ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเกาส์เซียนซึ่งมักเรียกสั้นๆ ว่า เกาส์ เซียนคือฟังก์ชันในรูปแบบพื้นฐาน ที่มีการขยายแบบพาราเมตริก สำหรับค่าคงที่จริง ใดๆ a , b และ cที่ไม่เป็นศูนย์ ชื่อ ของฟังก์ชัน นี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์คาร์ล ฟรีดริช เกาส์กราฟของฟังก์ชันเกาส์เซียนมีลักษณะเป็นรูปทรง " ระฆังคว่ำ " ที่สมมาตร พารามิเตอร์aคือความสูงของจุดสูงสุดของเส้นโค้งbคือตำแหน่งแนวนอนของจุดศูนย์กลางของจุดสูงสุด และc ( ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานบางครั้งเรียกว่าความ กว้าง RMS ของเกาส์เซียน ) ควบคุมความกว้างของ "ระฆังคว่ำ" $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{2})}$$$${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)}$$

^{ฟังก์ชันเกา ส์}เซียนมักใช้เพื่อแสดงฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ที่ มีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าคาดหวังμ = bและความแปรปรวนσ² = ^c²ในกรณีนี้ ฟังก์ชันเกาส์เซียนจะมีรูปแบบ ดังนี้ ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).}$$

ฟังก์ชันเกาส์เซียนถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในทางสถิติเพื่ออธิบายการแจกแจงแบบปกติในการประมวลผลสัญญาณเพื่อกำหนดตัวกรองเกาส์เซียนในการประมวลผลภาพโดยใช้เกาส์เซียนสองมิติสำหรับการเบลอแบบเกาส์เซียนและในทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้สมการความร้อนและสมการการแพร่กระจายและเพื่อกำหนดการแปลงไวเออร์สตรัสนอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้อย่างมากมายในเคมีควอนตัมเพื่อสร้างชุดฐานอีก ด้วย

ฟังก์ชันเกาส์เซียนเกิดขึ้นจากการประกอบฟังก์ชันเลขชี้กำลังกับฟังก์ชันกำลังสองเว้า โดย ที่ (หมายเหตุ: ในไม่ควรสับสนกับ) $${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma \right),}$$$${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {1}{2c^{2}}},\qquad \beta ={\frac {b}{c^{2}}},\qquad \gamma =\ln a-{\frac {b^{2}}{2c^{2}}}.}$$${\textstyle a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$${\displaystyle \ln a}$${\textstyle \alpha =-{\tfrac {1}{2}}c^{2}}$

ดังนั้น ฟังก์ชันเกาส์เซียนจึงเป็นฟังก์ชันที่ค่าลอการิทึมเป็นฟังก์ชันกำลังสองเว้า

พารามิเตอร์cเกี่ยวข้องกับความกว้างเต็มที่ที่ครึ่งค่าสูงสุด (FWHM) ของยอดพีคตาม

$${\displaystyle {\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c.}$$

จากนั้นฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงได้ในรูปของค่า FWHM ซึ่งแทนด้วยw : $${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {4(\ln 2)(xb)^{2}}{w^{2}}}\right).}$$

อีกทางเลือกหนึ่ง พารามิเตอร์cสามารถตีความได้ว่าจุดเปลี่ยนเว้า สองจุด ของฟังก์ชันเกิดขึ้นที่ x = b ± c

ความกว้างเต็มที่ที่หนึ่งในสิบของค่าสูงสุด (FWTM) สำหรับฟังก์ชันเกาส์เซียนอาจเป็นสิ่งที่น่าสนใจและ $${\displaystyle {\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c.}$$

ฟังก์ชันเกาส์เซียนเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์และลิมิตของฟังก์ชันเมื่อx → ∞ จะมี ค่าเป็น 0 (สำหรับกรณีข้างต้นที่b = 0 )

