ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปสมการสนามของไอน์สไตน์ ( EFEหรือที่รู้จักกันในชื่อสมการของไอน์สไตน์ ) เชื่อมโยงเรขาคณิตของปริภูมิเวลากับการกระจายตัวของสสาร-พลังงานภายในปริภูมิเวลา^{[ 1 ]}

สมการดังกล่าวได้รับการตีพิมพ์โดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ในปี พ.ศ. 2458 ในรูปแบบของสมการเทนเซอร์^{[ 2 ]}ซึ่งเกี่ยวข้องกับท้องถิ่นความโค้งของปริภูมิเวลา (แสดงโดยเทนเซอร์ของไอน์สไตน์) พร้อมด้วยพลังงานโมเมนตัมและความเครียดเฉพาะที่ภายในปริภูมิเวลานั้น (แสดงโดยเทนเซอร์ความเครียด-พลังงาน) ^{[ 3 ]}

ในทำนองเดียวกันกับที่สนามแม่เหล็กไฟฟ้ามีความสัมพันธ์กับการกระจายตัวของประจุและกระแสไฟฟ้าผ่านสมการของแม็กซ์เวลล์ สมการสนามของไอน์สไตน์ (EFE) เชื่อมโยงเรขาคณิตของปริภูมิเวลาเข้ากับการกระจายตัวของมวล-พลังงาน โมเมนตัม และความเครียด กล่าวคือ สมการเหล่านี้กำหนดเมตริกเทนเซอร์ของปริภูมิเวลาสำหรับการจัดเรียงความเครียด-พลังงาน-โมเมนตัมในปริภูมิเวลาที่กำหนดไว้ ความสัมพันธ์ระหว่างเมตริกเทนเซอร์และเทนเซอร์ของไอน์สไตน์ทำให้สามารถเขียน EFE ในรูปของชุดสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบ ไม่เชิงเส้นได้ เมื่อใช้ในลักษณะนี้ ผลเฉลยของ EFE คือส่วนประกอบของเมตริกเทนเซอร์ จากนั้น วิถีการเคลื่อนที่ แบบเฉื่อยของอนุภาคและรังสี ( จีโอเดสิก ) ในเรขาคณิตที่ได้จะถูกคำนวณโดยใช้สมการจีโอเดสิก

นอกจากจะบ่งบอกถึงการอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมในท้องถิ่นแล้ว EFE ยังลดรูปเป็นกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตันในขีดจำกัดของสนามโน้มถ่วงที่อ่อนและความเร็วที่น้อยกว่าความเร็วแสง มาก ^{[ 4 ]}

คำตอบที่แน่นอนสำหรับสมการ EFE นั้นสามารถหาได้ภายใต้สมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้น เช่นสมมาตร สมการคำตอบที่แน่นอนในกลุ่มพิเศษมักได้รับการศึกษาบ่อยที่สุด เนื่องจากเป็นแบบจำลองของปรากฏการณ์ทางแรงโน้มถ่วงหลายอย่าง เช่นหลุมดำที่หมุนและเอกภพที่กำลังขยายตัว การทำให้ง่ายขึ้นไปอีกทำได้โดยการประมาณปริภูมิเวลาว่ามีการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากปริภูมิเวลาแบบราบเรียบซึ่งนำไปสู่สมการEFE แบบเชิงเส้นสมการเหล่านี้ใช้ในการศึกษาปรากฏการณ์ต่างๆ เช่นคลื่นแรงโน้มถ่วง

สมการสนามของไอน์สไตน์ (EFE) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\แลมบ์ดา g_{\mu \nu }=\คัปปา T_{\mu \nu },}$

โดยที่คือเทนเซอร์ของไอน์สไตน์คือเทนเซอร์เมตริกคือเทนเซอร์พลังงานความเครียดคือค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยาและคือค่าคงที่ความโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \kappa }$

เทนเซอร์ของไอน์สไตน์ถูกนิยามว่าดังนี้

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}$

โดยที่คือเทนเซอร์ความโค้งริชชีและคือความโค้งสเกลาร์นี่คือ เทนเซอร์ สมมาตรดีกรีสองที่ไม่มี ไดเวอร์ เจนซ์ ซึ่งขึ้นอยู่กับเทนเซอร์เมตริกและอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองของมันเท่านั้น ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$${\displaystyle R}$

