อนุกรมฟูริเยร์ ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^{[ 1 ]} ) คือการขยายอนุกรมของฟังก์ชันคาบเป็นผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ อนุกรม ฟูริเยร์เป็นตัวอย่างของอนุกรมตรีโกณมิติ^{[ 2 ]}โดยการแสดงฟังก์ชันเป็นผลรวมของไซน์และโคไซน์ ปัญหาหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันจะวิเคราะห์ได้ง่ายขึ้น เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นที่เข้าใจกันดี ตัวอย่างเช่น โจเซฟ ฟูริเยร์ ใช้อนุกรมฟูริเยร์ เป็นครั้งแรก เพื่อหาคำตอบของสมการความร้อนการประยุกต์ใช้นี้เป็นไปได้เพราะอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีรูปแบบที่เรียบง่าย อนุกรมฟูริเยร์ไม่สามารถใช้ประมาณฟังก์ชันใดๆ ได้ เนื่องจากฟังก์ชันส่วนใหญ่มีพจน์อนันต์ในอนุกรมฟูริเยร์ และอนุกรมไม่ลู่เข้า เสมอไป ฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมที่ดี เช่น ฟังก์ชัน เรียบจะมีอนุกรมฟูริเยร์ที่ลู่เข้าสู่ฟังก์ชันดั้งเดิม สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์ถูกกำหนดโดยปริพันธ์ของฟังก์ชันคูณด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งอธิบายไว้ในอนุกรมฟูริเยร์ §นิยาม

การศึกษาการลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์มุ่งเน้นไปที่พฤติกรรมของผลรวมย่อย ซึ่งหมายถึงการศึกษาพฤติกรรมของผลรวมเมื่อมีการบวกพจน์จากอนุกรมมากขึ้นเรื่อยๆ ภาพด้านล่างแสดงผลลัพธ์บางส่วนของอนุกรมฟูริเยร์ ย่อย สำหรับส่วนประกอบของคลื่นสี่เหลี่ยม

• 
  คลื่นสี่เหลี่ยม (แสดงด้วยจุดสีน้ำเงิน) ประมาณได้ด้วยผลรวมย่อยลำดับที่หก (แสดงด้วยจุดสีม่วง) ซึ่งเกิดจากการรวมพจน์หกพจน์แรก (แสดงด้วยลูกศร) ของอนุกรมฟูริเยร์ของคลื่นสี่เหลี่ยม โดยลูกศรแต่ละอันเริ่มต้นที่ผลรวมแนวตั้งของลูกศรทั้งหมดทางด้านซ้าย (นั่นคือผลรวมย่อยก่อนหน้า)
• 
  ผลรวมย่อยสี่ตัวแรกของอนุกรมฟูริเยร์สำหรับคลื่นสี่เหลี่ยมเมื่อเพิ่มฮาร์มอนิกมากขึ้น ผลรวมย่อยจะลู่เข้าสู่คลื่นสี่เหลี่ยม
• 
  ฟังก์ชัน(สีแดง) คือผลรวมอนุกรมฟูริเยร์ของคลื่นไซน์ 6 ลูกที่มีความสัมพันธ์เชิงฮาร์มอนิก (สีน้ำเงิน) การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันนี้คือการแสดงผลในโดเมนความถี่ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงแอมพลิจูดของคลื่นไซน์ที่รวมกัน${\displaystyle s_{6}(x)}$${\displaystyle S(f)}$

อนุกรมฟูริเยร์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการแปลงฟูริเยร์ซึ่งเป็นเครื่องมือทั่วไปที่สามารถหาข้อมูลความถี่สำหรับฟังก์ชันที่ไม่ เป็น คาบได้ ฟังก์ชันคาบสามารถระบุได้ด้วยฟังก์ชันบนวงกลม ด้วยเหตุนี้ อนุกรมฟูริเยร์จึงเป็นหัวข้อของการวิเคราะห์ฟูริเยร์บนกลุ่มวงกลมซึ่งแสดงด้วยหรือการแปลงฟูริเยร์ก็เป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ฟูริเยร์ เช่นกัน แต่ถูกกำหนดไว้สำหรับฟังก์ชันบน ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

นับตั้งแต่สมัยของฟูริเยร์ มีการค้นพบวิธีการต่างๆ มากมายในการนิยามและทำความเข้าใจแนวคิดของอนุกรมฟูริเยร์ ซึ่งทั้งหมดนั้นสอดคล้องกัน แต่แต่ละวิธีก็เน้นแง่มุมที่แตกต่างกันของหัวข้อนี้ วิธีการที่มีประสิทธิภาพและสง่างามบางวิธีนั้นอิงอยู่กับแนวคิดและเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีในสมัยของฟูริเยร์ ฟูริเยร์นิยามอนุกรมฟูริเยร์สำหรับ ฟังก์ชันค่า จริงที่มีตัวแปรเป็นจำนวนจริง และใช้ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ในการขยายอนุกรม ต่อมาได้มีการนิยาม การแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์อื่นๆ อีกมากมายซึ่งขยายแนวคิดเริ่มต้นของเขาไปสู่การประยุกต์ใช้มากมาย และก่อให้เกิดสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าการวิเคราะห์ฟูริเยร์

