ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาทฤษฎี หมวด หมู่ฟังก์ชันลืม (หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันตัดทิ้ง ) จะ "ลืม" หรือตัดทิ้งโครงสร้างหรือคุณสมบัติ บางส่วนหรือทั้งหมดของอินพุต ก่อนที่จะแมปไปยังเอาต์พุต สำหรับโครงสร้างพีชคณิต ที่มี ลายเซ็นที่กำหนดไว้อาจแสดงได้โดยการตัดทอนลายเซ็น: ลายเซ็นใหม่เป็นรูปแบบที่แก้ไขแล้วของลายเซ็นเดิม หากลายเซ็นถูกทิ้งไว้เป็นรายการว่าง ฟังก์ชันก็จะใช้เซตพื้นฐานของโครงสร้างนั้น เนื่องจากโครงสร้างจำนวนมากในทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยเซตที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม ฟังก์ชันลืมที่แมปไปยังเซตพื้นฐานจึงเป็นกรณีที่พบได้บ่อยที่สุด

ตัวอย่างเช่น มีฟังก์ชันลืมหลายตัวจากหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่ได้ วงแหวน ( แบบมีหน่วย ) ที่อธิบายในภาษาของพีชคณิตสากลคือทูเปิลเรียงลำดับที่สอดคล้องกับสัจพจน์บางประการ โดยที่และเป็นฟังก์ชันทวิภาคบนเซต คือการ ดำเนินการเอกภาคที่สอดคล้องกับตัวผกผันการบวก และ 0 และ 1 เป็นการดำเนินการศูนย์ที่ให้เอกลักษณ์ของการดำเนินการทวิภาคทั้งสอง การลบ 1 ออกจะให้ฟังก์ชันลืมสำหรับหมวดหมู่ของวงแหวนที่ไม่มีหน่วยมันเพียงแค่ "ลืม" หน่วยนั้นไป การลบและ 1 ออกจะให้ฟังก์ชันสำหรับหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนซึ่งกำหนดกลุ่มอาเบเลียนบวกพื้นฐานของ ให้กับแต่ละวงแหวน สำหรับแต่ละมอร์ฟิ ซึมของวงแหวน จะได้รับ ฟังก์ชันเดียวกันที่ถือว่าเป็นเพียงมอร์ฟิซึมของการบวกระหว่างกลุ่มพื้นฐาน การลบการดำเนินการทั้งหมดจะให้ฟังก์ชันสำหรับเซตพื้นฐาน ${\displaystyle (R,+,\times ,a,0,1)}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

เป็นประโยชน์ที่จะแยกแยะความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันลืมที่ "ลืมโครงสร้าง" กับฟังก์ชันลืมที่ "ลืมคุณสมบัติ" ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของวงแหวนสลับที่ข้างต้น นอกเหนือจากฟังก์ชันที่ลบการดำเนินการบางอย่างแล้ว ยังมีฟังก์ชันที่ลืมสัจพจน์บางอย่างด้วย มีฟังก์ชันจากหมวดหมู่CRingไปยังRingที่ลืมสัจพจน์ของการสลับที่ แต่ยังคงการดำเนินการทั้งหมดไว้ บางครั้งวัตถุอาจมีเซตเพิ่มเติมที่ไม่ได้กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดในแง่ของเซตพื้นฐาน (ในกรณีนี้ ส่วนใดที่จะพิจารณาว่าเป็นเซตพื้นฐานเป็นเรื่องของรสนิยม แม้ว่าในทางปฏิบัติจะไม่ค่อยกำกวมก็ตาม) สำหรับวัตถุเหล่านี้ มีฟังก์ชันลืมที่ลืมเซตเพิ่มเติมซึ่งมีความทั่วไปมากกว่า

วัตถุที่ศึกษากันทั่วไปในคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ถูกสร้างขึ้นเป็นเซตพื้นฐานพร้อมกับเซตโครงสร้างเพิ่มเติมบนเซตเหล่านั้น (การดำเนินการบนเซตพื้นฐาน เซตย่อยพิเศษของเซตพื้นฐาน ฯลฯ) ซึ่งอาจเป็นไปตามสัจพจน์บางประการ สำหรับวัตถุเหล่านี้ ฟังก์ชันลืมที่พิจารณากันโดยทั่วไปมีดังนี้ ให้เป็นหมวดหมู่ใดๆ ที่อิงตามเซตเช่นกลุ่ม —เซตของสมาชิก—หรือปริภูมิเชิงทอพอโลยี —เซตของ 'จุด' ตามปกติ ให้เขียนแทนวัตถุของและเขียนแทนมอร์ฟิซึมของวัตถุเดียวกัน พิจารณากฎ: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \operatorname {Fl} ({\mathcal {C}})}$

สำหรับทุกสิ่งในชุดพื้นฐานของ${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}),A\mapsto |A|=}$${\displaystyle A,}$

สำหรับทุกสิ่งในมอร์ฟิซึมนั้น เป็นการแมปของเซต${\displaystyle u}$${\displaystyle \operatorname {Fl} ({\mathcal {C}}),u\mapsto |u|=}$${\displaystyle u}$

ฟังก์ชันดังกล่าวจึงเป็นฟังก์ชันลืมจากไปยังSetซึ่งเป็นหมวดหมู่ของเซต ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

ฟังก์ชันลืม (Forgetful functor) มักจะเป็น ฟังก์ชันซื่อสัตย์ (Faithful functor ) เสมอหมวดหมู่รูปธรรม (Concrete categories)มีฟังก์ชันลืมสำหรับหมวดหมู่ของเซต—อันที่จริง ฟังก์ชันลืมอาจถูกนิยามว่าเป็นหมวดหมู่ที่ยอมรับฟังก์ชันซื่อสัตย์สำหรับหมวดหมู่นั้น