ค่าคงที่แรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ถูกกำหนดไว้ดังนี้^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}$

โดยที่คือค่าคงที่ความโน้มถ่วงของนิวตันและ คือความเร็วแสงในสุญญากาศ${\displaystyle G}$${\displaystyle c}$

ดังนั้น EFE จึงสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\แลมบ์ดา g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}$

ในหน่วยมาตรฐาน แต่ละพจน์ทางด้านซ้ายมีมิติปริมาณเป็น L ⁻²

นิพจน์ทางด้านซ้ายแสดงถึงความโค้งของปริภูมิเวลาที่กำหนดโดยเมตริก ส่วนนิพจน์ทางด้านขวาแสดงถึงปริมาณความเครียด-พลังงาน-โมเมนตัมของปริภูมิเวลา ดังนั้น EFE จึงสามารถตีความได้ว่าเป็นชุดสมการที่กำหนดว่าความเครียด-พลังงาน-โมเมนตัมมีผลต่อความโค้งของปริภูมิเวลาอย่างไร

สมการเหล่านี้เป็นแกนหลักของการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปพวกมันบ่งชี้สมการจีโอเดสิก^{[ 9 ]}ซึ่งกำหนดว่าวัตถุทดสอบที่ตกลงมาอย่างอิสระเคลื่อนที่ผ่านกาลอวกาศอย่างไร^{[ 10 ]}

EFE คือสมการเทนเซอร์ที่เชื่อมโยงชุดของเทนเซอร์สมมาตรขนาด 4 × 4 เข้า ด้วย กัน โดยแต่ละเทนเซอร์มีส่วนประกอบอิสระ 10 ส่วนเอกลักษณ์ของเบียนคี ทั้งสี่ ช่วยลดจำนวนสมการอิสระจาก 10 เหลือ 6 ทำให้เมตริกมีระดับความเป็นอิสระในการกำหนดเกจ สี่ระดับ ซึ่งสอดคล้องกับอิสระในการเลือกใช้ระบบพิกัด

แม้ว่าสมการสนามของไอน์สไตน์จะถูกกำหนดขึ้นครั้งแรกในบริบทของทฤษฎีสี่มิติ แต่นักทฤษฎีบางคนก็ได้สำรวจผลที่ตามมาในมิติอื่น^{[ 11 ]}สมการในบริบทที่อยู่นอกเหนือทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปยังคงถูกเรียกว่าสมการสนามของไอน์สไตน์ สมการสนามสุญญากาศ (ที่ได้มาเมื่อเป็นศูนย์ทุกที่) กำหนดแมนิโฟลด์ของไอน์สไตน์ ${\displaystyle n}$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

สมการมีความซับซ้อนมากกว่าที่เห็น เมื่อกำหนดการกระจายตัวของสสารและพลังงานในรูปแบบของเทนเซอร์ความเครียด-พลังงาน สมการ EFE จะถูกเข้าใจว่าเป็นสมการสำหรับเทนเซอร์เมตริกเนื่องจากทั้งเทนเซอร์ริชชีและความโค้งสเกลาร์ขึ้นอยู่กับเมตริกในลักษณะที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่ซับซ้อน เมื่อเขียนออกมาอย่างสมบูรณ์ สมการ EFE จะเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิก-วงรีที่ไม่เป็นเชิงเส้นจำนวน สิบสมการ ที่ เชื่อมโยงกัน ^{[ 12 ]}${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

รูปแบบ EFE ข้างต้นเป็นมาตรฐานที่กำหนดโดยMisner, Thorne และ Wheeler (MTW) ^{​​[ 13 ]}ผู้เขียนได้วิเคราะห์ข้อตกลงที่มีอยู่และจัดประเภทตามสัญลักษณ์สามประการ ([S1] [S2] [S3]): $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$$

