ในทางคณิตศาสตร์การผสมเป็นแนวคิดเชิงนามธรรมที่มาจากฟิสิกส์ซึ่งเป็นความพยายามที่จะอธิบายกระบวนการทางเทอร์โมไดนามิก ที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ ของการผสมในโลกแห่งความเป็นจริง เช่นการผสมสีการผสมเครื่องดื่มการผสมโลหะ

แนวคิดนี้ปรากฏในทฤษฎีเออร์โกดิกซึ่งเป็นการศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการสุ่มและระบบพลวัตที่รักษาการวัดไว้มีคำจำกัดความของการผสมหลายแบบ รวมถึงการผสมแบบเข้มข้นการผสมแบบอ่อนและการผสมเชิงโทโพโลยีโดยแบบสุดท้ายไม่จำเป็นต้อง กำหนดการ วัดคำจำกัดความของการผสมบางส่วนสามารถจัดเรียงลำดับชั้นได้ ดังนั้น การผสมแบบเข้มข้นจึงหมายถึงการผสมแบบอ่อน ยิ่งไปกว่านั้น การผสมแบบอ่อน (และดังนั้น การผสมแบบเข้มข้นด้วย) หมายถึงความเป็นเออร์โกดิกกล่าวคือ ทุกระบบที่มีการผสมแบบอ่อนก็จะเป็นเออร์โกดิกด้วย (ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่า การผสมเป็นเงื่อนไขที่ "เข้มข้นกว่า" ความเป็นเออร์โกดิก)

นิยามทางคณิตศาสตร์ของการผสมมีจุดมุ่งหมายเพื่ออธิบายกระบวนการผสมในชีวิตประจำวันทั่วไป เช่น การผสมสี เครื่องดื่ม ส่วนผสมในการปรุงอาหารการผสมในกระบวนการทางอุตสาหกรรมควันในห้องที่เต็มไปด้วยควัน และอื่นๆ เพื่อให้เกิดความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ คำอธิบายเหล่านี้เริ่มต้นด้วยนิยามของระบบพลวัตที่รักษาการวัดซึ่งเขียนได้ดังนี้${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$⁠ .

ชุด${\displaystyle X}$หมายถึงพื้นที่ทั้งหมดที่จะต้องเติมเต็ม เช่น ชามผสม ห้องที่เต็มไปด้วยควันเป็นต้นหน่วยวัด${\displaystyle \mu }$เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นการกำหนดปริมาตรตามธรรมชาติของพื้นที่${\displaystyle X}$และของปริภูมิย่อยของมัน กลุ่มของปริภูมิย่อยจะถูกแทนด้วย⁠${\displaystyle {\mathcal {A}}}$และขนาดของเซตย่อย ใดๆ ก็ตาม${\displaystyle A\subset X}$คือ​${\displaystyle \mu (A)}$ขนาดก็คือปริมาตรของมันนั่นเอง หากมองอย่างง่ายๆ เราอาจจินตนาการได้ว่า${\displaystyle {\mathcal {A}}}$เพื่อเป็นชุดพลังของ⁠${\displaystyle X}$;วิธีนี้ใช้ไม่ได้ผลเสียทีเดียว เพราะไม่ใช่ทุกเซตย่อยของปริภูมิจะมีปริมาตร (ดังเช่นปรากฏการณ์ Banach–Tarski ที่เป็นที่รู้จักกันดี ) ดังนั้น ตามธรรมเนียมแล้ว${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ประกอบด้วยเซตย่อยที่วัดได้—เซตย่อยที่มีปริมาตร โดยทั่วไปถือว่าเป็นเซตโบเรล —กลุ่มของเซตย่อยที่สามารถสร้างขึ้นได้โดยการหาจุดตัดการรวมกันและส่วนเติมเต็มของเซตซึ่งเซตเหล่านี้สามารถวัดได้เสมอ

การเปลี่ยนแปลงของระบบตามเวลาจะถูกอธิบายด้วยแผนที่${\displaystyle T:X\to X}$กำหนดให้เป็นเซตย่อยบางส่วน${\displaystyle A\subset X}$แผนที่ของมัน${\displaystyle T(A)}$โดยทั่วไปจะเป็นรูปแบบที่ผิดรูปไปจากเดิม${\displaystyle A}$– มันถูกบีบหรือยืด พับหรือตัดเป็นชิ้นๆ ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ได้แก่แผนที่ของคนทำขนมปังและแผนที่เกือกม้าซึ่งทั้งสองอย่างได้รับแรงบันดาลใจจาก การทำ ขนมปังเซต${\displaystyle T(A)}$ต้องมีปริมาตรเท่ากับ${\displaystyle A}$การบีบหรือยืดไม่เปลี่ยนแปลงปริมาตรของพื้นที่ แต่เปลี่ยนเฉพาะการกระจายตัวของปริมาตรเท่านั้น ระบบดังกล่าวเป็นระบบที่ "รักษาขนาด" (รักษาพื้นที่ รักษาปริมาตร)

