ในทางคณิตศาสตร์ คลื่นสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน${\displaystyle F(x,t)}$คือการแมปจุดในอวกาศและเวลาไปยังสนามสำหรับสนามสเกลาร์ค่าของมันคือตัวเลข สำหรับสนามเวกเตอร์ ค่า ของมันคือเวกเตอร์และโดยทั่วไปแล้วสนามเทนเซอร์จะมีค่าเป็นเทนเซอร์

มูลค่าของ${\displaystyle x}$จุด คือจุดในอวกาศ โดยเฉพาะในบริเวณที่กำหนดคลื่น ในทางคณิตศาสตร์ มักจะเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิคาร์ทีเซียนสามมิติ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี เราสามารถละเลยมิติหนึ่งไปได้ และปล่อยให้มิตินั้นเป็นไปตามนั้น${\displaystyle x}$เป็นจุดบนระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$กรณีนี้เกิดขึ้นได้ เช่น ในการศึกษาการสั่นสะเทือนของหนังกลอง เราอาจจำกัดขอบเขตได้ด้วยซ้ำ${\displaystyle x}$ไปยังจุดหนึ่งบนเส้นคาร์ทีเซียน${\displaystyle \mathbb {R} }$นั่นคือ เซตของจำนวนจริงตัวอย่างเช่น ในการศึกษาการสั่นสะเทือนของสายไวโอลินหรือรีคอร์เดอร์เวลา${\displaystyle t}$ในทางกลับกัน จะถูกสันนิษฐานเสมอว่าเป็นปริมาณสเกลาร์นั่นคือ จำนวนจริง

มูลค่าของ${\displaystyle F(x,t)}$อาจเป็นปริมาณทางกายภาพใดๆ ที่น่าสนใจซึ่งกำหนดให้กับจุดนั้น${\displaystyle x}$ซึ่งอาจเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle F}$แสดงถึงการสั่นสะเทือนภายในของแข็งที่มีความยืดหยุ่น ค่าของ${\displaystyle F(x,t)}$โดยปกติจะเป็นเวกเตอร์ที่แสดงการกระจัดปัจจุบันจาก${\displaystyle x}$ของอนุภาควัสดุที่จะอยู่ที่จุดนั้น${\displaystyle x}$ในกรณีที่ไม่มีการสั่นสะเทือน สำหรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ค่าของ${\displaystyle F}$อาจเป็นเวกเตอร์สนามไฟฟ้า${\displaystyle E}$หรือเวกเตอร์สนามแม่เหล็ก${\displaystyle H}$หรือปริมาณที่เกี่ยวข้องใดๆ เช่นเวกเตอร์พอยน์ติง${\displaystyle E\times H}$ในพลศาสตร์ของไหลค่าของ${\displaystyle F(x,t)}$อาจเป็นเวกเตอร์ความเร็วของของเหลว ณ จุดนั้น${\displaystyle x}$หรือคุณสมบัติเชิงปริมาณใดๆ เช่นความดันอุณหภูมิหรือความหนาแน่นในปฏิกิริยาเคมี${\displaystyle F(x,t)}$อาจเป็นความเข้มข้นของสารบางชนิดในบริเวณใกล้เคียงกับจุดนั้น${\displaystyle x}$ของตัวกลางปฏิกิริยา

สำหรับมิติใดๆ ก็ตาม${\displaystyle d}$(1, 2 หรือ 3) โดเมนของคลื่นจะเป็นเซตย่อย${\displaystyle D}$ของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$โดยที่ค่าของฟังก์ชัน${\displaystyle F(x,t)}$ถูกกำหนดสำหรับจุดใดๆ${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle D}$ตัวอย่างเช่น เมื่ออธิบายการเคลื่อนไหวของหนังกลองเราสามารถพิจารณาได้ว่า ...${\displaystyle D}$เป็นแผ่นกลม (วงกลม) บนระนาบ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด${\displaystyle (0,0)}$และปล่อยให้${\displaystyle F(x,t)}$เป็นการกระจัดในแนวดิ่งของผิวหนัง ณ จุดนั้น${\displaystyle x}$ของ${\displaystyle D}$และในบางครั้ง${\displaystyle t}$.

คลื่นประเภทเดียวกันมักซ้อนทับกันและเกิดขึ้นพร้อมกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งในอวกาศและเวลา คุณสมบัติ ณ จุดนั้นจะเป็นผลรวมของคุณสมบัติของคลื่นแต่ละองค์ประกอบ ณ จุดนั้น โดยทั่วไปแล้ว ความเร็วจะไม่เท่ากัน ดังนั้นรูปคลื่นจะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาและอวกาศ

สเปกตรัมคลื่นคือการแสดงที่อธิบายว่าพลังงานของพื้นผิวทะเล (หรือสนามคลื่น) กระจายไปตามความถี่คลื่น (หรือเลขคลื่น) และทิศทางต่างๆ อย่างไร^{[ 6 ]} พื้นผิวทะเลจริงประกอบด้วยคลื่นที่ซ้อนทับกันจำนวนมากที่มีความยาวคลื่น คาบ แอมพลิจูด และทิศทางที่แตกต่างกัน สเปกตรัมคลื่นให้คำอธิบายทางสถิติ (สเปกตรัม) แทนที่จะติดตามคลื่นแต่ละลูก^{[ 7 ]}ระดับความสูงของพื้นผิวทะเลที่สังเกตได้ ณ จุดหนึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นผลรวม (การซ้อนทับ) ของส่วนประกอบคลื่นไซน์จำนวนมาก สเปกตรัมคลื่นจะระบุปริมาณพลังงานที่เกี่ยวข้องกับแต่ละส่วนประกอบ^{[ 8 ]}