อนุกรมฟูริเยร์ได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ฌอง-แบปติสต์ โจเซฟ ฟูริเยร์ (ค.ศ. 1768–1830) ผู้มีส่วนสำคัญในการศึกษาอนุกรมตรีโกณมิติหลังจากการศึกษาเบื้องต้นโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ , ฌอง เลอ รอนด์ ดาเลมแบร์และดาเนียล เบอร์นูลลี^{[ A ]}ฟูริเยร์ได้นำเสนออนุกรมนี้เพื่อแก้สมการความร้อนในแผ่นโลหะ โดยตีพิมพ์ผลลัพธ์เบื้องต้นในMémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ( ตำราว่าด้วยการแพร่กระจายความร้อนในของแข็ง ) ในปี ค.ศ. 1807 และตีพิมพ์Théorie analytique de la chaleur ( ทฤษฎีวิเคราะห์ความร้อน ) ในปี ค.ศ. 1822 Mémoireได้แนะนำการวิเคราะห์ฟูริเยร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอนุกรมฟูริเยร์ จากการวิจัยของฟูริเยร์ พบว่าฟังก์ชันใดๆ (ในตอนแรกเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง^{[ 3 ]}และต่อมาขยายไปสู่ฟังก์ชันเรียบเป็นช่วงๆ^{[ 4 ]} ) สามารถแสดงได้ด้วยอนุกรมตรีโกณมิติ ฟูริเยร์ประกาศการค้นพบครั้งยิ่งใหญ่นี้ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2350 ต่อหน้า สถาบัน วิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศส^{[ 5 ]}แนวคิดแรกเริ่มของการแยกฟังก์ชันคาบออกเป็นผลรวมของฟังก์ชันแกว่งแบบง่ายๆ ย้อนกลับไปถึงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช เมื่อนักดาราศาสตร์โบราณเสนอแบบจำลองเชิงประจักษ์ของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ โดยอิงจากวงโคจรชั้นนอกและวงโคจรชั้นใน

นักดาราศาสตร์ฟรีดริช วิลเฮล์ม เบสเซลได้นำอนุกรมฟูริเยร์มาใช้แก้สมการของเคปเลอร์โดยไม่ขึ้นกับฟูริเยร์ ผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2362 โดยไม่ทราบถึงผลงานของฟูริเยร์ซึ่งยังไม่ได้รับการตีพิมพ์จนกระทั่งปี พ.ศ. 2465 ^{[ 6 ]}

สมการความร้อนเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยก่อนงานของฟูริเยร์ ไม่มีใครทราบคำตอบของสมการความร้อนในกรณีทั่วไป แม้ว่าจะทราบคำตอบเฉพาะในกรณีที่แหล่งความร้อนมีพฤติกรรมที่เรียบง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากแหล่งความร้อนเป็น คลื่น ไซน์หรือโคไซน์คำตอบที่เรียบง่ายเหล่านี้บางครั้งเรียกว่า คำตอบ เฉพาะ (eigensolutions ) แนวคิดของฟูริเยร์คือการจำลองแหล่งความร้อนที่ซับซ้อนเป็นผลรวม (หรือการรวมเชิงเส้น ) ของคลื่นไซน์และโคไซน์ที่เรียบง่าย และเขียนคำตอบเป็นผลรวมของคำตอบเฉพาะที่ สอดคล้องกัน ผล รวมหรือการรวมเชิงเส้นนี้เรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์

จากมุมมองสมัยใหม่ ผลลัพธ์ของฟูริเยร์ค่อนข้างไม่เป็นทางการ เนื่องจากขาดแนวคิดที่ชัดเจนเกี่ยวกับฟังก์ชันและอินทิกรัลในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้า ต่อมา ปีเตอร์ กุสตาฟ เลอฌูน ดิริชเลต์^{[ 7 ]}และเบอร์นาร์ด รีมันน์^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ได้แสดงผลลัพธ์ของฟูริเยร์ด้วยความแม่นยำและเป็นทางการมากขึ้น

แม้ว่าแรงจูงใจดั้งเดิมคือการแก้สมการความร้อน แต่ต่อมาก็เห็นได้ชัดว่าเทคนิคเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับปัญหาทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ได้หลากหลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ ซึ่งผลเฉลยของค่าลักษณะเฉพาะเป็นไซน์ อนุกรมฟูริเยร์มีการประยุกต์ใช้มากมายในวิศวกรรมไฟฟ้าการวิเคราะห์การสั่นสะเทือนอะคูสติก ส์ ออปติกส์การประมวลผลสัญญาณการประมวลผลภาพกลศาสตร์ ค ^วอนตัมเศรษฐศาสตร์ [ ^{11 ]}ทฤษฎีเปลือก^{[ 12 ]}เป็นต้น

โจเซฟ ฟูริเยร์ เขียนว่า^{[ 13 ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

คูณทั้งสองข้างด้วยแล้วทำการอินทิเกรตจากถึง จะได้: ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle y=-1}$${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

วิธีนี้จะให้ค่าสัมประสิทธิ์a _kของอนุกรมตรีโกณมิติสำหรับ φ( y ) สำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่มีการขยายอนุกรมดังกล่าวได้ทันที วิธีนี้ใช้ได้ผลเพราะถ้า φ มีการขยายอนุกรมดังกล่าวแล้ว (ภายใต้สมมติฐานการลู่เข้าที่เหมาะสม) สามารถทำการอินทิเกรตทีละพจน์ได้ แต่พจน์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับj ≠ k จะหายไปเมื่อทำการอินทิ เก รตจาก −1 ถึง 1 เหลือเพียงพจน์เดียวซึ่งคือ1$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$

