ในโทโพโลยีฟังก์ชันต่อเนื่องสอง ฟังก์ชัน จากปริภูมิโทโพโลยี หนึ่ง ไปยังอีกปริภูมิหนึ่งเรียกว่าโฮโมโทปิก (จากภาษากรีกโบราณ : ὁμός homós ' เหมือนกัน คล้ายกัน'และτόπος tópos ' สถานที่' ) หากฟังก์ชันหนึ่งสามารถ "เปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่อง" ไปเป็นอีกฟังก์ชันหนึ่งได้ การเปลี่ยนรูปดังกล่าวเรียกว่าโฮโมโทปี ( / h ə ˈ m ɒ t ə p iː / ^{[ 1 ]} hə- MOT -ə-pee ; / ˈ h oʊ m oʊ ˌ t oʊ p iː / ^{[ 2 ]} HOH -moh-toh-pee ) ระหว่างฟังก์ชันทั้งสอง การใช้โฮโมโทปีที่โดดเด่นอย่างหนึ่งคือ นิยามของกลุ่มโฮโมโทปีและกลุ่มโคโฮโมโทปี ซึ่งเป็น ตัวแปรสำคัญในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต^{[ 3 ]}

ในทางปฏิบัติ การใช้โฮโมโทปีกับปริภูมิบางประเภทมีข้อจำกัดทางเทคนิค นักทฤษฎีโทโพโลยีเชิงพีชคณิตทำงานกับปริภูมิ ที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดคอมเพล็กซ์CWหรือสเปกตรัม

ในทางทฤษฎี โฮโมโทปีระหว่างฟังก์ชันต่อเนื่อง สองฟังก์ชัน fและgจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีXไปยังปริภูมิเชิงทอพอโล ยี Yถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันต่อ เนื่องจากผลคูณของปริภูมิXกับช่วงหน่วย [0, 1] ไปยังYโดยที่และสำหรับ ทุก${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$${\displaystyle H(x,0)=f(x)}$${\displaystyle H(x,1)=g(x)}$${\displaystyle x\in X}$

ถ้าเราคิดว่าพารามิเตอร์ ตัวที่สอง ของHคือเวลาHจะอธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องของfไปเป็นgกล่าวคือ ณ เวลา 0 เราจะมีฟังก์ชันfและ ณ เวลา 1 เราจะมีฟังก์ชันgเรายังสามารถคิดว่าพารามิเตอร์ตัวที่สองเป็น "ตัวควบคุมแบบเลื่อน" ที่ช่วยให้เราเปลี่ยนจากfไปเป็นg ได้อย่างราบรื่น เมื่อตัวควบคุมแบบเลื่อนเคลื่อนจาก 0 ไป 1 และในทางกลับกัน

สัญกรณ์ทางเลือกอีกแบบหนึ่งคือกล่าวว่าโฮโมโทปีระหว่างฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันคือตระกูลของฟังก์ชันต่อเนื่องสำหรับที่และและแผนที่ต่อเนื่องจาก ไปยังเวอร์ชันทั้งสองตรงกันโดยการตั้งค่าไม่จำเป็นต้องกำหนดให้แผนที่แต่ละแผนที่ต่อเนื่อง^{[ 4 ]}${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle h_{t}:X\to Y}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle h_{0}=f}$${\displaystyle h_{1}=g}$${\displaystyle (x,t)\mapsto h_{t}(x)}$${\displaystyle X\times [0,1]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)}$${\displaystyle h_{t}(x)}$

ภาพเคลื่อนไหวที่วนซ้ำด้านบนขวามือแสดงตัวอย่างของโฮโมโทปีระหว่างการฝังตัว สอง ^แบบคือfและgของทอรัสลงใน^R³ Xคือทอรัส, YคือR³ , fคือฟังก์ชันต่อเนื่องจากทอรัสไปยัง^R³ ที่ แปลงทอ รัสไปเป็นพื้นผิวฝังตัวรูปทรงโดนัท ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของภาพเคลื่อนไหว และgคือฟังก์ชันต่อเนื่องที่แปลงทอรัสไปเป็นพื้นผิวฝังตัวรูปทรงแก้วกาแฟ ภาพเคลื่อนไหวแสดงภาพของh _t (X) เป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์tโดยที่tเปลี่ยนแปลงตามเวลาจาก 0 ถึง 1 ในแต่ละรอบของการวนซ้ำภาพเคลื่อนไหว จากนั้นจะหยุดชั่วคราว แล้วแสดงภาพเมื่อtเปลี่ยนแปลงกลับจาก 1 เป็น 0 หยุดชั่วคราวอีกครั้ง และทำซ้ำวงจรนี้