เครื่องหมายที่สามข้างต้นเกี่ยวข้องกับการเลือกแบบแผนสำหรับเทนเซอร์ริชชี: $${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }__{\mu \alpha \nu }}$$

ด้วยคำจำกัดความเหล่านี้Misner, Thorne และ Wheelerจัดตัวเองเป็น(+ + +)ในขณะที่ Weinberg (1972) ^{[ 14 ]}เป็น(+ − −) Peebles (1980) ^{[ 15 ]}และ Efstathiou et al. (1990) ^{[ 16 ]}เป็น(− + +) Rindler (2006) ^{[ 17 ]} Atwater (1974) Collins Martin & Squires (1989) ^{[ 18 ]}และ Peacock (1999) ^{[ 19 ]}เป็น(− + − )

นักคณิตศาสตร์หลายท่าน รวมถึงไอน์สไตน์ ได้ใช้เครื่องหมายที่แตกต่างกันในคำจำกัดความของเทนเซอร์ริชชี ซึ่งส่งผลให้เครื่องหมายของค่าคงที่ทางด้านขวาเป็นลบ: $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}$$

เครื่องหมายของเทอมทางจักรวาลวิทยาจะเปลี่ยนไปในทั้งสองเวอร์ชันนี้ หาก ใช้ แบบแผนเครื่องหมายเมตริก(+ − − −)แทนที่จะใช้แบบแผนเครื่องหมายเมตริก MTW (− + + +)ที่ใช้ในที่นี้

เมื่อนำร่องรอย (trace) มาเทียบกับเมตริกของทั้งสองด้านของ EFE จะได้ โดยที่คือมิติของปริภูมิเวลา เมื่อแก้หาและแทนค่านี้ลงใน EFE เดิม จะได้รูปแบบ "กลับด้านร่องรอย" ที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้: $${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right)}$$

ในมิตินี้จะลดลงเหลือ ${\displaystyle D=4}$$${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right)}$$

การกลับทิศทางการติดตามอีกครั้งจะทำให้ได้ EFE เดิมกลับคืนมา รูปแบบที่กลับทิศทางการติดตามอาจสะดวกกว่าในบางกรณี (ตัวอย่างเช่น เมื่อสนใจขีดจำกัดสนามอ่อนและสามารถแทนที่ในนิพจน์ทางด้านขวาด้วยเมตริกมินคอฟสกี โดย ไม่สูญเสียความแม่นยำอย่างมีนัยสำคัญ) ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

ในสมการสนามของไอน์สไตน์นั้น พจน์ที่มีค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยาหายไปจากฉบับที่เขาตีพิมพ์ครั้งแรก ต่อมาไอน์สไตน์ได้เพิ่มพจน์ที่มีค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยาเข้าไป เพื่อให้สามารถอธิบายเอกภพที่ไม่ขยายตัวหรือหดตัวได้ แต่ความพยายามนี้ไม่ประสบความสำเร็จเนื่องจาก: $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$$${\displaystyle \Lambda }$

• คำตอบสภาวะสมดุลที่ต้องการใดๆ ที่อธิบายโดยสมการนี้ล้วนไม่เสถียร และ
• การสังเกตการณ์ของเอ็ดวิน ฮับเบิลแสดงให้เห็นว่าเอกภพของเรากำลังขยายตัว

ไอน์สไตน์จึงละทิ้งแนวคิดนี้โดยกล่าวกับจอร์จ กาโมว์ว่า "การนำคำศัพท์ทางจักรวาลวิทยามาใช้ถือเป็นความผิดพลาดครั้งใหญ่ที่สุดในชีวิตของเขา" ^{[ 20 ]}${\displaystyle \Lambda }$

การรวมเงื่อนไขนี้ไม่ได้ทำให้เกิดความไม่สอดคล้องกัน เป็นเวลาหลายปีที่ค่าคงที่จักรวาลวิทยาถูกสันนิษฐานโดยทั่วไปว่าเป็นศูนย์ การสังเกตการณ์ ทางดาราศาสตร์ ล่าสุด แสดงให้เห็นถึงการขยายตัวของจักรวาลที่เร่งขึ้น และเพื่ออธิบายสิ่งนี้ จำเป็นต้องมีค่าบวกของ^{[ 21 ] [ 22 ]}ผลกระทบของค่าคงที่จักรวาลวิทยานั้นน้อยมากในระดับกาแล็กซีหรือเล็กกว่านั้น ${\displaystyle \Lambda }$