ในเพียงไม่กี่บรรทัดนี้ ซึ่งใกล้เคียงกับรูปแบบ สมัยใหม่ ที่ใช้ในอนุกรมฟูริเยร์ ฟูริเยร์ได้ปฏิวัติทั้งคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ แม้ว่าอนุกรมตรีโกณมิติที่คล้ายกันจะเคยถูกใช้มาก่อนโดยออยเลอร์ ดาเล มแบร์ ดาเนียล เบอร์นูลลีและเกาส์แต่ฟูริเยร์เชื่อว่าอนุกรมตรีโกณมิติดังกล่าวสามารถแทนฟังก์ชันใดๆ ก็ได้ ในแง่ที่ว่าสิ่งนั้นเป็นจริงอย่างไรเป็นประเด็นที่ค่อนข้างละเอียดอ่อน และความพยายามตลอดหลายปีที่ผ่านมาในการชี้แจงแนวคิดนี้ได้นำไปสู่การค้นพบที่สำคัญในทฤษฎีการลู่เข้า ปริภูมิฟังก์ชันและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก

เมื่อฟูริเยร์ส่งเรียงความเข้าประกวดในภายหลังในปี พ.ศ. 2354 คณะกรรมการ (ซึ่งรวมถึงลากรองจ์ลาปลาซ มาลัสและเลอฌองเดรเป็นต้น) สรุปว่า "...วิธีการที่ผู้เขียนได้มาซึ่งสมการเหล่านี้ไม่ได้ปราศจากความยากลำบาก และ...การวิเคราะห์เพื่อบูรณาการสมการเหล่านี้ยังคงมีข้อบกพร่องอยู่บ้างในแง่ของความเป็นทั่วไปและแม้กระทั่งความเข้มงวด " ^{[ 14 ]}

การขยายอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันฟันเลื่อย (ด้านล่าง) ดูซับซ้อนกว่าสูตรอย่างง่ายดังนั้นจึงไม่ชัดเจนในทันทีว่าทำไมจึงต้องใช้อนุกรมฟูริเยร์ แม้ว่าจะมีแอปพลิเคชันมากมาย แต่แรงจูงใจของฟูริเยร์คือการแก้สมการความร้อนตัวอย่างเช่น พิจารณาแผ่นโลหะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวเมตร โดยมีพิกัดถ้าไม่มีแหล่งความร้อนภายในแผ่น และถ้าด้านสามในสี่ด้านมีอุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียส ในขณะที่ด้านที่สี่ซึ่งกำหนดโดย มีอุณหภูมิไล่ระดับ องศาเซลเซียส สำหรับในแล้วเราสามารถแสดงได้ว่าการกระจายความร้อนแบบคงที่ (หรือการกระจายความร้อนหลังจากเวลาผ่านไปนาน) กำหนดโดย ${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$${\displaystyle y=\pi }$${\displaystyle T(x,\pi )=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

นี่คือ ฟังก์ชัน ไซน์ไฮเปอร์โบลิกวิธีแก้สมการความร้อนนี้ได้มาจากการคูณแต่ละพจน์ของสมการจากหัวข้อการวิเคราะห์ § ตัวอย่างด้วยแม้ว่าฟังก์ชันตัวอย่างของเราดูเหมือนจะมีอนุกรมฟูริเยร์ที่ซับซ้อนโดยไม่จำเป็น แต่การกระจายความร้อนนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย ฟังก์ชันนี้ไม่สามารถเขียนเป็นนิพจน์แบบปิดได้วิธีการแก้ปัญหาความร้อนนี้เป็นไปได้ด้วยงานของฟูริเยร์ ${\displaystyle \sinh }$${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle T(x,y)}$${\displaystyle T}$

การประยุกต์ใช้อีกประการหนึ่งคือการแก้ปัญหาบาเซิลโดยใช้ทฤษฎีบทของปาร์เซวาลตัวอย่างนี้สามารถขยายความได้ และเราสามารถคำนวณζ (2 n ) สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ ได้

อนุกรมฟูริเยร์ของ ฟังก์ชัน P-คาบ เชิงซ้อนที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งสามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วงบนเส้นจำนวนจริง ถูกกำหนดให้เป็นอนุกรมตรีโกณมิติในรูปแบบ ที่ สัมประสิทธิ์ ฟูริเยร์เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดโดยปริพันธ์^{[ 15 ] [ 16 ]} อนุกรมนี้ไม่จำเป็นต้องลู่เข้า (ใน ความหมาย แบบจุดต่อจุด ) และถึงแม้จะลู่เข้า ก็ไม่จำเป็นต้องเท่ากับเฉพาะเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ (เช่น ถ้าเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง) อนุกรมฟูริเยร์จึงลู่เข้าสู่ นั่นคือ สำหรับฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขความเพียงพอของ Dirichletการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดจะเกิดขึ้น^{[ 17 ]}อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขเหล่านี้ไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็นและมีทฤษฎีบทมากมายเกี่ยวกับการลู่เข้าประเภทต่างๆ ของอนุกรมฟูริเยร์ (เช่นการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอหรือการลู่เข้าแบบค่าเฉลี่ย ) ^{[ 18 ]}นิยามนี้ขยายไปสู่อนุกรมฟูริเยร์ของการกระจาย (แบบคาบ) (เรียกอีกอย่างว่า อนุกรม ฟูริเยร์-ชวาร์ตซ์ ) ได้อย่างเป็นธรรมชาติ ^{[ 19 ]}จากนั้นอนุกรมฟูริเยร์จะลู่เข้าสู่ในความหมายของการกระจาย^{[ 20 ]}${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle [0,P]}$$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$$${\displaystyle c_{n}}$$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s(x)\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dx.}$$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s(x)}$$${\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$$${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$

กระบวนการหาค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชันหรือสัญญาณที่กำหนดเรียกว่าการวิเคราะห์ในขณะที่การสร้างอนุกรมตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้อง (หรือการประมาณค่าต่างๆ) เรียกว่าการสังเคราะห์

