ในทางทัศนศาสตร์ ลำแสง เกาส์เซียนเป็นลำแสงรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ในอุดมคติ ที่มีแอมพลิจูดในระนาบตามขวางกำหนดโดยฟังก์ชันเกาส์เซียนซึ่งหมายความว่า โปรไฟล์ ความเข้ม (การแผ่รังสี) ก็เป็นเกาส์เซียนด้วย โหมดเกาส์เซียน ตามขวางพื้นฐาน (หรือ TEM ₀₀ ) นี้ อธิบายถึงเอาต์พุตที่ต้องการของเลเซอร์ หลายชนิด เนื่องจากลำแสงดังกล่าวมีการเบี่ยงเบนน้อยกว่าและสามารถโฟกัสได้ดีกว่าลำแสงอื่นๆ เมื่อลำแสงเกาส์เซียนถูกโฟกัสใหม่โดยเลนส์ ในอุดมคติ จะได้ลำแสง เกาส์เซียนใหม่ โปรไฟล์แอมพลิจูดของสนาม ไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กตามแนวลำแสงเกาส์เซียนวงกลมที่มีความยาวคลื่นและโพลาไรเซชัน ที่กำหนด จะถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์สองตัว ได้แก่เอวw ₀ซึ่งเป็นการวัดความกว้างของลำแสงที่จุดแคบที่สุด และตำแหน่งzสัมพันธ์กับเอว^{[ 1 ]}

เนื่องจากฟังก์ชันเกาส์เซียนมีขอบเขตอนันต์ ลำแสงเกาส์เซียนที่สมบูรณ์แบบจึงไม่มีอยู่จริงในธรรมชาติ และขอบของลำแสงดังกล่าวจะถูกตัดออกโดยเลนส์หรือกระจกที่มีขนาดจำกัด อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเกาส์เซียนเป็นค่าประมาณที่มีประโยชน์สำหรับลำแสงในโลกแห่งความเป็นจริงในกรณีที่เลนส์หรือกระจกในลำแสงมีขนาดใหญ่กว่าขนาดจุดw ( z ) ของลำแสง อย่างมาก

โดยพื้นฐานแล้ว ฟังก์ชันเกาส์เซียนเป็นคำตอบของสมการเฮล์มโฮลทซ์ แบบพาราแอ็ กเซียล ซึ่งเป็นสมการคลื่นสำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า แม้ว่าจะมีคำตอบอื่นๆ อีก แต่ตระกูลคำตอบเกาส์เซียนนั้นมีประโยชน์สำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับลำแสงขนาดกะทัดรัด

สมการด้านล่างนี้ถือว่าลำแสงมีหน้าตัดเป็นวงกลมที่ค่าz ทุกค่า ซึ่งสามารถสังเกตได้จากการปรากฏของมิติตามขวางเพียงมิติเดียวคือrลำแสงที่มี หน้าตัดเป็นรูป วงรีหรือลำแสงที่มีจุดแคบที่สุดอยู่ที่ตำแหน่งต่างกันในzสำหรับมิติตามขวางทั้งสอง ( ลำแสง แบบแอสติ๊กมาติก ) ก็สามารถอธิบายได้ว่าเป็นลำแสงแบบเกาส์เซียนเช่น _กันแต่จะมีค่าw₀และ ตำแหน่ง z = 0 ที่แตกต่างกัน สำหรับมิติตามขวางทั้งสองคือ xและy

ลำแสงเกาส์เซียนเป็นโหมดแม่เหล็กไฟฟ้าตามขวาง (TEM) [ ^{2 ] นิพจน์}ทางคณิตศาสตร์สำหรับแอมพลิจูดของสนามไฟฟ้าเป็นคำตอบของสมการเฮล์มโฮลทซ์แบบพาราแอ็กเซียล [ ^{1 ] สมมติ}ว่าโพลาไรเซชันอยู่ใน ทิศทาง xและการแพร่กระจายอยู่ใน ทิศทาง + zสนามไฟฟ้าใน สัญกรณ์ เฟเซอร์ (เชิงซ้อน) จะได้รับดังนี้:

$${\displaystyle {\mathbf {E} (r,z)}=E_{0}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left(\!-i\left(kz+k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}-\psi (z)\right)\!\right)}$$

โดยที่^{[ 1 ] [ 3 ]}

• rคือระยะรัศมีจากแกนกลางของคาน
• zคือระยะทางตามแนวแกนจากจุดโฟกัส (หรือ "จุดแคบที่สุด") ของลำแสง
• iคือหน่วยจินตภาพ
• k = 2 πn / λคือเลขคลื่น (ในหน่วยเรเดียนต่อเมตร) สำหรับความยาวคลื่นในพื้นที่ว่าง λและ nคือดัชนีหักเหของตัวกลางที่ลำแสงเคลื่อนที่ผ่าน
• E ₀ = E (0, 0) , แอมพลิจูดของสนามไฟฟ้าที่จุดกำเนิด ( r = 0 , z = 0 )
• w ( z )คือรัศมีที่แอมพลิจูดของสนามลดลงเหลือ ¹ / eของค่าตามแนวแกน (กล่าวคือ ที่ค่าความเข้มลดลงเหลือ 1/ e²ของค่าตามแนวแกน) ที่ระนาบ zตามแนวลำแสง
• w ₀ = w (0)คือรัศมีเอว
• R ( z )คือรัศมีของความโค้ง ของ หน้าคลื่นของลำแสงที่ตำแหน่ง zและ
• ψ ( z ) = arctan( z / z _R )คือเฟส Gouyที่ zซึ่งเป็นเทอมเฟสพิเศษนอกเหนือจากเฟสที่เกิดจากความเร็วเฟสของแสง

สนามไฟฟ้าทางกายภาพได้มาจากแอมพลิจูดของสนามเฟเซอร์ที่กำหนดไว้ข้างต้น โดยการนำส่วนจริงของแอมพลิจูดมาคูณด้วยตัวประกอบเวลา: โดยที่คือความถี่เชิงมุมของแสง และtคือเวลา ตัวประกอบเวลาเกี่ยวข้องกับข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมาย ที่ไม่ตายตัว ดังที่ได้กล่าวไว้ใน หัวข้อ คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของความทึบแสง § ความกำกวมของคู่สั ง ยุคเชิงซ้อน$${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{phys}}(r,z,t)=\operatorname {Re} (\mathbf {E} (r,z)\cdot e^{i\omega t}),}$$${\textstyle \omega }$

