วิธีปริมาตรจำกัด ( FVM ) เป็นวิธีการแสดงและประเมินสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในรูปแบบของสมการพีชคณิต^{[ 1 ]} ในวิธีปริมาตรจำกัด ปริมาตรอินทิกรัลในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่มี พจน์ ไดเวอร์เจนซ์จะถูกแปลงเป็นอินทิกรัลพื้นผิวโดยใช้ทฤษฎีบท ไดเวอร์เจนซ์ จาก นั้นพจน์เหล่านี้จะถูกประเมินเป็นฟลักซ์ที่พื้นผิวของแต่ละปริมาตรจำกัด เนื่องจากฟลักซ์ที่เข้าสู่ปริมาตรที่กำหนดจะเหมือนกับฟลักซ์ที่ออกจากปริมาตรที่อยู่ติดกัน วิธีเหล่านี้จึงเป็นการอนุรักษ์ข้อดีอีกประการหนึ่งของวิธีปริมาตรจำกัดคือสามารถกำหนดสูตรได้ง่ายเพื่อให้รองรับตาข่ายที่ไม่เป็นระเบียบ วิธีนี้ใช้ใน แพ็คเกจ พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ หลาย แพ็คเกจ "ปริมาตรจำกัด" หมายถึงปริมาตรเล็กๆ ที่ล้อมรอบจุดโหนดแต่ละจุดบนตาข่าย^{[ 2 ]}

วิธีปริมาตรจำกัดสามารถเปรียบเทียบและเปรียบต่างกับวิธีผลต่างจำกัดซึ่งประมาณค่าอนุพันธ์โดยใช้ค่าโหนด หรือวิธีองค์ประกอบจำกัดซึ่งสร้างการประมาณค่าเฉพาะที่ของคำตอบโดยใช้ข้อมูลเฉพาะที่ และสร้างการประมาณค่าโดยรวมโดยการเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน ในทางตรงกันข้าม วิธีปริมาตรจำกัดจะประเมินนิพจน์ที่แน่นอนสำหรับ ค่า เฉลี่ยของคำตอบในช่วงปริมาตรหนึ่ง และใช้ข้อมูลนี้เพื่อสร้างการประมาณค่าของคำตอบภายในเซลล์^{[ 3 ] [ 4 ]}

พิจารณา ปัญหา การเคลื่อนที่แบบพาความร้อน ใน 1 มิติอย่างง่าย :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.}$

1

ในที่นี้แทนตัวแปรสถานะ และแทนฟลักซ์หรือการไหลของโดยทั่วไป ค่าบวกแสดงถึงการไหลไปทางขวา ในขณะที่ค่าลบแสดงถึงการไหลไปทางซ้าย หากเราสมมติว่าสมการ ( 1 ) แสดงถึงตัวกลางที่มีการไหลที่มีพื้นที่คงที่ เราสามารถแบ่งโดเมนเชิงพื้นที่ ออกเป็นปริมาตรหรือเซลล์ที่มีจุดศูนย์กลางของเซลล์ที่กำหนดดัชนีเป็นสำหรับเซลล์เฉพาะเราสามารถกำหนด ค่า เฉลี่ยปริมาตรของที่เวลาและได้ดังนี้ ${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)}$${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)}$${\displaystyle {t=t_{1}}}$${\displaystyle {x\in \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,}$

2

และในเวลาดังกล่าว ${\displaystyle t=t_{2}}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,}$

3

โดยที่และแทนตำแหน่งของด้านต้นน้ำและด้านปลายน้ำ หรือขอบของเซลล์ ตามลำดับ${\displaystyle x_{i-1/2}}$${\displaystyle x_{i+1/2}}$${\displaystyle i^{\text{th}}}$

เมื่อรวมสมการ ( 1 ) ในเวลา เราจะได้:

${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,}$

4

ที่ไหน. ${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$

เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ยปริมาตรณ เวลา t เราจะทำการอินทิเกรตตลอดปริมาตรของเซลล์แล้วหารผลลัพธ์ด้วยt นั่นคือ ${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$${\displaystyle t=t_{2}}$${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$${\displaystyle \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}$${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.}$

5

เราถือว่ามีพฤติกรรมที่ดี และเราสามารถกลับลำดับการอินทิเกรตได้ นอกจากนี้ โปรดจำไว้ว่าการไหลตั้งฉากกับพื้นที่หน่วยของเซลล์ ตอนนี้ เนื่องจากในมิติเดียวเราสามารถใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ได้นั่นคือและแทนที่ปริมาตรอินทิกรัลของไดเวอร์เจนซ์ด้วยค่าของที่ประเมินที่พื้นผิวเซลล์ (ขอบและ) ของปริมาตรจำกัดดังต่อไปนี้: ${\displaystyle f\ }$${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x_{i-1/2}}$${\displaystyle x_{i+1/2}}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+1/2}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-1/2}dt\right).}$

6

ที่ไหน. ${\displaystyle f_{i\pm 1/2}=f\left(x_{i\pm 1/2},t\right)}$

ดังนั้นเราจึงสามารถสร้าง โครงร่างเชิงตัวเลข แบบกึ่งแยกส่วนสำหรับปัญหาข้างต้นได้ โดยมีดัชนีศูนย์กลางเซลล์เป็นและดัชนีฟลักซ์ขอบเซลล์เป็นโดยการหาอนุพันธ์ของ ( 6 ) เทียบกับเวลาเพื่อให้ได้: ${\displaystyle i}$${\displaystyle i\pm 1/2}$