ฟังก์ชันต่อเนื่องfและgกล่าวได้ว่าเป็นฟังก์ชันโฮโมโทปิกกันก็ต่อเมื่อมีโฮโมโทปีHที่แปลงfไปเป็นgตามที่อธิบายไว้ข้างต้น การเป็นฟังก์ชันโฮโมโทปิกกันเป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดจากXไปYความสัมพันธ์โฮโมโทปีนี้เข้ากันได้กับการประกอบฟังก์ชันในความหมายต่อไปนี้: ถ้าf ₁ , g ₁  : X → Yเป็นฟังก์ชันโฮโมโทปิกกัน และf ₂ , g ₂  : Y → Zเป็นฟังก์ชันโฮโมโทปิกกัน การประกอบฟังก์ชันของพวกมันf ₂ ∘ f ₁และg ₂ ∘ g ₁  : X → Zก็เป็นฟังก์ชันโฮโมโทปิกกันด้วย

• ถ้าและกำหนดโดยแล้ว แผนที่ที่กำหนดโดยจะเป็นโฮโมโทปีระหว่างทั้งสอง${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f(x):=\left(x,x^{3}\right)}$${\displaystyle g(x)=\left(x,e^{x}\right)}$${\displaystyle H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)}$
• โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็น เซตย่อย นูนของปริภูมิยุคลิดและเป็นเส้นทางที่มีจุดปลายเดียวกัน จะมีโฮโมโทปีเชิงเส้น^{[ 5 ]} (หรือโฮโมโทปีเส้นตรง ) ที่กำหนดโดย ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f,g:[0,1]\to C}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}}$

• ให้เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ บน ดิสก์หน่วยnมิติกล่าวคือ เซตให้เป็นฟังก์ชันคงที่ซึ่งส่งทุกจุดไปยังจุดกำเนิดแล้วต่อไปนี้คือความสัมพันธ์แบบโฮโมโทปีระหว่างเซตทั้งสอง: ${\displaystyle \operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}}$${\displaystyle B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}}$${\displaystyle c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}}$${\displaystyle c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}}$

กำหนดให้ปริภูมิเชิงทอพอโลยี XและYสองปริภูมิความสมมูลแบบโฮโมโทปีระหว่างXและYคือคู่ของแผนที่ ต่อเนื่อง f  : X → Yและg  : Y → Xโดยที่g ∘ fเป็นโฮโมโทปีกับแผนที่เอกลักษณ์ id _Xและf ∘ gเป็นโฮโมโทปีกับ id _Yหากมีคู่ดัง กล่าวอยู่ XและYจะเรียกว่าสมมูลแบบโฮโมโทปีหรือมีประเภทโฮโมโทปี เดียวกัน ความสัมพันธ์ของความสมมูลแบบโฮโมโทปีนี้มักจะใช้สัญลักษณ์[ ^{6 ] ตาม} สัญชาตญาณ ปริภูมิ XและYสองปริภูมิจะสมมูลแบบโฮโมโทปีหากสามารถแปลงเป็นกันและกันได้โดยการดำเนินการดัด ย่อ และขยาย ปริภูมิที่สมมูลแบบโฮโมโทปีกับจุดหนึ่งเรียกว่าปริภูมิที่หดตัวได้ ${\displaystyle \simeq }$

โฮมีโอเมอร์ฟิซึมเป็นกรณีพิเศษของความสมมูลโฮโมโทปี ซึ่งg ∘ fเท่ากับแผนที่เอกลักษณ์ id _X (ไม่เพียงแต่เป็นโฮโมโทปีกับมัน) และf ∘ gเท่ากับ id _Y ^{[ 7 ] : 0:53:00} ดังนั้น ถ้า X และ Y เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกัน พวกมันก็จะสมมูลโฮโมโทปีกัน แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างบางส่วน:

• แผ่นดิสก์ทึบสมมูลกันในเชิงโฮโมโทปีกับจุดเดียว เนื่องจากสามารถเปลี่ยนรูปแผ่นดิสก์ไปตามเส้นรัศมีได้อย่างต่อเนื่องจนได้จุดเดียว อย่างไรก็ตาม แผ่นดิสก์และจุดเดียวไม่สมมูลกันในเชิงโฮมีโอเมอร์ฟิก เนื่องจากไม่มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างกัน (เนื่องจากแผ่นดิสก์หนึ่งเป็นเซตอนันต์ ในขณะที่อีกแผ่นดิสก์หนึ่งเป็นเซตอนจำกัด)
• แถบโมเบียสและแถบที่ไม่บิด (แถบปิด) มีความสมมูลกันในเชิงโฮโมโทปี เนื่องจากสามารถเปลี่ยนรูปแถบทั้งสองได้อย่างต่อเนื่องจนกลายเป็นวงกลมได้ แต่ทั้งสองไม่ใช่โฮมีโอเมอร์ฟิกกัน

• ตัวอย่างแรกของความสมมูลแบบโฮโมโทปีคือจุด ซึ่งแทนด้วยส่วนที่ต้องตรวจสอบคือการมีอยู่ของโฮโมโทปีระหว่างและซึ่งเป็นการฉายภาพของไปยังจุดกำเนิด สามารถอธิบายได้เป็น${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}$${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$
• มีความสมมูลแบบโฮโมโทปีระหว่าง(ทรงกลม 1 มิติ ) และ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}$
  • โดยทั่วไปแล้ว...${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}$
• บันเดิลไฟเบอร์ ใดๆที่มีไฟเบอร์สมมูลกันทางโฮโมโทปีกับจุด จะมีปริภูมิทั้งหมดและปริภูมิฐานสมมูลกันทางโฮโมโทปี นี่เป็นการขยายความจากสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ เนื่องจาก เป็นบันเดิล ไฟเบอร์ที่มีไฟเบอร์${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$
• เวกเตอร์บันเดิลทุกตัวเป็นไฟเบอร์บันเดิลที่มีโฮโมโทปีไฟเบอร์เทียบเท่ากับจุดหนึ่ง
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}}$สำหรับค่าใดๆโดยการเขียนเป็นปริภูมิทั้งหมดของมัดไฟเบอร์จากนั้นใช้ความสมมูลแบบโฮโมโทปีข้างต้น${\displaystyle 0\leq k<n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})}$
• ถ้าซับคอมเพล็กซ์ของคอมเพล็กซ์ CWสามารถหดตัวได้พื้นที่ผลหารจะเทียบเท่ากับโฮโมโทปี^{[ 8 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/A}$${\displaystyle X}$
• การหดตัวของการเปลี่ยนรูปเป็นการสมมูลแบบโฮโมโทปี

ฟังก์ชันหนึ่งเรียกว่าฟังก์ชันโฮโมโทปิกศูนย์${\displaystyle f}$ถ้ามันเป็นโฮโมโทปีกับฟังก์ชันคงที่ (โฮโมโทปีจากไปยังฟังก์ชันคงที่บางครั้งเรียกว่านัลล์โฮโมโทปี ) ตัวอย่างเช่น แผนที่จากวงกลมหน่วยไปยังปริภูมิใดๆจะเป็นนัลล์โฮโมโทปีก็ต่อเมื่อมันสามารถขยายได้อย่างต่อเนื่องไปยังแผนที่จากดิสก์หน่วยไปยังที่สอดคล้องกับบนขอบเขต ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

จากนิยามเหล่านี้ จึงสรุปได้ว่าปริภูมิหนึ่งจะหดตัวได้ก็ต่อเมื่อแผนที่เอกลักษณ์จากปริภูมิหนึ่งไปยังตัวมันเอง ซึ่งเป็นการสมมูลแบบโฮโมโทปีเสมอ เป็นโฮโมโทปีศูนย์ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ความสมมูลแบบโฮโมโทปีมีความสำคัญ เพราะในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตแนวคิดหลายอย่างไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงโฮโมโทปีกล่าวคือ แนวคิดเหล่านั้นเคารพความสัมพันธ์ของความสมมูลแบบโฮโมโทปี ตัวอย่างเช่น ถ้าXและYเป็นปริภูมิที่สมมูลกันแบบโฮโมโทปีแล้ว:

• Xจะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางก็ต่อเมื่อY เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางเช่น กัน
• Xจะเชื่อมต่อกันอย่างง่ายก็ต่อเมื่อY เชื่อมต่อ กัน อย่างง่ายเช่นกัน
• กลุ่มโฮโมโลยีและ โคโฮโมโลยี (เอกพจน์) ของXและYนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน
• ถ้าXและYเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางกลุ่มพื้นฐานของXและYจะสมมูลกัน และกลุ่มโฮโมโทปี ระดับสูงกว่าก็จะสมมูลกันด้วย (หากไม่มีข้อสมมติฐานเรื่องการเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง จะได้ว่า π ₁ ( X , x ₀ ) สมมูลกับ π ₁ ( Y , f ( x ₀ )) โดยที่f  : X → Yเป็นความสมมูลของโฮโมโทปี และx ₀ ∈ X )

ตัวอย่างหนึ่งของตัวแปรคงที่เชิงพีชคณิตของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ไม่คงที่ภายใต้การแปลงโฮโมโทปี คือโฮโมโลยีที่รองรับแบบกะทัดรัด (ซึ่งโดยคร่าวๆ แล้วคือโฮโมโลยีของการทำให้เป็นกะทัดรัดและการทำให้เป็นกะทัดรัดนั้นไม่คงที่ภายใต้การแปลงโฮโมโทปี)

ในการกำหนดกลุ่มพื้นฐานจำเป็นต้องใช้แนวคิดของโฮโมโทปีสัมพันธ์กับปริภูมิย่อยโฮโมโทปีเหล่านี้คือโฮโมโทปีที่รักษาสมาชิกของปริภูมิย่อยให้คงที่ กล่าวอย่างเป็นทางการคือ ถ้าfและgเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจากXไปยังYและKเป็นเซตย่อยของXเราจะกล่าวว่าfและgเป็นโฮโมโทปีสัมพันธ์กับKถ้ามีโฮโมโทปีH  : X × [0, 1] → Yระหว่างfและgโดยที่H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k )สำหรับทุกk ∈ Kและt ∈ [0, 1]นอกจากนี้ ถ้าgเป็นการหดตัวจากXไปยังKและfเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ นี่เรียกว่าการหดตัวแบบการเปลี่ยนรูป อย่างเข้มข้น จากXไปยังKเมื่อKเป็นจุดจะใช้ คำว่า โฮโมโทปีแบบมีจุด

ปมที่ไม่ผูกปมนั้นไม่เทียบเท่ากับปมสามแฉกเนื่องจากปมหนึ่งไม่สามารถเปลี่ยนรูปไปเป็นอีกปมหนึ่งได้ผ่านเส้นทางต่อเนื่องของการแปลงแบบโฮโมมอร์ฟิซึมของปริภูมิแวดล้อม ดังนั้นจึงไม่ใช่ไอโซโทปิกของปริภูมิแวดล้อม

เมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันfและgจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีXไปยังปริภูมิเชิงทอพอโลยีYเป็นการฝังตัว เราสามารถถามได้ว่าฟังก์ชันทั้ง สองสามารถเชื่อมต่อกันได้หรือไม่ 'ผ่านการฝังตัว' ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของไอโซโทปีซึ่งเป็นโฮโมโทปีHในสัญลักษณ์ที่ใช้ก่อนหน้านี้ โดยที่สำหรับt ที่กำหนดไว้ H ( x , t ) จะให้การฝังตัว^{[ 9 ]}

แนวคิดที่เกี่ยวข้องแต่แยกต่างหากคือแนวคิดของไอโซโทป แวดล้อม

การกำหนดให้การฝังตัวสองแบบต้องเป็นไอโซโทปิกนั้นเป็นข้อกำหนดที่เข้มงวดกว่าการกำหนดให้เป็นโฮโมโทปิก ตัวอย่างเช่น แผนที่จากช่วง [−1, 1] ไปยังจำนวนจริงที่กำหนดโดยf ( x ) = −x นั้นไม่เป็นไอโซโทปิกกับเอกลักษณ์g ( x ) = xโฮโมโทปีใดๆ จากfไปยังเอกลักษณ์จะต้องสลับจุดปลาย ซึ่งหมายความว่าจุดปลายทั้งสองจะต้อง 'ผ่าน' กันและกัน ยิ่งไปกว่านั้นfได้เปลี่ยนทิศทางของช่วงแล้ว แต่g ไม่ได้เปลี่ยน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ภายใต้เงื่อนไขไอโซโทปี อย่างไรก็ตาม แผนที่ ทั้ง สองเป็นโฮโมโทปิก โฮโมโทปีหนึ่งจากfไปยังเอกลักษณ์คือH : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] ซึ่งกำหนดโดยH ( x , y ) = 2yx  −  x