ฟังก์ชันเกาส์เซียนเป็นฟังก์ชันประเภทหนึ่งที่เป็นฟังก์ชันพื้นฐานแต่ไม่มีอนุพันธ์ผกผัน พื้นฐาน อินทิกรัลของฟังก์ชันเกาส์เซียนคือฟังก์ชันความคลาดเคลื่อน :

$${\displaystyle \int \exp \left(-x^{2}\right)\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} x+C.}$$

อย่างไรก็ตาม อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมของพวกมันบนเส้นจำนวนจริงทั้งหมดสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำโดยใช้อินทิกรัลแบบเกาส์เซียน และจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-x^{2}\right)\,dx={\sqrt {\pi }},}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.}$$

อินทิกรัลนี้จะ มี ค่าเท่ากับ 1 ก็ต่อเมื่อ( ค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐาน ) และในกรณีนี้ ฟังก์ชันเกาส์เซียนคือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยμ = bและความแปรปรวนσ² = ^{c² :}${\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}$$

กราฟแสดงค่าเกาส์เซียนเหล่านี้แสดงอยู่ในรูปที่แนบมาด้วย

ผลคูณของฟังก์ชันเกาส์เซียนสองฟังก์ชันจะได้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียน และการสังเคราะห์ (convolution) ของฟังก์ชันเกาส์เซียนสองฟังก์ชันก็จะได้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนเช่นกัน โดยมีค่าความแปรปรวนเท่ากับผลรวมของค่าความแปรปรวนดั้งเดิมอย่างไรก็ตาม ผลคูณของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) เกาส์เซียนสองฟังก์ชัน โดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่ PDF เกาส์เซียน ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$

หลักการความไม่แน่นอนของฟูริเยร์จะกลายเป็นความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อมีการพิจารณาฟังก์ชันเกาส์เซียน (แบบปรับค่า) ^{[ 2 ]}

การ แปลงฟูริเยร์ (แบบเอกภาพ ตามแบบแผนความถี่เชิงมุม)ของฟังก์ชันเกาส์เซียนที่มีพารามิเตอร์a = 1 , b = 0และcจะได้ฟังก์ชันเกาส์เซียนอีกฟังก์ชันหนึ่งที่มีพารามิเตอร์, b = 0และ⁠${\displaystyle c}$1/ค[ ^{3 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันเกาส์เซียนที่มี b = 0และ c = aจะถูกตรึงไว้โดยการแปลงฟูริเยร์ (เป็นฟังก์ชันเฉพาะ ของการ แปลง ^{ฟู ริ}เยร์ที่มีค่าเฉพาะเท่ากับ 1) การรับรู้ทางกายภาพคือรูปแบบการเลี้ยวเบนตัวอย่างเช่นสไลด์ภาพถ่ายที่ มี การส่งผ่านแสงแบบเกาส์เซียนก็เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนเช่นกัน

ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันเกาส์เซียนเป็นฟังก์ชันเฉพาะของการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่อง ทำให้เราสามารถอนุมานเอกลักษณ์ที่น่าสนใจต่อไปนี้จากสูตรการรวมปัวซงได้ : $${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot (kc)^{2}\right).}$$

อินทิกรัลของฟังก์ชันเกาส์เซียนใดๆ คือ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dx=\ a\,|c|\,{\sqrt {2\pi }}.}$$

รูปแบบอื่นคือ กรณีที่fต้องเป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัดเพื่อให้ปริพันธ์ลู่เข้า $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }k\exp \left(-fx^{2}+gx+h\right)\,dx&=\int _{-\infty }^{\infty }k\exp \left(-f\left(x-{\frac {g}{2f}}\right)^{2}+{\frac {g^{2}}{4f}}+h\right)\,dx\\&=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),\end{aligned}}}$$

สามารถคำนวณอินทิกรัล สำหรับ ค่าคงที่ จริง บาง ค่าa , b , c > 0 ได้โดยการแปลงให้อยู่ในรูปของ อินทิกรัลเกาส์เซียนขั้นแรก สามารถดึงตัวประกอบaออกจากอินทิกรัลได้ จากนั้น เปลี่ยนตัวแปรของการอินทิเกรตจากxเป็นy = x − b : และจากนั้นเป็น: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dx}$$$${\displaystyle a\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dy,}$$${\textstyle z={\frac {y}{\sqrt {2c^{2}}}}}$$${\displaystyle a{\sqrt {2c^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-z^{2}\right)\,dz.}$$