เนื่องจากวิธีแก้ปัญหา นี้ อาศัยการประมาณแบบพาราแอ็กเซียล จึงไม่แม่นยำสำหรับลำแสงที่เบี่ยงเบนอย่างมาก รูปแบบข้างต้นใช้ได้ในกรณีส่วนใหญ่ในทางปฏิบัติ โดยที่w ₀ ≫ λ / n

การกระจาย ความเข้ม (หรือความส่องสว่าง ) ที่สอดคล้องกันนั้นกำหนดโดย

$${\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right),}$$

โดยที่ค่าคงที่ηคืออิมพีแดนซ์คลื่นของตัวกลางที่ลำแสงกำลังเคลื่อนที่ผ่าน สำหรับพื้นที่ว่างη = η ₀ ≈ 377 Ω I ₀ = | E ₀ | ² /2 ηคือความเข้มที่จุดศูนย์กลางของลำแสง ณ จุดที่แคบที่สุด

ถ้าP ₀ คือ กำลังรวมของลำแสง $${\displaystyle I_{0}={2P_{0} \over \pi w_{0}^{2}}.}$$

ที่ตำแหน่งzตามลำแสง (วัดจากจุดโฟกัส) พารามิเตอร์ขนาดจุดwจะได้รับจากความสัมพันธ์ไฮเปอร์โบลิก : ^{[ 1 ]} โดยที่^{[ 1 ]} เรียกว่าช่วงเรย์ลีตามที่กล่าวถึงเพิ่มเติมด้านล่าง และคือดัชนีหักเหของตัวกลาง $${\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}},}$$$${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}}$$${\displaystyle n}$

รัศมีของลำแสงw ( z )ที่ตำแหน่งz ใดๆ ตามแนวลำแสงนั้นสัมพันธ์กับความกว้างเต็มที่ที่ครึ่งค่าสูงสุด (FWHM) ของการกระจายความเข้มที่ตำแหน่งนั้นตาม: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle w(z)={\frac {{\text{FWHM}}(z)}{\sqrt {2\ln 2}}}.}$$

หน้าคลื่นมีความโค้งเป็นศูนย์ (รัศมี = ∞) ที่จุดเอว ความโค้งของหน้าคลื่นจะเพิ่มขึ้นเมื่อห่างจากจุดเอวออกไปจนถึงค่าสุดขีดที่ระยะเรย์ลีห์z = ± z _R (ค่าสูงสุดสำหรับz = + z _Rค่าต่ำสุดสำหรับz = - z _R ) เมื่อเกินระยะเรย์ลีห์| z | > z _Rความโค้งจะลดลงอีกครั้งจนเข้าใกล้ศูนย์เมื่อz → ±∞ความโค้งมักแสดงในรูปของส่วนกลับRซึ่งเป็นรัศมีของความโค้งสำหรับลำแสงเกาส์เซียนพื้นฐาน ความโค้งที่ตำแหน่งzจะกำหนดโดย:

$${\displaystyle {\frac {1}{R(z)}}={\frac {z}{z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}},}$$

ดังนั้นรัศมีของความโค้งR ( z )คือ^{[ 1 ]} เนื่องจากเป็นส่วนกลับของความโค้ง รัศมีของความโค้งจะเปลี่ยนเครื่องหมายและเป็นอนันต์ที่เอวของคานซึ่งความโค้งผ่านศูนย์ $${\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right].}$$

ลำแสงเลเซอร์จำนวนมากมีหน้าตัดเป็นรูปวงรี นอกจากนี้ยังพบลำแสงที่มีตำแหน่งเอวคอดแตกต่างกันในสองมิติแนวขวาง ซึ่งเรียกว่าลำแสงแอสติ๊กมาติก ลำแสงเหล่านี้สามารถจัดการได้โดยใช้สมการวิวัฒนาการสองสมการข้างต้น แต่ใช้ค่าพารามิเตอร์xและy ที่แตกต่างกัน และกำหนด จุด z = 0 ที่แตกต่างกัน เฟสของกูย (Gouy phase) เป็นค่าเดียวที่คำนวณได้อย่างถูกต้องโดยการรวมส่วนประกอบจากแต่ละมิติ โดยเฟสของกูยจะอยู่ในช่วง± π /4ซึ่งแต่ละมิติมีส่วนร่วม

ลำแสงรูปวงรีจะกลับด้านอัตราส่วนความรีเมื่อมันเคลื่อนที่จากบริเวณไกลไปยังบริเวณที่แคบที่สุด มิติที่ใหญ่กว่าในบริเวณไกลจากบริเวณที่แคบที่สุดจะเล็กลงในบริเวณใกล้บริเวณที่แคบที่สุด

คำตอบโดยพลการของสมการเฮล์มโฮลทซ์แบบพาราแอ็กเซียลสามารถแยกออกเป็นผลรวมของโหมดเฮอร์ไมต์-เกาส์เซียน (ซึ่งโปรไฟล์แอมพลิจูดสามารถแยกได้ในxและyโดยใช้พิกัดคาร์ที เซียน) โหมด ลา กูร์-เกาส์เซียน (ซึ่งโปรไฟล์แอมพลิจู ดสามารถแยกได้ในrและθ โดยใช้พิกัดทรงกระบอก ) หรือในทำนองเดียวกันเป็นการรวมกันของโหมดอินซ์-เกาส์เซียน (ซึ่งโปรไฟล์แอมพลิจูดสามารถแยกได้ในξและηโดยใช้พิกัดวงรี ) ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}ณ จุดใด ๆ ตามลำแสงzโหมดเหล่านี้จะมีปัจจัยเกาส์เซียนเดียวกันกับโหมดเกาส์เซียนพื้นฐานที่คูณด้วยปัจจัยทางเรขาคณิตเพิ่มเติมสำหรับโหมดที่ระบุ อย่างไรก็ตาม โหมดต่างๆ จะแพร่กระจายด้วยเฟส Gouy ที่แตกต่างกัน ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมโปรไฟล์ตามขวางสุทธิที่เกิดจากการซ้อนทับของโหมดต่างๆ จึงเปลี่ยนแปลงไปตาม แกน zในขณะที่การแพร่กระจายของ โหมด Hermite–Gaussian (หรือ Laguerre–Gaussian) เดี่ยวๆจะคงรูปแบบเดิมตลอดแนวลำแสง

