แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปหรือแบบจำลองการถดถอยหลายตัวแปรทั่วไปเป็นวิธีที่กระชับในการเขียน แบบจำลอง การถดถอยเชิงเส้นหลายตัวพร้อม กันหลายแบบ ในแง่นั้นมันไม่ใช่แบบจำลองเชิงเส้นทาง สถิติที่แยกต่างหาก แบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นหลายตัวต่างๆ สามารถเขียนได้อย่างกระชับดังนี้^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,}$

โดยที่Yคือเมทริกซ์ที่มีชุดการวัดแบบหลายตัวแปร (แต่ละคอลัมน์เป็นชุดการวัดของตัวแปรตามตัวใด ตัวหนึ่ง ) Xคือเมทริกซ์ของการสังเกตตัวแปรอิสระซึ่งอาจเป็นเมทริกซ์การออกแบบ (แต่ละคอลัมน์เป็นชุดการสังเกตของตัวแปรอิสระตัวใดตัวหนึ่ง) Bคือเมทริกซ์ที่มีพารามิเตอร์ที่มักจะต้องประมาณค่า และUคือเมทริกซ์ที่มีข้อผิดพลาด (สัญญาณรบกวน) โดยทั่วไปจะถือว่าข้อผิดพลาดไม่มีความสัมพันธ์กันระหว่างการวัด และเป็นไปตามการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรหากข้อผิดพลาดไม่เป็นไปตามการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรอาจใช้แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปเพื่อลดข้อสมมติเกี่ยวกับYและU

แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไป (GLM) ครอบคลุมแบบจำลองทางสถิติหลายแบบ รวมถึงANOVA , ANCOVA , MANOVA , MANCOVAและการถดถอยเชิงเส้นแบบ ธรรมดา ภายในกรอบนี้ สามารถใช้ การทดสอบtและการทดสอบFได้ แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปเป็นการขยายความของการถดถอยเชิงเส้นหลายตัวแปรไปยังกรณีที่มีตัวแปรตามมากกว่าหนึ่งตัว หากY , BและUเป็นเวกเตอร์คอลัมน์สมการเมทริกซ์ข้างต้นจะแสดงถึงการถดถอยเชิงเส้นหลายตัวแปร

การทดสอบสมมติฐานด้วยแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปสามารถทำได้สองวิธี คือแบบหลายตัวแปรหรือ แบบทดสอบ ตัวแปร เดียวอิสระหลายๆ ครั้ง ในการทดสอบแบบหลายตัวแปรนั้น คอลัมน์ของYจะถูกทดสอบพร้อมกัน ในขณะที่ในการทดสอบแบบตัวแปรเดียว คอลัมน์ของYจะถูกทดสอบอย่างอิสระ กล่าวคือ เป็นการทดสอบตัวแปรเดียวหลายๆ ครั้งโดยใช้เมทริกซ์การออกแบบเดียวกัน

การถดถอยเชิงเส้นหลายตัวแปรเป็นการขยายผลของการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายไปสู่กรณีที่มีตัวแปรอิสระมากกว่าหนึ่งตัว และเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปที่จำกัดไว้ที่ตัวแปรตามเพียงตัวเดียว แบบจำลองพื้นฐานสำหรับการถดถอยเชิงเส้นหลายตัวแปรคือ

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}}$หรือกระชับยิ่งขึ้น${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\sum \limits _{k=1}^{p}{\beta _{k}X_{ik}}+\epsilon _{i}}$

สำหรับการสังเกตแต่ละครั้งi = 1, ... , n

ในสูตรข้างต้น เราพิจารณา การสังเกต nครั้งของตัวแปรตามหนึ่งตัว และ ตัวแปรอิสระ pตัว ดังนั้นY คือ การสังเกต ^{ครั้งที่}iของตัวแปรตาม, X คือ การสังเกต ^{ครั้งที่}iของตัวแปรอิสระตัว^ที่k , k = 1, 2, ..., pค่าβkแทนพารามิเตอร์ที่จะประมาณค่า และε คือ^ค่าความคลาดเคลื่อนปกติที่มีการแจกแจงเหมือนกันและเป็นอิสระตัวที่i

ในการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นหลายตัวแปรแบบทั่วไป จะมีสมการหนึ่งสมการในรูปแบบข้างต้นสำหรับ ตัวแปรตาม m > 1 ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีชุดตัวแปรอิสระเดียวกัน และดังนั้นจึงได้รับการประมาณค่าพร้อมกัน:

${\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{i1}+\beta _{2j}X_{i2}+\ldots +\beta _{pj}X_{ip}+\epsilon _{ij}}$หรือกระชับยิ่งขึ้น${\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\sum \limits _{k=1}^{p}{\beta _{kj}X_{ik}}+\epsilon _{ij}}$

สำหรับ ข้อมูลสังเกตการณ์ทั้งหมดที่มีดัชนีเป็นi = 1, ... , nและสำหรับตัวแปรตามทั้งหมดที่มีดัชนีเป็นj = 1 , ... , m

โปรดทราบว่า เนื่องจากตัวแปรตามแต่ละตัวมีชุดพารามิเตอร์การถดถอยของตนเองที่จะต้องปรับให้เหมาะสม จากมุมมองทางด้านการคำนวณ การถดถอยพหุตัวแปรทั่วไปจึงเป็นเพียงลำดับของการถดถอยเชิงเส้นหลายตัวแปรมาตรฐานโดยใช้ตัวแปรอธิบายเดียวกัน

แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปและแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไป (GLM) ^{[ 2 ] [ 3 ]}เป็นสองตระกูลของวิธีการทางสถิติ ที่ใช้กันทั่วไปในการเชื่อม โยงตัวทำนายแบบต่อเนื่องและ/หรือแบบจัดกลุ่มจำนวนหนึ่งกับตัวแปรผลลัพธ์เดียว

ความแตกต่างหลักระหว่างสองแนวทางนี้คือแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปถือว่าค่าตกค้างจะมีการกระจายแบบปกติแบบมีเงื่อนไข อย่างเคร่งครัด ^{[ 4 ]}ในขณะที่ GLM ผ่อนคลายข้อสมมตินี้และอนุญาตให้มีการกระจาย อื่นๆ ที่หลากหลาย จากตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลสำหรับค่าตกค้าง^{[ 2 ]}แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปเป็นกรณีพิเศษของ GLM ซึ่งการกระจายของค่าตกค้างมีการกระจายแบบปกติแบบมีเงื่อนไข

การกระจายตัวของค่าตกค้างส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับประเภทและการกระจายตัวของตัวแปรผลลัพธ์ ตัวแปรผลลัพธ์ประเภทต่างๆ นำไปสู่ความหลากหลายของแบบจำลองภายในตระกูล GLM แบบจำลองที่ใช้กันทั่วไปในตระกูล GLM ได้แก่การถดถอยโลจิสติกแบบไบนารี^{[ 5 ]}สำหรับผลลัพธ์แบบไบนารีหรือแบบสองทางการถดถอยปัวซอง^{[ 6 ]}สำหรับผลลัพธ์แบบนับ และการถดถอยเชิงเส้นสำหรับผลลัพธ์แบบต่อเนื่องที่มีการกระจายแบบปกติ ซึ่งหมายความว่า GLM อาจถูกกล่าวถึงว่าเป็นตระกูลทั่วไปของแบบจำลองทางสถิติหรือเป็นแบบจำลองเฉพาะสำหรับประเภทผลลัพธ์เฉพาะ

การประยุกต์ใช้แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปปรากฏในการวิเคราะห์การสแกนสมอง หลายครั้ง ในการทดลองทางวิทยาศาสตร์ โดยที่Yประกอบด้วยข้อมูลจากเครื่องสแกนสมอง และXประกอบด้วยตัวแปรการออกแบบการทดลองและตัวแปรแทรกซ้อน โดยปกติจะทดสอบในรูปแบบตัวแปรเดียว (โดยทั่วไปเรียกว่าmass-univariateในบริบทนี้) และมักเรียกว่า การ ทำแผนที่พารามิเตอร์ทางสถิติ^{[ 12 ]}

• การถดถอยเชิงเส้นหลายตัวแปรแบบเบย์เซียน
• การทดสอบ F
• การทดสอบที

• แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไป: คู่มือปฏิบัติสำหรับการตัดสินใจโดยใช้ข้อมูล