จากนั้น ใช้เอกลักษณ์ปริพันธ์เกาส์เซียน$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-z^{2}\right)\,dz={\sqrt {\pi }},}$$

เรามี $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dx=a{\sqrt {2\pi c^{2}}}.}$$

รูปแบบพื้นฐาน: $${\displaystyle f(x,y)=\exp \left(-x^{2}-y^{2}\right)}$$

ในสองมิติ อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฟังก์ชันเกาส์เซียนคือรูปแบบกำลัง สองที่เป็นลบแน่นอนใดๆ ดังนั้นเซตระดับของฟังก์ชันเกาส์เซียนจึงเป็นวงรีเสมอ

ตัวอย่างเฉพาะของฟังก์ชันเกาส์เซียนสองมิติคือ $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).}$$

สัมประสิทธิ์Aคือแอมพลิจูด, , คือจุดศูนย์กลาง และσx ,  σyคือ การกระจายตัว ตาม แกน และของจุดนั้น รูปทางด้านขวาถูกสร้างขึ้นโดยใช้ค่าA  = 1, = 0, y₀ = 0 , σx = =

ปริมาตรใต้ฟังก์ชันเกาส์เซียนกำหนดโดย $${\displaystyle V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.}$$

โดยทั่วไป ฟังก์ชันเกาส์เซียนรูปวงรีสองมิติจะแสดงได้ดังนี้ โดย ที่เมทริกซ์ เป็นเมทริกซ์บวกกำหนด (positive-definite matrix ) $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}\right)\right),}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$$

โดยใช้สูตรนี้ สามารถสร้างรูปทางด้านขวาได้โดยใช้A = 1 , ( x , y ) = (0, 0) , a = c = ⁠1/2, b = 0.

สำหรับรูปแบบทั่วไปของสมการ สัมประสิทธิ์Aคือความสูงของจุดสูงสุด และ( x , y )คือจุดศูนย์กลางของกลุ่มก้อน

ถ้าเราตั้งค่า แล้วเราจะหมุนกลุ่มก้อนด้วยมุมทวนเข็มนาฬิกาที่เป็นบวก(สำหรับการหมุนตามเข็มนาฬิกาที่เป็นลบ ให้กลับเครื่องหมายใน สัมประสิทธิ์ b ) ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\b&=-{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\c&={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle \theta }$

เพื่อ ให้ได้ค่าสัมประสิทธิ์คืนมาและจากและใช้${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sigma _{X}}$${\displaystyle \sigma _{Y}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2b}{a-c}}\right),\quad \theta \in \left[-{\tfrac {\pi }{4}},{\tfrac {\pi }{4}}\right],\\\sigma _{X}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \cos ^{2}\theta +2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \sin ^{2}\theta )}},\\\sigma _{Y}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \sin ^{2}\theta -2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \cos ^{2}\theta )}}.\end{aligned}}}$$

ตัวอย่างการหมุนของกลุ่มจุดแบบเกาส์เซียนสามารถดูได้จากตัวอย่างต่อไปนี้:

เมื่อใช้โค้ด Octaveต่อไปนี้จะสามารถเห็นผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ได้อย่างง่ายดาย:

A = 1 ; x0 = 0 ; y0 = 0 ;ซิกมา_X = 1 ; ซิกมา_Y = 2 ;[ X , Y ] = meshgrid ( - 5 :. 1 : 5 , - 5 :. 1 : 5 );สำหรับtheta = 0 : pi / 100 : pi a = cos ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_X ^ 2 ) + sin ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_Y ^ 2 ); b = sin ( 2 * theta ) / ( 4 * sigma_X ^ 2 ) - sin ( 2 * theta ) / ( 4 * sigma_Y ^ 2 ); c = sin ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_X ^ 2 ) + cos ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_Y ^ 2 );Z = A * exp ( - ( a * ( X - x0 ) .^ 2 + 2 * b * ( X - x0 ) .* ( Y - y0 ) + c * ( Y - y0 ) .^ 2 ));surf ( X , Y , Z ); shading interp ; view ( - 36 , 36 ) waitforbuttonpress end

