คิวโบคตาเฮดรอน
พิมพ์	ทรงเรขาคณิตแบบอาร์คิมีเดียน
ใบหน้า	14
ขอบ	24
จุดยอด	12
การกำหนดค่าจุดยอด	3.4.3.4
สัญลักษณ์ Schläfli	r{4,3}
สัญกรณ์คอนเวย์	เอซี
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
กลุ่มสมมาตร	ทรงแปดเหลี่ยม${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$
มุมไดเฮดรัล ( องศา )	ประมาณ 125°
โพลีเฮดรอนคู่	ทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
คุณสมบัติ	นูน , สมดุลเวกเตอร์, คุณสมบัติของรูเพิร์ต
รูปจุดยอด
สุทธิ

คิวบอกตาเฮดรอน ลูกบาศก์ปรับแก้หรือออกตาเฮดรอนปรับแก้ เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าสามเหลี่ยม 8 หน้าและหน้าสี่เหลี่ยม 6 หน้า คิวบอกตาเฮดรอนมีจุดยอดที่ เหมือนกัน 12 จุด โดยแต่ละจุดมีสามเหลี่ยม 2 รูปและสี่เหลี่ยม 2 รูปมาบรรจบกัน และมีขอบ ที่เหมือนกัน 24 ขอบ โดยแต่ละขอบคั่นระหว่างสามเหลี่ยมกับสี่เหลี่ยม ดังนั้นจึงเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ กล่าว คือ เป็น ทรงตันอาร์คิมีเดียนที่ไม่เพียงแต่สามารถสลับจุดยอดได้แต่ยังสามารถสลับขอบได้ด้วย [ ^{1 ] มัน}เป็น รูปทรงหลายเหลี่ยมด้านเท่าตามแนวรัศมี รูปทรง หลายเหลี่ยมคู่ของมันคือโดเดคาเฮดรอนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สามารถสร้างทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมได้หลายวิธี:

• การสร้างสามารถเริ่มต้นได้โดยการต่อฐานของโดมสามเหลี่ยม ปกติสองอันเข้าด้วยกัน ซึ่งคล้ายกับรูปทรงเรขาคณิตของจอห์นสันแบบหนึ่ง คือ โดม สามเหลี่ยมออร์โธบิคูโพลาความแตกต่างคือ โดมสามเหลี่ยมออร์โธบิคูโพลาถูกสร้างขึ้นโดยบิดโดมหนึ่งอันเพื่อให้หน้าเหลี่ยมที่คล้ายกันอยู่ติดกัน ในขณะที่คิวบอกตาเฮดรอนไม่ได้เป็นเช่นนั้น ดังนั้น คิวบอกตาเฮดรอนจึงอาจเรียกว่า ไจโรบิคูโพ ลาสามเหลี่ยม ได้เช่นกัน ^{[ 2 ]}
• การสร้างสามารถเริ่มต้นจากลูกบาศก์หรือทรงแปดเหลี่ยมปกติโดยทำเครื่องหมายจุดกึ่งกลางของขอบ และตัดจุดยอดทั้งหมดที่จุดเหล่านั้น กระบวนการนี้เรียกว่าการปรับแก้ทำให้ทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมถูกเรียกว่าลูกบาศก์ปรับแก้และทรงแปดเหลี่ยมปรับแก้^{[ 3 ]}
• การสร้างอีกวิธีหนึ่งคือการตัดจุดยอดทั้งหมด ( การตัด ) ของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติออกและลบมุมขอบ กระบวนการนี้เรียกว่าการตัดมุมทำให้ทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมมีชื่อเรียกอีกอย่างว่าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าตัดมุม^{[ 4 ]}

จากโครงสร้างทั้งหมดนี้ คิวบอกตาเฮดรอนมี 14 หน้า ได้แก่ สามเหลี่ยมด้านเท่า 8 รูป และสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 รูป นอกจากนี้ยังมีขอบ 24 เส้น และจุดยอด 12 จุด^{[ 5 ]}

พิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับจุดยอดของคิวบอกตาเฮดรอนที่มีความยาวขอบอยู่ที่จุดกำเนิดคือการเรียงสับเปลี่ยนของ, , และ^{[ 6 ]}${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1)}$${\displaystyle (\pm 1,0,\pm 1)}$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}$

พื้นที่ผิวของทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมสามารถหาได้โดยการรวมพื้นที่ของหน้าเหลี่ยมทั้งหมด ปริมาตรของทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมสามารถหาได้โดยการตัดมันออกเป็นโดมสามเหลี่ยมปกติสองอัน แล้วรวมปริมาตรของโดมทั้งสองเข้าด้วยกัน โดยกำหนดให้ความยาวขอบพื้นที่ผิวและปริมาตรของมันคือ: ^{[ 5 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 9.464a^{2}\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&&\approx 2.357a^{3}.\end{aligned}}}$$