อนุกรมฟูริเยร์สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่เทียบเท่ากันหลายรูปแบบ ดังแสดงในที่นี้เป็นผลรวมย่อยของอนุกรมฟูริเยร์ของ: ^{[ 21 ]}${\displaystyle N^{\text{th}}}$${\displaystyle s_{N}(x)}$${\displaystyle s(x)}$

รูปแบบไซน์-โคไซน์

${\displaystyle s_{N}(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+b_{n}\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\right)}$

สมการที่ 1

รูปแบบเลขชี้กำลัง

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}}$

สมการที่ 2

ฮาร์โมนิกส์จะถูกกำหนดดัชนีด้วยจำนวนเต็มซึ่งเป็นจำนวนรอบที่คลื่นไซน์ที่สอดคล้องกันสร้างขึ้นในช่วงเวลาดังนั้น คลื่นไซน์จึงมีลักษณะดังนี้:${\displaystyle n,}$${\displaystyle P}$

• ความยาวคลื่นเท่ากับ ใน หน่วยเดียวกับ${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$${\displaystyle x}$
• ความถี่เท่ากับในหน่วยผกผันของ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$${\displaystyle x}$

อนุกรมเหล่านี้สามารถแทนฟังก์ชันที่เป็นเพียงผลรวมของความถี่หนึ่งหรือมากกว่าในสเปกตรัมฮาร์มอนิกได้ ในกรณีลิมิตอนุกรมตรีโกณมิติยังสามารถแทนความถี่ระดับกลางหรือฟังก์ชันที่ไม่ใช่ไซน์ได้ เนื่องจากมีจำนวนพจน์อนันต์ ${\displaystyle N\to \infty }$

สัมประสิทธิ์สามารถกำหนด/สมมติได้ เช่น เครื่องสังเคราะห์เสียงดนตรีหรือตัวอย่างเวลาของรูปคลื่น ในกรณีหลัง รูปแบบเลขชี้กำลังของอนุกรมฟูริเยร์จะสังเคราะห์การแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่องโดยที่ตัวแปรแทนความถี่แทนเวลา โดยทั่วไป สัมประสิทธิ์จะถูกกำหนดโดยการวิเคราะห์ฟังก์ชันที่กำหนดซึ่งโดเมนของคำจำกัดความคือช่วงความยาว^{[ B ] [ 22 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle P}$

สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx&\\&a_{n}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx,\ &{\textrm {for}}~n\geq 1\\&b_{n}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx,\ &{\text{for}}~n\geq 1\\\end{aligned}}}$

สมการที่ 3

ปัจจัยมาตราส่วนได้มาจากการแทนสมการที่ 1ลงในสมการที่ 3และใช้ความเป็นตั้งฉากของระบบตรีโกณมิติ [ ^{23 ] ความ}เท่าเทียมกันของสมการที่ 1และสมการที่ 2มาจากสูตรของออยเลอร์ ส่งผลให้: ${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}$$

โดยเป็นค่าเฉลี่ยของช่วง^{[ 24 ]}ในทางกลับกัน :${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle P}$

พิจารณาฟังก์ชันฟันเลื่อย: ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์กำหนดโดย สามารถแสดงได้ว่าอนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าสู่ ที่ทุกจุดที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และดังนั้น: เมื่ออนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าสู่ 0 ซึ่งเป็นผลรวมครึ่งหนึ่งของลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของที่นี่เป็นกรณีเฉพาะของทฤษฎีบทดิริชเลต์สำหรับอนุกรมฟูริเยร์ $${\displaystyle s(x)=s(x+2\pi k)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,{\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=0.\\a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 1.\\b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}}$$${\displaystyle x=\pi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle x=\pi }$

ตัวอย่างนี้จะนำไปสู่ทางออกของปัญหาบาเซิล

ถ้าฟังก์ชันเป็นค่าจริง อนุกรมฟูริเยร์ก็สามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 25 ] [ 26 ]}${\displaystyle s(x)}$

รูปแบบแอมพลิจูด-เฟส

${\displaystyle s_{N}(x)=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}$

สมการที่ 4

โดยที่คือแอมพลิจูดและคือการเปลี่ยนแปลงเฟสของฮาร์มอนิก ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}}$${\displaystyle n^{th}}$

ความเท่าเทียมกันของสมการที่ 4และสมการที่ 1เป็นผลมาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติซึ่ง หมายความว่า^{[ 27 ]}$${\displaystyle \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)=\cos(\varphi _{n})\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right),}$$$${\displaystyle a_{n}=A_{n}\cos(\varphi _{n})\quad {\text{and}}\quad b_{n}=A_{n}\sin(\varphi _{n})}$$

คือพิกัดสี่เหลี่ยมของเวกเตอร์ที่เขียนในพิกัดเชิงขั้วดังนี้ โดย ที่ $${\displaystyle A_{n}\angle \varphi _{n}=a_{n}+ib_{n}}$$$${\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \varphi _{n}=\operatorname {atan2} (b_{n},a_{n})=-\operatorname {Arg} (c_{n})}$$

ตัวอย่างของการกำหนดค่าพารามิเตอร์สำหรับค่าหนึ่งของแสดงในรูปที่ 2 ซึ่งเป็นค่าของที่มีความสัมพันธ์สูงสุดระหว่างและแม่แบบโคไซน์กราฟสีน้ำเงินคือฟังก์ชันความสัมพันธ์ไขว้หรือที่รู้จักกันในชื่อตัวกรองแบบจับคู่ (matched filter ) ${\displaystyle \varphi _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle \cos(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} (\varphi )&=\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx\quad \varphi \in \left[0,2\pi \right]\\&=\cos(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(0)}+\sin(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(\pi /2)}\end{aligned}}}$