ฟังก์ชันดังกล่าว มักถูกใช้ในการประมวลผลภาพและในแบบจำลองเชิงคำนวณของ การทำงาน ของระบบการมองเห็น —ดูบทความเกี่ยวกับการปรับรูปร่าง ตาม มาตราส่วนและ แบบแอฟฟิ น

ดูเพิ่มเติมที่การแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปร

สามารถกำหนดสูตรทั่วไปของฟังก์ชันเกาส์เซียนที่มีจุดสูงสุดแบนราบและการลดลงแบบเกาส์เซียนได้โดยการยกกำลังเนื้อหาของเลขชี้กำลัง: ${\displaystyle P}$$${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P}\right).}$$

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันซูเปอร์เกาส์เซียนและมักใช้สำหรับการกำหนดสูตรลำแสงเกาส์เซียน^{[ 5 ]}ฟังก์ชันนี้อาจแสดงในรูปของความกว้างเต็มที่ที่ครึ่งค่าสูงสุด (FWHM) ซึ่งแสดงด้วยw : $${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\ln 2\left(4{\frac {(x-x_{0})^{2}}{w^{2}}}\right)^{P}\right).}$$

ในการกำหนดสูตรสองมิติ ฟังก์ชันเกาส์เซียนตามและสามารถรวมเข้าด้วยกันได้^{[ 6 ]}กับ และ ที่อาจแตกต่างกันเพื่อสร้างการกระจายเกาส์เซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า: หรือการกระจายเกาส์เซียนรูปวงรี: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P_{X}}$${\displaystyle P_{Y}}$$${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P_{X}}-\left({\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P_{Y}}\right).}$$$${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P}\right)}$$

ในปริภูมิn มิติ ฟังก์ชันเกาส์เซียนสามารถนิยามได้เป็น โดย ที่คือคอลัมน์ของพิกัดคือ เมทริกซ์ บวกกำหนดและแทนการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ ${\displaystyle n}$$${\displaystyle f(x)=\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx\right),}$$${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

อินทิกรัลของฟังก์ชันเกาส์เซียนนี้เหนือปริภูมิ n มิติทั้งหมดกำหนดโดย ${\displaystyle n}$$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx\right)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}$$

สามารถคำนวณได้ง่ายๆ โดยการหาค่าเฉพาะของเมทริกซ์และเปลี่ยนตัวแปรการอินทิเกรตเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นั้น ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันเกาส์เซียนแบบเลื่อนจะถูกกำหนดโดย โดย ที่คือเวกเตอร์การเลื่อน และเมทริกซ์สามารถถือได้ว่าเป็นเมทริกซ์สมมาตรและเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน อินทิกรัลต่อไปนี้ของฟังก์ชันนี้สามารถคำนวณได้ด้วยเทคนิคเดียวกัน: $${\displaystyle f(x)=\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x\right),}$$${\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}$$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\tfrac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\left(a^{\mathsf {T}}x\right)\,dx=\left(a^{\mathsf {T}}u\right)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\tfrac {1}{2}}C^{-1}v.}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\left(x^{\mathsf {T}}Dx\right)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(DC^{-1}\right)\right)\cdot {\mathcal {M}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} \left(C'\Lambda CB^{-1}\right)+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}\left(C'\Lambda s+C\Lambda s'\right)+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}}$$ ที่ไหน $${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}B^{-1}v,\quad v=s+s',\quad B=C+C'.}$$