บางครั้งเราอาจสนใจคลื่นเฉพาะลูกเดียว แต่บ่อยครั้งกว่านั้น เราจำเป็นต้องเข้าใจคลื่นที่เป็นไปได้จำนวนมาก เช่น วิธีต่างๆ ที่หนังกลองสามารถสั่นได้หลังจากถูกตีด้วยไม้กลอง เพียงครั้งเดียว หรือ สัญญาณสะท้อน เรดาร์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่เราอาจได้รับจากเครื่องบินที่กำลังเข้าใกล้สนามบิน

ในบางสถานการณ์ เราอาจอธิบายกลุ่มคลื่นดังกล่าวด้วยฟังก์ชันได้${\displaystyle F(A,B,\ldots ;x,t)}$ซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ บางอย่าง${\displaystyle A,B,\ldots }$, นอกจาก${\displaystyle x}$และ${\displaystyle t}$จากนั้นจึงสามารถสร้างคลื่นที่แตกต่างกันได้ นั่นคือ ฟังก์ชันที่แตกต่างกันของ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle t}$โดยการเลือกค่าที่แตกต่างกันสำหรับพารามิเตอร์เหล่านั้น

ตัวอย่างเช่น ความดันเสียงภายในรีคอร์เดอร์ที่กำลังเล่นโน้ต "บริสุทธิ์" โดยทั่วไปจะเป็นคลื่นนิ่งซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos 2\pi x{\frac {2n-1}{4L}}\right)\left(\cos 2\pi ct{\frac {2n-1}{4L}}\right)}$

พารามิเตอร์${\displaystyle A}$กำหนดแอมพลิจูดของคลื่น (นั่นคือ ความดันเสียงสูงสุดในท่อ ซึ่งเกี่ยวข้องกับความดังของเสียง)${\displaystyle c}$คือความเร็วเสียง;${\displaystyle L}$คือความยาวของรูเจาะ และ${\displaystyle n}$เป็นจำนวนเต็มบวก (1, 2, 3, ...) ที่ระบุจำนวนจุดบัพในคลื่นนิ่ง (ตำแหน่ง)${\displaystyle x}$ควรวัดจากปากเป่าและเวลา${\displaystyle t}$นับจากช่วงเวลาที่แรงดันที่ปากเป่าสูงสุด ปริมาณ${\displaystyle \lambda =4L/(2n-1)}$คือความยาวคลื่นของเสียงที่เปล่งออกมา และ${\displaystyle f=c/\lambda }$( ความถี่ของคลื่น) คุณสมบัติทั่วไปหลายประการของคลื่นเหล่านี้สามารถอนุมานได้จากสมการทั่วไปนี้ โดยไม่จำเป็นต้องเลือกค่าเฉพาะสำหรับพารามิเตอร์

อีกตัวอย่างหนึ่ง อาจเป็นไปได้ว่าการสั่นสะเทือนของหนังกลองหลังจากการตีเพียงครั้งเดียวขึ้นอยู่กับระยะห่างเท่านั้น${\displaystyle r}$จากกึ่งกลางผิวหนังถึงจุดที่ถูกกระแทก และขึ้นอยู่กับความแรง${\displaystyle s}$ของการกระแทก จากนั้นการสั่นสะเทือนสำหรับการกระแทกที่เป็นไปได้ทั้งหมดสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน${\displaystyle F(r,s;x,t)}$.

บางครั้งตระกูลของคลื่นที่สนใจอาจมีพารามิเตอร์มากมายนับไม่ถ้วน ตัวอย่างเช่น เราอาจต้องการอธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นกับอุณหภูมิในแท่งโลหะเมื่อมันถูกทำให้ร้อนในอุณหภูมิต่างๆ ที่จุดต่างๆ ตามความยาวของมันในตอนแรก แล้วปล่อยให้เย็นตัวลงเองในสุญญากาศ ในกรณีนั้น แทนที่จะเป็นปริมาณสเกลาร์หรือเวกเตอร์ พารามิเตอร์จะต้องเป็นฟังก์ชัน${\displaystyle h}$โดยที่${\displaystyle h(x)}$คืออุณหภูมิเริ่มต้น ณ แต่ละจุด${\displaystyle x}$ของแท่งนั้น จากนั้นอุณหภูมิในเวลาต่อมาสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชัน${\displaystyle F}$นั่นขึ้นอยู่กับฟังก์ชัน${\displaystyle h}$(นั่นคือตัวดำเนินการเชิงฟังก์ชัน ) ดังนั้นอุณหภูมิในเวลาต่อมาคือ${\displaystyle F(h;x,t)}$

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายและศึกษาตระกูลของคลื่นคือการใช้สมการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งแทนที่จะระบุค่าของคลื่นโดยตรง${\displaystyle F(x,t)}$โดยจะจำกัดเพียงว่าค่าเหล่านั้นจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป จากนั้นตระกูลของคลื่นที่กล่าวถึงจะประกอบด้วยฟังก์ชันทั้งหมด${\displaystyle F}$ที่ตรงตามข้อจำกัดเหล่านั้น กล่าวคือคำตอบ ทั้งหมด ของสมการ

แนวทางนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในวิชาฟิสิกส์ เพราะข้อจำกัดมักเป็นผลมาจากกระบวนการทางกายภาพที่ทำให้คลื่นเปลี่ยนแปลงไป ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle F(x,t)}$คืออุณหภูมิภายในบล็อกของ วัสดุแข็ง ที่เป็นเนื้อเดียวกันและ มีคุณสมบัติเหมือนกัน ทุกทิศทาง การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมินั้นถูกจำกัดโดยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta Q(x,t)}$