ความยากลำบากเชิงรูปแบบเกิดขึ้นเมื่อพยายามที่จะประสานปริมาณของเซตกับความจำเป็นในการรักษาขนาดของเซตไว้ภายใต้การแมป ปัญหานี้เกิดขึ้นเนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว จุดหลายจุดที่แตกต่างกันในโดเมนของฟังก์ชันสามารถแมปไปยังจุดเดียวกันในเรนจ์ของฟังก์ชันได้ กล่าวคือ อาจมี${\displaystyle x\neq y}$กับ​${\displaystyle T(x)=T(y)}$ที่แย่กว่า นั้นคือได้แค่แต้มเดียว${\displaystyle x\in X}$ไม่มีขนาด ปัญหาเหล่านี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการใช้แผนที่ผกผัน${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$มันจะแมปเซตย่อยใดๆ ที่กำหนด${\displaystyle A\subset X}$สำหรับชิ้นส่วนที่นำมาประกอบกันเพื่อให้ได้มาซึ่งสิ่งนี้: ชิ้นส่วนเหล่านี้คือ⁠${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$มันมีคุณสมบัติที่สำคัญคือไม่ "หลงลืม" ว่าสิ่งต่างๆ มาจากไหน ที่สำคัญกว่านั้นคือ มันมีคุณสมบัติที่สำคัญว่าแผนที่ใดๆ (ที่รักษาการวัด)${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$คือส่วนกลับของแผนที่บางอย่าง${\displaystyle X\to X}$นิยามที่ถูกต้องของแผนที่รักษาปริมาตรคือแผนที่ซึ่ง${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$เพราะ${\displaystyle T^{-1}(A)}$อธิบายชิ้นส่วนทั้งหมดที่${\displaystyle A}$มาจาก.

ขณะนี้เราสนใจที่จะศึกษาการเปลี่ยนแปลงของระบบตามเวลา หากชุดหนึ่ง${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ในที่สุดก็ได้ไปเยือนทุกแห่ง${\displaystyle X}$ในช่วงระยะเวลาที่ยาวนาน (นั่นคือ ถ้า${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$เข้าถึงทุกแนวทาง${\displaystyle X}$สำหรับขนาดใหญ่${\displaystyle n}$ระบบดังกล่าวเรียกว่าระบบเออร์โกดิก (ergodic ) ถ้าทุกเซต${\displaystyle A}$เมื่อระบบมีพฤติกรรมเช่นนี้ ระบบนั้นก็จะเป็นระบบอนุรักษ์พลังงานซึ่งตรงกันข้ามกับระบบกระจายพลังงานที่ซึ่งเซตย่อยบางส่วน${\displaystyle A}$ล่องลอยหายไปไม่หวนกลับมาอีก ตัวอย่างเช่น น้ำที่ไหลลงเนิน เมื่อไหลลงไปแล้ว มันจะไม่ไหลกลับขึ้นมาอีก อย่างไรก็ตาม ทะเลสาบที่ก่อตัวขึ้นที่ก้นแม่น้ำนี้สามารถผสมผสานกันได้อย่างทั่วถึง ทฤษฎีบท การแยกส่วนของฮอปฟ์กล่าวว่า พื้นที่การวัดทุกแห่งสามารถแบ่งออกเป็นสองส่วน คือ ส่วนอนุรักษ์ และส่วนที่สูญเสียไป

การผสมผสานเป็นข้อความที่แข็งแกร่งกว่าความเป็นเออร์โกดิก การผสมผสานต้องการให้คุณสมบัติเออร์โกดิกนี้เป็นจริงระหว่างเซตสองเซตใดๆ${\displaystyle A,B}$และไม่ใช่แค่ระหว่างกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งเท่านั้น${\displaystyle A}$และ​${\displaystyle X}$นั่นคือ เมื่อกำหนดเซตสองเซตใดๆ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$กล่าวได้ว่าระบบนั้นมีการผสม (ในเชิงโทโพโลยี) หากมีจำนวนเต็มอยู่${\displaystyle N}$โดยที่สำหรับทุก ๆ${\displaystyle A,B}$และ​${\displaystyle n>N}$คนหนึ่งมีสิ่งนั้น${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$. ที่นี่,${\displaystyle \cap }$หมายถึงจุดตัดของเซตและ${\displaystyle \varnothing }$คือเซตว่าง