หลายสาขา เช่นการวัดแสงดาว การวิเคราะห์ลักษณะ ลำแสงเกาส์เซียนและสเปกโทรสโกปีเส้นการปล่อย/ดูดกลืนแสงทำงานกับฟังก์ชันเกาส์เซียนที่สุ่มตัวอย่าง และจำเป็นต้องประมาณค่าพารามิเตอร์ความสูง ตำแหน่ง และความกว้างของฟังก์ชันอย่างแม่นยำ ฟังก์ชันเกาส์เซียน 1 มิติมีพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า 3 ตัว ( a , b , c ) และฟังก์ชันเกาส์เซียน 2 มิติมี 5 ตัว ${\displaystyle (A;x_{0},y_{0};\sigma _{X},\sigma _{Y})}$

วิธีที่พบได้บ่อยที่สุดในการประมาณค่าพารามิเตอร์เกาส์เซียนคือการใช้ลอการิทึมของข้อมูลและปรับพาราโบลาให้เข้ากับชุดข้อมูลที่ได้^{[ 7 ] [ 8 ]}แม้ว่าวิธีนี้จะให้ ขั้นตอน การปรับเส้นโค้ง ที่ง่าย แต่ขั้นตอนวิธีที่ได้อาจมีอคติจากการให้น้ำหนักกับค่าข้อมูลขนาดเล็กมากเกินไป ซึ่งอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ในการประมาณค่าโปรไฟล์ เราสามารถชดเชยปัญหานี้ได้บางส่วนโดย การประมาณค่า กำลังสองน้อยที่สุดแบบถ่วงน้ำหนักโดยลดน้ำหนักของค่าข้อมูลขนาดเล็ก แต่วิธีนี้ก็อาจมีอคติได้เช่นกันโดยการปล่อยให้ส่วนหางของเกาส์เซียนมีอิทธิพลเหนือการปรับค่า เพื่อขจัดอคติ เราสามารถใช้ ขั้นตอน กำลังสองน้อยที่สุดแบบถ่วงน้ำหนักซ้ำได้โดยที่น้ำหนักจะได้รับการอัปเดตในแต่ละรอบ^{[ 8 ]} นอกจากนี้ยังสามารถทำการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นโดยตรงกับข้อมูลได้ โดยไม่ต้องเกี่ยวข้องกับการแปลงข้อมูลลอการิทึมสำหรับตัวเลือกเพิ่มเติม โปรดดูการปรับการกระจายความน่าจะเป็น

เมื่อมีอัลกอริทึมสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ของฟังก์ชันเกาส์เซียนแล้ว สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าการประมาณค่าเหล่านั้นมีความแม่นยำ เพียงใด อัลกอริทึมการประมาณค่า กำลังสองน้อยที่สุด ใดๆ ก็สามารถให้ค่าประมาณเชิงตัวเลขสำหรับความแปรปรวนของแต่ละพารามิเตอร์ได้ (เช่น ความแปรปรวนของความสูง ตำแหน่ง และความกว้างของฟังก์ชันที่ประมาณไว้) นอกจากนี้ยังสามารถใช้ ทฤษฎี ขอบเขต Cramér–Raoเพื่อให้ได้นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับขอบเขตล่างของความแปรปรวนของพารามิเตอร์ โดยพิจารณาจากสมมติฐานบางประการเกี่ยวกับข้อมูล^{[ 9 ] [ 10 ]}

1. สัญญาณรบกวนในโปรไฟล์ที่วัดได้นั้นเป็นแบบกระจายตัวแบบเกาส์เซียนอิสระและเหมือนกัน หรือเป็นแบบกระจายตัวแบบปัวซง
2. ระยะห่างระหว่างจุดสุ่มตัวอย่างแต่ละจุด (กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างพิกเซลที่วัดข้อมูล) นั้นสม่ำเสมอ
3. จุดสูงสุดนั้น "ได้รับการสุ่มตัวอย่างอย่างดี" กล่าวคือ พื้นที่หรือปริมาตรใต้จุดสูงสุด (พื้นที่หากเป็นฟังก์ชันเกาส์เซียน 1 มิติ ปริมาตรหากเป็นฟังก์ชันเกาส์เซียน 2 มิติ) น้อยกว่า 10% อยู่นอกขอบเขตการวัด
4. ความกว้างของยอดนั้นมากกว่าระยะห่างระหว่างตำแหน่งตัวอย่างมาก (กล่าวคือ พิกเซลของตัวตรวจจับต้องมีขนาดเล็กกว่าค่า FWHM ของฟังก์ชันเกาส์เซียนอย่างน้อย 5 เท่า)