มุมไดเฮดรัลของคิวบอกตาเฮดรอนสามารถคำนวณได้จากมุมของโดมสามเหลี่ยม มุมไดเฮดรัลของโดมสามเหลี่ยมระหว่างสี่เหลี่ยมกับสามเหลี่ยมมีค่าประมาณ 125° มุมไดเฮดรัลระหว่างสี่เหลี่ยมกับหกเหลี่ยมมีค่า 54.7° และมุมไดเฮดรัลระหว่างสามเหลี่ยมกับหกเหลี่ยมมีค่า 70.5° ดังนั้น มุมไดเฮดรัลของคิวบอกตาเฮดรอนระหว่างสี่เหลี่ยมกับสามเหลี่ยม บนขอบที่ฐานของโดมสามเหลี่ยมสองอันติดอยู่ คือ 54.7° + 70.5° ประมาณ 125° ดังนั้น มุมไดเฮดรัลของคิวบอกตาเฮดรอนระหว่างสี่เหลี่ยมกับสามเหลี่ยมจึงมีค่าประมาณ 125° ^{[ 7 ]}มุมที่แน่นอนคือ. ${\displaystyle \arccos(-1/{\sqrt {3}})}$

Buckminster Fullerตั้งข้อสังเกตว่าคิวบอกตาเฮดรอนมีคุณสมบัติที่หายากคือ ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอดเท่ากับความยาวของขอบ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีเวกเตอร์ความยาวเท่ากันในพื้นที่สามมิติ ซึ่งเรียกว่าสมดุลเวกเตอร์ คานแข็งและจุดยอดที่ยืดหยุ่นของคิวบอกตาเฮดรอนยังสามารถแปลงเป็นไอโคซาเฮดรอนปกติออกตาเฮดรอนปกติ และเตตระเฮดรอนปกติได้อย่างต่อเนื่อง Fuller ตั้งชื่อการแปลงนี้ว่าการแปลงแบบจิเตอร์บัก^{[ 8 ]}

คิวบอกตาเฮดรอนมีคุณสมบัติของรูเพิร์ตซึ่งหมายความว่ามีโพลีเฮดรอนที่มีขนาดเท่ากันหรือใหญ่กว่าที่สามารถผ่านรูของมันได้^{[ 9 ]}

คิวบอกตาเฮดรอนเป็นทรงตันอาร์คิมีเดียน หมายความว่าเป็นทรงหลายเหลี่ยมที่มีสมมาตรสูงและกึ่งปกติ โดยมีหน้ารูปหลายเหลี่ยมปกติที่แตกต่างกันสองหน้าขึ้นไปมาบรรจบกันที่จุดยอด^{[ 10 ]}คิวบอกตาเฮดรอนมีสมมาตรสองแบบ ซึ่งเป็นผลมาจากการสร้างดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น คือ สมมาตรเดียวกับทรงแปดเหลี่ยมปกติหรือลูกบาศก์สมมาตรทรงแปดเหลี่ยม และสมมาตรเดียวกับทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติสมมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า [ ^{11 ] หน้า} รูปหลายเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุดคือสามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปและสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูป และ รูปทรงจุดยอด ของคิวบอกตาเฮดรอนคือ 3.4.3.4 ทรงคู่ของคิวบอก ตา เฮดร อนคือทรงสิบสองเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ^{[ 12 ]}${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$

ในทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยม รัศมีด้านยาว (จากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอด) จะเท่ากับความยาวขอบ ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางด้านยาว (จากจุดยอดถึงจุดยอดตรงข้าม) จึงเท่ากับ 2 ความยาวขอบ^{[ 13 ]}จุดศูนย์กลางของมันเปรียบเสมือนจุดยอดของพีระมิดแบบแคนอนิก คืออยู่ห่างจาก จุดยอดอื่นๆ ทั้งหมด เป็นระยะ 1 ความยาวขอบ (ในกรณีของทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยม จุดศูนย์กลางนั้นแท้จริงแล้วคือจุดยอดของพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 อัน และพีระมิดสามเหลี่ยม 8 อัน) สมมาตรด้านเท่าแบบรัศมีนี้เป็นคุณสมบัติของรูปทรง หลายเหลี่ยมเอกรูปเพียงไม่กี่รูปเท่านั้น รวมถึงรูปหกเหลี่ยมสองมิติ ทรงลูกบาศก์ แปดเหลี่ยมสามมิติ และรูปทรงหลายเหลี่ยมสี่มิติแบบ24 เซลล์และ8 เซลล์ (เทสเซอแร็กต์) [ ^{0R/l''-14">14 ] รูป} ทรง หลายเหลี่ยมด้านเท่าแบบรัศมีคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้รัศมีด้านยาวจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยแต่ละรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีส่วนช่วยสองรัศมีและหนึ่งขอบ ดังนั้น องค์ประกอบภายในทั้งหมดที่มาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้จึงมี หน้าด้านในเป็น รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเช่นเดียวกับการแบ่งทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมออกเป็นพีระมิดสี่เหลี่ยม 6 รูป และทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 8 รูป