ที่ไหน${\displaystyle Q(x,t)}$คือความร้อนที่เกิดขึ้นต่อหน่วยปริมาตรและเวลาในบริเวณใกล้เคียง${\displaystyle x}$ในเวลานั้น${\displaystyle t}$(ตัวอย่างเช่น โดยปฏิกิริยาเคมีที่เกิดขึ้นที่นั่น)${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$คือพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดนั้น${\displaystyle x}$;${\displaystyle \partial F/\partial t}$คืออนุพันธ์ (อันดับแรก) ของ${\displaystyle F}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle t}$; และ${\displaystyle \partial ^{2}F/\partial x_{i}^{2}}$คืออนุพันธ์อันดับสองของ${\displaystyle F}$เมื่อเทียบกับ${\displaystyle x_{i}}$(สัญลักษณ์ "${\displaystyle \partial }$(หมายความว่า ในการหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง ตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดจะต้องถือว่าคงที่)

สมการนี้สามารถอนุมานได้จากกฎทางฟิสิกส์ที่ควบคุมการแพร่กระจายความร้อนในตัวกลางของแข็ง ด้วยเหตุนี้ ในทางคณิตศาสตร์จึงเรียกว่าสมการความร้อนแม้ว่ามันจะใช้ได้กับปริมาณทางฟิสิกส์อื่นๆ อีกมากมายนอกเหนือจากอุณหภูมิก็ตาม

อีกตัวอย่างหนึ่ง เราสามารถอธิบายเสียงสะท้อนที่เป็นไปได้ทั้งหมดภายในภาชนะบรรจุก๊าซด้วยฟังก์ชัน${\displaystyle F(x,t)}$ซึ่งทำให้เกิดแรงดัน ณ จุดหนึ่ง${\displaystyle x}$และเวลา${\displaystyle t}$ภายในภาชนะนั้น หากก๊าซเริ่มต้นมีอุณหภูมิและองค์ประกอบที่สม่ำเสมอ การเปลี่ยนแปลงของ${\displaystyle F}$ถูกจำกัดโดยสูตร

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta P(x,t)}$

ที่นี่${\displaystyle P(x,t)}$คือแรงอัดเพิ่มเติมบางอย่างที่ถูกกระทำต่อก๊าซบริเวณใกล้เคียง${\displaystyle x}$โดยกระบวนการภายนอกบางอย่าง เช่นลำโพงหรือลูกสูบที่อยู่ติดกัน

สมการเชิงอนุพันธ์เดียวกันนี้ใช้อธิบายพฤติกรรมของการสั่นสะเทือนทางกลและสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในของแข็งที่เป็นเนื้อเดียวกันและมีคุณสมบัติสมมาตรทุกทิศทางที่ไม่นำไฟฟ้า โปรดสังเกตว่าสมการนี้แตกต่างจากสมการการไหลของความร้อนเพียงแค่ด้านซ้ายมือเป็น${\displaystyle \partial ^{2}F/\partial t^{2}}$อนุพันธ์อันดับสองของ${\displaystyle F}$โดยพิจารณาจากเวลา แทนที่จะเป็นอนุพันธ์อันดับแรก${\displaystyle \partial F/\partial t}$แต่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยนี้กลับสร้างความแตกต่างอย่างมากต่อชุดของวิธีแก้ปัญหา${\displaystyle F}$สมการเชิงอนุพันธ์นี้ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า "สมการคลื่น " แม้ว่ามันจะอธิบายเพียงคลื่นชนิดพิเศษเพียงชนิดเดียวก็ตาม

รูปแบบหรือรูปร่างของFในสูตรของ d'Alembertเกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์x − vtค่าคงที่ของอาร์กิวเมนต์นี้สอดคล้องกับค่าคงที่ของFและค่าคงที่เหล่านี้จะเกิดขึ้นหากxเพิ่มขึ้นในอัตราเดียวกับที่vtเพิ่มขึ้น นั่นคือ คลื่นที่มีรูปร่างเหมือนฟังก์ชันFจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางx บวก ด้วยความเร็วv (และGจะแพร่กระจายด้วยความเร็วเดียวกันใน ทิศทาง x ลบ ) ^{[ 14 ]}

ในกรณีของฟังก์ชันคาบFที่มีคาบλนั่นคือF ( x + λ − vt ) = F ( x − vt ) คาบของFในอวกาศหมายความว่าภาพรวมของคลื่น ณ เวลาt ที่กำหนด จะพบว่าคลื่นเปลี่ยนแปลงเป็นคาบในอวกาศด้วยคาบλ ( ความยาวคลื่นของคลื่น) ในทำนองเดียวกัน คาบของF นี้ ยังบ่งบอกถึงคาบในเวลาด้วย: F ( x − v ( t + T )) = F ( x − vt ) โดยที่vT = λดังนั้นการสังเกตคลื่น ณ ตำแหน่งคงที่x จะพบ ^ว่าคลื่นแกว่งเป็นคลื่นเป็นคาบในเวลาด้วยคาบT = λ / v ^{[ 15} ]

แอมพลิจูดของคลื่นอาจคงที่ (ในกรณีนี้คลื่นจะเป็นคลื่นต่อเนื่อง ) หรืออาจถูกปรับเปลี่ยนเพื่อให้แปรผันตามเวลาและ/หรือตำแหน่ง โครงร่างของการเปลี่ยนแปลงแอมพลิจูดเรียกว่าซองคลื่น ในทางคณิตศาสตร์คลื่นที่ถูกปรับเปลี่ยนสามารถเขียนได้ในรูปแบบ: ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}$${\displaystyle u(x,t)=A(x,t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$ ที่ไหน${\displaystyle A(x,\ t)}$คือแอมพลิจูดของคลื่น${\displaystyle k}$คือเลขคลื่นและ${\displaystyle \phi }$คือเฟสถ้าความเร็วกลุ่ม${\displaystyle v_{g}}$(ดูด้านล่าง) ไม่ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น สมการนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle u(x,t)=A(x-v_{g}t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$ แสดงให้เห็นว่าซองคลื่นเคลื่อนที่ด้วยความเร็วกลุ่มและรักษารูปร่างไว้ ในทางกลับกัน ในกรณีที่ความเร็วกลุ่มแปรผันตามความยาวคลื่น รูปร่างของพัลส์จะเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่มักอธิบายโดยใช้ สมการ ซองคลื่น^{[ 19 ] [ 20 ]}