เมื่อสมมติฐานเหล่านี้เป็นไปตามเงื่อนไขเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมK ต่อไปนี้ จะใช้ได้กับพารามิเตอร์โปรไฟล์ 1 มิติ, , และภายใต้สัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียนอิสระและกระจายเหมือนกัน และภายใต้สัญญาณรบกวนแบบปัวซอง: ^{[ 9 ]} โดยที่คือความกว้างของพิกเซลที่ใช้ในการสุ่มตัวอย่างฟังก์ชันคือประสิทธิภาพควอนตัมของตัวตรวจจับ และแสดงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของสัญญาณรบกวนในการวัด ดังนั้น ความแปรปรวนของพารามิเตอร์แต่ละตัว ในกรณีของสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียน คือ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{{\sqrt {\pi }}\delta _{X}Q^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2c}}&0&-{\frac {1}{a}}\\0&{\frac {2c}{a^{2}}}&0\\-{\frac {1}{a}}&0&{\frac {2c}{a^{2}}}\end{pmatrix}}\ ,\qquad \mathbf {K} _{\text{Poiss}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\begin{pmatrix}{\frac {3a}{2c}}&0&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {c}{a}}&0\\-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {c}{2a}}\end{pmatrix}}\ ,}$$${\displaystyle \delta _{X}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3\sigma ^{2}}{2{\sqrt {\pi }}\,\delta _{X}Q^{2}c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\end{aligned}}}$$

และในกรณีของสัญญาณรบกวนแบบปัวซง $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3a}{2{\sqrt {2\pi }}\,c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {c}{{\sqrt {2\pi }}\,a}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {c}{2{\sqrt {2\pi }}\,a}}.\end{aligned}}}$$

สำหรับพารามิเตอร์โปรไฟล์ 2 มิติที่ให้แอมพลิจูดตำแหน่งและความกว้างของโปรไฟล์ เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมต่อไปนี้ใช้ได้: ^{[ 10 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (\sigma _{X},\sigma _{Y})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{\pi \delta _{X}\delta _{Y}Q^{2}}}&{\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}&0&0&-{\frac {1}{A\sigma _{Y}}}&-{\frac {1}{A\sigma _{X}}}\\0&{\frac {2\sigma _{X}}{A^{2}\sigma _{Y}}}&0&0&0\\0&0&{\frac {2\sigma _{Y}}{A^{2}\sigma _{X}}}&0&0\\-{\frac {1}{A\sigma _{y}}}&0&0&{\frac {2\sigma _{X}}{A^{2}\sigma _{y}}}&0\\-{\frac {1}{A\sigma _{X}}}&0&0&0&{\frac {2\sigma _{Y}}{A^{2}\sigma _{X}}}\end{pmatrix}}\\[6pt]\mathbf {K} _{\operatorname {Poisson} }={\frac {1}{2\pi }}&{\begin{pmatrix}{\frac {3A}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}&0&0&-{\frac {1}{\sigma _{Y}}}&-{\frac {1}{\sigma _{X}}}\\0&{\frac {\sigma _{X}}{A\sigma _{Y}}}&0&0&0\\0&0&{\frac {\sigma _{Y}}{A\sigma _{X}}}&0&0\\-{\frac {1}{\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {2\sigma _{X}}{3A\sigma _{Y}}}&{\frac {1}{3A}}\\-{\frac {1}{\sigma _{X}}}&0&0&{\frac {1}{3A}}&{\frac {2\sigma _{Y}}{3A\sigma _{X}}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$ โดยที่ค่าความแปรปรวนของพารามิเตอร์แต่ละตัวจะกำหนดโดยองค์ประกอบแนวทแยงของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม

อาจมีคนถามถึงฟังก์ชันอนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันเกาส์เซียน ซึ่งจำเป็นในแอปพลิเคชันแบบไม่ต่อเนื่อง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลคำตอบง่ายๆ คือการสุ่มตัวอย่างฟังก์ชันเกาส์เซียนแบบต่อเนื่อง ซึ่งจะได้เคอร์เนลเกาส์เซียนแบบสุ่มตัวอย่างอย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันแบบไม่ต่อเนื่องนี้ไม่มีคุณสมบัติอนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันแบบต่อเนื่อง และอาจนำไปสู่ผลกระทบที่ไม่พึงประสงค์ ดังที่อธิบายไว้ในบทความเรื่องการใช้งานสเกลสเปซ

แนวทางอื่นคือการใช้เคอร์เนลเกาส์เซียนแบบไม่ต่อเนื่อง : ^{[ 11 ]} โดยที่แสดงถึงฟังก์ชันเบสเซลที่แก้ไขแล้วของลำดับจำนวนเต็ม $${\displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}$$${\displaystyle I_{n}(t)}$

นี่คืออนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องของเกาส์เซียนแบบต่อเนื่อง เนื่องจากเป็นคำตอบของสมการการแพร่กระจาย แบบไม่ต่อเนื่อง (พื้นที่ไม่ต่อเนื่อง เวลาต่อเนื่อง) เช่นเดียวกับที่เกาส์เซียนแบบต่อเนื่องเป็นคำตอบของสมการการแพร่กระจายแบบต่อเนื่อง^{[ 11 ] [ 12 ]}

ฟังก์ชันเกาส์ปรากฏในบริบทต่างๆ มากมายในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสังคมศาสตร์คณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ตัวอย่างบางส่วนได้แก่ :