โชคดีที่ไม่จำเป็นต้องประเมินฟังก์ชันทั้งหมดนี้ เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด: ดังนั้น $${\displaystyle X'(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot X(0)-\cos(\varphi )\cdot X(\pi /2)=0,\quad {\textrm {at}}\ \varphi =\varphi _{n}.}$$$${\displaystyle \varphi _{n}\equiv \arctan(b_{n}/a_{n})=\arctan(X(\pi /2)/X(0)).}$$

สัญลักษณ์ดังกล่าวไม่เพียงพอสำหรับการอธิบายสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชันต่างๆ หลายฟังก์ชัน ดังนั้นจึงมักแทนที่ด้วยรูปแบบที่ดัดแปลงของฟังก์ชัน ( ในกรณีนี้) เช่นหรือและสัญลักษณ์เชิงฟังก์ชันมักใช้แทนการใช้ตัวห้อย:${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$${\displaystyle S[n],}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

ในทางวิศวกรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรแทนเวลา ลำดับสัมประสิทธิ์จะเรียกว่า การแสดงผล ในโดเมนความถี่วงเล็บเหลี่ยมมักใช้เพื่อเน้นว่าโดเมนของฟังก์ชันนี้คือเซตของความถี่ที่ไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle x}$

การแสดงผลในโดเมนความถี่ที่นิยมใช้อีกวิธีหนึ่งคือการใช้สัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์เพื่อปรับแต่งหวีดิแรก :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

โดยที่แทนโดเมนความถี่ต่อเนื่อง เมื่อตัวแปรมีหน่วยเป็นวินาทีจะมีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ "ซี่" ของหวีจะเว้นระยะห่างเป็นพหุคูณ (เช่นฮาร์โมนิก ) ของซึ่งเรียกว่าความถี่พื้นฐานสามารถกู้คืนได้จากการแสดงนี้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผัน : ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s(x).\end{aligned}}}$

ดังนั้น ฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจึงมักเรียกว่าการแปลงฟูริเยร์แม้ว่าปริพันธ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชันคาบจะไม่ลู่เข้าที่ความถี่ฮาร์มอนิกก็ตาม^{[ C ]}${\displaystyle S(f)}$

ตารางด้านล่างแสดงคู่ฟังก์ชันคาบที่พบได้ทั่วไปบางคู่และสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันเหล่านั้น

• ${\displaystyle s(x)}$กำหนดฟังก์ชันคาบที่มีคาบ${\displaystyle P.}$
• ${\displaystyle a_{0},a_{n},b_{n}}$ระบุค่าสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ (รูปแบบไซน์-โคไซน์) ของฟังก์ชันคาบ${\displaystyle s(x).}$

โดเมนเวลา ${\displaystyle s(x)}$	พล็อต	โดเมนความถี่ (รูปแบบไซน์-โคไซน์) ${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$	หมายเหตุ	อ้างอิง
${\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$	ไซน์ที่ถูกแก้ไขแบบเต็มคลื่น	[ 28 ] : หน้า 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{for }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$	ไซน์ที่ถูกแก้ไขครึ่งคลื่น	[ 28 ] : หน้า 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{2}}\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[ 28 ] : หน้า 192
${\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{2}}\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[ 28 ] : หน้า 192
${\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$		[ 28 ] : หน้า 193

ตารางนี้แสดงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างในโดเมนเวลาและผลกระทบที่เกิดขึ้นกับสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ สัญลักษณ์:

• การผันคอนจูเกชันที่ซับซ้อนจะแสดงด้วยเครื่องหมายดอกจัน
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$กำหนดฟังก์ชันคาบหรือฟังก์ชันที่กำหนดไว้เฉพาะสำหรับ${\displaystyle P}$${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$กำหนดค่าสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ (รูปแบบเลขชี้กำลัง) ของและ${\displaystyle s}$${\displaystyle r.}$

คุณสมบัติ	โดเมนเวลา	โดเมนความถี่ (รูปแบบเลขชี้กำลัง)	หมายเหตุ	อ้างอิง
ความเป็นเส้นตรง	${\displaystyle a\cdot s(x)+b\cdot r(x)}$	${\displaystyle a\cdot S[n]+b\cdot R[n]}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$
การย้อนเวลา / การย้อนความถี่	${\displaystyle s(-x)}$	${\displaystyle S[-n]}$		[ 29 ] : หน้า 610
การผันเวลา	${\displaystyle s^{*}(x)}$	${\displaystyle S^{*}[-n]}$		[ 29 ] : หน้า 610
การย้อนเวลาและการผันคำกริยา	${\displaystyle s^{*}(-x)}$	${\displaystyle S^{*}[n]}$
ส่วนที่แท้จริงในเวลา	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])}$
ส่วนจินตนาการในเวลา	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])}$
ส่วนจริงในความถี่	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S[n])}}$
ส่วนจินตนาการในความถี่	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S[n])}}$
การเลื่อนเวลา / การปรับความถี่	${\displaystyle s(x-x_{0})}$	${\displaystyle S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}}$	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$	[ 29 ] : หน้า 610
การเปลี่ยนแปลงความถี่ / การปรับเวลา	${\displaystyle s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}}$	${\displaystyle S[n-n_{0}]\!}$	${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} }$	[ 29 ] : หน้า 610

