ในกลศาสตร์ ควอนตัม และการคำนวณ ทรง กลมบล็อกเป็นการแสดงทางเรขาคณิตของ ปริภูมิ สถานะบริสุทธิ์ของระบบกลศาสตร์ควอนตัมสองระดับ ( คิวบิต ) ซึ่งตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ เฟลิก ซ์บล็อก

ในทางคณิตศาสตร์ ระบบกลศาสตร์ควอนตัมแต่ละระบบจะเกี่ยวข้องกับปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่แยกออกจากกันได้ สถานะบริสุทธิ์ของระบบควอนตัมแสดงด้วยเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ในเวกเตอร์และ(โดยที่) แทนสถานะเดียวกัน ระบบที่มี สถานะควอนตัมตั้งฉากกัน n สถานะ สามารถอธิบายได้ด้วยปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติnสถานะบริสุทธิ์สามารถแสดงเป็นชั้นสมมูลหรือรังสีในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงโปรเจกทีฟ [ สำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตสองมิติ ปริภูมิของสถานะดังกล่าวทั้งหมดคือเส้นโปรเจกทีฟเชิงซ้อนนี่คือทรงกลมบล็อก ซึ่งสามารถแมปไปยังทรงกลมรีมันน์ได้ ${\displaystyle H}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \lambda \psi }$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}.}$

ทรงกลมบล็อกเป็นทรงกลมหน่วย 2 มิติโดยมีจุดตรงข้ามที่สอดคล้องกับเวกเตอร์สถานะคู่หนึ่งที่ตั้งฉากกัน ขั้วเหนือและขั้วใต้ของทรงกลมบล็อกมักถูกเลือกให้สอดคล้องกับเวกเตอร์ฐานมาตรฐานและตามลำดับ ซึ่งอาจสอดคล้องกับ สถานะ สปินขึ้นและสปินลงของอิเล็กตรอน เป็นต้น อย่างไรก็ตาม การเลือกนี้เป็นไปโดยพลการ จุดบนพื้นผิวของทรงกลมสอดคล้องกับสถานะบริสุทธิ์ของระบบ ในขณะที่จุดภายในสอดคล้องกับสถานะผสม ทรงกลมบล็อกอาจถูกขยายไปสู่ ระบบควอนตัม nระดับ แต่การแสดงภาพจะมีประโยชน์น้อยลง ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

เมตริกธรรมชาติบนทรงกลมบล็อกคือเมตริกฟูบินี-สตูดีการแมปจากทรงกลม 3 มิติหน่วยในปริภูมิสถานะสองมิติไปยังทรงกลมบล็อกคือการจัดเรียงแบบฮอปฟ์โดยที่รังสีของสปินเนอร์ แต่ละเส้น จะแมปไปยังจุดหนึ่งบนทรงกลมบล็อก ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

เมื่อกำหนดฐานออร์โทนอร์มอลแล้วสถานะบริสุทธิ์ ใดๆ ของระบบควอนตัมสองระดับสามารถเขียนได้ในรูปของการซ้อนทับกันของเวกเตอร์ฐานและโดยที่สัมประสิทธิ์ของ (หรือส่วนประกอบจาก) เวกเตอร์ฐานแต่ละตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งหมายความว่าสถานะนั้นถูกอธิบายด้วยจำนวนจริงสี่จำนวน อย่างไรก็ตาม มีเพียงเฟสสัมพัทธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ฐานทั้งสองเท่านั้นที่มีความหมายทางกายภาพ (เฟสของระบบควอนตัมไม่สามารถวัดได้ โดยตรง ) ดังนั้นจึงมีความซ้ำซ้อนในการอธิบายนี้ เราสามารถกำหนดให้สัมประสิทธิ์ของเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบ ซึ่งจะทำให้สถานะนั้นสามารถอธิบายได้ด้วยจำนวนจริงเพียงสามจำนวน ทำให้เกิดมิติสามมิติของทรงกลมบล็อก ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$

นอกจากนี้ เรายังทราบจากกลศาสตร์ควอนตัมว่า ความน่าจะเป็นโดยรวมของระบบจะต้องเป็นหนึ่ง:

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$หรือเทียบเท่า${\displaystyle {\big \|}|\psi \rangle {\big \|}^{2}=1}$

ภายใต้ข้อจำกัดนี้ เราสามารถเขียนโดยใช้รูปแบบต่อไปนี้: ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle }$ที่ไหนและ.${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$

การแสดงผลนั้นมีเอกลักษณ์เสมอ เพราะถึงแม้ค่าของจะไม่เป็นเอกลักษณ์เมื่อ เป็นหนึ่งในสถานะ (ดูสัญกรณ์ Bra-ket ) หรือ แต่จุดที่แสดงโดยและ นั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