คำจำกัดความของการผสมเชิงทอพอโลยีข้างต้นน่าจะเพียงพอที่จะให้แนวคิดอย่างไม่เป็นทางการเกี่ยวกับการผสม (ซึ่งเทียบเท่ากับคำจำกัดความอย่างเป็นทางการที่กล่าวไว้ด้านล่าง) อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความดังกล่าวไม่ได้กล่าวถึงปริมาตรของ${\displaystyle A}$และ​${\displaystyle B}$และที่จริงแล้ว ยังมีคำจำกัดความอื่นที่ทำงานร่วมกับปริมาตรได้อย่างชัดเจน มีหลายคำจำกัดความด้วยกัน คำจำกัดความหนึ่งมีทั้งการผสมแบบเข้มข้นและการผสมแบบอ่อน ซึ่งทั้งสองอย่างนี้ไม่เท่ากัน ถึงแม้ว่าระบบที่มีการผสมแบบเข้มข้นจะมีการผสมแบบอ่อนเสมอ คำจำกัดความที่อิงตามการวัดนั้นไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความของการผสมเชิงโทโพโลยี มีระบบบางระบบที่เป็นแบบหนึ่งแต่ไม่ใช่แบบอื่น สถานการณ์โดยทั่วไปยังคงคลุมเครือ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดเซตสามเซต${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$เราสามารถกำหนด 3-mixing ได้ ณ ปี 2020 ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่า 2-mixing หมายถึง 3-mixing หรือไม่ (หากเรามองว่าภาวะเออร์โกดิกเป็น "1-mixing" แล้ว ก็จะเห็นได้ชัดว่า 1-mixing ไม่ได้หมายถึง 2-mixing เสมอไป เพราะมีระบบบางระบบที่เป็นเออร์โกดิกแต่ไม่เกิดการผสม)

แนวคิดเรื่องการผสมอย่างเข้มข้นนั้นกล่าวถึงปริมาตรของเซตสองเซต ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซตหนึ่ง${\displaystyle A}$เป็นการผสมสีลงในของเหลวเหนียวๆ เช่น น้ำเชื่อมข้าวโพด หรือแชมพู หรืออื่นๆ ประสบการณ์จริงแสดงให้เห็นว่าการผสมของเหลวเหนียวๆ นั้นค่อนข้างยาก มักจะมีบางมุมของภาชนะที่ยากต่อการผสมสีเข้าไป เลือกตามที่กำหนด${\displaystyle B}$มุมที่เข้าถึงยากนั้น คำถามเกี่ยวกับการผสมผสานก็คือ สามารถทำได้หรือไม่${\displaystyle A}$หลังจากผ่านไประยะเวลานานพอสมควร ไม่เพียงแต่จะแทรกซึมเข้าไปเท่านั้น${\displaystyle B}$แต่ยังเติมเต็มอีกด้วย${\displaystyle B}$ในสัดส่วนเดียวกับที่อื่น ๆ ใช่หรือไม่?

นิยามหนึ่งของการผสมที่แข็งแกร่งคือข้อกำหนดที่ว่า

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

พารามิเตอร์เวลา${\displaystyle n}$ทำหน้าที่แยก${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$เมื่อเวลาผ่านไป จึงทำให้เกิดการผสมผสานขึ้น${\displaystyle A}$ขณะถือปริมาตรทดสอบ${\displaystyle B}$แก้ไขแล้ว ผลิตภัณฑ์${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$มันละเอียดอ่อนกว่าเล็กน้อย ลองนึกภาพว่าระดับเสียง${\displaystyle B}$คิดเป็น 10% ของปริมาตรทั้งหมด และปริมาตรของสีย้อมนั้น${\displaystyle A}$นอกจากนี้ยังคิดเป็น 10% ของยอดรวมทั้งหมดด้วย หาก${\displaystyle A}$หากมีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ แสดงว่ามันครอบครองพื้นที่ 10% ของ${\displaystyle B}$ซึ่งคิดเป็น 10% ของทั้งหมด ดังนั้น ในท้ายที่สุด หลังจากผสมแล้ว ส่วนของ${\displaystyle A}$นั่นคือใน${\displaystyle B}$คิดเป็น 1% ของปริมาตรทั้งหมด นั่นคือ${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$ผลคูณของปริมาตรนี้มีความคล้ายคลึงกับ ทฤษฎีบทของเบย์ส ในความน่าจะเป็นอย่าง มากนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีการวัดและทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นทฤษฎีเดียวกัน กล่าวคือ ทั้งสองทฤษฎีมีสัจพจน์เดียวกัน ( สัจพจน์ของโคลโมโกโรฟ ) แม้ว่าจะใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันก็ตาม