เมื่อส่วนจริงและส่วนจินตนาการของฟังก์ชันเชิงซ้อนถูกแยกออกเป็นส่วนคู่และส่วนคี่จะมีส่วนประกอบสี่ส่วน ซึ่งแสดงไว้ด้านล่างด้วยตัวห้อยRE, RO, IE และ IO และมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างส่วนประกอบทั้งสี่ของฟังก์ชันเวลาเชิงซ้อนและส่วนประกอบทั้งสี่ของการแปลงความถี่เชิงซ้อน: ^{[ 30 ] [ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&s&=&s_{\mathrm {RE} }&+&s_{\mathrm {RO} }&+&i\ s_{\mathrm {IE} }&+&i\ s_{\mathrm {IO} }\\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&S&=&S_{\mathrm {RE} }&+&i\ S_{\mathrm {IO} }\,&+&i\ S_{\mathrm {IE} }&+&S_{\mathrm {RO} }\end{array}}}$

จากสิ่งนี้ ความสัมพันธ์ต่างๆ ปรากฏให้เห็นได้ชัดเจน ตัวอย่างเช่น:

• การแปลงของฟังก์ชันค่าจริงคือฟังก์ชันสมมาตรสังยุค ในทางกลับกัน การแปลง สมมาตรสังยุคหมายถึงโดเมนเวลาค่าจริง${\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+s_{\mathrm {RO} })}$${\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+i\ S_{\mathrm {IO} }.}$
• การแปลงของฟังก์ชันค่าจินตนาการคือฟังก์ชันปฏิสมมาตรสังยุคและในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน${\displaystyle (i\ s_{\mathrm {IE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })}$${\displaystyle S_{\mathrm {RO} }+i\ S_{\mathrm {IE} },}$
• การแปลงของฟังก์ชันสมมาตรสังยุคคือฟังก์ชันค่าจริงและในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน${\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })}$${\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+S_{\mathrm {RO} },}$
• การแปลงของฟังก์ชันปฏิสมมาตรคู่ควบคือฟังก์ชันค่าจินตนาการและข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน${\displaystyle (s_{\mathrm {RO} }+i\ s_{\mathrm {IE} })}$${\displaystyle i\ S_{\mathrm {IE} }+i\ S_{\mathrm {IO} },}$

ถ้าสามารถหาปริพันธ์ได้ , , และ${\displaystyle S}$${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันคาบในช่วงเวลาที่มีความยาวแล้ว:${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{2}(P)}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$$

ถ้าเป็นสัมประสิทธิ์ และแล้วจะมีฟังก์ชันเฉพาะตัวหนึ่งที่ทำให้สำหรับทุกๆ ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$${\displaystyle S[n]=c_{n}}$${\displaystyle n}$

กำหนดให้เป็นฟังก์ชันคาบและมีสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์และ${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{P}}$${\displaystyle r_{P}}$${\displaystyle S[n]}$${\displaystyle R[n],}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• ผลคูณแบบจุดต่อจุด: ก็เป็นคาบเช่นกัน และสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ของมันกำหนดโดยการสังเคราะห์แบบไม่ต่อเนื่องของลำดับและ:$${\displaystyle h_{P}(x)\triangleq s_{P}(x)\cdot r_{P}(x)}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• การสังเคราะห์แบบคาบ (periodic convolution ) ก็เป็นแบบคาบเช่นกัน โดยมีสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ดังนี้:$${\displaystyle h_{P}(x)\triangleq \int _{P}s_{P}(\tau )\cdot r_{P}(x-\tau )\,d\tau }$$${\displaystyle P}$$${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• ลำดับอนันต์สองเท่าในคือลำดับของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชันในก็ต่อเมื่อเป็นการสังเคราะห์ของลำดับสองลำดับในดู^{[ 32 ]}${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันคาบ บนซึ่งอนุพันธ์อันดับ คือ ครั้ง และอนุพันธ์ต่อเนื่อง แล้วจะอยู่ในปริมาณฟังก์ชัน ${\displaystyle s}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$

• ถ้าแล้วสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของอนุพันธ์ของสามารถแสดงได้ในรูปของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของโดยใช้สูตรโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากสำหรับค่าคงที่ใดๆเรามีเมื่อ ดังนั้นจึงมีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์ กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ฟูริเย ร์ลู่เข้าสู่ศูนย์เร็วกว่ากำลังของ${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=\left(i{\frac {2\pi n}{P}}\right)^{k}{\widehat {s}}[n].}$$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle |n|}$

หนึ่งในคุณสมบัติที่น่าสนใจของการแปลงฟูริเยร์ที่เราได้กล่าวถึงไปแล้ว คือการแปลงคอนโวลูชันไปเป็นผลคูณแบบจุดต่อจุด หากเราต้องการรักษาคุณสมบัตินี้ไว้ เราสามารถสร้างอนุกรมฟูริเยร์บนกลุ่มกระชับ ใดๆ ก็ได้ ตัวอย่างทั่วไปได้แก่กลุ่มคลาสสิกที่เป็นกลุ่มกระชับ ซึ่งเป็นการขยายการแปลงฟูริเยร์ไปยังปริภูมิทั้งหมดในรูปแบบL ² ( G ) โดยที่Gเป็นกลุ่มกระชับ ในลักษณะที่การแปลงฟูริเยร์แปลงคอนโวลูชันไปเป็นผลคูณแบบจุดต่อจุด อนุกรมฟูริเยร์มีอยู่และลู่เข้าในลักษณะที่คล้ายคลึงกับกรณี [− π , π ]

ทฤษฎีบทปีเตอร์-เวย์ลเป็นส่วนขยายทางเลือกของกลุ่มกระชับซึ่งพิสูจน์ผลลัพธ์เกี่ยวกับการแทนกลุ่มกระชับในลักษณะเดียวกับผลลัพธ์เกี่ยวกับกลุ่มจำกัด

