คอมมิวเทเตอร์

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ คอมมิวเทเตอร์

ในทางคณิตศาสตร์ตัวสลับ (commutator)บ่งบอกถึงระดับที่การดำเนินการทวิภาค บางอย่าง ไม่เป็นไปตาม คุณสมบัติ การสลับที่มีนิยามที่แตกต่างกันที่ใช้ในทฤษฎีกลุ่มและทฤษฎีวงแหวน

Q: ทฤษฎีกลุ่ม

ตัว สลับตำแหน่ง ของธาตุ g และ h สอง ตัวใน กลุ่ม G คือธาตุ

Q: อัตลักษณ์ (ทฤษฎีกลุ่ม)

เอกลักษณ์คอมมิวเท เตอร์เป็นเครื่องมือสำคัญในทฤษฎี กลุ่ม [ 3 ] นิพจน์ a x หมายถึง คอนจูเกต ของ a โดย x ซึ่งกำหนดเป็น x −1 ax

Q: ทฤษฎีวงแหวน

โดยทั่วไปแล้ว ริง มักไม่รองรับการหาร ดังนั้น ตัวสลับเปลี่ยน ของสมาชิกสองตัวคือ a และ b ในริง (หรือ พีชคณิตแบบเชื่อมโยง ใดๆ ) จึงถูกนิยามแตกต่างกันไป

ในทางคณิตศาสตร์ตัวสลับ (commutator)บ่งบอกถึงระดับที่การดำเนินการทวิภาค บางอย่าง ไม่เป็นไปตาม คุณสมบัติ การสลับที่มีนิยามที่แตกต่างกันที่ใช้ในทฤษฎีกลุ่มและทฤษฎีวงแหวน

ทฤษฎีกลุ่ม

ตัวสลับตำแหน่งของธาตุ $g$ และ $h$ สอง ตัวในกลุ่ม $G$ คือธาตุ

[g, h] = g -1 h -1 gh

. ^{[ 1 ]}

องค์ประกอบนี้จะเท่ากับเอกลักษณ์ของกลุ่มก็ต่อเมื่อ $g$ และ $h$ สลับที่กันได้ (นั่นคือ ก็ต่อเมื่อ $gh = hg$ )

โดยทั่วไปแล้ว เซตของตัวสลับทั้งหมดของกลุ่มจะไม่ปิดภายใต้การดำเนินการของกลุ่ม แต่กลุ่มย่อยของG ที่สร้างขึ้นโดยตัวสลับทั้งหมดนั้นปิด และเรียกว่ากลุ่มอนุพันธ์หรือกลุ่มย่อยตัวสลับของGตัวสลับใช้ในการกำหนด กลุ่ม นิลโพเท นต์ และ กลุ่ม แก้ได้รวม ถึง กลุ่มผลหาร อาเบเลียน ที่ใหญ่ที่สุด

นิยามของคอมมิวเทเตอร์ข้างต้นถูกนำมาใช้ตลอดทั้งบทความนี้ แต่ทฤษฎีกลุ่มหลายแขนงนิยามคอมมิวเทเตอร์ไว้ดังนี้

[g, h] = ghg ​​-1 h -1

. ^{[ 2 ]}

โดยใช้นิยามแรก สามารถแสดงได้เป็น $[g -1, h -1]$

อัตลักษณ์ (ทฤษฎีกลุ่ม)

เอกลักษณ์คอมมิวเท เตอร์เป็นเครื่องมือสำคัญในทฤษฎีกลุ่ม^{[ 3 ]}นิพจน์ $a x$ หมายถึงคอนจูเกตของ $a$ โดย $x$ ซึ่งกำหนดเป็น $x -1 ax$

$x^{y}=x[x,y].$
$[y,x]=[x,y]^{-1}.$
$[x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}$ และ $[xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].$
$\left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}$ และ $\left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.$
$\left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1$ และ $\left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.$

เอกลักษณ์ (5) ยังเป็นที่รู้จักในชื่อเอกลักษณ์ Hall–Wittตามชื่อของPhilip HallและErnst Wittเอกลักษณ์นี้เป็นอนาล็อกเชิงทฤษฎีกลุ่มของเอกลักษณ์ Jacobiสำหรับตัวสลับเชิงทฤษฎีวงแหวน (ดูส่วนถัดไป)

หมายเหตุ คำจำกัดความข้างต้นของคอนจูเกตของa $โดย$ x $ถูก$ ใช้โดยนักทฤษฎีกลุ่มบางคน^{[ 4 ]} นักทฤษฎีกลุ่มอื่น ๆ อีกมากมายกำหนดคอนจูเกตของ $a$ โดย $x$ เป็น $xax -1$ ^{[ 5 ]} ซึ่งมักจะเขียนว่าเอกลักษณ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับข้อตกลงเหล่านี้ ${}^{x}a$

นอกจากนี้ ยังมีการใช้เอกลักษณ์หลายอย่างที่เป็นจริงเมื่อพิจารณาโมดูลัสของกลุ่มย่อยบางกลุ่ม เอกลักษณ์เหล่านี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการศึกษากลุ่มที่แก้ได้และกลุ่มนิลโพเทนต์ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มใดๆ ก็ตาม กำลังสองจะมีพฤติกรรมที่ดี:

(xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].