เหตุผลในการใช้งาน${\displaystyle T^{-n}A}$แทนที่จะ${\displaystyle T^{n}A}$ในคำจำกัดความนั้นค่อนข้างคลุมเครือ แต่ก็มาจากเหตุผลเดียวกันกับที่ว่า... ${\displaystyle T^{-1}A}$ใช้เพื่อกำหนดแนวคิดของแผนที่ที่รักษาการวัด เมื่อพิจารณาว่าสีผสมเข้าไปในมุมมากน้อยเพียงใด${\displaystyle B}$เราต้องตรวจสอบว่าสีนั้น "มาจากไหน" (สันนิษฐานว่ามันถูกเทลงไปจากด้านบนในอดีต) เราต้องแน่ใจว่าทุกแหล่งที่มาของสีนั้นจะถูกผสมเข้าด้วยกันในที่สุด${\displaystyle B}$.

อนุญาต${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ให้ เป็นระบบพลวัตที่รักษาการวัดโดยที่Tเป็นตัวดำเนินการวิวัฒนาการหรือตัวดำเนินการเลื่อนตาม เวลา ระบบนี้เรียกว่ามีการผสมอย่างเข้มข้นถ้าสำหรับใดๆ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$หนึ่งมี

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

สำหรับการเลื่อนที่กำหนดพารามิเตอร์ด้วยตัวแปรต่อเนื่องแทนที่จะเป็นจำนวนเต็มไม่ต่อเนื่องnนิยามเดียวกันนี้ยังคงใช้ได้ โดยมี${\displaystyle T^{-n}}$แทนที่ด้วย${\displaystyle T_{g}}$โดยที่gเป็นพารามิเตอร์เวลาต่อเนื่อง

กล่าวได้ว่าระบบพลวัตนั้นมีการผสมแบบอ่อนหากมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ${\displaystyle T}$เป็นการผสมที่เข้มข้นถ้า${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$ในความหมายทั่วไป การผสมที่ไม่เข้มข้น ถ้า

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

ใน ความหมาย ของ Cesàroและเป็นแบบเออร์โกดิกหาก${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$ในความหมายของ Cesàro ดังนั้น การผสมที่แข็งแกร่งหมายถึงการผสมที่อ่อนแอ ซึ่งหมายถึงความเป็นเออร์โกดิก อย่างไรก็ตาม ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง กล่าวคือ มีระบบพลวัตแบบเออร์โกดิกที่ไม่ผสมที่อ่อนแอ และระบบพลวัตแบบผสมที่อ่อนแอที่ไม่ผสมที่แข็งแกร่งระบบ Chaconเป็นตัวอย่างแรกในประวัติศาสตร์ของระบบที่ผสมที่อ่อนแอแต่ไม่ผสมที่แข็งแกร่ง^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบท.การผสมแบบอ่อนบ่งชี้ถึงภาวะเออร์โกดิก

บทพิสูจน์ถ้าการกระทำของแผนที่แยกออกเป็นสององค์ประกอบ${\displaystyle A,B}$จากนั้นเราก็มี${\displaystyle \mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A\cap B)=\mu (\emptyset )=0}$ดังนั้นการผสมที่อ่อนแอจึงหมายถึง${\displaystyle \vert \mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\vert =0}$ดังนั้นหนึ่งใน${\displaystyle A,B}$อันหนึ่งมีหน่วยเป็นศูนย์ ส่วนอีกอันมีหน่วยเต็ม

รูปแบบของการผสมอาจถูกกำหนดได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงมาตรวัดใดๆโดยใช้เพียงโทโพโลยีของระบบ เท่านั้น แผนที่ต่อเนื่อง${\displaystyle f:X\to X}$กล่าวได้ว่ามีคุณสมบัติการถ่ายทอดเชิงทอพอโลยี ถ้าสำหรับทุกคู่ของ เซตเปิดที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle A,B\subset X}$มีจำนวนเต็มn อยู่จำนวน หนึ่งซึ่ง

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

ที่ไหน${\displaystyle f^{n}}$คือค่าวนซ้ำลำดับที่nของfในทฤษฎีตัว ดำเนินการ ตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบจำกัด ที่มี การส่งผ่านเชิงโทโพโลยี(แผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงโท โพโลยี ) มักเรียกว่าตัวดำเนินการไฮเปอร์ไซคลิก

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอีกประการหนึ่งคือเซตที่เคลื่อนที่ได้ กล่าว คือ จุดหนึ่งจะไม่เคลื่อนที่หาก...