คลื่นมีปัจจัยความเร็วสองอย่าง ได้แก่ความเร็วเฟสและความเร็วกลุ่ม

ความเร็วเฟส คือ อัตราที่เฟสของคลื่นแพร่กระจายในอวกาศ : เฟสใดๆ ของคลื่น (เช่นยอดคลื่น ) จะปรากฏเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเฟส ความเร็วเฟสแสดงในรูปของความยาวคลื่นλ (แลมบ์ดา) และคาบTดังนี้ $${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.}$$

ความเร็วกลุ่มเป็นคุณสมบัติของคลื่นที่มีรูปแบบคลื่นที่กำหนดไว้ โดยวัดการแพร่กระจายผ่านอวกาศ (นั่นคือ ความเร็วเฟส) ของรูปร่างโดยรวมของแอมพลิจูดของคลื่น ซึ่งก็คือการปรับเปลี่ยนหรือรูปแบบคลื่นนั่นเอง

คลื่นระนาบเป็นคลื่นชนิดหนึ่งที่มีค่าเปลี่ยนแปลงเฉพาะในทิศทางเชิงพื้นที่ทิศทางเดียวเท่านั้น กล่าวคือ ค่าของมันจะคงที่บนระนาบที่ตั้งฉากกับทิศทางนั้น คลื่นระนาบสามารถระบุได้ด้วยเวกเตอร์ที่มีความยาวหนึ่งหน่วย${\displaystyle {\hat {n}}}$ระบุทิศทางที่คลื่นเปลี่ยนแปลง และโปรไฟล์คลื่นที่อธิบายว่าคลื่นเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเทียบกับการกระจัดตามทิศทางนั้น (${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$) และเวลา (${\displaystyle t}$เนื่องจากรูปทรงของคลื่นขึ้นอยู่กับตำแหน่งเท่านั้น${\displaystyle {\vec {x}}}$ในการรวมกัน${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$การกระจัดใดๆ ในทิศทางตั้งฉากกับ${\displaystyle {\hat {n}}}$ไม่สามารถส่งผลกระทบต่อค่าของฟิลด์ได้

คลื่นระนาบมักใช้ในการจำลองคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่อยู่ห่างไกลจากแหล่งกำเนิด สำหรับคลื่นระนาบแม่เหล็กไฟฟ้า สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กจะตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจาย และตั้งฉากซึ่งกันและกันด้วย

คลื่นนิ่ง หรือที่เรียกว่าคลื่นคงที่คือคลื่นที่ มี รูปทรง ของคลื่น ไม่เปลี่ยนแปลง ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นจากการแทรกสอดกันของคลื่นสองลูกที่เคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม

ผลรวมของคลื่นสองลูกที่เคลื่อนที่สวนทางกัน (ที่มีแอมพลิจูดและความถี่เท่ากัน) ก่อให้เกิดคลื่นนิ่ง คลื่นนิ่งมักเกิดขึ้นเมื่อขอบเขตขัดขวางการแพร่กระจายของคลื่น ทำให้เกิดการสะท้อนของคลื่น และจึงเกิดคลื่นที่เคลื่อนที่สวนทางกันขึ้น ตัวอย่างเช่น เมื่อ สาย ไวโอลินถูกขยับ คลื่นตามขวางจะแพร่กระจายไปยังจุดที่สายถูกยึดไว้ที่สะพานและน็อตซึ่งคลื่นจะสะท้อนกลับมา ที่สะพานและน็อต คลื่นสองลูกที่เคลื่อนที่สวนทางกันจะอยู่ในเฟสตรงข้ามและหักล้างกัน ทำให้เกิด จุดบัพ ( node ) บริเวณกึ่งกลางระหว่างจุดบัพสองจุดจะมีจุดปฏิบัพ (antinode)ซึ่งคลื่นสองลูกที่เคลื่อนที่สวนทางกันจะเสริมกันอย่างสูงสุด ไม่มีการแพร่กระจายของพลังงาน สุทธิ เมื่อเวลาผ่านไป

• 
  คลื่นนิ่งหนึ่งมิติ; โหมด พื้นฐาน และ โอเวอร์โทน 5 ตัวแรก
• 
  คลื่นนิ่ง สองมิติบนแผ่นดิสก์นี่คือโหมดพื้นฐาน
• 
  คลื่นนิ่งบนแผ่นดิสก์ที่มีเส้นบัฟสองเส้นตัดกันที่จุดศูนย์กลาง นี่คือคลื่นโอเวอร์โทน

คลื่น โซลิตอนหรือคลื่นเดี่ยว คือ กลุ่มคลื่นที่เสริมแรงกันเองซึ่งรักษารูปทรงของมันไว้ขณะที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ คลื่นโซลิตอนเกิดจากการหักล้างกันของ ผลกระทบ แบบไม่เชิงเส้นและแบบกระจายตัวในตัวกลาง (ผลกระทบแบบกระจายตัวเป็นคุณสมบัติของระบบบางอย่างที่ความเร็วของคลื่นขึ้นอยู่กับความถี่) คลื่นโซลิตอนเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบ ไม่เชิงเส้นอ่อนๆ ที่มีการกระจายตัว ซึ่งเป็นสมการที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย เพื่ออธิบายระบบทางกายภาพ