พารามิเตอร์และซึ่งถูกตีความใหม่ในพิกัดทรงกลมโดยเป็นละติจูดร่วมเทียบกับ แกน zและลองจิจูดเทียบกับ แกน xตามลำดับ จะระบุจุดหนึ่ง ${\displaystyle \theta \,}$${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}$

บนทรงกลมหน่วยใน. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

สำหรับสถานะผสมนั้นจะพิจารณาตัวดำเนินการความหนาแน่นตัวดำเนินการความหนาแน่นสองมิติใดๆρสามารถขยายได้โดยใช้เอกลักษณ์Iและเมทริกซ์ Pauliที่ เป็นเฮอร์ มิเชียนและไม่มีร่องรอย ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$-

โดยที่เรียกว่าเวกเตอร์บล็อก (Bloch vector ) ${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

เวกเตอร์นี้เป็นตัวระบุจุดภายในทรงกลมที่สอดคล้องกับสถานะผสมที่กำหนด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติพื้นฐานของเวกเตอร์ Pauli คือ ค่าลักษณะเฉพาะของρคือตัวดำเนินการความหนาแน่นต้องเป็นบวกกึ่งกำหนด ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)}$${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|\leq 1}$

สำหรับสถานะบริสุทธิ์แล้ว จะมีดังนี้

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}$

สอดคล้องกับข้างต้น

ด้วยเหตุนี้ พื้นผิวของทรงกลมบล็อกจึงแสดงถึงสถานะบริสุทธิ์ทั้งหมดของระบบควอนตัมสองมิติ ในขณะที่ส่วนภายในสอดคล้องกับสถานะผสมทั้งหมด

เวกเตอร์ Bloch สามารถแสดงได้ในฐานต่อไปนี้ โดยอ้างอิงถึงตัวดำเนินการความหนาแน่น: ${\displaystyle {\vec {a}}=(u,v,w)}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})}$

${\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})}$

${\displaystyle w=\rho _{00}-\rho _{11}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}$

ฐานนี้มักใช้ในทฤษฎีเลเซอร์ ซึ่ง เรียกว่าการผกผันประชากรในฐานนี้ ค่าต่างๆคือความคาดหวังของเมทริกซ์ Pauli ทั้งสาม ทำให้สามารถระบุพิกัดทั้งสามด้วยแกน xy และ z ได้${\displaystyle w}$${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

พิจารณา ระบบกลศาสตร์ควอนตัม nระดับ ระบบนี้อธิบายได้ด้วยปริภูมิฮิลเบิร์ตnมิติH _nปริภูมิสถานะบริสุทธิ์ตามคำนิยามคือเซตของรังสีของ H _n

ทฤษฎีบท . ให้U( n )เป็นกลุ่มลีของเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดnแล้วปริภูมิสถานะบริสุทธิ์ของH _nสามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิ โคเซต กระชับ

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}$

เพื่อพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ โปรดสังเกตว่ามี การกระทำ _ของกลุ่มตามธรรมชาติ ของ U( n ) บนเซตของสถานะของHnการกระทำนี้ต่อเนื่องและถ่ายทอดได้บนสถานะบริสุทธิ์ สำหรับสถานะใดๆกลุ่มไอโซโทรปีของ( กำหนดเป็นเซตขององค์ประกอบ ของ U( n ) ที่) จะสมสัณฐานกับกลุ่มผลคูณ ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}$

ในแง่ของพีชคณิตเชิงเส้น สามารถอธิบายได้ดังนี้U( n ) ใดๆ ที่ทำให้n คงที่ จะต้องมีเวก เตอร์ลักษณะเฉพาะ เป็นn เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันจะต้องเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 ดังนั้นจึงได้ตัวประกอบ U(1) ของกลุ่มไอโซโทรปี ส่วนอื่นๆ ของกลุ่มไอโซโทรปีถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยเมทริกซ์เอกภาพบนส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของn ซึ่งสมมาตรกับ U( n − 1) จากนี้ ข้อความของทฤษฎีบทจึงเป็นไปตามข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับการกระทำของกลุ่มแบบทรานซิทีฟของกลุ่มคอมแพ็กต์ ${\displaystyle g}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

ข้อเท็จจริงสำคัญที่ควรทราบข้างต้นคือกลุ่มเอกภาพกระทำการแบบทรานซิทีฟต่อสถานะบริสุทธิ์

ตอนนี้ มิติ (ที่แท้จริง) U( n ) คือn²ซึ่งเห็นได้ง่ายเนื่องจากแผนที่เลขชี้กำลัง

${\displaystyle A\mapsto e^{iA}}$

เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่ จากปริภูมิของเมทริก ซ์ เชิงซ้อนสมมาตรตัวเองไปยัง U( n ) ปริภูมิของเมทริกซ์เชิงซ้อนสมมาตรตัวเองมีมิติจริงn²