มีการแยกองค์ประกอบแบบโมด อลอื่นๆ อีก แต่แบบเกาส์เซียนมีประโยชน์สำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับลำแสงขนาดกะทัดรัด กล่าวคือพลังงานแสงถูกจำกัดอย่างใกล้ชิดตามแนวแกน แม้ว่าเลเซอร์จะไม่ทำงานในโหมดเกาส์เซียนพื้นฐาน พลังงานของมันโดยทั่วไปจะอยู่ในกลุ่มโหมดลำดับต่ำสุดเมื่อใช้การแยกองค์ประกอบเหล่านี้ เนื่องจากขอบเขตเชิงพื้นที่ของโหมดลำดับสูงกว่ามีแนวโน้มที่จะเกินขอบเขตของตัวเรโซเนเตอร์ (โพรง) ของเลเซอร์ "ลำแสงเกาส์เซียน" โดยปกติหมายถึงการแผ่รังสีที่จำกัดอยู่ในโหมดเกาส์เซียนพื้นฐาน (TEM ₀₀ )

การพึ่งพาทางเรขาคณิตของสนามของลำแสงเกาส์เซียนนั้นถูกควบคุมโดยความยาวคลื่นของแสงλ ( ในตัวกลางไดอิเล็กทริก หากไม่ใช่ในพื้นที่ว่าง) และพารามิเตอร์ของลำแสง ต่อไปนี้ ซึ่งทั้งหมดเชื่อมโยงกันดังรายละเอียดในส่วนต่อไปนี้

รูปร่างของลำแสงเกาส์เซียนที่มีความยาวคลื่นλ ที่กำหนด _นั้นถูกควบคุมโดยพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว นั่นคือ ขนาดลำแสงw₀ซึ่งเป็นการวัดขนาดของลำแสง ณ จุดโฟกัส ( z = 0ในสมการข้างต้น) ที่ความกว้างของลำแสงw ( z ) (ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น) มีค่าน้อยที่สุด (และในทำนองเดียวกัน ณ จุดที่ความเข้มบนแกน ( r = 0 ) มีค่ามากที่สุด) ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นw ( z )และ w₀ เป็นการวัดรัศมีของลำแสง ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง ดังแสดง _ในแผนภาพ

จากพารามิเตอร์นี้ จะสามารถกำหนดพารามิเตอร์อื่นๆ ที่อธิบายรูปทรงเรขาคณิตของลำแสงได้ ซึ่งรวมถึงระยะเรย์ลีz _Rและการเบี่ยงเบนของลำแสงแบบไม่จำกัดθดังรายละเอียดด้านล่าง

ระยะทางเรย์ลีหรือระยะเรย์ลีz _Rถูกกำหนดโดยพิจารณาจากขนาดเอวของลำแสงเกาส์เซียน:

$${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}.}$$

ในที่นี้λคือความยาวคลื่นของแสง และnคือดัชนีหักเห ที่ระยะห่างจากเอวเท่ากับระยะเรย์ลีz _Rความกว้างwของลำแสงจะมากกว่าที่จุดโฟกัสซึ่งw = w _{0 ซึ่งเป็นเอวของลำแสงอยู่} √ 2นั่นหมายความว่าความเข้มบนแกน ( r = 0 ) ที่นั่นจะเป็นครึ่งหนึ่งของความเข้มสูงสุด (ที่z = 0 ) จุดนั้นตามแนวลำแสงยังเป็นจุดที่ความโค้งของหน้าคลื่น ( 1/ R ) มีค่ามากที่สุดด้วย^{[ 1 ]}

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดz = ± z _Rเรียกว่าพารามิเตอร์คอนโฟกัลหรือความลึกของโฟกัสของลำแสง^{[ 8 ]}

ส่วนหางของฟังก์ชันเกาส์เซียนนั้นไม่เคยเข้าใกล้ศูนย์อย่างแท้จริง แต่เพื่อจุดประสงค์ในการอธิบายต่อไปนี้ "ขอบ" ของลำแสงคือรัศมีที่r = w ( z )นั่นคือจุดที่ความเข้มลดลงเหลือ1/ ^e² ของค่าบนแกนกลาง สำหรับz ≫ zRพารามิเตอร์w ( z ₎ จะ เพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามzซึ่งหมายความว่าไกลจากจุดเอว ลำแสง "ขอบ" (ในความหมายข้างต้น) จะมีรูปร่างเป็นกรวย มุมระหว่างกรวยนั้น (ซึ่งr = w ( z ) ) และแกนของลำแสง ( r = 0 ) จะกำหนดการกระจายตัวของลำแสง: $${\displaystyle \theta =\lim _{z\to \infty }\arctan \left({\frac {w(z)}{z}}\right).}$$

ในกรณีพาราแอ็กเซียล ดังที่เราได้พิจารณาไว้θ (ในหน่วยเรเดียน) จะมีค่าโดยประมาณดังนี้^{[ 1 ]}$${\displaystyle \theta ={\frac {\lambda }{\pi nw_{0}}}}$$

โดยที่nคือดัชนีหักเหของตัวกลางที่ลำแสงเคลื่อนที่ผ่าน และλคือความยาวคลื่นในสุญญากาศ มุมกระจายทั้งหมดของลำแสงที่กระจายออก หรือมุมยอดของกรวยที่อธิบายไว้ข้างต้น จะกำหนดโดย $${\displaystyle \Theta =2\theta \,.}$$

กรวยนั้นจะบรรจุพลังงาน 86% ของพลังงานทั้งหมดของลำแสงเกาส์เซียน

เนื่องจากการเบี่ยงเบนแปรผกผันกับขนาดของจุดโฟกัส สำหรับความยาวคลื่นλ ที่กำหนด ลำแสงเกาส์เซียนที่โฟกัสไปยังจุดเล็กๆ จะเบี่ยงเบนอย่างรวดเร็วเมื่อมันเคลื่อนที่ออกไปจากจุดโฟกัส ในทางกลับกัน เพื่อลดการเบี่ยงเบนของลำแสงเลเซอร์ในระยะไกล (และเพิ่มความเข้มสูงสุดที่ระยะทางไกล) ลำแสงจะต้องมีพื้นที่หน้าตัดขนาดใหญ่ ( w₀ ₎ที่จุดแคบที่สุด (และดังนั้นจึงมีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ ณ จุดที่ปล่อยออกมา เนื่องจากw ( z )จะไม่น้อยกว่าw₀ ₎ความสัมพันธ์ระหว่างความกว้างของลำแสงและการเบี่ยงเบนนี้เป็นลักษณะพื้นฐานของการเลี้ยวเบนและของการแปลงฟูริเยร์ซึ่งอธิบายการเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์ลำแสงที่มีโปรไฟล์แอมพลิจูดที่กำหนดไว้ใดๆ ก็เป็นไปตามความสัมพันธ์ผกผันนี้เช่นกัน แต่โหมดเกาส์เซียนพื้นฐานเป็นกรณีพิเศษที่ผลคูณของขนาดลำแสงที่จุดโฟกัสและการเบี่ยงเบนในระยะไกลมีค่าน้อยกว่ากรณีอื่นๆ

