ในทางคณิตศาสตร์แผนที่แมวของอาร์โนลด์เป็น แผนที่ อลหวาดระแวงจากทอรัสไปยังตัวมันเอง ตั้งชื่อตามวลาดิมีร์ อาร์โนลด์ผู้สาธิตผลของแผนที่นี้ในช่วงทศวรรษ 1960 โดยใช้ภาพแมวจึงเป็นที่มาของชื่อ^{[ 1 ]}เป็นตัวอย่างที่เรียบง่ายและเป็นประโยชน์สำหรับการแปลงอัตโนมัติของทอรัสไฮเปอร์โบลิก

หากมองว่าทอรัสเป็นปริภูมิผลหารแผนที่แมวของอาร์โนลด์คือการแปลงที่กำหนดโดยสูตร${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \Gamma$ :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}}

${\displaystyle \Gamma (x,y)=(2x+y,x+y){\bmod {1}}.}$

หรือเขียนใน รูป แบบเมทริกซ์ก็ได้ดังนี้

${\displaystyle \Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.}$

กล่าวคือ ด้วยหน่วยที่เท่ากับความกว้างของภาพสี่เหลี่ยมจัตุรัส ภาพจะถูกเลื่อนขึ้นหนึ่งหน่วย จากนั้นเลื่อนไปทางขวาอีกสองหน่วย และส่วนใดก็ตามที่อยู่นอกหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นจะถูกเลื่อนกลับเข้ามาด้วยหน่วยเดียวกัน จนกระทั่งอยู่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส

แผนที่นี้ได้รับชื่อมาจากต้นฉบับของ Arnold ในปี 1967 ร่วมกับ André Avez ในหนังสือ^Problèmes ergodiques de la mécanique classique [ ^{1 ]}ซึ่งใช้โครงร่างของแมวเพื่อแสดงการทำงานของแผนที่บนทอรัส ในหนังสือต้นฉบับมีคำบรรยายประกอบเป็นเชิงอรรถที่ตลกขบขัน

สมาคมอนุรักษ์สัตว์ ( Société Protectrice des Animaux)อนุญาตให้เผยแพร่ภาพนี้ รวมถึงภาพอื่นๆ ด้วย

ในภาษารัสเซียซึ่งเป็นภาษาแม่ของอาร์โนลด์ แผนที่นี้เรียกว่า " okroshka (ซุปเย็น) จากแมว" ( ภาษารัสเซีย: окрошка из кошки ) ซึ่งหมายถึงคุณสมบัติการผสมของแผนที่ และเป็นการเล่นคำ อาร์โนลด์เขียนในภายหลังว่าเขาพบว่าชื่อ "Arnold's Cat" ซึ่งเป็นชื่อที่ใช้เรียกแผนที่นี้ในภาษาอังกฤษและภาษาอื่นๆ นั้น "แปลก" ^{[ 2 ]}

• ${\displaystyle \Gamma }$เมทริกซ์นี้ สามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้เนื่องจากเมทริกซ์มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 ดังนั้น เมทริกซ์ผกผัน จึงมีสมาชิกเป็นจำนวนเต็ม
• ${\displaystyle \Gamma }$เป็นการอนุรักษ์พื้นที่
• ${\displaystyle \Gamma }$มีจุดตรึงไฮเปอร์โบลิกที่ ไม่ซ้ำกัน ( จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) การแปลงเชิงเส้นที่กำหนดแผนที่นั้นเป็นไฮเปอร์โบลิก: ค่าลักษณะเฉพาะ ของมัน เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยค่าหนึ่งมากกว่าและอีกค่าหนึ่งน้อยกว่า 1 (ในค่าสัมบูรณ์) ดังนั้นจึงเกี่ยวข้องกับปริภูมิลักษณะเฉพาะ ที่ขยายและหดตัวตามลำดับ ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์ที่เสถียรและไม่เสถียรด้วย ปริภูมิลักษณะเฉพาะตั้งฉากกันเนื่องจากเมทริกซ์สมมาตรเนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมีส่วนประกอบที่เป็นอิสระเชิงตรรกะ ปริภูมิลักษณะเฉพาะทั้งสองจึงครอบคลุมทอรัส อย่างหนาแน่นแผนที่แมวของอาร์โนลด์เป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีเป็นพิเศษของออโตมอร์ฟิซึมทอรัสไฮเปอร์โบลิกซึ่งเป็นออโตมอร์ฟิซึมของทอรัสที่กำหนดโดยเมทริกซ์เอกโมดูลาร์ สี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 ^{[ 3 ]}
• เซตของจุดที่มีวงโคจรเป็นคาบนั้นมีความหนาแน่น บนทอรัส อันที่จริง จุดจะเป็นคาบก็ต่อเมื่อพิกัดของจุดนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ เท่านั้น
• ${\displaystyle \Gamma }$มีคุณสมบัติการถ่ายทอดเชิงโทโพโลยี (กล่าวคือ มีจุดหนึ่งที่วงโคจรของมันมีความหนาแน่น )
• จำนวนจุดที่มีคาบคือ(โดยที่และคือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์) ตัวอย่างเช่น พจน์แรกๆ ของอนุกรมนี้คือ 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205 .... ^{[ 4 ]} (สมการเดียวกันนี้ใช้ได้กับออโตมอร์ฟิซึมทอรัลไฮเปอร์โบลิกแบบยูนิโมดูลาร์ใดๆ หากค่าลักษณะเฉพาะถูกแทนที่)${\displaystyle n}$${\displaystyle |\lambda _{1}^{n}+\lambda _{2}^{n}-2|}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$
• ${\displaystyle \Gamma }$เป็นแบบเออร์โกดิกและผสมผสานกัน
• ${\displaystyle \Gamma }$เป็นการแปลงแบบAnosov diffeomorphismและโดยเฉพาะอย่างยิ่งมีความเสถียรเชิงโครงสร้าง
• ทอรัสการแมปของเป็นโซลฟ์แมนิโฟลด์และเช่นเดียวกับดิฟเฟโอโมฟิซึมของอโนซอฟอื่นๆ แมนิโฟลด์นี้มีเรขาคณิตโซลฟ์${\displaystyle \Gamma }$

เราสามารถกำหนดแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องของแผนที่แมวได้ คุณสมบัติอย่างหนึ่งของแผนที่นี้คือ ภาพที่ดูเหมือนจะสุ่มขึ้นมาจากการแปลง แต่จะกลับคืนสู่สถานะเดิมหลังจากผ่านไปหลายขั้นตอน ดังที่เห็นในภาพด้านข้าง ภาพแมวต้นฉบับถูกเฉือนและพันรอบในรอบแรกของการแปลง หลังจากผ่านไปหลายรอบ ภาพที่ได้จะดูค่อนข้างสุ่มหรือไม่เป็นระเบียบ แต่หลังจากผ่านไปอีกหลายรอบ ภาพจะดูมีระเบียบมากขึ้น—ภาพแมวคล้ายผี ภาพสำเนาขนาดเล็กหลายภาพที่จัดเรียงเป็นโครงสร้างซ้ำๆ และแม้แต่ภาพสำเนากลับหัวของภาพต้นฉบับ—และในที่สุดก็จะกลับคืนสู่ภาพต้นฉบับ

แผนที่แมวแบบไม่ต่อเนื่องอธิบายการไหลของปริภูมิเฟสที่สอดคล้องกับพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องของการกระโดดของลูกปัดจากไซต์( ) ไปยังไซต์บนวงแหวนวงกลมที่มีเส้นรอบวงตามสมการอันดับสอง :${\displaystyle q_{t}}$${\displaystyle 0\leq q_{t}<N}$${\displaystyle q_{t+1}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N}$

เมื่อกำหนดตัวแปรโมเมนตัมแล้ว พลวัตอันดับสองข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้เป็นการแมปของสี่เหลี่ยมจัตุรัส( ปริภูมิเฟสของระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่อง) ไปยังตัวมันเอง:${\displaystyle p_{t}=q_{t}-q_{t-1}}$${\displaystyle 0\leq q,p<N}$

${\displaystyle q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N}$

แผนภาพแมวอาร์โนลด์นี้แสดง พฤติกรรม การผสมผสานซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของระบบอลวน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการแปลงมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับหนึ่ง จึงเป็นการรักษาพื้นที่และสามารถผกผันได้โดยการแปลงผกผันคือ:

${\displaystyle q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N}$

สำหรับตัวแปรจริงและเป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดให้ในกรณีนั้น จะได้การแมปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบไปยังตัวมันเอง${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N=1}$

เมื่อตั้งค่าเป็นค่าจำนวนเต็ม ตัวแปรตำแหน่งและโมเมนตัมสามารถจำกัดให้เป็นจำนวนเต็มได้ และการแมปจะกลายเป็นการแมปจุดตารางสี่เหลี่ยมทอรอยด์ลงบนตัวมันเอง แผนที่แมวจำนวนเต็มดังกล่าวมักใช้เพื่อแสดง พฤติกรรม การผสมด้วยการเกิดซ้ำของปวงกาเรโดยใช้ภาพดิจิทัล จำนวนการวนซ้ำที่จำเป็นในการกู้คืนภาพสามารถแสดงได้ว่าไม่เกิน^{[ 5 ]}${\displaystyle N}$${\displaystyle 3N}$

สำหรับรูปภาพ ความสัมพันธ์ระหว่างการทำซ้ำสามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}n=0:\quad &T^{0}(x,y)&=&{\text{Input Image}}(x,y)\\n=1:\quad &T^{1}(x,y)&=&T^{0}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=k:\quad &T^{k}(x,y)&=&T^{k-1}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=m:\quad &{\text{Output Image}}(x,y)&=&T^{m}(x,y)\end{array}}}$

• รายชื่อแผนที่ที่วุ่นวาย
• แผนภาพการเกิดซ้ำ