ไอน์สไตน์คิดว่าค่าคงที่จักรวาลวิทยาเป็นพารามิเตอร์อิสระ แต่พจน์ของมันในสมการสนามสามารถย้ายไปอีกด้านหนึ่งทางพีชคณิตและรวมเข้าเป็นส่วนหนึ่งของเทนเซอร์ความเครียด-พลังงานได้เช่นกัน: $${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$$

เทนเซอร์นี้อธิบายสถานะสุญญากาศที่มีความหนาแน่นของพลังงาน และความดันไอโซโทรปิกซึ่งเป็นค่าคงที่และกำหนดโดย โดย ถือว่ามีหน่วย SI เป็น m ⁻²และกำหนดไว้ดังข้างต้น ${\displaystyle \rho _{\text{vac}}}$${\displaystyle p_{\text{vac}}}$$${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \kappa }$

การมีอยู่ของค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยาจึงเทียบเท่ากับการมีอยู่ของพลังงานสุญญากาศและความดันที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน นี่จึงนำไปสู่การใช้คำว่า "ค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยา" และ "พลังงานสุญญากาศ" สลับกันได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปสอดคล้องกับการอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัมในระดับท้องถิ่น ซึ่งแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}$$

ซึ่งแสดงถึงการอนุรักษ์พลังงานความเครียดในระดับท้องถิ่น กฎการอนุรักษ์นี้เป็นข้อกำหนดทางฟิสิกส์ ด้วยสมการสนามของเขา ไอน์สไตน์ได้ทำให้มั่นใจว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปสอดคล้องกับเงื่อนไขการอนุรักษ์นี้

ความไม่เป็นเชิงเส้นของสมการสนามไฟฟ้า (EFE) ทำให้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแตกต่างจากทฤษฎีทางฟิสิกส์พื้นฐานอื่นๆ มากมาย ตัวอย่างเช่นสมการของแม็กซ์เวลล์ในแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นเชิงเส้นใน สนาม ไฟฟ้าและ สนาม แม่เหล็กรวมถึงการกระจายประจุและกระแส (กล่าวคือ ผลรวมของสองคำตอบก็เป็นคำตอบเช่นกัน) อีกตัวอย่างหนึ่งคือสมการชโรดิงเกอร์ในกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งเป็นเชิงเส้นในฟังก์ชัน คลื่น

กฎสนามของนิวตัน (EFE) ลดรูปเป็น กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน โดยใช้ทั้งการประมาณสนามอ่อนและการประมาณความเร็วต่ำค่าคงที่ที่ปรากฏใน EFE นั้นถูกกำหนดโดยการประมาณทั้งสองนี้ ${\displaystyle G}$

ถ้าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมเป็นศูนย์ในบริเวณที่พิจารณา สมการสนามจะถูกเรียกว่าสมการสนามสุญญากาศโดยการกำหนดสมการสนามแบบกลับทิศทางร่องรอย สมการสนามสุญญากาศ หรือที่รู้จักกันในชื่อ 'สมการสุญญากาศของไอน์สไตน์' (EVE) สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$${\displaystyle T_{\mu \nu }=0}$$${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$$

ในกรณีที่ค่าคงที่จักรวาลวิทยาไม่เป็นศูนย์ สมการจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$$

คำตอบของสมการสนามสุญญากาศเรียกว่าคำตอบสุญญากาศ ปริภูมิ Minkowski แบบราบเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของคำตอบสุญญากาศ ตัวอย่างที่ไม่ธรรมดา ได้แก่คำตอบ Schwarzschildและคำ ตอบ Kerr

แมนิโฟลด์ ที่ มีเทนเซอร์ริชชีเป็นศูนย์, , เรียกว่าแมนิโฟลด์ริชชีแฟลตและแมนิโฟลด์ที่มีเทนเซอร์ริชชีเป็นสัดส่วนกับเมตริก เรียกว่าแมนิโฟลด์ไอน์สไตน์ ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$