เนื่องจากแบบจำลองลำแสงเกาส์เซียนใช้การประมาณแบบพาราแอ็กเซียล จึงล้มเหลวเมื่อหน้าคลื่นเอียงมากกว่าประมาณ 30° จากแกนของลำแสง^{[ 9 ]}จากนิพจน์ข้างต้นสำหรับการล divergence หมายความว่าแบบจำลองลำแสงเกาส์เซียนมีความแม่นยำเฉพาะสำหรับลำแสงที่มีเอวใหญ่กว่าประมาณ2 λ / πเท่านั้น

_{คุณภาพ ของ}ลำแสงเลเซอร์วัดได้จากค่าผลคูณของพารามิเตอร์ลำแสง (BPP) สำหรับลำแสงเกาส์เซียน ค่า BPP คือผลคูณของค่าการเบี่ยงเบนและขนาดเอวของลำแสงw₀ค่า BPP ของลำแสงจริงได้จากการวัดเส้นผ่านศูนย์กลางต่ำสุดและการเบี่ยงเบนในระยะไกลของลำแสง แล้วนำค่าทั้งสองมาคูณกัน อัตราส่วนของค่า BPP ของลำแสงจริงต่อค่า BPP ของลำแสงเกาส์เซียนในอุดมคติที่ความยาวคลื่นเดียวกันเรียกว่า^{M² (} " M กำลังสอง ") ค่า M²สำหรับลำแสงเกาส์เซียนคือหนึ่ง ลำแสงเลเซอร์จริงทั้งหมดมี ค่า M²มากกว่าหนึ่ง แม้ว่าลำแสงคุณภาพสูงมากอาจมีค่าใกล้เคียงกับหนึ่งมาก ^{ก็ตาม}

ค่ารูรับแสงเชิงตัวเลขของลำแสงเกาส์เซียนถูกกำหนดให้เป็นNA = n sin θโดยที่nคือดัชนีหักเหของตัวกลางที่ลำแสงเคลื่อนที่ผ่าน ซึ่งหมายความว่าระยะเรย์ลีมีความสัมพันธ์กับค่ารูรับแสงเชิงตัวเลขโดย $${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {nw_{0}}{\mathrm {NA} }}.}$$

เฟสGouy คือการเปลี่ยนแปลงเฟส ที่ค่อยๆ เกิดขึ้นกับลำแสงรอบบริเวณโฟกัส ที่ตำแหน่งzเฟส Gouy ของลำแสงเกาส์เซียนพื้นฐานจะได้รับจาก^{[ 1 ]}$${\displaystyle \psi (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right).}$$

เฟสของกูย (Gouy phase) ส่งผลให้ความยาวคลื่นปรากฏเพิ่มขึ้นใกล้กับจุดเอว ( z ≈ 0 ) ดังนั้นความเร็วเฟสในบริเวณนั้นจึงเกินความเร็วแสง อย่างเป็นทางการ พฤติกรรมที่ดูเหมือนขัดแย้งนี้ต้องเข้าใจว่าเป็น ปรากฏการณ์ ในระยะใกล้ซึ่งการเบี่ยงเบนจากความเร็วเฟสของแสง (เช่นเดียวกับที่เกิดขึ้นกับคลื่นระนาบ ) มีขนาดเล็กมาก ยกเว้นในกรณีของลำแสงที่มีรูรับแสงเชิงตัวเลข ขนาดใหญ่ ซึ่งในกรณีนี้ความโค้งของหน้าคลื่น (ดูส่วนก่อนหน้า) จะเปลี่ยนแปลงอย่างมากในระยะทางเท่ากับความยาวคลื่นเดียว ในทุกกรณีสมการคลื่นจะเป็นจริงในทุกตำแหน่ง

เครื่องหมายของเฟส Gouy ขึ้นอยู่กับข้อกำหนดเครื่องหมายที่เลือกสำหรับเฟเซอร์สนามไฟฟ้า^{[ 10 ]}ด้วย การพึ่งพา e ^iωtเฟส Gouy จะเปลี่ยนจาก- π /2เป็น+ π /2ในขณะที่ด้วย การพึ่งพา e ^{- iωt} เฟส จะเปลี่ยนจาก+ π /2เป็น- π /2ตามแกน

สำหรับลำแสงเกาส์เซียนพื้นฐาน เฟสของกูยส่งผลให้เกิดความคลาดเคลื่อนของเฟสสุทธิเมื่อเทียบกับความเร็วแสงเท่ากับπเรเดียน (ดังนั้นจึงเป็นการกลับเฟส) เมื่อเคลื่อนจากสนามไกลด้านหนึ่งของเอวไปยังสนามไกลอีกด้านหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงเฟสนี้ไม่สามารถสังเกตได้ในการทดลองส่วนใหญ่ อย่างไรก็ตาม มันมีความสำคัญทางทฤษฎีและมีช่วงที่กว้างขึ้นสำหรับ โหมดเกา ส์เซียนลำดับสูงกว่า^{[ 10 ]}

ถ้าลำแสงเกาส์เซียนอยู่ตรงกลางช่อง เปิดวงกลม ที่มีรัศมีrที่ระยะzจากเอวลำแสงพลังงานPที่ผ่านช่องเปิดนั้นคือ^{[ 11 ]}$${\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right],}$$

สำหรับวงกลมที่มีรัศมีr = w ( z )สัดส่วนของพลังงานที่ส่งผ่านวงกลมนั้นคือ $${\displaystyle {\frac {P(w(z),z)}{P_{0}}}=1-e^{-2}\approx 0.865.}$$

ในทำนองเดียวกัน พลังงานของลำแสงประมาณ 90% ไหลผ่านวงกลมที่มีรัศมีr = 1.07 × w ( z ) , 95% ไหลผ่านวงกลมที่มีรัศมีr = 1.224 × w ( z )และ 99% ไหลผ่านวงกลมที่มีรัศมี^r = 1.52 × w ( z ) [ ^{11 ]}

ขนาดจุดและความโค้งของลำแสงเกาส์เซียนเป็นฟังก์ชันของzตามแนวลำแสงยังสามารถเข้ารหัสในพารามิเตอร์ลำแสงเชิงซ้อนq ( z ) ^{[ 12 ] [ 13 ]}ได้ดังนี้: $${\displaystyle q(z)=z+iz_{\mathrm {R} }.}$$