${\displaystyle \exists n>N\geq 0:f^{n}(U)\cap U\neq \varnothing }$

กล่าวคือ ภาพที่ n ไม่ได้ "อยู่ไกลเกินไปจาก" และ "ยังคงตัดกับ" บริเวณใกล้เคียงเริ่มต้น U ในกรณีที่ผ่านมา "มันเคลื่อนที่ไปมา" เพราะเซต B สามารถเป็นเซตย่อยใดๆ ก็ได้ใน${\displaystyle \Omega }$^{[ 3 ] [ 4 ]}

บทตั้ง:ถ้าXเป็นปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่ไม่มีจุดโดดเดี่ยวแล้วfจะเป็นฟังก์ชันถ่ายทอดเชิงทอพอโลยีก็ต่อเมื่อมีจุดไฮเปอร์ไซคลิก อยู่${\displaystyle x\in X}$นั่นคือ จุดxที่วงโคจรของมัน${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$มีความหนาแน่นในX

กล่าวได้ว่าระบบนั้นมีการผสมเชิงทอพอโลยีถ้ากำหนดให้เซตเปิด${\displaystyle A}$และ​${\displaystyle B}$มี จำนวนเต็ม Nอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับทุก ⁠${\displaystyle n>N}$หนึ่งมี

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$^{[ 5 ]}

สำหรับระบบเวลาต่อเนื่อง${\displaystyle f^{n}}$ถูกแทนที่ด้วยการไหล${\displaystyle \varphi _{g}}$โดยที่ gเป็นพารามิเตอร์ต่อเนื่อง และมีข้อกำหนดว่าจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่าจะต้องเป็นจริงสำหรับทุกๆ${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$⁠ .

การผสมเชิงทอพอโลยีแบบอ่อนคือการผสมที่ไม่มี ฟังก์ชัน เฉพาะต่อเนื่อง ที่ไม่คงที่ (เมื่อเทียบกับทอพอโลยี) ของตัวดำเนินการเลื่อน

การผสมเชิงทอพอโลยีไม่ได้หมายความถึงการผสมแบบอ่อนหรือแบบแข็ง และการผสมแบบอ่อนหรือแบบแข็งก็ไม่ได้หมายความถึงเช่นกัน: มีตัวอย่างของระบบที่เกิดการผสมแบบอ่อนแต่ไม่เกิดการผสมเชิงทอพอโลยี และมีตัวอย่างที่เกิดการผสมเชิงทอพอโลยีแต่ไม่เกิดการผสมแบบแข็ง

อนุญาต${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$เป็นกระบวนการสุ่มบนปริภูมิความน่าจะเป็น${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ปริภูมิของลำดับที่กระบวนการแมปสามารถกำหนดโทโพโลยีได้ เรียกว่า โทโพโลยีผลคูณเซตเปิดของโทโพโลยีนี้เรียกว่าเซตทรงกระบอกเซตทรงกระบอกเหล่านี้สร้างพีชคณิต σ ขึ้น มา เรียกว่าพีชคณิต σ ของโบเรลซึ่งเป็นพีชคณิต σ ที่เล็กที่สุดที่บรรจุโทโพโลยีนี้ไว้

กำหนดฟังก์ชัน${\displaystyle \alpha }$เรียกว่าสัมประสิทธิ์การผสมที่แข็งแกร่งดังนี้

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle -\infty <s<\infty }$สัญลักษณ์​${\displaystyle X_{a}^{b}}$, กับ${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$หมายถึงพีชคณิตย่อยของพีชคณิต σ; มันคือเซตของเซตทรงกระบอกที่ระบุระหว่างเวลาaและbกล่าวคือ พีชคณิต σ ที่สร้างขึ้นโดย⁠${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$⁠ .

กระบวนการ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$กล่าวกันว่ามีการผสมผสานกันอย่างมากหาก${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$ในฐานะ⁠${\displaystyle s\to \infty }$กล่าวคือ กระบวนการผสมที่เข้มข้นนั้นเป็นไปในลักษณะที่สม่ำเสมอในทุกช่วงเวลา${\displaystyle t}$และเหตุการณ์ทั้งหมด เหตุการณ์ก่อนกาลเวลา${\displaystyle t}$และเหตุการณ์หลังจากกาลเวลา${\displaystyle t+s}$มีแนวโน้ม ที่จะเป็นอิสระ${\displaystyle s\to \infty }$หรือพูดให้เข้าใจง่ายกว่านั้น กระบวนการนี้ในแง่ที่รุนแรงนั้น ลืมประวัติศาสตร์ของตัวเองไป