ถ้าโดเมนไม่ใช่กลุ่ม ก็จะไม่มีการสังเคราะห์ที่กำหนดไว้โดยเนื้อแท้ อย่างไรก็ตาม ถ้าเป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ขนาดกะทัดรัดมันจะมีตัวดำเนินการลาปลาซ-เบลทรามี ตัวดำเนินการลาปลาซ-เบลทรามีคือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกับตัวดำเนินการลาปลาซสำหรับแมนิโฟลด์ แบบรีมันน์ จากนั้นโดยการเปรียบเทียบ เราสามารถพิจารณาสมการความร้อนบน ได้เนื่องจากฟูริเยร์ได้ฐานของเขามาจากการพยายามแก้สมการความร้อน การวางนัยทั่วไปตามธรรมชาติคือการใช้ผลเฉลยเฉพาะของตัวดำเนินการลาปลาซ-เบลทรามีเป็นฐาน ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของอนุกรมฟูริเยร์ไปยังปริภูมิประเภทโดยที่เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ อนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าในลักษณะที่คล้ายกับกรณี ตัวอย่างทั่วไปคือการเลือกให้เป็นทรงกลมที่มีเมตริกปกติ ในกรณีนี้ฐานฟูริเยร์ประกอบด้วยฮาร์มอนิกทรงกลม ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle X}$

การสรุปทั่วไปสำหรับกลุ่มกระชับที่กล่าวถึงข้างต้นนั้น ไม่สามารถสรุปทั่วไปสำหรับกลุ่มไม่กระชับและไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียนได้อย่างไรก็ตาม มีการสรุปทั่วไปโดยตรงสำหรับกลุ่มอาเบเลียนกระชับเฉพาะที่ (LCA )

นี่เป็นการขยายการแปลงฟูริเยร์ไปสู่​​หรือโดยที่เป็นกลุ่ม LCA ถ้าเป็นกลุ่มกระชับ เราจะได้อนุกรมฟูริเยร์ซึ่งลู่เข้าในลักษณะเดียวกันกับกรณี แต่ถ้าเป็นกลุ่มไม่กระชับ เราจะได้ปริพันธ์ฟูริเยร์ แทน การขยายความทั่วไปนี้ให้ผลลัพธ์ เป็นการแปลงฟูริเยร์แบบปกติเมื่อกลุ่มอาเบเลียนกระชับเฉพาะที่พื้นฐานคือ ${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{2}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ในทางรูปธรรม อนุกรมฟูริเยร์-สตีลเจสสามารถนิยามได้ว่าเป็นอนุกรมฟูริเยร์ที่มีสัมประสิทธิ์กำหนดโดย สำหรับใดๆโดยที่ คือ มาตรวัดบอเรลแบบจำกัดพื้นที่บนช่วงดังนั้น เมื่อฟังก์ชันนี้จึงเรียกว่าการแปลงฟูริเยร์-สตีลเจสด้วย^{[ 33 ] [ 34 ]}$${\displaystyle c_{n}={\hat {\mu }}(n)={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,d\mu (x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle \mu \in M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [0,P]}$${\displaystyle \mu \in M}$${\displaystyle {\hat {\mu }}(n)}$

สิ่งนี้สืบเนื่องมาจากการแสดง มาตรวัด Radonที่ชัดเจนและเป็นรูปธรรมมากขึ้น(เช่นมาตรวัด Borel ที่มีค่าจำกัดเฉพาะที่ ) บนซึ่งกำหนดโดยF. Rieszนั่นคือ ถ้าเป็นฟังก์ชันของการแปรผันที่มีขอบเขตบนช่วงแล้วสัมประสิทธิ์ Fourier สามารถแสดงได้ด้วย ปริพันธ์ Riemann-Stieltjes ที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ Fourier-Stieltjesของ^{[ 35 ]}เนื่องจากอนุพันธ์เชิงการกระจายของเป็นมาตรวัด Radon จึงอยู่ภายใต้การแยกส่วน Lebesgueและสามารถแสดงได้เป็น[ ^{36 ] [ 37 ] ถ้า}การแสดงออกลดลงเหลือคำจำกัดความดั้งเดิมของสัมประสิทธิ์ Fourier ดังนั้นอนุกรม Fourier จึงเป็นอนุกรม Fourier-Stieltjes ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle [0,P]}$$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dF(x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle dF=F'dx+dF_{s}}$${\displaystyle dF_{s}=0}$

คำถามที่ว่ามีอยู่หรือไม่สำหรับลำดับรูปแบบที่กำหนดนั้นเป็นพื้นฐานของปัญหาโมเมนต์ตรีโกณมิติ^{[ 38 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c_{n}}$

อนุกรมฟูริเยร์สามารถขยายทั่วไปได้อีกจากมาตรวัดไปสู่การแจกแจงหากสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ถูกกำหนดโดยการแจกแจงอนุกรมนี้บางครั้งเรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์-ชวาร์ตซ์^{[ 39 ]}${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'}$

แม้ว่าการตัดสินใจว่าอนุกรมที่กำหนดเป็นอนุกรมฟูริเยร์หรืออนุกรมฟูริเยร์-สตีลต์เจสจะเป็นเรื่องยากมาก แต่การตัดสินใจว่าเป็นอนุกรมฟูริเยร์-ชวาร์ตซ์หรือไม่นั้นค่อนข้างง่าย^{[ 40 ]}

เราสามารถกำหนดอนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันสองตัวแปรและในกำลังสอง ได้เช่นกัน : ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

นอกเหนือจากประโยชน์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เช่น สมการความร้อนแล้ว การประยุกต์ใช้ที่สำคัญอย่างหนึ่งของอนุกรมฟูริเยร์บนกำลังสองคือการบีบอัดภาพโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มาตรฐานการบีบอัดภาพ JPEG ใช้ การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่องสองมิติ ซึ่ง เป็นรูปแบบไม่ต่อเนื่องของการแปลงโคไซน์ฟูริเยร์โดยใช้เพียงฟังก์ชันโคไซน์เป็นฟังก์ชันพื้นฐาน