ส่วนกลับของq ( z )ประกอบด้วยความโค้งของหน้าคลื่นและความเข้มสัมพัทธ์บนแกนในส่วนจริงและส่วนจินตนาการตามลำดับ: ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over n\pi w^{2}(z)}.}$$

พารามิเตอร์ลำแสงเชิงซ้อนช่วยลดความซับซ้อนของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของการแพร่กระจายลำแสงเกาส์เซียน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์โพรง เรโซเนเตอร์เชิงแสงโดยใช้เมทริกซ์การถ่ายโอนรังสี

จากนั้น เมื่อใช้รูปแบบนี้ สมการก่อนหน้านี้สำหรับสนามไฟฟ้า (หรือสนามแม่เหล็ก) จะง่ายขึ้นมาก หากเราเรียกuว่าความแรงสนามสัมพัทธ์ของลำแสงเกาส์เซียนรูปวงรี (โดยมีแกนวงรีอยู่ใน ทิศทาง xและy ) แล้ว เราสามารถแยกออกเป็นxและyได้ดังนี้: $${\displaystyle u(x,y,z)=u_{x}(x,z)\,u_{y}(y,z),}$$

ที่ไหน $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}(x,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right),\\u_{y}(y,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\right),\end{aligned}}}$$

โดยที่q _x ( z )และq _y ( z )คือพารามิเตอร์ลำแสงเชิงซ้อนในทิศทาง xและy

สำหรับกรณีทั่วไปของโปรไฟล์คานวงกลมq _x ( z ) = q y ₍ z ) = q ( z )และx ² + y ² = r ²ซึ่งให้ผลลัพธ์^{[ 14 ]}$${\displaystyle u(r,z)={\frac {1}{q(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2q(z)}}\right).}$$

เมื่อลำแสงเกาส์เซียนเคลื่อนที่ผ่านเลนส์บางลำแสงที่ออกมาก็จะเป็นลำแสงเกาส์เซียน (ที่แตกต่างกัน) เช่นกัน โดยมีเงื่อนไขว่าลำแสงนั้นเคลื่อนที่ไปตามแกนสมมาตรทรงกระบอกของเลนส์ และเลนส์นั้นมีขนาดใหญ่กว่าความกว้างของลำแสง ความยาวโฟกัสของเลนส์รัศมีเอวของลำแสงและตำแหน่งเอวของลำแสงขาเข้า สามารถนำมาใช้ในการกำหนดรัศมีเอวและตำแหน่งของลำแสงขาออกได้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle w_{0}'}$${\displaystyle z_{0}'}$

ตามที่ Saleh และ Teich ได้สรุปไว้ ความสัมพันธ์ระหว่างลำแสงขาเข้าและขาออกสามารถพบได้โดยพิจารณาเฟสที่เพิ่มเข้าไปในแต่ละจุดของลำแสงเกาส์เซียนขณะที่มันเคลื่อนที่ผ่านเลนส์^{[ 15 ]} แนวทางอื่นที่ Self เสนอคือการพิจารณาผลของเลนส์บางๆ ที่มีต่อหน้าคลื่นของ ลำแสงเกาส์เซียน ^{[ 16 ]}${\displaystyle (x,y)}$

คำตอบที่ถูกต้องของปัญหาข้างต้นสามารถแสดงออกมาอย่างง่ายๆ ในรูปของกำลังขยาย${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}'&=Mw_{0}\\[1.2ex](z_{0}'-f)&=M^{2}(z_{0}-f).\end{aligned}}}$

กำลังขยาย ซึ่งขึ้นอยู่กับและ(หรือระยะเรย์ลี) จะกำหนดโดย ${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{R}}$

${\displaystyle M={\frac {M_{r}}{\sqrt {1+r^{2}}}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle r={\frac {z_{R}}{z_{0}-f}},\quad M_{r}=\left|{\frac {f}{z_{0}-f}}\right|.}$

นิพจน์ที่เทียบเท่าสำหรับตำแหน่งของลำแสงคือ ${\displaystyle z_{0}'}$

${\displaystyle {\frac {1}{z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{(z_{0}-f)}}}}+{\frac {1}{z_{0}'}}={\frac {1}{f}}.}$

นิพจน์สุดท้ายนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าสมการเลนส์บาง ของทัศนศาสตร์เชิงรังสี จะถูกกู้คืนได้ในกรณีที่ นอกจากนี้ยัง สามารถสังเกตได้ว่าถ้าแล้วลำแสงขาเข้าจะ "ขนานกันอย่างดี" ดังนั้น${\displaystyle \left|\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}}}\right)\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}-f}}\right)\right|\ll 1}$${\displaystyle \left|z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}\right|\gg f}$${\displaystyle z_{0}'\approx f}$

ในบางการใช้งาน การใช้เลนส์นูนเพื่อโฟกัสลำแสงเลเซอร์ให้เป็นจุดเล็ก ๆ นั้นเป็นสิ่งที่พึงประสงค์ ในทางคณิตศาสตร์แล้ว นั่นหมายถึงการลดกำลังขยายให้น้อยที่สุดหากขนาดของลำแสงถูกจำกัดด้วยขนาดของเลนส์ที่มีอยู่ โดยทั่วไปแล้ววิธีที่ดีที่สุดคือการส่งลำแสงขนานที่ ใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ผ่านเลนส์ที่มีความยาวโฟกัสสั้น กล่าวคือโดยการเพิ่มค่าสูงสุดและลดค่าต่ำสุด ในสถานการณ์นี้ การประมาณค่า ซึ่งหมายความว่าและให้ผลลัพธ์ นั้นเป็นสิ่งที่สมเหตุสมผลผลลัพธ์นี้มักจะนำเสนอในรูปแบบ ${\displaystyle M}$${\displaystyle z_{R}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{R}^{2}/(z_{0}-f)^{2}\gg 1}$${\displaystyle M\approx f/z_{R}}$${\displaystyle w_{0}'\approx fw_{0}/z_{R}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2w_{0}'&\approx {\frac {4}{\pi }}\lambda F_{\#}\\[1.2ex]z_{0}'&\approx f\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle F_{\#}={\frac {f}{2w_{0}}},}$

ซึ่งได้มาจากการสมมติว่าตัวกลางมีดัชนีหักเหและแทนค่า โดยมีการนำปัจจัย 2 เข้ามาใช้เนื่องจากนิยมใช้เส้นผ่านศูนย์กลางของลำแสง (beam waist diameter) และแทนรัศมีของลำแสง (waist radii ) และ${\displaystyle n\approx 1}$${\displaystyle z_{R}=\pi w_{0}^{2}/\lambda }$${\displaystyle 2w_{0}'}$${\displaystyle 2w_{0}}$${\displaystyle w_{0}'}$${\displaystyle w_{0}}$

ในกรณีพิเศษของการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าลำแสงเกาส์เซียน (และโหมดเกาส์เซียนลำดับสูงกว่าที่กล่าวถึงด้านล่าง) เป็นคำตอบของสมการคลื่นสำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในพื้นที่ว่างหรือในตัวกลางไดอิเล็กทริกที่เป็นเนื้อเดียวกัน^{[ 17 ]}ซึ่งได้มาจากการรวมสมการของแม็กซ์เวลล์สำหรับเคิร์ลของEและเคิร์ลของHส่งผลให้: โดยที่cคือความเร็วแสงในตัวกลางและUอาจหมายถึงเวกเตอร์สนามไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็กก็ได้ เนื่องจากคำตอบเฉพาะสำหรับอย่างใดอย่างหนึ่งจะกำหนดอีกอย่างหนึ่ง คำตอบของลำแสงเกาส์เซียนใช้ได้เฉพาะใน การประมาณ แบบพาราแอ็ก เซียล เท่านั้น นั่นคือ การแพร่กระจายของคลื่นถูกจำกัดในทิศทางภายในมุมเล็กๆ ของแกน โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปให้เราถือว่าทิศทางนั้นเป็น ทิศทาง + zซึ่งในกรณีนี้ คำตอบUโดยทั่วไปสามารถเขียนได้ในรูปของuซึ่งไม่มีการพึ่งพาเวลาและเปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นในอวกาศ โดยการเปลี่ยนแปลงหลักในเชิงพื้นที่สอดคล้องกับเลขคลื่นkใน ทิศทาง z : ^{[ 17 ]}$${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}},}$$$${\displaystyle U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,.}$$

เมื่อใช้รูปแบบนี้ร่วมกับการประมาณแบบพาราแอ็กเซียล∂ ² u /∂ z ²จึงสามารถละเลยได้โดยพื้นฐาน เนื่องจากคำตอบของสมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าใช้ได้เฉพาะกับโพลาไรเซชันที่ตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจาย ( z ) เท่านั้น เราจึงได้พิจารณาโพลาไรเซชันใน ทิศทาง x โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เพื่อให้เราสามารถแก้สมการสเกลาร์สำหรับu ( x , y , z )ได้

การแทนที่คำตอบนี้ลงในสมการคลื่นข้างต้นจะให้การประมาณแบบพาราแอ็ก เซียล ของสมการคลื่นสเกลาร์: ^{[ 17 ]} การเขียนสมการคลื่นในพิกัดกรวยแสงจะให้สมการนี้โดยไม่ต้องใช้การประมาณใดๆ^{[ 18 ]}ลำแสงเกาส์เซียนที่มีเอวลำแสงw ₀ ใดๆ จะสอดคล้องกับการประมาณแบบพาราแอ็กเซียลของสมการคลื่นสเกลาร์ ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายที่สุดโดยการแสดงคลื่นที่zในรูปของพารามิเตอร์ลำแสงเชิงซ้อนq ( z )ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น มีคำตอบอื่นๆ อีกมากมาย เช่นเดียวกับคำตอบของระบบเชิงเส้น การรวมกันของคำตอบใดๆ (โดยใช้การบวกหรือการคูณด้วยค่าคงที่) ก็ถือเป็นคำตอบเช่นกัน เกาส์เซียนพื้นฐานคือเกาส์เซียนที่ลดผลคูณของขนาดจุดต่ำสุดและการเบี่ยงเบนในระยะไกลให้เหลือน้อยที่สุด ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ในการค้นหาคำตอบแบบพาราแอ็กเซียล และโดยเฉพาะอย่างยิ่งคำตอบที่จะอธิบายรังสีเลเซอร์ที่ไม่ได้ อยู่ ในโหมดเกาส์เซียนพื้นฐาน เราจะมองหาตระกูลของคำตอบที่มีผลคูณของการเบี่ยงเบนและขนาดจุดต่ำสุดที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ การแยกส่วนเชิงตั้งฉากที่สำคัญสองแบบในลักษณะนี้ ได้แก่ โหมด Hermite–Gaussian หรือ Laguerre–Gaussian ซึ่งสอดคล้องกับสมมาตรแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าและแบบวงกลมตามลำดับ ดังรายละเอียดในส่วนถัดไป ในทั้งสองแบบนี้ ลำแสงเกาส์เซียนพื้นฐานที่เราพิจารณาอยู่นั้นเป็นโหมดลำดับต่ำสุด $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}.}$$

เป็นไปได้ที่จะแยกส่วนลำแสงพาราแอ็กเซียลที่สอดคล้องกันโดยใช้ชุดตั้งฉากของโหมด Hermite–Gaussian ที่เรียกว่า ซึ่งแต่ละโหมดจะกำหนดโดยผลคูณของตัวประกอบในxและตัวประกอบในyวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวเป็นไปได้เนื่องจากการแยกตัวในxและyในสมการ Helmholtz พาราแอ็กเซียลตามที่เขียนในพิกัดคาร์ทีเซียน [ ^{19 ] ดังนั้น}เมื่อกำหนดโหมดลำดับ( l , m )ที่อ้างอิงถึง ทิศทาง xและyแอมพลิจูดของสนามไฟฟ้าที่x , y , zอาจกำหนดโดย: โดยที่ตัวประกอบสำหรับ การพึ่งพา xและyแต่ละตัวกำหนดโดย: โดยที่เราใช้พารามิเตอร์ลำแสงเชิงซ้อนq ( z ) (ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น) สำหรับลำแสงที่มีเอวw ₀ที่zจากจุดโฟกัส ในรูปแบบนี้ ตัวประกอบแรกเป็นเพียงค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ชุดของu _Jตั้งฉากกัน ปัจจัยที่สองคือการปรับค่ามาตรฐานเพิ่มเติมที่ขึ้นอยู่กับzซึ่งชดเชยการขยายตัวของขอบเขตเชิงพื้นที่ของโหมดตามw ( z )/ w0 (เนื่องจากปัจจัยสองข้อสุดท้าย) นอกจากนี้ยังประกอบด้วยส่วนหนึ่งของเฟส Gouy ด้วย ปัจจัยที่สามคือเฟสบริสุทธิ์ที่ช่วยเพิ่มการเลื่อนเฟส Gouy สำหรับลำดับ_Jที่ สูง ขึ้น $${\displaystyle E(x,y,z)=u_{l}(x,z)\,u_{m}(y,z)\,\exp(-ikz),}$$$${\displaystyle u_{J}(x,z)=\left({\frac {\sqrt {2/\pi }}{2^{J}\,J!\;w_{0}}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left(-{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right)^{\!\!J/2}\!\!H_{J}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\,\exp \left(\!-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right),}$$