การแพร่กระจายของคลื่น คือลักษณะการเคลื่อนที่ของคลื่นในทุกรูปแบบ โดยพิจารณาจากทิศทางการสั่นเทียบกับทิศทางการแพร่กระจาย เราสามารถแยกแยะได้เป็นคลื่นตามยาวและคลื่นตามขวาง

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแพร่กระจายได้ทั้งในสุญญากาศและในตัวกลางที่เป็นวัสดุ ส่วนการแพร่กระจายของคลื่นประเภทอื่น เช่น เสียง อาจเกิดขึ้นได้เฉพาะในตัวกลางส่งผ่านเท่านั้น

การแพร่กระจายคลื่น SV

วิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ของคลื่น SV ในครึ่งพื้นที่แสดงให้เห็นว่าคลื่น SV ระนาบสะท้อนกลับไปยังโดเมนเป็นคลื่น P และ SV โดยไม่นับกรณีพิเศษ มุมของคลื่น SV ที่สะท้อนจะเท่ากับมุมของคลื่นตกกระทบ ในขณะที่มุมของคลื่น P ที่สะท้อนจะมากกว่ามุมของคลื่น SV สำหรับความถี่คลื่นเดียวกัน ความยาวคลื่น SV จะสั้นกว่าความยาวคลื่น P ข้อเท็จจริงนี้แสดงให้เห็นในภาพเคลื่อนไหวนี้^{[ 21 ]}

ความเร็วคลื่นเป็นแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับความเร็วคลื่นหลายประเภท ซึ่งเกี่ยวข้องกับเฟสและความเร็ว ของคลื่น ในแง่ของการแพร่กระจายพลังงาน (และข้อมูล) ความเร็วเฟสคำนวณได้ดังนี้: $${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\omega }{k}},}$$ ที่ไหน:

• v คือความเร็วเฟส (หน่วย SI คือ m/s)
• ωคือความถี่เชิงมุม (หน่วย SI คือ เรเดียน/วินาที)
• kคือเลขคลื่น (หน่วย SI คือ เรเดียน/เมตร)

ความเร็วเฟสจะบอกความเร็วที่จุดที่มีเฟส คงที่ ของคลื่นจะเคลื่อนที่ไปสำหรับความถี่ที่ไม่ต่อเนื่อง ความถี่เชิงมุมωไม่สามารถเลือกได้อย่างอิสระจากเลขคลื่นkแต่ทั้งสองมีความสัมพันธ์กันผ่านความสัมพันธ์การกระจายตัว : $${\displaystyle \omega =\Omega (k).}$$

ในกรณีพิเศษΩ( k ) = ckโดยที่cเป็นค่าคงที่ คลื่นจะเรียกว่าคลื่นไม่กระจายตัว เนื่องจากความถี่ทั้งหมดเดินทางด้วยความเร็วเฟสc เดียวกัน ตัวอย่างเช่นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศเป็นคลื่นไม่กระจายตัว ในกรณีที่ความสัมพันธ์การกระจายตัวเป็นรูปแบบอื่น เราจะได้คลื่นกระจายตัว ความสัมพันธ์การกระจายตัวขึ้นอยู่กับตัวกลางที่คลื่นแพร่กระจายผ่านและชนิดของคลื่น (เช่น คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า คลื่นเสียงหรือ คลื่น น้ำ )

ความเร็วที่กลุ่มคลื่น ลัพธ์ จากช่วงความถี่แคบๆ จะเคลื่อนที่เรียกว่าความเร็วกลุ่มและถูกกำหนดจากความชันของความสัมพันธ์การกระจายตัว : $${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$$

ในเกือบทุกกรณี คลื่นส่วนใหญ่คือการเคลื่อนที่ของพลังงานผ่านตัวกลาง โดยส่วนใหญ่แล้ว ความเร็วกลุ่มคือความเร็วที่พลังงานเคลื่อนที่ผ่านตัวกลางนั้น

คลื่นแสดงพฤติกรรมทั่วไปภายใต้สถานการณ์มาตรฐานหลายประการ ตัวอย่างเช่น:

โดยปกติคลื่นจะเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง (กล่าวคือ เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง) ผ่านตัวกลางการส่งผ่านตัวกลางดังกล่าวสามารถจำแนกได้เป็นหนึ่งหรือหลายประเภทดังต่อไปนี้:

• สื่อที่มีขอบเขตหากมีขนาดจำกัด มิฉะนั้นจะเป็นสื่อที่ไม่มีขอบเขต
• ตัวกลางเชิงเส้นคือตัวกลางที่แอมพลิจูดของคลื่นต่าง ๆ ณ จุดใดจุดหนึ่งในตัวกลางนั้นสามารถบวกกันได้
• ตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกันหรือตัวกลางสม่ำเสมอหมายถึงตัวกลางที่มีคุณสมบัติทางกายภาพไม่เปลี่ยนแปลงในตำแหน่งต่างๆ ในอวกาศ
• ตัวกลางแอนไอโซโทรปิก คือตัวกลางที่มีคุณสมบัติทางกายภาพอย่างน้อยหนึ่งอย่างแตกต่างกันในทิศทางอย่างน้อยหนึ่งทิศทาง
• ตัวกลางไอ โซโทรปิก คือตัวกลางที่มีคุณสมบัติทางกายภาพเหมือนกันในทุกทิศทาง

โดยทั่วไปแล้ว คลื่นจะถูกนิยามในตัวกลางที่ยอมให้พลังงานของคลื่นส่วนใหญ่หรือทั้งหมดแพร่กระจายโดยไม่สูญเสียอย่างไรก็ตาม วัสดุอาจถูกจัดว่าเป็น "วัสดุสูญเสีย" หากวัสดุนั้นดึงพลังงานออกจากคลื่น โดยปกติจะเปลี่ยนเป็นความร้อน ซึ่งเรียกว่า "การดูดซับ" วัสดุที่ดูดซับพลังงานของคลื่น ไม่ว่าจะโดยการส่งผ่านหรือการสะท้อน จะมีดัชนีหักเหที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนปริมาณการดูดซับโดยทั่วไปจะขึ้นอยู่กับความถี่ (ความยาวคลื่น) ของคลื่น ซึ่งเป็นตัวอย่างเช่น เหตุผลที่วัตถุอาจปรากฏเป็นสีต่างๆ

