ในทางคณิตศาสตร์ในสาขาการวิเคราะห์เชิงซ้อนทฤษฎีบทของคาร์ลสันเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับความไม่ซ้ำกันซึ่งค้นพบโดยฟริตซ์ เดวิด คาร์ลสันโดยคร่าวๆ แล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าฟังก์ชันวิเคราะห์สองฟังก์ชัน ที่แตกต่างกัน ซึ่งไม่ได้เติบโตเร็วมากที่อนันต์ จะไม่สามารถทับซ้อนกันได้ที่จำนวนเต็มทฤษฎีบทนี้อาจได้มาจากการทฤษฎีบทของฟรากเมน-ลินเดลอฟซึ่งเป็นส่วนขยายของทฤษฎีบทค่าสัมบูรณ์สูงสุดนั่นเอง

ทฤษฎีบทของคาร์ลสันมักถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ความไม่ซ้ำกันของ การขยายอนุกรม นิวตัน นอกจากนี้ทฤษฎีบทของคาร์ลสันยังมีทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกันซึ่งสามารถนำไปใช้กับการขยายอนุกรมอื่นๆ ได้อีกด้วย

สมมติว่า ฟังก์ชัน fสอดคล้องกับเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้ เงื่อนไขสองข้อแรกจำกัดการเติบโตของfที่อนันต์ ในขณะที่เงื่อนไขข้อที่สามระบุว่าfมีค่าเป็นศูนย์บนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

1. f ( z )เป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ประเภทเลขชี้กำลังซึ่งหมายความว่าค่าจริงบางค่า C , τ$${\displaystyle |f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad z\in \mathbb {C} }$$
2. มีค่าc < π อยู่จริง ซึ่งทำให้$${\displaystyle |f(iy)|\leq Ce^{c|y|},\quad y\in \mathbb {R} }$$
3. f ( n ) = 0สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทุกตัว n

ดังนั้นfจึงมีค่าเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์

สมมติว่าf ( z )เป็นฟังก์ชันที่มีผลต่างไปข้างหน้า แบบจำกัดทั้งหมด พิจารณาอนุกรมนิวตันโดยที่คือสัมประสิทธิ์ทวินามและคือ ผลต่างไปข้างหน้าลำดับที่ nโดยการสร้าง จะได้ว่าf ( k ) = g ( k )สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบk ทั้งหมด ดังนั้นผลต่างh ( k ) = f ( k ) − g ( k ) = 0นี่คือเงื่อนไขหนึ่งของทฤษฎีบทของคาร์ลสัน ถ้าhเป็นไปตามเงื่อนไขอื่นๆ แล้วhจะเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ และผลต่างแบบจำกัดสำหรับfจะกำหนดอนุกรมนิวตันของ f ได้อย่างไม่ซ้ำกัน กล่าวคือ ถ้ามีอนุกรมนิวตันสำหรับfอยู่ และผลต่างเป็นไปตามเงื่อนไขของคาร์ลสันแล้วfจะมีเพียงหนึ่งเดียว${\displaystyle \Delta ^{n}f(0)}$$${\displaystyle g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z \choose n}\,\Delta ^{n}f(0)}$$${\textstyle {z \choose n}}$${\displaystyle \Delta ^{n}f(0)}$

• อนุกรมนิวตัน
• ทฤษฎีบทของมาห์เลอร์
• ตารางอนุกรมนิวตัน