ปัจจัยสองประการสุดท้ายอธิบายถึงความแปรผันเชิงพื้นที่เหนือx (หรือy ) ปัจจัยที่สี่คือพหุนามเฮอร์ไมต์อันดับJ ("รูปแบบของนักฟิสิกส์" กล่าวคือH ₁ ( x ) = 2 x ) ในขณะที่ปัจจัยที่ห้าอธิบายถึงการลดลงของแอมพลิจูดแบบเกาส์เซียนexp(− x ² / w ( z ) ² ) แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่ชัดเจนนักเมื่อใช้ qเชิงซ้อนในเลขชี้กำลัง การขยายเลขชี้กำลังนั้นยังสร้างปัจจัยเฟสในxซึ่งอธิบายถึงความโค้งของหน้าคลื่น ( 1/ R ( z ) ) ที่zตามแนวลำแสง

โดยทั่วไปแล้ว โหมด Hermite–Gaussian จะถูกกำหนดด้วยสัญลักษณ์ "TEM _lm "; ดังนั้นลำแสง Gaussian พื้นฐานจึงอาจเรียกได้ว่า TEM ₀₀ (โดยที่TEMคือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าตามขวาง ) เมื่อคูณu _l ( x , z )และu _m ( y , z )เพื่อให้ได้โปรไฟล์โหมด 2 มิติ และลบการทำให้เป็นมาตรฐานออกเพื่อให้ตัวประกอบนำหน้าเรียกว่าE ₀เราสามารถเขียน โหมด ( l , m )ในรูปแบบที่เข้าถึงได้ง่ายกว่า:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\,H_{l}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{w(z)}}{\Bigg )}\,H_{m}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,y}{w(z)}}{\Bigg )}\times {}\exp \left({-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}(z)}}}\right)\exp \left({-i{\frac {k(x^{2}+y^{2})}{2R(z)}}}\right)\times {}\exp {\big (}i\psi (z){\big )}\exp(-ikz).\end{aligned}}}$$

ในรูปแบบนี้ พารามิเตอร์w ₀เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ จะกำหนดตระกูลของโหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งการปรับขนาดขอบเขตเชิงพื้นที่ของเอวของโหมดพื้นฐานและรูปแบบโหมดอื่นๆ ทั้งหมดที่z = 0เนื่องจากw ₀ , w ( z )และR ( z )มีคำจำกัดความเช่นเดียวกับลำแสงเกาส์เซียนพื้นฐานที่อธิบายไว้ข้างต้นจะเห็นได้ว่าเมื่อl = m = 0เราจะได้ลำแสงเกาส์เซียนพื้นฐานที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ (เนื่องจากH ₀ = 1 ) ความแตกต่างเฉพาะเพียงอย่างเดียวใน โปรไฟล์ xและyที่z ใดๆ เกิดจากปัจจัยพหุนาม Hermite สำหรับลำดับlและmอย่างไรก็ตาม มีการเปลี่ยนแปลงในการวิวัฒนาการของเฟส Gouy ของโหมดต่างๆ ตามz : $${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$$

โดยที่ลำดับรวมของโหมดNถูกกำหนดเป็นN = l + mในขณะที่การเลื่อนเฟสของ Gouy สำหรับโหมด Gaussian พื้นฐาน (0,0) เปลี่ยนแปลงเพียง± π /2เรเดียนตลอดทั้งz (และเพียง± π /4เรเดียนระหว่าง± z _R ) ค่านี้จะเพิ่มขึ้นเป็นปัจจัยN + 1สำหรับโหมดลำดับที่สูงกว่า^{[ 10 ]}

โหมดเกาส์เซียนแบบเฮอร์ไมต์ ซึ่งมีสมมาตรแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์โหมดการแผ่รังสีจากเลเซอร์ที่มีการออกแบบโพรงแบบไม่สมมาตรในลักษณะสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในทางกลับกัน เลเซอร์และระบบที่มีสมมาตรแบบวงกลมสามารถจัดการได้ดีกว่าโดยใช้ชุดโหมดลากูร์-เกาส์เซียนที่แนะนำในส่วนถัดไป

โปรไฟล์ลำแสงที่มีสมมาตรแบบวงกลม (หรือเลเซอร์ที่มีโพรงที่มีสมมาตรแบบทรงกระบอก) มักจะแก้ปัญหาได้ดีที่สุดโดยใช้การแยกส่วนโมดอล Laguerre–Gaussian ^{[ 6 ]}ฟังก์ชันเหล่านี้เขียนในพิกัดทรงกระบอกโดยใช้พหุนาม Laguerre แบบทั่วไปแต่ละโหมดตามขวางจะถูกระบุอีกครั้งโดยใช้จำนวนเต็มสองจำนวน ในกรณีนี้คือดัชนีรัศมีp ≥ 0และดัชนีเชิงมุมlซึ่งอาจเป็นบวกหรือลบ (หรือศูนย์): ^{[ 20 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(r,\phi ,z)={}&C_{lp}^{LG}{\frac {1}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{\!|l|}\exp \!\left(\!-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\!\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\times {}\\&\exp \!\left(\!-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(-il\phi )\,\exp(i\psi (z)),\end{aligned}}}$$

โดยที่L _p ^lคือ พหุนามลากู ร์แบบทั่วไป C^{แอลจีแอ}_ลพีเป็นค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานที่จำเป็น: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle C_{lp}^{LG}={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (p+|l|)!}}}\Rightarrow \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\infty }dr\;r\,|u(r,\phi ,z)|^{2}=1,}$$

w ( z )และ R ( z )มีคำจำกัดความเช่นเดียวกับข้างต้นเช่นเดียวกับโหมด Hermite–Gaussian ลำดับสูงกว่า ขนาดของการเปลี่ยนแปลงเฟส Gouy ของโหมด Laguerre–Gaussian จะถูกขยายด้วยปัจจัย N + 1โดย ในกรณีนี้ หมายเลขโหมดรวม N = | l | + 2p เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ การเปลี่ยนแปลงแอมพลิจูดตามแนวขวางจะอยู่ในสองปัจจัยสุดท้ายในบรรทัดบนของสมการ ซึ่งรวมถึงการลดลงแบบ Gaussian พื้นฐานใน rแต่ตอนนี้คูณด้วยพหุนาม Laguerre ผลกระทบของหมายเลขโหมดการหมุนlนอกเหนือจากการส่งผลต่อพหุนาม Laguerre แล้ว ส่วนใหญ่จะอยู่ในปัจจัยเฟสexp(−ilφ )ซึ่งโปรไฟล์ลำแสงจะเลื่อนไปข้างหน้า (หรือถอยหลัง) ด้วย เฟส 2πที่สมบูรณ์ l เฟสในการหมุนรอบลำแสงหนึ่งรอบ (ใน φ ) นี่เป็นตัวอย่างของกระแสน้ำวนเชิงแสงที่มีประจุเชิงทอพอโลยี lและสามารถเชื่อมโยงกับโมเมนตัมเชิงมุมของแสงในโหมดนั้นได้ $${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$$