เมื่อคลื่นกระทบกับพื้นผิวสะท้อนแสง ทิศทางของคลื่นจะเปลี่ยนไปเรื่อยๆ จนมุมระหว่างคลื่นตกกระทบกับเส้นตั้งฉากกับพื้นผิวจะมีค่าเท่ากับมุมระหว่างคลื่นสะท้อนกับเส้นตั้งฉากเดียวกันนั้น

การหักเหเป็นปรากฏการณ์ที่คลื่นเปลี่ยนความเร็ว ในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าขนาดของความเร็วเฟสเปลี่ยนแปลงไป โดยทั่วไป การหักเหเกิดขึ้นเมื่อคลื่นเคลื่อนที่จากตัวกลาง หนึ่ง ไปยังอีกตัวกลางหนึ่ง ปริมาณการหักเหของคลื่นโดยวัสดุนั้นกำหนดโดยดัชนีหักเหของวัสดุนั้น ทิศทางการตกกระทบและการหักเหมีความสัมพันธ์กับดัชนีหักเหของวัสดุทั้งสองโดยกฎของสเนลล์

คลื่นจะเกิดการเลี้ยวเบนเมื่อกระทบกับสิ่งกีดขวางที่ทำให้คลื่นเบี่ยงเบน หรือเมื่อคลื่นแผ่กระจายออกหลังจากผ่านช่องเปิด ปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนจะเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้นเมื่อขนาดของสิ่งกีดขวางหรือช่องเปิดมีขนาดใกล้เคียงกับความยาวคลื่น

เมื่อคลื่นในตัวกลางเชิงเส้น (กรณีปกติ) ตัดกันในบริเวณหนึ่งของอวกาศ คลื่นเหล่านั้นจะไม่เกิดปฏิสัมพันธ์กันจริง ๆ แต่จะเคลื่อนที่ต่อไปราวกับว่าไม่มีคลื่นอีกคลื่นหนึ่งอยู่ อย่างไรก็ตาม ณ จุดใด ๆในบริเวณนั้นปริมาณสนามที่อธิบายคลื่นเหล่านั้นจะรวมกันตามหลักการซ้อนทับหากคลื่นมีความถี่เดียวกันและมีความสัมพันธ์ของเฟส ที่คงที่ โดยทั่วไปจะมีตำแหน่งที่คลื่นทั้งสองอยู่ในเฟส เดียวกัน และแอมพลิจูดของพวกมันจะรวมกันและตำแหน่งอื่น ๆ ที่คลื่นอยู่นอกเฟส และแอมพลิจูดของพวกมัน จะหักล้างกัน (บางส่วนหรือทั้งหมด) ปรากฏการณ์ นี้เรียกว่ารูปแบบการแทรกสอด

ปรากฏการณ์โพลาไรเซชันเกิดขึ้นเมื่อการเคลื่อนที่ของคลื่นสามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในสองทิศทางที่ตั้งฉากกัน ตัวอย่างเช่น คลื่นตามขวางสามารถเกิดโพลาไรเซชันได้ เมื่อใช้คำว่าโพลาไรเซชันโดยไม่มีคำอธิบายเพิ่มเติม มักจะหมายถึงกรณีพิเศษและง่ายๆ ของโพลาไรเซชันเชิงเส้น คลื่นตามขวางจะเกิดโพลาไรเซชันเชิงเส้นหากมันสั่นในทิศทางหรือระนาบเดียวเท่านั้น ในกรณีของโพลาไรเซชันเชิงเส้น มักจะเป็นประโยชน์ที่จะเพิ่มทิศทางสัมพัทธ์ของระนาบนั้น ซึ่งตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่ ที่การสั่นเกิดขึ้น เช่น "แนวนอน" หากระนาบของโพลาไรเซชันขนานกับพื้นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แพร่กระจายในอวกาศอิสระ ตัวอย่างเช่น เป็นคลื่นตามขวาง และสามารถเกิดโพลาไรเซชันได้โดยใช้ตัวกรองโพลาไรซ์

คลื่นตามยาว เช่น คลื่นเสียง ไม่แสดงปรากฏการณ์โพลาไรเซชัน เนื่องจากคลื่นเหล่านี้มีทิศทางการสั่นเพียงทิศทางเดียว คือไปตามทิศทางการเคลื่อนที่

การกระจายตัวคือการพึ่งพาความถี่ของดัชนีหักเหซึ่งเป็นผลมาจากลักษณะอะตอมของวัสดุ^{[ 22 ] : 67} คลื่นจะเกิดการกระจายตัวเมื่อความเร็วเฟสหรือความเร็วกลุ่มขึ้นอยู่กับความถี่ของคลื่น การกระจายตัวสามารถสังเกตได้จากการปล่อยให้แสงขาวผ่านปริซึมซึ่งผลลัพธ์ที่ได้คือการสร้างสเปกตรัมของสีรุ้งไอแซค นิวตันเป็นคนแรกที่ตระหนักว่านี่หมายความว่าแสงขาวเป็นส่วนผสมของแสงสีต่างๆ^{[ 22 ] : 190}

ปรากฏการณ์ดอปเปลอร์หรือการเลื่อนดอปเปลอร์คือการเปลี่ยนแปลงความถี่ของคลื่นที่สัมพันธ์กับผู้สังเกตที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับแหล่งกำเนิดคลื่น^{[ 23 ]}ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวออสเตรียคริสเตียน ดอปเปลอร์ผู้ซึ่งอธิบายปรากฏการณ์นี้ในปี พ.ศ. 2385