การแปลงโฮมีโอเมอร์ฟิซึมสองแบบ (ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของการฝังตัว) ของทรงกลมหน่วยที่ตรงกันบนขอบเขต สามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นไอโซโทปิกได้โดยใช้กลอุบายของอเล็กซานเดอร์ด้วยเหตุนี้ แผนที่ของจานหน่วยที่กำหนดโดยf ( x , y ) = (−x , −y ) จึงเป็นไอโซโทปิกกับ การหมุน 180 องศารอบจุดกำเนิด ดังนั้น แผนที่เอกลักษณ์และfจึงเป็นไอโซโทปิกเพราะสามารถเชื่อมโยงกันได้ด้วยการหมุน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ในโทโพโลยีเชิงเรขาคณิต —เช่น ในทฤษฎีปม —แนวคิดของไอโซโทปีถูกนำมาใช้เพื่อสร้างความสัมพันธ์สมมูล ตัวอย่างเช่น เมื่อใดที่ปมสองปมจึงจะถือว่าเหมือนกัน? เราพิจารณาปมสองปม_{K₁ และ}K₂ในปริภูมิสามมิติปมคือการฝังตัวของปริภูมิหนึ่งมิติ "วงเชือก" (หรือวงกลม) ลงในปริภูมินี้ และการฝังตัวนี้ให้โฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างวงกลมและภาพของมันในปริภูมิการฝังตัว เราอาจพยายามกำหนดความสมมูลของปมโดยอาศัยไอโซโทปีแทนที่จะใช้คุณสมบัติที่จำกัดกว่าของไอโซโทปีแวดล้อมนั่นคือ ปมสองปมเป็นไอโซโทปีเมื่อมีฟังก์ชันต่อเนื่องที่เริ่มต้นที่t  = 0 ให้การฝังตัวของ_K₁ สิ้นสุดที่t  = 1 ให้ การฝังตัว _ของK₂โดยค่ากลางทั้งหมดสอดคล้องกับการฝังตัว อย่างไรก็ตาม นิยามนี้จะทำให้ปมทุกปมสมมูลกับปมที่ไม่เป็นปม เนื่องจากส่วนที่เป็นปมสามารถ "หดตัว" ลงเหลือเส้นตรงได้ ปัญหาคือ แม้ว่าจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่ฟังก์ชันนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งของปริภูมิยุคลิดที่ปมนั้นฝังอยู่ ไอโซโทปีแอมเบียนต์ซึ่งศึกษาในบริบทนี้ คือไอโซโทปีของปริภูมิที่ใหญ่กว่า โดยพิจารณาจากการกระทำต่อส่วนย่อยที่ฝังอยู่ ปมK ₁และK ₂ถือว่าเทียบเท่ากันเมื่อมีตระกูลแผนที่แบบต่อเนื่องที่มีดัชนี [0, 1] ซึ่งย้ายK ₁ไปยังK ₂ผ่านโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของปริภูมิยุคลิด

มีการใช้ภาษาที่คล้ายคลึงกันสำหรับแนวคิดที่เทียบเท่ากันในบริบทที่มีความเข้าใจเรื่องความเท่าเทียมกันที่ชัดเจนกว่า ตัวอย่างเช่น เส้นทางระหว่างการฝังข้อมูลแบบเรียบสองแบบเรียกว่า ไอโซ โท ปีแบบเรียบ

บนแมนิโฟลด์ลอเรนซ์เส้นโค้งบางเส้นจะถูกจำแนกเป็น เส้น โค้งแบบไทม์ไลค์ (ซึ่งแสดงถึงสิ่งที่เคลื่อนที่ไปข้างหน้าเท่านั้น ไม่ถอยหลัง ในเวลา ในทุกเฟรมท้องถิ่น) โฮโมโทปีแบบไทม์ไลค์ระหว่างเส้นโค้งแบบไทม์ไลค์ สองเส้น คือ โฮโมโทปีที่ทำให้เส้นโค้งยังคงเป็นแบบไทม์ไลค์ในระหว่างการแปลงต่อเนื่องจากเส้นโค้งหนึ่งไปยังอีกเส้นโค้งหนึ่ง ไม่มีเส้นโค้งแบบไทม์ไลค์ปิด (CTC) บนแมนิโฟลด์ลอเรนซ์ที่เป็นโฮโมโทปีแบบไทม์ไลค์กับจุดใดจุดหนึ่ง (นั่นคือ โฮโมโทปีแบบไทม์ไลค์เป็นศูนย์) ดังนั้น แมนิโฟลด์ดังกล่าวจึงกล่าวได้ว่าเชื่อมต่อกันหลายจุดด้วยเส้นโค้งแบบไทม์ไลค์ แมนิโฟลด์เช่นทรงกลม 3 มิติสามารถเชื่อมต่อกันอย่างง่าย (ด้วยเส้นโค้งประเภทใดก็ได้) และยังคงเชื่อมต่อกันหลายจุดแบบไทม์ไลค์ได้^{[ 10 ]}