ถ้าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมเป็นของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในอวกาศอิสระกล่าวคือ ถ้า ใช้เทนเซอร์ความเครียด-พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า สมการสนามของไอน์สไตน์จะถูกเรียกว่า สมการไอน์สไตน์-แม็กซ์เวลล์ (โดยมีค่าคงที่จักรวาลวิทยาซึ่งถือว่าเป็นศูนย์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพแบบดั้งเดิม): ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$$${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$$${\displaystyle \Lambda }$$${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$$

นอกจากนี้สมการแม็กซ์เวลล์แบบโคแวเรียนต์ยังใช้ได้ในพื้นที่ว่างด้วย: ^{[ 23 ]} โดยที่เครื่องหมายเซมิโคลอนแทนอนุพันธ์แบบโคแวเรียนต์และวงเล็บหมายถึงการต่อต้านสมมาตรสมการแรกยืนยันว่าไดเวอร์เจน ซ์ 4 ของฟอร์ม 2เป็นศูนย์ และสมการที่สองยืนยันว่าอนุพันธ์ภายนอกเป็นศูนย์ จากสมการหลังนี้ เป็นไปตามทฤษฎีบทปวงกาเรว่าในแผนภูมิพิกัดสามารถแนะนำศักยภาพสนามแม่เหล็กไฟฟ้าได้ดังนี้^{[ 23 ]} โดยที่เครื่องหมายจุลภาคหมายถึงอนุพันธ์ย่อย ซึ่งมักจะถือว่าเทียบเท่ากับสมการแม็กซ์เวลล์แบบโคแวเรียนต์ที่ได้มา^{[ 24 ]}อย่างไรก็ตาม มีคำตอบทั่วโลกของสมการที่อาจขาดศักยภาพที่กำหนดไว้ทั่วโลก^{[ 25 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0,\end{aligned}}}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle A_{\alpha }}$$${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }}$$

คำตอบของสมการสนามของไอน์สไตน์คือเมตริกของปริภูมิเวลา เมตริกเหล่านี้อธิบายโครงสร้างของปริภูมิเวลา รวมถึงการเคลื่อนที่เฉื่อยของวัตถุในปริภูมิเวลา เนื่องจากสมการสนามเป็นแบบไม่เชิงเส้น จึงไม่สามารถแก้ได้อย่างสมบูรณ์เสมอไป (เช่น โดยไม่ต้องใช้การประมาณ) ตัวอย่างเช่น ไม่มีคำตอบที่สมบูรณ์ที่ทราบสำหรับปริภูมิเวลาที่มีวัตถุมวลมากสองชิ้นอยู่ในนั้น (ซึ่งเป็นแบบจำลองทางทฤษฎีของระบบดาวคู่ เป็นต้น) อย่างไรก็ตาม มักจะมีการใช้การประมาณในกรณีเหล่านี้ ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าการประมาณแบบโพสต์นิวตันถึงกระนั้นก็มีหลายกรณีที่สมการสนามได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ และกรณีเหล่านั้นเรียกว่าคำตอบที่แน่นอน^{[ 11 ]}

การศึกษาหาคำตอบที่แน่นอนของสมการสนามของไอน์สไตน์เป็นหนึ่งในกิจกรรมของจักรวาลวิทยาซึ่งนำไปสู่การทำนายการมีอยู่ของหลุม ดำและแบบจำลองต่างๆ ของวิวัฒนาการของจักรวาล

นอกจากนี้ยังสามารถค้นพบวิธีแก้ปัญหาใหม่ของสมการสนามของไอน์สไตน์ได้โดยใช้วิธีเฟรมออร์โทนอร์มอลตามที่เอลลิสและแมคคัลลัมได้ริเริ่มไว้^{[ 26 ]}ในแนวทางนี้ สมการสนามของไอน์สไตน์จะถูกลดรูปเป็นชุดของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญแบบไม่เชิงเส้นที่เชื่อมโยงกัน ดังที่ฮสูและเวนไรท์ได้กล่าวไว้^{[ 27 ]}วิธีแก้ปัญหาที่คล้ายคลึงกันในตัวเองของสมการสนามของไอน์สไตน์คือจุดคงที่ของระบบไดนามิก ที่ได้ วิธีแก้ปัญหาใหม่ได้รับการค้นพบโดยใช้วิธีการเหล่านี้โดยเลอบลอง^{[ 28 ]}และโคห์ลีและฮาสลัม^{[ 29 ]}