ตระกูลโซลูชันที่สมบูรณ์ชุดที่สามสำหรับสมการคลื่นพาราแอ็กเซียลคือโหมด Ince–Gaussian ซึ่งอธิบายลำแสงที่มีรูปทรงเรขาคณิตตามขวางแบบวงรีที่มีลักษณะเฉพาะด้วยความเป็นวงรีโหมด Hermite–Gaussian และ Laguerre–Gaussian เป็นกรณีพิเศษของโหมด Ince–Gaussian สำหรับและตามลำดับ โหมด Ince–Gaussian สามารถเขียนได้โดยใช้พิกัดวงรีและพหุนาม Inceโหมด Ince–Gaussian คู่และ คี่ และกำหนดโดย: ^{[ 7 ]}${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon =\infty }$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle \mathrm {IG} _{p,m}^{\mathrm {e} }}$${\displaystyle \mathrm {IG} _{p,m}^{\mathrm {o} }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {IG} _{p,m}^{\mathrm {e} }\left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)&={\frac {Cw_{0}}{w\left(z\right)}}C_{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)C_{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \mathrm {i} \left(kz+{\frac {kr^{2}}{2R(z)}}-(p+1)\psi (z)\right),\\\mathrm {IG} _{p,m}^{\mathrm {o} }\left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)&={\frac {Sw_{0}}{w\left(z\right)}}S_{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)S_{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \mathrm {i} \left(kz+{\frac {kr^{2}}{2R(z)}}-(p+1)\psi (z)\right),\end{aligned}}}$$โดยที่, คือค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐาน และ, คือ พหุนาม Inceคู่และคี่อันดับและตามลำดับคือเฟส Gouyและ, คือพิกัดวงรีเชิงรัศมีและเชิงมุมที่กำหนดโดย :${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C_{p}^{m}}$${\displaystyle S_{p}^{m}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \psi (z)=\arctan(z/z_{\mathrm {R} })}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \eta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\cosh \xi \cos \eta \,,\\y&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\sinh \xi \sin \eta \,.\end{aligned}}}$$

ใน ระบบพิกัดทรงกระบอกยังมีโหมดคลื่นพาราแอ็กเซียลอีกประเภทหนึ่งที่สำคัญซึ่งแอมพลิจูดเชิงซ้อนเป็นสัดส่วนกับฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกัน

โหมดเหล่านี้มี โปรไฟล์เฟส เอกลักษณ์และเป็นฟังก์ชันเฉพาะของโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรของโฟตอนโปรไฟล์ความเข้มของพวกมันมีลักษณะเป็นวงแหวนสว่างวงเดียว เช่นเดียวกับโหมด Laguerre–Gaussian ความเข้มของพวกมันจะลดลงเป็นศูนย์ที่จุดศูนย์กลาง (บนแกนแสง ) ยกเว้นโหมดพื้นฐาน (0,0) แอมพลิจูดเชิงซ้อนของโหมดสามารถเขียนได้ในรูปของพิกัดรัศมีปกติ (ไร้มิติ) และพิกัดตามยาวปกติดังนี้: ^{[ 23 ]}${\displaystyle \rho =r/w_{0}}$${\displaystyle Z=z/z_{\mathrm {R} }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{{\mathsf {p}}m}(\rho ,\phi ,\mathrm {Z} ){}={}&{\sqrt {\frac {2^{{\mathsf {p}}+|m|+1}}{\pi \Gamma ({\mathsf {p}}+|m|+1)}}}\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}{\Gamma (|m|+1)}}\,i^{|m|+1}\times {}\\&\mathrm {Z} ^{\frac {\mathsf {p}}{2}}\,(\mathrm {Z} +i)^{-\left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}\,\rho ^{|m|}\times {}\\&\exp \left(-{\frac {i\rho ^{2}}{\mathrm {Z} +i}}\right)\,e^{im\phi }\,{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {\mathsf {p}}{2}},|m|+1;{\frac {\rho ^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)\end{aligned}}}$$

โดยที่ดัชนีการหมุนmเป็นจำนวนเต็ม และมีค่าเป็นจำนวนจริงΓ( x )คือฟังก์ชันแกมมาและ₁ F ₁ ( a , b ; x )คือฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่อง ${\displaystyle {\mathsf {p}}\geq -|m|}$

โหมดไฮเปอร์จีโอเมตริก-เกาส์เซียน (HyGG) บางกลุ่มย่อยสามารถระบุได้ว่าเป็นโหมดเบสเซล-เกาส์เซียนที่ดัดแปลง โหมดเกาส์เซียนเอกซ์โพเนนเชียลที่ดัดแปลง^{[ 23 ]}และโหมดลากูร์-เกาส์เซียนที่ดัดแปลง

ชุดของโหมดไฮเปอร์จีโอเมตริก-เกาส์เซียนนั้นสมบูรณ์เกินไปและไม่ใช่ชุดของโหมดตั้งฉากกัน แม้ว่าจะมีโปรไฟล์สนามที่ซับซ้อน แต่โหมด HyGG ก็มีโปรไฟล์ที่เรียบง่ายมากที่จุดแคบที่สุดของลำแสง ( z = 0 ): $${\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{{\mathsf {p}}+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }.}$$

• ลำแสงเบสเซล
• คานทรงหมวกทรงสูง
• เครื่องวัดโปรไฟล์ลำแสงเลเซอร์
• ควาซิออปติกส์

• บทเรียนเกี่ยวกับทัศนศาสตร์ลำแสงเกาส์เซียน เมืองนิวพอร์ต
• โปรแกรมจำลองทางวิทยาศาสตร์เชิงโต้ตอบเกี่ยวกับการโฟกัสลำแสงเกาส์เซียน, ephotonics