ในทางคณิตศาสตร์ J -homomorphismคือการแมปจากกลุ่มโฮโมโทปีของกลุ่มออร์โทโกนอลพิเศษไปยังกลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลมโดยได้รับการนิยามโดยGeorge W. Whitehead  ( 1942 ) ซึ่งเป็นการต่อยอดจากโครงสร้างของHeinz Hopf  ( 1935 )

โฮโมมอร์ฟิซึมดั้งเดิมของไวท์เฮดถูกกำหนดในเชิงเรขาคณิต และให้โฮโมมอร์ฟิซึม

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(S^{q})}$

ของกลุ่มอาเบเลียนสำหรับจำนวนเต็มqและ(ฮอปฟ์ได้นิยามสิ่งนี้สำหรับกรณีพิเศษ) ${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle q=r+1}$

โฮ โมมอร์ฟิซึม Jสามารถนิยามได้ดังนี้ สมาชิกของออร์โธโกนอลกรุ๊ปพิเศษ SO( q ) สามารถถือได้ว่าเป็นแผนที่

${\displaystyle S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

และกลุ่มโฮโมโทปี) ประกอบด้วย คลาส โฮโมโทปีของแผนที่จากทรงกลมrไปยัง SO( q ) ดังนั้น องค์ประกอบของสามารถแทนด้วยแผนที่ ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$

${\displaystyle S^{r}\times S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

การนำ การสร้างแบบฮอปฟ์มาใช้กับสิ่งนี้จะได้แผนที่

${\displaystyle S^{r+q}=S^{r}*S^{q-1}\rightarrow S(S^{q-1})=S^{q}}$

ในซึ่งไวท์เฮดได้นิยามไว้ว่าเป็นภาพขององค์ประกอบของภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึม J ${\displaystyle \pi _{r+q}(S^{q})}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$

เมื่อพิจารณาลิมิตเมื่อqมีค่าเข้าสู่อินฟินิตี้ จะได้J -homomorphism ที่เสถียรในทฤษฎีโฮโมโทปีแบบเสถียร :

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} )\to \pi _{r}^{S},}$

โดยที่เป็นกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษอนันต์ และด้านขวามือคือลำต้นเสถียรลำดับที่rของกลุ่มโฮโมโทปีเสถียรของทรงกลม ${\displaystyle \mathrm {SO} }$

ภาพของJ -homomorphism ถูกอธิบายโดยFrank Adams  ( 1966 ) โดยตั้งสมมติฐานตามข้อสันนิษฐานของAdams (1963)ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยDaniel Quillen  ( 1971 ) ดังนี้กลุ่ม นี้ กำหนดโดยความเป็นคาบของ Bottมันเป็นวัฏจักร เสมอ และถ้าrเป็นบวก มันจะมีอันดับ 2 ถ้าrเป็น 0 หรือ 1 มอดูล 8 เป็นอนันต์ถ้าrเป็น 3 หรือ 7 มอดูล 8 และอันดับ 1 ในกรณีอื่น ๆ ( Switzer 1975 , หน้า 488) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ภาพของJ -homomorphism ที่เสถียรนั้นเป็นวัฏจักร กลุ่ม homotopy ที่เสถียรคือผลรวมโดยตรงของภาพ (วัฏจักร) ของJ -homomorphism และเคอร์เนลของ Adams e-invariant ( Adams 1966 ) ซึ่งเป็น homomorphism จากกลุ่ม homotopy ที่เสถียรไปยัง ถ้าrเป็น 0 หรือ 1 mod 8 และเป็นบวก อันดับของภาพจะเป็น 2 (ดังนั้นในกรณีนี้J -homomorphism จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ) ถ้าrเป็น 3 หรือ 7 mod 8 ภาพจะเป็นกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับเท่ากับตัวส่วนของโดยที่เป็นจำนวนเบอร์นูลลีในกรณีที่เหลือที่rเป็น 2, 4, 5 หรือ 6 mod 8 ภาพจะเป็น กลุ่ม ที่ไม่มีนัยสำคัญเนื่องจากเป็นกลุ่มที่ไม่มีนัยสำคัญเช่นกัน ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$${\displaystyle \pi _{r}^{S}}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle B_{2n}/4n}$${\displaystyle B_{2n}}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$

ร	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$	1	2	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	1	1	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	2	2	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	1	1	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	2	2
${\displaystyle |\ชื่อผู้ดำเนินการ {im} (J)|}$	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
${\displaystyle \pi _{r}^{S}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	2	2	24	1	1	2	240	2 2	2 3	6	504	1	3	2 2	480×2	2 2	2 4
${\displaystyle B_{2n}}$				1/6​​				− 1 ⁄ 30				1/42​​				− 1 ⁄ 30

Michael Atiyah  ( 1961 ) ได้นำเสนอกลุ่มJ ( X ) ของปริภูมิXซึ่งสำหรับXทรงกลมจะเป็นภาพของ โฮโมมอร์ฟิซึม Jในมิติที่เหมาะสม

โคเคอร์เนลของJ-โฮโมมอร์ฟิซึมปรากฏในกลุ่มΘ _nของ คลาส h-โคบอร์ดิซึมของทรงกลมโฮโมโทปี เชิงทิศทาง n ( Kosinski (1992) ) ${\displaystyle J\colon \pi _{n}(\mathrm {SO} )\to \pi _{n}^{S}}$

• โฮโมมอร์ฟิซึม Jที่ห้องปฏิบัติการn