การสั่นตามขวางของสายเป็นฟังก์ชันของแรงตึงและโมเมนต์ความเฉื่อย และถูกจำกัดด้วยความยาวของสายเนื่องจากปลายทั้งสองข้างถูกตรึงไว้ ข้อจำกัดนี้จำกัดโหมดสถานะคงที่ที่เป็นไปได้ และด้วยเหตุนี้จึงจำกัดความถี่ ความเร็วของคลื่นตามขวางที่เคลื่อนที่ไปตามสายที่สั่น ( v ) เป็นสัดส่วนโดยตรงกับรากที่สองของแรงตึงของสาย ( T ) หารด้วยความหนาแน่นมวลเชิงเส้น ( μ ):

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

โดยที่ความหนาแน่นเชิงเส้นμคือมวลต่อหน่วยความยาวของเส้นเชือก

คลื่น เสียงหรือ คลื่น อะ คูสติ กเป็นคลื่นอัดที่แพร่กระจายผ่านก๊าซ ของเหลว ของแข็ง และพลาสมา โดยเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่กำหนดโดย:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}},}$

หรือรากที่สองของโมดูลัสปริมาตรแบบอะเดียแบ ติกหาร ด้วยความหนาแน่นแวดล้อมของตัวกลาง (ดูความเร็วเสียง )

คลื่นแรงโน้มถ่วงเป็นคลื่นที่เกิดขึ้นในตัวกลางที่เป็นของเหลวหรือที่รอยต่อระหว่างตัวกลางสองชนิด เมื่อแรงโน้มถ่วงหรือแรงลอยตัวทำงานเพื่อรักษาสมดุล ตัวอย่างที่คุ้นเคยมากที่สุดคือคลื่นผิวน้ำ

• ระลอกคลื่นบนผิวน้ำในสระนั้น แท้จริงแล้วเป็นการรวมกันของคลื่นตามขวางและคลื่นตามยาว ดังนั้น จุดต่างๆ บนผิวน้ำจึงเคลื่อนที่ตามวิถีโคจร
• คลื่นเฉื่อยซึ่งเกิดขึ้นในของเหลวที่หมุน และจะกลับคืนสู่สภาพเดิมด้วยผลของโคริโอลิส
• คลื่นผิวน้ำซึ่งเป็นความปั่นป่วนที่แพร่กระจายผ่านผิวน้ำ

คลื่นภายในเคลื่อนที่ผ่านภายในตัวกลางตามเส้นทางที่ควบคุมโดยคุณสมบัติของวัสดุในแง่ของความหนาแน่นและโมดูลัส (ความแข็ง) ความหนาแน่นและโมดูลัสจะแปรผันไปตามอุณหภูมิ องค์ประกอบ และสถานะของวัสดุ ปรากฏการณ์นี้คล้ายกับการหักเหของคลื่นแสง การเคลื่อนที่ของอนุภาคสองประเภทส่งผลให้เกิดคลื่นภายในสองประเภท ได้แก่ คลื่นปฐมภูมิและคลื่นทุติยภูมิ

คลื่นแผ่นดินไหวเป็นคลื่นพลังงานที่เดินทางผ่านชั้นต่างๆ ของโลก และเป็นผลมาจากแผ่นดินไหว การระเบิดของภูเขาไฟ การเคลื่อนตัวของแมกมา การถล่มของดินขนาดใหญ่ และการระเบิดขนาดใหญ่ที่มนุษย์สร้างขึ้นซึ่งปล่อยพลังงานเสียงความถี่ต่ำออกมา ซึ่งรวมถึงคลื่นภายใน—คลื่นปฐมภูมิ ( คลื่น P ) และคลื่นทุติยภูมิ ( คลื่น S )—และคลื่นพื้นผิว เช่นคลื่นเรย์ลีคลื่นเลิฟและคลื่นสโตนลีย์^{[ 25 ]}

คลื่นกระแทกเป็นคลื่นรบกวนชนิดหนึ่งที่แพร่กระจาย เมื่อคลื่นเคลื่อนที่เร็วกว่าความเร็วเสียงในของเหลว จะเรียกว่าคลื่นกระแทก เช่นเดียวกับคลื่นทั่วไป คลื่นกระแทกจะนำพาพลังงานและสามารถแพร่กระจายผ่านตัวกลางได้ อย่างไรก็ตาม ลักษณะของคลื่นกระแทกคือการเปลี่ยนแปลง ความดัน อุณหภูมิและความหนาแน่นของตัวกลางอย่างฉับพลันและเกือบจะไม่ต่อเนื่อง^{[ 26 ]}

คลื่นเฉือนเป็นคลื่นภายในที่เกิดจากความแข็งแกร่งและความเฉื่อยของการเฉือน คลื่นเฉือนสามารถส่งผ่านได้เฉพาะในของแข็ง และส่งผ่านได้ในระดับที่น้อยกว่าในของเหลวที่มีความหนืดสูงเพียงพอ

คลื่นความโน้มถ่วงยังเดินทางผ่านอวกาศด้วย การสังเกตการณ์คลื่นความโน้มถ่วงครั้งแรกได้รับการประกาศเมื่อวันที่ 11 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2559 ^{[ 27 ]} คลื่นความโน้มถ่วงคือการรบกวนในความโค้งของกาลอวกาศ ซึ่งทำนายโดยทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์

• คลื่นการจราจรกล่าวคือ การแพร่กระจายของความหนาแน่นของยานยนต์ที่แตกต่างกัน และอื่นๆ ซึ่งสามารถจำลองเป็นคลื่นจลนศาสตร์ได้^{[ 28 ] [ 29 ]}
• คลื่นเมตาโครนัลหมายถึง การปรากฏของคลื่นเคลื่อนที่ซึ่งเกิดจากการกระทำตามลำดับที่ประสานกัน