• ในสถิติและทฤษฎีความน่าจะ เป็น ฟังก์ชันเกาส์เซียนปรากฏเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปกติซึ่งเป็นการแจกแจงความน่าจะ เป็นแบบจำกัด ของผลรวมที่ซับซ้อน ตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง
• ฟังก์ชันเกาส์เซียนเป็นฟังก์ชันของกรีนสำหรับสมการการแพร่ (เอกพันธุ์และไอโซโทรปิก) (และสำหรับสมการความร้อนซึ่งก็คือสิ่งเดียวกัน) ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่อธิบายวิวัฒนาการของความหนาแน่นมวลภายใต้การแพร่โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าความหนาแน่นมวลที่เวลาt = 0 กำหนดโดยเดลต้าของดิแรกซึ่งหมายความว่ามวลเริ่มต้นกระจุกตัวอยู่ที่จุดเดียว การกระจายมวลที่เวลาtจะกำหนดโดยฟังก์ชันเกาส์เซียน โดยที่พารามิเตอร์aมีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับ⁠1/√ tและcมีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับ√t ; ฟังก์ชันเกาส์เซียนที่เปลี่ยนแปลง ตามเวลานี้อธิบายได้ด้วยเคอร์เนลความร้อนโดยทั่วไปแล้ว ถ้าความหนาแน่นมวลเริ่มต้นคือ φ( x ) ความหนาแน่นมวลในเวลาต่อมาจะได้มาจากการหาค่าคอนโวลูชันของ φ กับฟังก์ชันเกาส์เซียน การหาค่าคอนโวลูชันของฟังก์ชันกับฟังก์ชันเกาส์เซียนเรียกอีกอย่างว่าการแปลงไวเออร์สตรัส
• ฟังก์ชันเกาส์เซียนคือฟังก์ชันคลื่นของสถานะพื้นฐานของควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์
• ออร์บิทัลโมเลกุลที่ใช้ในเคมีเชิงคำนวณสามารถเป็นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันเกาส์เซียนที่เรียกว่าออร์บิทัลเกาส์เซียน (ดูเพิ่มเติมที่ชุดพื้นฐาน (เคมี) )
• ในทางคณิตศาสตร์อนุพันธ์ของฟังก์ชันเกาส์เซียนสามารถแสดงได้โดยใช้ฟังก์ชันเฮอร์ไมต์สำหรับค่าความแปรปรวนหนึ่งหน่วย อนุพันธ์อันดับที่ nของฟังก์ชันเกาส์เซียนคือฟังก์ชันเกาส์เซียนเองคูณด้วย พหุ นามเฮอร์ไมต์ อันดับที่ nโดยคำนึงถึงสเกลด้วย
• ดังนั้น ฟังก์ชันเกาส์เซียนจึงมีความเกี่ยวข้องกับสถานะสุญญากาศในทฤษฎีสนามควอนตัมด้วย เช่นกัน
• ลำแสงเกาส์เซียนถูกนำไปใช้ในระบบทางแสง ระบบไมโครเวฟ และเลเซอร์
• ใน การแสดง ภาพในปริภูมิมาตราส่วนฟังก์ชันเกาส์เซียนถูกใช้เป็นเคอร์เนลปรับเรียบเพื่อสร้างการแสดงภาพหลายมาตราส่วนในวิทยาการคอมพิวเตอร์และการประมวลผลภาพโดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเกาส์เซียน ( ฟังก์ชันเฮอร์ไมต์ ) ถูกใช้เป็นพื้นฐานในการกำหนดการดำเนินการทางภาพหลายประเภท
• ฟังก์ชันเกาส์เซียนถูกนำมาใช้เพื่อกำหนด โครงข่ายประสาทเทียมบางประเภท
• ในกล้องจุลทรรศน์ฟลูออเรสเซนซ์จะใช้ฟังก์ชันเกาส์เซียน 2 มิติเพื่อประมาณค่าดิสก์แอร์รีซึ่งอธิบายการกระจายความเข้มที่เกิดจาก แหล่งกำเนิดแสง แบบจุด
• ในการประมวลผลสัญญาณพวกมันทำหน้าที่กำหนดตัวกรองเกาส์เซียนเช่น ในการประมวลผลภาพที่ใช้เกาส์เซียน 2 มิติสำหรับการเบลอแบบเกาส์เซียนในการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลจะใช้เคอร์เนลเกาส์เซียนแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งอาจประมาณได้ด้วยสัมประสิทธิ์ทวินาม^{[ 13 ]}หรือการสุ่มตัวอย่างเกาส์เซียน
• ในทางภูมิสถิติมีการใช้เพื่อทำความเข้าใจความแปรปรวนระหว่างรูปแบบของภาพฝึกอบรม ที่ซับซ้อน มีการใช้ร่วมกับวิธีการเคอร์เนลเพื่อจัดกลุ่มรูปแบบในพื้นที่คุณลักษณะ^{[ 14 ]}

• ฟังก์ชันรูปทรงระฆัง
• การกระจายแบบคอชี
• การกระจายแบบปกติ
• เคอร์เนลฟังก์ชันฐานรัศมี

• Haberman, Richard (2013). "10.3.3 การแปลงฟูริเยร์ผกผันของฟังก์ชันเกาส์เซียน". สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยประยุกต์ . บอสตัน: PEARSON. ISBN 978-0-321-79705-6.

• Mathworld มีการพิสูจน์ความสัมพันธ์ระหว่าง c และ FWHM ไว้ด้วย
• "การหาปริพันธ์ของเส้นโค้งระฆัง" . MathPages.com .
• การใช้งานการแจกแจงแบบเกาส์เซียนในภาษา Haskell, Erlang และ Perl
• เบนซิมฮูน ไมเคิล, ฟังก์ชันสะสมมิติ Nและข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์อื่นๆ เกี่ยวกับฟังก์ชันเกาส์เซียนและความหนาแน่นปกติ (2009)
• โค้ดสำหรับปรับให้เข้ากับฟังก์ชันเกาส์เซียนใน ImageJ และ Fiji