สำหรับอาร์เรย์สองมิติที่มีลักษณะสลับกัน สัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ครึ่งหนึ่งจะหายไปเนื่องจากสมมาตรเพิ่มเติม^{[ 41 ]}

แลตทิซบราเวส์สามมิติถูกนิยามว่าเป็นเซตของเวกเตอร์ในรูปแบบ โดยที่เป็นจำนวนเต็ม และเป็นเวกเตอร์สามตัวที่เป็นอิสระเชิงเส้น แต่ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน ลองพิจารณาฟังก์ชันบางฟังก์ชันที่มีคาบเดียวกันกับแลตทิซบราเว ส์ นั่นคือสำหรับเวกเตอร์แลตทิซใดๆสถานการณ์นี้มักเกิดขึ้นในฟิสิกส์ของของแข็งโดยที่อาจแทนศักยภาพที่มีประสิทธิภาพที่อิเล็กตรอน "รู้สึก" ภายในผลึกที่มีคาบ ในกรณีที่มีศักยภาพที่มีคาบเช่นนี้ คำอธิบายทางกลศาสตร์ควอนตัมของอิเล็กตรอนจะส่งผลให้เกิดคลื่นระนาบที่ถูกปรับเปลี่ยนเป็นคาบ ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าสถานะ บล็อก$${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

เพื่อที่จะพัฒนาอนุกรมฟูริเยร์ จึงสะดวกที่จะแนะนำฟังก์ชันเสริมทั้งและต่างก็มีข้อมูลพื้นฐานเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม แทนที่จะใช้เวกเตอร์ตำแหน่งอาร์กิวเมนต์ของจะเป็นพิกัดตามเวกเตอร์หน่วยของแลตทิซบราเวส์ เช่นเป็นฟังก์ชันคาบปกติในตัวแปรเหล่านี้เทคนิคนี้ช่วยให้เราพัฒนาเป็นอนุกรมฟูริเยร์หลายมิติได้ ในลักษณะเดียวกันกับฟังก์ชันคาบกำลังสองที่กล่าวถึงในส่วนก่อนหน้า สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของมันคือโดยที่ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม มีบทบาทเช่นเดียวกับสัมประสิทธิ์ในส่วนก่อนหน้า แต่เพื่อหลีกเลี่ยงการใช้ตัวห้อยซ้ำ เราจึงใช้สัญลักษณ์เป็นฟังก์ชัน ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f{\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)}.}$$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle x_{1,2,3}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}/{a_{i}}}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3})\quad \forall \;x_{1},x_{2},x_{3}.}$$${\displaystyle g}$$${\displaystyle {\begin{aligned}c(m_{1},m_{2},m_{3})={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,g(x_{1},x_{2},x_{3})\,e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}},}$$${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$${\displaystyle c(m_{1},m_{2},m_{3})}$${\displaystyle c_{j,k}}$

เมื่อเราได้สัมประสิทธิ์เหล่านี้แล้ว ฟังก์ชันสามารถกู้คืนได้โดยใช้ชุดอนุกรมฟูริเยร์ตอนนี้เราต้องการละทิ้งพิกัดเสริมและกลับไปยังเวกเตอร์ตำแหน่งเดิมซึ่งสามารถทำได้โดยใช้แลตติซผกผันซึ่งเวกเตอร์ถูกกำหนดให้เป็นออร์โทนอร์มอล (โดยมีตัวประกอบ) กับเวกเตอร์บราเวส์เดิมพร้อมด้วยเดลต้าโครเนกเกอร์ด้วยวิธีนี้ ผลคูณเชิงสเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์แลตติซผกผันและเวกเตอร์ตำแหน่งใดๆที่เขียนในฐานแลตติซบราเวส์จะกลายเป็น ซึ่งเป็นนิพจน์ที่ปรากฏในเลขชี้กำลังฟูริเยร์พอดี ดังนั้น ชุดอนุกรมฟูริเยร์สำหรับจึงสามารถเขียนใหม่ได้เป็นผลรวมของเวกเตอร์แลตติซผกผันทั้งหมดและสัมประสิทธิ์คืองานที่เหลือคือการแปลงปริพันธ์เหนือพิกัดแลตติซนี้กลับไปเป็นปริพันธ์ปริมาตร ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดแลตติสและพิกัดคาร์ทีเซียนดั้งเดิม เป็นระบบสมการเชิงเส้น ซึ่งเมื่อเขียนในรูปแบบเมทริกซ์จะเกี่ยวข้องกับเมทริกซ์คงที่ที่มีคอลัมน์เป็นเวกเตอร์หน่วยของแลตติสบราเวส์ เมื่อเปลี่ยนตัวแปรจากเป็นในอินทิกรัล เมทริกซ์เดียวกันจะปรากฏเป็นเมทริกซ์จาโคเบียน${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }\,c(m_{1},m_{2},m_{3})\,e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$${\displaystyle x_{1,2,3}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {b} _{1,2,3}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbf {a} _{1,2,3}}$$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b_{j}} =2\pi \delta _{ij},}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right),}$$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=g(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle \mathbf {Q} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {Q} }c(\mathbf {Q} )\,e^{i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} },}$$$${\displaystyle c(\mathbf {Q} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)e^{-i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} }.}$$${\displaystyle x_{1,2,3}}$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$$${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=\mathbf {J} {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}},{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}},{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\,,}$$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {a} _{j}/a_{j}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle \mathbf {J} }$$${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial y}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial z}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}\,.}$$