สมการชโรดิงเกอร์อธิบายพฤติกรรมคล้ายคลื่นของอนุภาคในกลศาสตร์ควอนตัมคำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชันคลื่นซึ่งสามารถใช้เพื่ออธิบายความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของอนุภาคได้

สมการดิแรก (Dirac equation)เป็นสมการคลื่นเชิงสัมพัทธภาพที่อธิบายปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า คลื่นดิแรกสามารถอธิบายรายละเอียดปลีกย่อยของสเปกตรัมไฮโดรเจนได้อย่างเข้มงวด สมการคลื่นนี้ยังบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของสสารรูปแบบใหม่ คือ ปฏิสสาร ซึ่งไม่เคยมีใครคาดคิดหรือสังเกตมาก่อน และได้รับการยืนยันจากการทดลองแล้ว ในบริบทของทฤษฎีสนามควอนตัม สมการดิแรกถูกตีความใหม่เพื่ออธิบายสนามควอนตัมที่สอดคล้องกับอนุภาคส ปิ น1/2

หลุยส์ เดอ บรอยล์ตั้งสมมติฐานว่าอนุภาคทั้งหมดที่มีโมเมนตัมจะมีคลื่นความยาว

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

โดยที่hคือค่าคงที่ของพลังค์และpคือขนาดของโมเมนตัมของอนุภาค สมมติฐานนี้เป็นพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมปัจจุบันความยาวคลื่นนี้เรียกว่าความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ตัวอย่างเช่นอิเล็กตรอนใน จอแสดงผล CRTมีความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ประมาณ^10⁻¹³ เมตร

คลื่นที่แสดงถึงอนุภาคดังกล่าวซึ่งเคลื่อนที่ไปใน ทิศทาง kจะแสดงด้วยฟังก์ชันคลื่นดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\,t=0)=Ae^{i\mathbf {k\cdot r} },}$

โดยที่ความยาวคลื่นถูกกำหนดโดยเวกเตอร์คลื่นkดังนี้:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}},}$

และแรงผลักดันโดย:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .}$

อย่างไรก็ตาม คลื่นแบบนี้ที่มีความยาวคลื่นที่แน่นอนไม่ได้ถูกจำกัดอยู่ในพื้นที่ ดังนั้นจึงไม่สามารถแสดงถึงอนุภาคที่ถูกจำกัดอยู่ในพื้นที่ได้ เพื่อจำกัดตำแหน่งของอนุภาค เดอ บรอยล์ได้เสนอการซ้อนทับของความยาวคลื่นที่แตกต่างกันซึ่งครอบคลุมค่ากลางในกลุ่มคลื่น^{[ 31 ]}ซึ่งเป็นรูปแบบคลื่นที่มักใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมเพื่ออธิบายฟังก์ชันคลื่นของอนุภาค ในกลุ่มคลื่น ความยาวคลื่นของอนุภาคไม่แน่นอน และความยาวคลื่นเฉพาะที่เบี่ยงเบนไปทางด้านใดด้านหนึ่งของค่าความยาวคลื่นหลัก

ในการแสดงฟังก์ชันคลื่นของอนุภาคเฉพาะที่แพ็กเก็ตคลื่นมักจะถือว่ามีรูปร่างแบบเกาส์เซียนและเรียกว่าแพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียน^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}แพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนยังใช้ในการวิเคราะห์คลื่นน้ำอีกด้วย^{[ 35 ]}

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลื่นเกาส์เซียนψอาจมีรูปแบบดังนี้: ^{[ 36 ]}

${\displaystyle \psi (x,\,t=0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}+ik_{0}x\right),}$

ณ เวลาเริ่มต้นt = 0 ซึ่งความยาวคลื่นกลางสัมพันธ์กับเวกเตอร์คลื่นกลางk เป็นλ = 2π / k เป็นที่ทราบกันดีจากทฤษฎีการวิเคราะห์ฟูริเยร์ [ ^{37 ] หรือ}จากหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก (ในกรณีของกลศาสตร์ควอนตัม) ว่าช่วงความยาวคลื่นที่แคบนั้นจำเป็นต่อการสร้างแพ็กเก็ตคลื่นเฉพาะที่ และยิ่งซองคลื่นเฉพาะที่มากเท่าใด การกระจายของความยาวคลื่นที่ต้องการก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้นการแปลงฟูริเยร์ของเกาส์เซียนนั้นก็คือเกาส์เซียนเอง^{[ 38 ]}เมื่อกำหนดเกาส์เซียนแล้ว:

${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)},}$

การแปลงฟูริเยร์คือ:

${\displaystyle {\tilde {f}}(k)=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2}.}$

ดังนั้น ฟังก์ชันเกาส์เซียนในอวกาศจึงประกอบด้วยคลื่น:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\ {\tilde {f}}(k)e^{ikx}\ dk;}$

นั่นคือ จำนวนคลื่นที่มีความยาวคลื่นλโดยที่kλ = 2π

พารามิเตอร์ σ กำหนดการกระจายตัวเชิงพื้นที่ของฟังก์ชันเกาส์เซียนตาม แกน xในขณะที่การแปลงฟูริเยร์แสดงการกระจายตัวในเวกเตอร์คลื่นkซึ่งกำหนดโดย 1/ σนั่นคือ ยิ่งขอบเขตในอวกาศเล็กลงเท่าใด ขอบเขตในk ก็จะยิ่งใหญ่ขึ้นเท่านั้น และด้วยเหตุนี้λ = 2π/ k ก็จะยิ่งใหญ่ขึ้น ด้วย