โพลีโทปที่มีด้านเท่ากันในแนวรัศมีเหล่านี้แต่ละอันยังปรากฏเป็นเซลล์ของการปู พื้นพื้นที่ที่มีลักษณะเฉพาะ ได้แก่ การปูด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ รังผึ้งลูกบาศก์ที่ปรับแก้แล้ว (ของคิวบอกตาเฮดราและออกตาเฮดราสลับกัน) รังผึ้ง 24 เซลล์และรังผึ้งเทสเซอแร็กติกตามลำดับ^{[ 15 ]}การปูพื้นแต่ละแบบมีการปูพื้นแบบคู่ขนาน โดยจุดศูนย์กลางของเซลล์ในการปูพื้นแบบหนึ่งจะเป็นจุดยอดของเซลล์ในการปูพื้นแบบคู่ขนาน การจัดเรียงทรงกลมปกติที่หนาแน่นที่สุดที่รู้จักในสอง สาม และสี่มิติ ใช้จุดศูนย์กลางของเซลล์ของการปูพื้นแบบใดแบบหนึ่งเหล่านี้เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม

เนื่องจากเป็นทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามรัศมีเท่ากัน จุดศูนย์กลางของทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมจึงอยู่ห่างจากจุดยอดทั้ง 12 จุดเป็นระยะทางเท่ากับความยาวของด้านหนึ่ง

ทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมสามารถแสดงได้ในรูปเมทริกซ์การจัดเรียงโดยมีองค์ประกอบจัดกลุ่มตามชั้นการถ่ายทอดสมมาตร เมทริกซ์การจัดเรียงคือเมทริกซ์ที่แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับองค์ประกอบของทรงหลายเหลี่ยม เช่น จุดยอด ขอบ และหน้า แนวทแยงของเมทริกซ์แสดงจำนวนองค์ประกอบแต่ละอย่างที่ปรากฏในทรงหลายเหลี่ยม ในขณะที่ด้านที่ไม่ใช่แนวทแยงของเมทริกซ์แสดงจำนวนองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ปรากฏในหรือที่องค์ประกอบของแถวนั้น

คิวบอกตาเฮดรอนมีคลาสการถ่ายทอด 1 คลาสของจุดยอด 12 จุด คลาสของขอบ 24 ขอบ และคลาสของหน้า 2 คลาส: สามเหลี่ยม 8 รูปและสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 รูป โดยแต่ละองค์ประกอบอยู่ในแนวทแยงของเมทริกซ์^{[ 16 ]}ขอบทั้ง 24 ขอบสามารถมองเห็นได้ในรูปหกเหลี่ยมตรงกลาง 4 รูป

ด้วยสมมาตรทรงแปดเหลี่ยม ( ออร์บิโฟลด์ 432) สี่เหลี่ยมจะมีสมมาตร 4 เท่า สามเหลี่ยมมีสมมาตร 3 เท่า และจุดยอดมีสมมาตร 2 เท่า ส่วนด้วยสมมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า (ออร์บิโฟลด์ 332) จุดยอด 24 จุดจะแยกออกเป็น 2 กลุ่มขอบ และสามเหลี่ยม 8 รูปจะแยกออกเป็น 2 กลุ่มหน้า สมมาตรของสี่เหลี่ยมจะลดลงเหลือ 2 เท่า

สมมาตรทรงแปดเหลี่ยม (432)		สมมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า (332)
	การกำหนดค่า (432) ว1 e 1 ฟ1 เอฟ2 v 1 (Z 2 ) 12 4 2 2 e 1 2 24 1 1 f 1 (Z 3 ) 3 3 8 * f 2 (Z 4 ) 4 4 * 6		การกำหนดค่า (332) ว1 e 1 อี2 ฟ1 เอฟ2 เอฟ3 ว1 12 2 2 1 1 2 e 1 2 12 * 1 0 1 อี2 2 * 12 0 1 1 f 1 (Z 3 ) 3 3 0 4 * * f 2 (Z 3 ) 3 0 3 * 4 * f 3 (Z 2 ) 4 2 2 * * 6

โครงร่างของคิวบอกตาเฮดรอนอาจแสดงเป็นกราฟซึ่งเป็นหนึ่งในกราฟอาร์คิมีเดียนมีจุดยอด 12 จุด และขอบ 24 เส้น เป็นกราฟควอติกซึ่งมีจุดยอดสี่จุดเชื่อมต่อแต่ละจุดยอด^{[ 17 ]}