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+1/2}-f_{i-1/2}\right]=0,}$

7

โดยที่ค่าสำหรับฟลักซ์ขอบสามารถสร้างใหม่ได้โดยการแทรกหรือการขยายค่าเฉลี่ยของเซลล์ สมการ ( 7 ) นั้นถูกต้องสำหรับค่าเฉลี่ยปริมาตร กล่าวคือ ไม่มีการประมาณใดๆ เกิดขึ้นระหว่างการหาอนุพันธ์ ${\displaystyle f_{i\pm 1/2}}$

วิธีการนี้สามารถนำไปใช้กับ สถานการณ์ 2 มิติได้ เช่นกัน โดยพิจารณาด้านเหนือและด้านใต้ควบคู่ไปกับด้านตะวันออกและด้านตะวันตกโดยรอบจุดเชื่อมต่อ

เรายังสามารถพิจารณา ปัญหา ของกฎการอนุรักษ์ ทั่วไป ซึ่งแสดงโดยสมการอนุพันธ์ ย่อยต่อไป นี้

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.}$

8

ในที่นี้แทนเวกเตอร์ของสถานะ และแทน เทนเซอร์ ฟลักซ์ ที่สอดคล้องกัน เราสามารถแบ่งโดเมนเชิงพื้นที่ออกเป็นปริมาตรหรือเซลล์ที่มีขนาดจำกัดได้อีกครั้ง สำหรับเซลล์เฉพาะเราจะหาปริพันธ์ปริมาตรเหนือปริมาตรทั้งหมดของเซลล์ซึ่งจะได้ ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$

${\displaystyle \int _{v_{i}}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.}$

9

เมื่อทำการอินทิเกรตพจน์แรกเพื่อหาค่าเฉลี่ยปริมาตรและใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์กับพจน์ที่สอง จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over dt}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },}$

10

โดยที่แทนพื้นที่ผิวทั้งหมดของเซลล์ และเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับพื้นผิวและชี้ออกไปด้านนอก ดังนั้น ในที่สุด เราจึงสามารถนำเสนอผลลัพธ์ทั่วไปที่เทียบเท่ากับ ( 8 ) ได้ นั่นคือ ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle {\mathbf {n} }}$

${\displaystyle {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.}$

11

เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว ค่าของฟลักซ์ขอบสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้โดยการประมาณค่าในช่วงหรือการประมาณค่าภายนอกช่วงของค่าเฉลี่ยของเซลล์ วิธีการคำนวณเชิงตัวเลขที่แท้จริงจะขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตของปัญหาและการสร้างตาข่าย การสร้างใหม่ด้วยวิธี MUSCLมักใช้ในวิธีการที่มีความละเอียดสูงซึ่งมีคลื่นกระแทกหรือความไม่ต่อเนื่องอยู่ในผลลัพธ์

วิธีการคำนวณปริมาตรจำกัดนั้นมีความแม่นยำ เนื่องจากค่าเฉลี่ยของเซลล์เปลี่ยนแปลงไปตามฟลักซ์ที่ขอบ กล่าวอีกนัยหนึ่งการสูญเสียของเซลล์หนึ่งจะทำให้เซลล์อื่นได้รับผลประโยชน์เสมอ !

• วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์
• ตัวจำกัดฟลักซ์
• แผนการของโกดูนอฟ
• ทฤษฎีบทของโกดูนอฟ
• แผนผังความละเอียดสูง
• KIVA (ซอฟต์แวร์)
• แบบจำลองการหมุนเวียนทั่วไปของ MIT
• โครงการ MUSCL
• เซอร์เกย์ เค. โกดูนอฟ
• ความผันแปรโดยรวมลดลง
• วิธีปริมาตรจำกัดสำหรับการไหลที่ไม่คงที่

• Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) วิธีปริมาตรจำกัด คู่มือการวิเคราะห์เชิงตัวเลข เล่มที่ VII, 2000, หน้า 713–1020 บรรณาธิการ: PG CiarletและJL Lions
• Hirsch, C. (1990), การคำนวณเชิงตัวเลขของการไหลภายในและภายนอก เล่ม 2: วิธีการคำนวณสำหรับการไหลแบบไร้ความหนืดและแบบหนืดไวลีย์
• Laney, Culbert B. (1998), พลศาสตร์ก๊าซเชิงคำนวณ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
• LeVeque, Randall (1990), วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับกฎการอนุรักษ์ , ชุดบรรยายคณิตศาสตร์ ETH, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), วิธีปริมาตรจำกัดสำหรับปัญหาไฮเปอร์โบลิก , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
• Patankar, Suhas V. (1980), การถ่ายเทความร้อนและการไหลของของเหลวเชิงตัวเลข , Hemisphere.
• Tannehill, John C. และคณะ (1997), กลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณและการถ่ายเทความร้อน , ฉบับที่ 2, Taylor and Francis.
• Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), หลักการของพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ , Springer-Verlag.

• วิธีการปริมาตรจำกัดโดย R. Eymard, T. Gallouët และR. Herbinฉบับปรับปรุงจากบทความที่ตีพิมพ์ใน Handbook of Numerical Analysis ปี 2000
• Rübenkönig, Oliver. "วิธีปริมาตรจำกัด (FVM) – บทนำ" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2 ตุลาคม 2552สามารถดาวน์โหลดได้จากGFDL ( Global Film Discharge League )
• FiPy: โปรแกรมแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบปริมาตรจำกัดโดยใช้ Pythonจาก NIST
• CLAWPACK : ชุดซอฟต์แวร์ที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณหาคำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิกโดยใช้วิธีการแพร่กระจายคลื่น