บทสรุป . มิติที่แท้จริงของปริภูมิสถานะบริสุทธิ์ของH _nคือ 2 n − 2

ในความเป็นจริง,

${\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad }$

ลองนำแนวคิดนี้ไปพิจารณามิติที่แท้จริงของ รีจิสเตอร์ควอนตัม m คิวบิต ปริภูมิฮิล เบิ ร์ตที่สอดคล้องกันจะมีมิติ

บทสรุป . มิติที่แท้จริงของปริภูมิสถานะบริสุทธิ์ของรีจิสเตอร์ควอนตัม m คิวบิต คือ 2 − 2

ในทางคณิตศาสตร์ ทรงกลม Bloch สำหรับสถานะสองสปินเนอร์สามารถแมปไปยังทรงกลม Riemann ได้ กล่าว คือพื้นที่ Hilbert แบบโปรเจคทีฟที่มีพื้นที่ Hilbert เชิงซ้อน 2 มิติเป็นพื้นที่แทนของSO(3) [ เมื่อกำหนดสถานะบริสุทธิ์ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$${\displaystyle H_{2}}$

${\displaystyle \alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle }$

โดยที่และเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ถูกทำให้เป็นจำนวนมาตรฐานแล้ว ดังนั้น ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1}$

และโดยที่และกล่าวคือ โดยที่และเป็นฐานและมีการแสดงแทนตรงข้ามกันบนทรงกลมบล็อก แล้วให้ ${\displaystyle \langle \downarrow |\uparrow \rangle =0}$${\displaystyle \langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1}$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

${\displaystyle u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}$

เป็นอัตราส่วนของพวกมัน

หากเรามองว่าทรงกลมบล็อกฝังตัวอยู่ในระนาบโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมีหนึ่ง ระนาบz  = 0 (ซึ่งตัดกับทรงกลมบล็อกที่วงกลมใหญ่ หรือเส้นศูนย์สูตรของทรงกลม) สามารถมองได้ว่าเป็นแผนภาพอาร์แกนด์ให้พล็อตจุดuในระนาบนี้ — เพื่อให้ จุด u มีพิกัดดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$

ลากเส้นตรงผ่านจุดuและผ่านจุดบนทรงกลมที่แทน(ให้ (0,0,1) แทนและ (0,0,−1) แทน) เส้นตรงนี้ตัดกับทรงกลมที่จุดอื่นนอกจาก(ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือเมื่อ นั่นคือเมื่อและ) เรียกจุดนี้ว่าPจุดuบนระนาบz = 0 คือการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกของจุดPบนทรงกลมบล็อก เวกเตอร์ที่มีหางอยู่ที่จุดกำเนิดและปลายอยู่ที่Pคือทิศทางในปริภูมิ 3 มิติที่สอดคล้องกับสปินเนอร์พิกัดของPคือ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle u=\infty }$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \beta \neq 0}$${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

${\displaystyle P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}.}$

การกำหนดกลศาสตร์ควอนตัมในแง่ของสถานะบริสุทธิ์นั้นเพียงพอสำหรับระบบที่แยกตัวออก แต่โดยทั่วไปแล้ว ระบบกลศาสตร์ควอนตัมจำเป็นต้องอธิบายในแง่ของตัวดำเนินการความหนาแน่น ทรงกลมบล็อกไม่เพียงแต่ใช้ในการกำหนดพารามิเตอร์ของสถานะบริสุทธิ์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสถานะผสมสำหรับระบบ 2 ระดับด้วย ตัวดำเนินการความหนาแน่นที่อธิบายสถานะผสมของระบบควอนตัม 2 ระดับ (คิวบิต) สอดคล้องกับจุดภายในทรงกลมบล็อกที่มีพิกัดดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),}$

โดยที่คือความน่าจะเป็นของสถานะแต่ละสถานะภายในกลุ่ม และคือพิกัดของสถานะแต่ละสถานะ (บนพื้นผิวของทรงกลมบล็อก) เซตของจุดทั้งหมดที่อยู่บนและภายในทรงกลมบล็อกเรียกว่าลูกบอลบล็อก${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

สำหรับสถานะที่มีมิติสูงกว่านั้น การขยายแนวคิดนี้ไปยังสถานะผสมทำได้ยาก คำอธิบายเชิงทอพอโลยีมีความซับซ้อนมากขึ้นเนื่องจากกลุ่มเอกภาพไม่กระทำแบบทรานซิทีฟต่อตัวดำเนินการความหนาแน่น ยิ่งไปกว่านั้น วงโคจรยังมีความหลากหลายอย่างมาก ดังที่เห็นได้จากการสังเกตต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทสมมติว่าAเป็นตัวดำเนินการความหนาแน่นบนระบบกลศาสตร์ควอนตัมn ระดับ ซึ่งค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันคือ μ ₁ , ..., μ _kโดยมีจำนวนซ้ำn ₁ , ..., n _kแล้ว กลุ่มของตัวดำเนินการเอกภาพVที่ทำให้VAV * = Aนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิก (ในฐานะกลุ่มลี) กับ