มีเส้นทางแฮมิลโทเนียนตัวอย่างหนึ่งแสดงไว้ด้านล่างโดยแมปกับเส้นรอบรูป 16 เหลี่ยม โดยองค์ประกอบต่างๆ จะถูกระบายสีตามตำแหน่งการถ่ายทอด^{[ 18 ]}

กราฟของคิวบอกตาเฮดรอนอาจสร้างขึ้นเป็นกราฟเส้นของกราฟลูกบาศก์ทำให้กลายเป็นกราฟเชิงเส้นเฉพาะที่^{[ 19 ]}

ขอบทั้ง 24 ด้านสามารถแบ่งออกเป็น 2 ชุดที่สมมาตรกับสมมาตรทรงสี่หน้าได้ นอกจากนี้ ขอบยังสามารถแบ่งออกเป็น 4 วงหกเหลี่ยม ซึ่งแสดงถึงสมมาตรแบบจุดศูนย์กลางโดยมีเพียงจุดยอดและขอบตรงข้ามเท่านั้นที่อยู่ในชั้นการถ่ายทอดเดียวกัน

ทรงแปดเหลี่ยม (ออ โตมอร์ฟิซึม 48 )		ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า (24 aut)		สมมาตรศูนย์กลาง (2 อัตโนมัติ)	วงจรแฮมิลโทเนียนบนเส้นรอบวง
	การกำหนดค่า \ ว1 e 1 ว1 12 4 e 1 2 24		การกำหนดค่า \ ว1 e 1 อี2 ว1 12 2 2 e 1 2 12 * อี2 2 * 12		การกำหนดค่า \ ว1 เวอร์ชัน2 ว3 e 1 อี2 อี3 ว1 4 * * 2 2 0 เวอร์ชัน2 * 4 * 0 2 2 ว3 * * 4 2 0 2 e 1 1 0 1 8 * * อี2 1 1 0 * 8 * อี3 0 1 1 * * 8

ทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยม (cuboctahedron), ทรงลูกบาศก์ครึ่งแปดเหลี่ยม (cubohemioctahedron ) และทรง แปดครึ่ง แปดเหลี่ยม (octahemioctahedron )

คิวบอกตาเฮดรอนมีโครงสร้าง ร่วมกับโพลีเฮดร อนแบบเอกรูปที่ไม่นูนสองแบบคือคิวโบเฮมิ ออกตาเฮดรอน และ ออกตาเฮมิออกตาเฮ ดรอน โพลีเฮดรอนเหล่านี้สร้างขึ้นจากโครงสร้างของคิวบอกตาเฮดรอน โดยที่ระนาบหกเหลี่ยมทั้งสี่ตัดผ่านเส้นทแยงมุมและตัดผ่านส่วนภายใน การเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสหกรูปหรือสามเหลี่ยมด้านเท่าแปดรูปจะทำให้ได้คิวโบเฮมิโคออกตาเฮดรอนหรือออกตาเฮมิออกตาเฮดรอนตามลำดับ^{[ 20 ]}

คิวบอกตาเฮดรอน2-ครอบคลุมเท ทรา เฮมิเฮกซาเฮดรอน ซึ่งมี รูปทรงจุดยอดนามธรรม เดียวกัน(สามเหลี่ยมสองรูปและสี่เหลี่ยมสองรูป: ) และจุดยอด ขอบ และหน้าครึ่งหนึ่ง (รูปทรงจุดยอดที่แท้จริงของเททราเฮมิเฮกซาเฮดรอนคือโดยมีปัจจัยเนื่องจากกากบาท) ^{[ 21 ]}${\displaystyle 3\cdot 4\cdot 3\cdot 4}$${\textstyle 3\cdot 4\cdot {\frac {3}{2}}\cdot 4}$${\textstyle {\frac {a}{2}}}$

คิวบอกตาเฮดรอนสามารถแบ่งออกเป็นพีระมิดสี่เหลี่ยม 6 อัน และเตตระเฮดรอน 8 อัน ที่มาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลาง การแบ่งส่วนนี้แสดงให้เห็นในรังผึ้งเตตระเฮดรอน-ออกตาเฮดรอนโดยที่พีระมิดสี่เหลี่ยมคู่หนึ่งรวมกันเป็นออกตาเฮดรอน^{[ 22 ]}

เพลโตน่าจะรู้จักทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยม: Heron 's Definitionesอ้าง คำพูดของ อาร์คิมิดีสว่าเพลโตรู้จักทรงตันที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยม 8 รูปและสี่เหลี่ยม 6 รูป^{[ 23 ]}