ถ้ากลุ่มย่อยที่ได้มานั้นเป็นศูนย์กลางแล้ว

(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.

ทฤษฎีวงแหวน

โดยทั่วไปแล้ว ริงมักไม่รองรับการหาร ดังนั้นตัวสลับเปลี่ยนของสมาชิกสองตัวคือaและbในริง (หรือพีชคณิตแบบเชื่อมโยง ใดๆ ) จึงถูกนิยามแตกต่างกันไป

[a,b]=ab-ba.

ตัวสลับเปลี่ยนจะมีค่าเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อaและbสลับเปลี่ยนกันได้ ในพีชคณิตเชิงเส้นถ้า เอน โดมอร์ฟิซึม สองตัว ของปริภูมิหนึ่งถูกแทนด้วยเมทริกซ์ที่สลับเปลี่ยนกันได้ในรูปของฐานหนึ่งฐานแล้ว เอนโดมอร์ฟิซึมทั้งสองนั้นก็จะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ที่สลับเปลี่ยนกันได้ในรูปของฐานทุกฐานเช่นกัน โดยการใช้ตัวสลับเปลี่ยนกันเป็นวงเล็บลีทุกพีชคณิตแบบสมาคมสามารถเปลี่ยนเป็นพีชคณิตลีได้

ตัวผกผันการสลับตำแหน่งของสมาชิกสองตัวคือ $a$ และ $b$ ในริงหรือพีชคณิตแบบเชื่อมโยง ถูกกำหนดโดย

\{a,b\}=ab+ba.

บางครั้งใช้เพื่อแสดงถึงแอนติคอมมิวเทเตอร์ ในขณะที่ใช้สำหรับคอมมิวเทเตอร์^[⁶^]แอนติคอมมิวเทเตอร์ถูกใช้น้อยกว่า แต่สามารถใช้เพื่อกำหนดพีชคณิตคลิฟฟอร์ดและพีชคณิตจอร์แดนและในการหาอนุพันธ์ของสมการดิแรกในฟิสิกส์อนุภาค $[a,b]_{+}$ $[a,b]_{-}$

ตัวสลับของตัวดำเนินการสองตัวที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นแนวคิดหลักในกลศาสตร์ควอนตัม เนื่องจากมันวัดปริมาณว่า สามารถวัดค่าสังเกตสองตัวที่อธิบายโดยตัวดำเนินการเหล่านี้พร้อมกันได้ดีเพียงใดหลักการความไม่แน่นอนเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับตัวสลับดังกล่าวในที่สุด โดยอาศัยความสัมพันธ์ของโรเบิร์ตสัน-ชโรดิงเกอร์ [ ^{7 ] ใน}ปริภูมิเฟสตัวสลับที่เทียบเท่ากันของผลคูณดาว ของฟังก์ชัน เรียกว่าวงเล็บโมยาลและมีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์กับโครงสร้างตัวสลับของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่กล่าวถึง

เอกลักษณ์ (ทฤษฎีวงแหวน)

ตัวสลับสวิตช์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

เอกลักษณ์พีชคณิตลี

$[A+B,C]=[A,C]+[B,C]$
$[A,A]=0$
$[A,B]=-[B,A]$
$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$

ความสัมพันธ์ (3) เรียกว่าการสลับตำแหน่งแบบผกผันในขณะที่ (4) คือเอกลักษณ์ของจาโคบี

อัตลักษณ์เพิ่มเติม

$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$
$[A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]$
$[AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B$
$[[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]$

ถ้า $A$ เป็นสมาชิกคงที่ของริงRเอกลักษณ์ (1) สามารถตีความได้ว่าเป็นกฎของไลบ์นิซสำหรับแผนที่ที่กำหนดโดย กล่าวอีกนัยหนึ่ง แผนที่ ad กำหนดอนุพันธ์บนริงRเอกลักษณ์ (2), (3) แสดงถึงกฎของไลบ์นิซสำหรับปัจจัยมากกว่าสองตัว และใช้ได้กับอนุพันธ์ใดๆ เอกลักษณ์ (4)–(6) ก็สามารถตีความได้ว่าเป็นกฎของไลบ์นิซเช่นกัน เอกลักษณ์ (7), (8) แสดงถึงความเป็นเชิงเส้นZ $\operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R$ $\operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]$

จากเอกลักษณ์ (9) พบว่าตัวสลับตำแหน่งของกำลังจำนวนเต็มขององค์ประกอบวงแหวนคือ:

[A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]B^{M-m-1}A^{N-n-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{m}A^{n}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}

เอกลักษณ์บางส่วนข้างต้นสามารถขยายไปยังแอนติคอมมิวเทเตอร์โดยใช้สัญลักษณ์ ± ข้างต้นได้^{[ 8 ]} ตัวอย่างเช่น:

$[AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B$
$[AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B$
$[[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]$
$\left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0$
$[A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}$
$[A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }$