${\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงโคจรของA นั้นมีโครงสร้างเหมือนกับ

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).}$

เป็นไปได้ที่จะขยายการสร้างลูกบอล Bloch ไปยังมิติที่ใหญ่กว่า 2 แต่เรขาคณิตของ "ตัว Bloch" ดังกล่าวจะซับซ้อนกว่าของลูกบอล

ข้อดีที่มีประโยชน์อย่างหนึ่งของการแสดงทรงกลมบล็อกคือวิวัฒนาการของสถานะคิวบิตสามารถอธิบายได้ด้วยการหมุนของทรงกลมบล็อก คำอธิบายที่กระชับที่สุดว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้นก็คือพีชคณิตลีสำหรับกลุ่มเมทริกซ์เอกภาพและเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนนั้นสมมาตรกับพีชคณิตลีของกลุ่มการหมุนสามมิติ[ ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SO(3)}$

การหมุนของทรงกลม Bloch รอบแกนคาร์ทีเซียนในฐาน Bloch จะได้รับจาก

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z}(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

ถ้าเป็นเวกเตอร์หน่วย จริง ในสามมิติ การหมุนของทรงกลมบล็อกรอบแกนนี้จะกำหนดโดย: ${\displaystyle {\hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}\right)}$

สิ่งที่น่าสนใจคือ เมื่อเปลี่ยนชื่อใหม่แล้ว นิพจน์นี้จะเหมือนกับสูตรออยเลอร์แบบขยายสำหรับควอเทอร์เนียน จินตภาพบริสุทธิ์ ทุก ประการ

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Ballentine นำเสนอการพิสูจน์เชิงสัญชาตญาณสำหรับการแปลงเอกภาพอนันต์ ซึ่งมีความสำคัญต่อการทำความเข้าใจว่าเหตุใดการหมุนของทรงกลม Bloch จึงเป็นเลขชี้กำลังของการรวมเชิงเส้นของเมทริกซ์ Pauli ดังนั้นจึงมีการอธิบายสั้นๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้ไว้ที่นี่ คำอธิบายที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นในบริบทกลศาสตร์ควอนตัมสามารถพบได้ที่นี่

พิจารณาตระกูลของตัวดำเนินการเอกภาพ (unitary operator) ที่แสดงถึงการหมุนรอบแกนใดแกนหนึ่ง เนื่องจากการหมุนมีองศาอิสระหนึ่งองศา ตัวดำเนินการจึงกระทำกับฟิลด์ของสเกลาร์ดังนี้: ${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle U(0)=I}$

${\displaystyle U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})}$

ที่ไหน${\displaystyle 0,s_{1},s_{2},\in S}$

เรากำหนดนิยามของเอกภาพอนันต์ (infinitesimal unitary) ว่าเป็นการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ที่ถูกตัดทอนที่อันดับสอง

${\displaystyle U(s)=I+{\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}s+O\left(s^{2}\right)}$

โดยเงื่อนไขเอกภาพ:

${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$

เพราะฉะนั้น

${\displaystyle U^{\dagger }U=I+s\left({\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}\right)+O\left(s^{2}\right)=I}$

เพื่อให้ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริง (โดยสมมติว่ามีค่าเล็กน้อย) เราต้องกำหนดให้ ${\displaystyle O\left(s^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=0}$-

ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ในรูปแบบ:

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=iK}$

โดยที่การแปลงเฮอร์มิเชียนใดๆ และเรียกว่าตัวสร้างของตระกูลเอกภาพ ดังนั้น ${\displaystyle K}$

${\displaystyle U(s)=e^{iKs}}$

เนื่องจากเมทริกซ์ Pauli เป็นเมทริกซ์ Hermitian เอกภาพและมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับฐาน Bloch เราจึงสามารถเห็นได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าการหมุนทรงกลม Bloch รอบแกนใดๆ นั้นอธิบายได้ด้วย ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2)}$

โดยมีตัวสร้างการหมุนที่กำหนดโดย${\displaystyle K={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2.}$

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทรงกลมบล็อก (Bloch spheres )

• การเปลี่ยนผ่านอิเล็กตรอนอะตอม
• พื้นที่ไจโรเวกเตอร์
• เวอร์เซอร์ส
• รายละเอียดการใช้งานเฉพาะของทรงกลมบล็อก (Bloch sphere) ได้ถูกระบุไว้ในบทความเกี่ยวกับคิวบิต (qubit )

• การแสดงภาพทรงกลม Bloch ออนไลน์โดย Konstantin Herb