสามารถขยายไปสู่สองมิติและมิติที่สูงกว่าได้ ตัวอย่างเช่น การบวกสามารถขยายไปสู่สองมิติได้ดังนี้ $${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2},}$$ และในสี่มิติเช่น $${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}}$$

ผลคูณไขว้ไม่สามารถขยายไปสู่มิติอื่นได้โดยง่าย แม้ว่าผลคูณภายนอก ซึ่งมีความใกล้เคียงกัน จะทำได้ โดยผลลัพธ์ที่ได้คือไบเวกเตอร์ในสองมิติ สิ่งนี้ก็คือพсевдостьสเกลาร์ นั่นเอง$${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.}$$

ผลคูณเวกเตอร์เจ็ดมิติคล้ายกับผลคูณเวกเตอร์ทั่วไปตรงที่ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับตัวแปรทั้งสอง อย่างไรก็ตาม ไม่มีวิธีใดที่เป็นธรรมชาติในการเลือกผลคูณเวกเตอร์เจ็ดมิติที่เป็นไปได้ดังกล่าว

ในปริภูมิเวกเตอร์นามธรรม ความยาวของลูกศรขึ้นอยู่กับมาตราส่วนที่ไม่มีมิติ ตัวอย่างเช่น หากลูกศรแสดงถึงแรง มาตราส่วนนั้นจะมีมิติทางกายภาพเป็นความยาว/แรง ดังนั้นโดยทั่วไปแล้วมาตราส่วนจะมีความสอดคล้องกันระหว่างปริมาณที่มีมิติเดียวกัน แต่หากเป็นอย่างอื่น อัตราส่วนของมาตราส่วนอาจแตกต่างกันไป ตัวอย่างเช่น หาก "1 นิวตัน" และ "5 เมตร" ถูกแทนด้วยลูกศรยาว 2 เซนติเมตร มาตราส่วนจะเป็น 1 เมตร:50 นิวตัน และ 1:250 ตามลำดับ ความยาวที่เท่ากันของเวกเตอร์ที่มีมิติต่างกันไม่มีความสำคัญเป็นพิเศษ เว้นแต่จะมีค่าคงที่สัดส่วน บางอย่าง ที่อยู่ภายในระบบที่แผนภาพนั้นแสดง นอกจากนี้ ความยาวของเวกเตอร์หน่วย (ที่มีมิติเป็นความยาว ไม่ใช่ความยาว/แรง เป็นต้น) ก็ไม่มีความสำคัญที่ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดเช่นกัน 

ในสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เวกเตอร์มักเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา หมายความว่ามันขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เวลาtตัวอย่างเช่น ถ้าrแทนเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคr ( t ) จะให้ การแสดง พารามิเตอร์ของวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาค ฟังก์ชันเวกเตอร์สามารถหาอนุพันธ์และอินทิกรัลได้โดยการหาอนุพันธ์หรืออินทิกรัลของส่วนประกอบของเวกเตอร์ และกฎเกณฑ์ที่คุ้นเคยหลายข้อจากแคลคูลัสยังคงใช้ได้กับการหาอนุพันธ์และอินทิกรัลของฟังก์ชันเวกเตอร์

ตำแหน่งของจุดx = ( x , x , x ) ในปริภูมิสามมิติ สามารถแสดงได้ด้วยเวกเตอร์ตำแหน่งโดยมีจุดกำเนิดเป็นจุดฐาน $${\displaystyle {\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$ เวกเตอร์ตำแหน่งมีมิติความยาว .

กำหนดให้จุดสองจุดx = ( x , x , x ) และy = ( y , y , y ) การกระจัดของจุด ทั้งสองนี้ เป็นเวกเตอร์ $${\displaystyle {\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.}$$ ซึ่งระบุตำแหน่งของyเทียบกับxความยาวของเวกเตอร์นี้แสดงถึงระยะทางเป็นเส้นตรงจากxไปยังyการกระจัดมีมิติเป็นความยาว

ความเร็วvของจุดหรืออนุภาคเป็นเวกเตอร์ ความยาวของเวกเตอร์แสดงถึงความเร็วสำหรับความเร็วคงที่ ตำแหน่ง ณ เวลาtจะเป็น $${\displaystyle {\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},}$$ โดยที่x₀คือตำแหน่ง ณ เวลาt = 0 ความเร็วคืออนุพันธ์ของตำแหน่งเทียบกับเวลาของมันคือความยาว/เวลา

ความเร่งaของจุดใดจุดหนึ่งเป็นเวกเตอร์ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลามิติของมันคือ ความยาว/เวลา^²

แรงเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติเป็นมวล×ความยาว/เวลา^² (N ms⁻² ⁾และกฎข้อที่สองของนิวตันคือการคูณแบบสเกลาร์ $${\displaystyle {\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }}$$

งานคือผลคูณดอทของแรงและการกระจัด$${\displaystyle W={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).}$$