ฟังก์ชันลืมที่ลืมเฉพาะสัจพจน์เท่านั้นจะมีความซื่อสัตย์สมบูรณ์ เสมอ เนื่องจากมอร์ฟิซึมทุกตัวที่เคารพโครงสร้างระหว่างวัตถุที่สอดคล้องกับสัจพจน์จะเคารพสัจพจน์โดยอัตโนมัติด้วย ฟังก์ชันลืมที่ลืมโครงสร้างไม่จำเป็นต้องมีความซื่อสัตย์สมบูรณ์เสมอไป มอร์ฟิซึมบางตัวไม่เคารพโครงสร้าง แต่ฟังก์ชันเหล่านี้ก็ยังคงมีความซื่อสัตย์อยู่ดี เพราะมอร์ฟิซึมที่แตกต่างกันซึ่งเคารพโครงสร้างยังคงแตกต่างกันเมื่อลืมโครงสร้างไปแล้ว ฟังก์ชันที่ลืมเซตเพิ่มเติมไม่จำเป็นต้องมีความซื่อสัตย์เสมอไป เนื่องจากมอร์ฟิซึมที่แตกต่างกันซึ่งเคารพโครงสร้างของเซตเพิ่มเติมเหล่านั้นอาจแยกแยะไม่ได้บนเซตพื้นฐาน

ในภาษาของตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม ฟังก์ชันชนิดแรกจะลบสัจพจน์ ฟังก์ชันชนิดที่สองจะลบภาคแสดง และฟังก์ชันชนิดที่สามจะลบประเภท ตัวอย่างของฟังก์ชันชนิดแรกคือฟังก์ชันลืมAb → Grp ตัวอย่างของฟังก์ชันชนิด ที่สองคือฟังก์ชันลืมAb → Setฟังก์ชันชนิดที่สามคือฟังก์ชันMod → Abโดยที่Modคือหมวดหมู่ไฟเบอร์ของโมดูลทั้งหมดเหนือวงแหวนใดๆ เพื่อให้เห็นภาพนี้ เพียงแค่เลือกโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนระหว่างวงแหวนพื้นฐานที่ไม่เปลี่ยนแปลงการกระทำของวงแหวน ภายใต้ฟังก์ชันลืม มอร์ฟิซึมนี้จะให้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์ โปรดทราบว่าวัตถุในModคือทูเปิล ซึ่งรวมถึงวงแหวนและกลุ่มอาเบเลียน ดังนั้นการเลือกที่จะลืมสิ่งใดนั้นขึ้นอยู่กับความชอบ

ฟังก์ชันลืมมักจะมีตัวผกผันทางซ้ายซึ่งเป็นโครงสร้าง ' อิสระ ' ตัวอย่างเช่น:

• โมดูลอิสระ : ฟังก์ชันลืมจาก(หมวดหมู่ของโมดูล - ) ไปยังมีแอดจอยต์ซ้ายโดยที่ เป็น โมดูล อิสระ- ที่มีฐาน${\displaystyle \mathbf {Mod} (R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$${\displaystyle \operatorname {Free} _{R}}$${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Free} _{R}(X)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$
• กลุ่มอิสระ
• แลตติซอิสระ
• พีชคณิตเทนเซอร์
• หมวดหมู่อิสระแอดจอยต์กับฟังก์ชันลืมเลือนจากหมวดหมู่ไปยังลูกศร
• พีชคณิตห่อหุ้มสากล

สำหรับรายชื่อที่ครอบคลุมมากขึ้น โปรดดู (Mac Lane 1997)

เนื่องจากนี่เป็นตัวอย่างพื้นฐานของตัวผกผัน เราจึงขออธิบายให้ชัดเจน: ความเป็นตัวผกผันหมายความว่า เมื่อกำหนดเซตXและวัตถุ (เช่น โมดูล R ) Mแล้ว แผนที่ของเซต จะสอดคล้องกับแผนที่ของโมดูลกล่าวคือ ทุกแผนที่ของเซตจะให้ผลลัพธ์เป็นแผนที่ของโมดูล และทุกแผนที่ของโมดูลจะมาจากแผนที่ของเซต ${\displaystyle X\to |M|}$${\displaystyle \operatorname {Free} _{R}(X)\to M}$

ในกรณีของปริภูมิเวกเตอร์ สามารถสรุปได้ดังนี้: "แผนที่ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยตำแหน่งที่ส่งฐานไป และฐานสามารถถูกแมปไปยังสิ่งใดก็ได้"

ในเชิงสัญลักษณ์:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Mod} _{R}}(\operatorname {Free} _{R}(X),M)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\operatorname {Forget} (M)).}$

หน่วยของการเชื่อมโยงแบบอิสระและลืมเลือนคือ "การรวมฐาน": . ${\displaystyle X\to \operatorname {Free} _{R}(X)}$

Fldซึ่งเป็นหมวดหมู่ของฟิลด์ เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันลืมที่ไม่มีแอดจอยต์ ไม่มีฟิลด์ใดที่สอดคล้องกับคุณสมบัติสากลอิสระสำหรับเซตที่กำหนดให้

• ฟังก์ชันผกผัน
• ฟังก์ชัน
• การฉายภาพ (ทฤษฎีเซต)

• ฟังก์ชันที่ขี้ลืมที่ห้องปฏิบัติการn