ความไม่เป็นเชิงเส้นของสมการสนามทำให้การหาคำตอบที่แน่นอนเป็นเรื่องยาก วิธีหนึ่งในการแก้สมการสนามคือการประมาณค่า กล่าวคือ ในบริเวณที่ห่างไกลจากแหล่งกำเนิดของสสารที่มีแรงโน้มถ่วง สนามโน้มถ่วงจะอ่อนมาก และ ปริภูมิ เวลาจะใกล้เคียงกับปริภูมิของมินคอฟสกี จากนั้นเมตริกจะถูกเขียนเป็นผลรวมของเมตริกมินคอฟสกีและพจน์ที่แสดงถึงความเบี่ยงเบนของเมตริกที่แท้จริงจากเมตริกมินคอฟสกีโดยไม่สนใจพจน์ที่มีกำลังสูงกว่า กระบวนการทำให้เป็นเชิงเส้นนี้สามารถนำมาใช้เพื่อตรวจสอบปรากฏการณ์ของการแผ่รังสีโน้มถ่วงได้

แม้ว่า EFE ที่เขียนไว้จะมีส่วนกลับของเมตริกเทนเซอร์อยู่ด้วย แต่ก็สามารถจัดเรียงให้อยู่ในรูปแบบที่มีเมตริกเทนเซอร์ในรูปพหุนามและไม่มีส่วนกลับได้ ประการแรก ดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกใน 4 มิติสามารถเขียนได้ โดยใช้สัญลักษณ์ Levi-Civitaและส่วนกลับของเมตริกใน 4 มิติสามารถเขียนได้ดังนี้: $${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}$$$${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}$$

การแทนที่นิพจน์ผกผันของเมตริกนี้ลงในสมการ จากนั้นคูณทั้งสองข้างด้วยกำลังที่เหมาะสมเพื่อกำจัดออกจากตัวส่วน ส่งผลให้ได้สมการพหุนามในเทนเซอร์เมตริกและอนุพันธ์อันดับแรกและอันดับสอง แอคชั่นของไอน์สไตน์-ฮิลเบิร์ตซึ่งได้มาจากสมการเหล่านี้ สามารถเขียนในรูปแบบพหุนามได้เช่นกันโดยการกำหนดนิยามใหม่ของฟิลด์ที่เหมาะสม^{[ 30 ]}${\displaystyle \det(g)}$

เว็บไซต์วิกิบุ๊กมีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

• "สมการของไอน์สไตน์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• บทเรียนเรื่องสัมพัทธภาพจาก Caltech — บทนำอย่างง่ายเกี่ยวกับสมการสนามของไอน์สไตน์
• ความหมายของสมการของไอน์สไตน์ — คำอธิบายเกี่ยวกับสมการสนามของไอน์สไตน์ ที่มาของสมการ และผลที่ตามมาบางประการ
• วิดีโอบรรยายเรื่องสมการสนามของไอน์สไตน์โดย ศาสตราจารย์ฟิสิกส์ MIT Edmund Bertschinger
• โครงสร้างและกรอบ: ไอน์สไตน์ค้นพบสมการสนามได้อย่างไรฟิสิกส์วันนี้ พฤศจิกายน 2015 ประวัติการพัฒนาสมการสนาม

• สมการสนามของไอน์สไตน์บนผนังของพิพิธภัณฑ์ Boerhaave ในใจกลางเมืองไลเดน
• ซูซาน อิมเบอร์ , "ผลกระทบของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปต่อทะเลทรายอาตากามา" , สมการสนามของไอน์สไตน์บนด้านข้างของรถไฟในโบลิเวีย