เอกลักษณ์เลขชี้กำลัง

พิจารณาวงแหวนหรือพีชคณิตที่ สามารถกำหนดนิยามของ เลขชี้กำลัง ได้อย่างมีความหมาย เช่นพีชคณิตบานาคหรือวงแหวนของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม $e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots$

ในวงแหวนดังกล่าวบทพิสูจน์ของ Hadamardที่ใช้กับคอมมิวเทเตอร์แบบซ้อนกันจะให้ผลลัพธ์ดังนี้: (สำหรับนิพจน์สุดท้าย โปรดดูการหาอนุพันธ์แอดจอยต์ด้านล่าง) สูตรนี้เป็นพื้นฐานของการขยาย Baker–Campbell–Hausdorffของ log(exp( A ) exp( B )) ${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$

การขยายที่คล้ายกันนี้แสดงตัวสลับกลุ่มของนิพจน์(คล้ายกับองค์ประกอบของกลุ่มลี ) ในรูปของชุดตัวสลับที่ซ้อนกัน (วงเล็บลี) $e^{A}$ $e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).$

วงแหวนและพีชคณิตแบบแบ่งระดับ

เมื่อพิจารณาพีชคณิตแบบแบ่งระดับ คอมมิวเทเตอร์มักจะถูกแทนที่ด้วยคอมมิวเทเตอร์แบบแบ่งระดับซึ่งกำหนดไว้ในส่วนประกอบเอกพันธุ์ดังนี้

[\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .

การอนุพันธ์ผกผัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากต้องจัดการกับคอมมิวเทเตอร์หลายตัวในริงRสัญกรณ์อีกแบบหนึ่งจะดูมีประโยชน์ สำหรับสมาชิกเรากำหนดการแมปผกผันโดย: $x\in R$ $\mathrm {ad} _{x}:R\to R$

\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.

การแมปนี้เป็นการหาอนุพันธ์บนวงแหวนR :

\mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).

ตามเอกลักษณ์ของจาโคบีมันยังเป็นการหาอนุพันธ์เหนือการดำเนินการสลับตำแหน่งด้วย:

\mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].

เมื่อสร้างการแมปดังกล่าว เราจะได้ตัวอย่างเช่นและเราอาจพิจารณาว่าตัวมันเองเป็นการแมปโดยที่คือวงแหวนของการแมปจากRไปยังตัวมันเอง โดยมีการประกอบเป็นการดำเนินการคูณ จากนั้นจะเป็น โฮโมมอร์ฟิซึม ของพีชคณิตลีซึ่งรักษาตัวสลับไว้: $\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]$ $\operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].$ $\mathrm {ad}$ $\mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)$ $\mathrm {End} (R)$ $\mathrm {ad}$

\operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].

ในทางตรงกันข้าม มันไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนเสมอไป โดยปกติแล้ว... $\operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}$

กฎทั่วไปของไลบ์นิซ

กฎทั่วไปของไลบ์นิซซึ่งขยายอนุพันธ์ซ้ำๆ ของผลคูณ สามารถเขียนในเชิงนามธรรมได้โดยใช้การแสดงแทนแบบแอดจอยต์:

x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.

เมื่อแทนที่ด้วยตัวดำเนินการหาอนุพันธ์และแทนที่ด้วยตัวดำเนินการคูณเราจะได้และเมื่อนำทั้งสองข้างไปใช้กับฟังก์ชันgเอกลักษณ์นี้จะกลายเป็นกฎของไลบ์นิซตามปกติสำหรับอนุพันธ์อันดับที่n $x$ $\partial$ $y$ $m_{f}:g\mapsto fg$ $\operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}$ $\partial ^{n}\!(fg)$

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑เฮอร์สไตน์ (1975 , หน้า252)
↑เฟรลีย์ (1976 , หน้า108)
↑แม็คเคย์ (2000 , หน้า4)
↑เฮอร์สไตน์ (1975 , หน้า83)
↑เฟรลีย์ (1976 , หน้า128)
↑แม็กมาฮอน (2008)
↑ลิบอฟฟ์ (2003 , หน้า140–142)
↑ลาฟรอฟ (2014)

อ่านเพิ่มเติม

McKenzie, R. ; Snow, J. (2005), "Congruence modular varieties: commutator theory" , ใน Kudryavtsev, VB; Rosenberg, IG (eds.), Structural Theory of Automata, Semigroups, and Universal Algebra , NATO Science Series II, vol. 207, Springer, pp. 273– 329, doi : 10.1007/1-4020-3817-8_11 , ISBN 9781402038174

ลิงก์ภายนอก

"คอมมิวเทเตอร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]

[1] เฮอร์สไตน์ (1975 , หน้า252)

[2] เฟรลีย์ (1976 , หน้า108)

[3] แม็คเคย์ (2000 , หน้า4)

[4] เฮอร์สไตน์ (1975 , หน้า83)

[5] เฟรลีย์ (1976 , หน้า128)

[6] แม็กมาฮอน (2008)

[7] ลิบอฟฟ์ (2003 , หน้า140–142)

[8] ลาฟรอฟ (2014)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

7 ] ใน

[ 8 ]