ถ้าเรามีโฮโมโทปีและคัฟเวอร์และเราได้รับแผนที่เช่นนั้น ( เรียกว่าการยกของ) แล้วเราสามารถยกทั้งหมดไปยังแผนที่เช่นนั้นได้คุณสมบัติการยกของโฮโมโทปีใช้ในการจำแนกไฟเบรชัน ${\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}$${\displaystyle p:{\overline {Y}}\rightarrow Y}$${\displaystyle {\overline {h}}_{0}:X\rightarrow {\overline {Y}}}$${\displaystyle H_{0}=P\circ {\overline {h}}_{0}}$${\displaystyle {\overline {h}}_{0}}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}}:X\times [0,1]\rightarrow {\overline {Y}}}$${\displaystyle p\circ {\overline {H}}=H}$

อีกหนึ่งคุณสมบัติที่มีประโยชน์เกี่ยวกับโฮโมโทปีคือคุณสมบัติการขยายโฮโมโทปีซึ่งบ่งบอกถึงการขยายของโฮโมโทปีระหว่างฟังก์ชันสองฟังก์ชันจากเซตย่อยของเซตใดเซตหนึ่งไปยังเซตนั้นเอง คุณสมบัตินี้มีประโยชน์เมื่อต้องจัดการกับโคไฟเบรชัน

เนื่องจากความสัมพันธ์ของฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่เป็นโฮโมโทปิกสัมพันธ์กับปริภูมิย่อยเป็นความสัมพันธ์สมมูล เราจึงสามารถพิจารณาชั้นสมมูลของแผนที่ระหว่างXและY ที่กำหนดไว้ ได้ ถ้าเรากำหนดช่วงหน่วย [0, 1] ที่ตัดกับตัวเองnครั้ง และเราถือว่าขอบเขต ของช่วงนั้น เป็นปริภูมิย่อย ชั้นสมมูลจะก่อตัวเป็นกลุ่ม ซึ่งเขียนแทนด้วยโดยที่อยู่ในภาพของปริภูมิย่อย ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$${\displaystyle X=[0,1]^{n}}$${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$

เราสามารถกำหนดการกระทำของชั้นสมมูลหนึ่งต่ออีกชั้นสมมูลหนึ่งได้ และด้วยเหตุนี้เราจึงได้กลุ่ม กลุ่มเหล่านี้เรียกว่ากลุ่มโฮโมโทปีในกรณีนี้มันยังเรียกว่ากลุ่ม พื้นฐาน อีกด้วย${\displaystyle n=1}$

แนวคิดเรื่องโฮโมโทปีสามารถเปลี่ยนเป็นหมวดหมู่เชิงรูปธรรมของทฤษฎีหมวดหมู่ ได้ หมวดหมู่ โฮโมโทปีคือหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และมอร์ฟิซึมของมันคือชั้นสมมูลโฮโมโทปีของแผนที่ต่อเนื่อง ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองปริภูมิXและYสมมูลกันในหมวดหมู่นี้ก็ต่อเมื่อปริภูมิทั้งสองสมมูลกันแบบโฮโมโทปี ดังนั้นฟังก์ชันบนหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงโฮโมโทปี หากสามารถแสดงฟังก์ชันนั้นได้ในรูปของฟังก์ชันบนหมวดหมู่โฮโมโทปี

ตัวอย่างเช่น กลุ่มโฮโมโลยีเป็น ตัวแปรคงที่ของโฮโมโทปี เชิงฟังก์ชันซึ่งหมายความว่า ถ้าfและgจากXไปYเป็นโฮโมโทปีกันโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่เกิดจากfและgในระดับกลุ่มโฮโมโลยีจะเหมือนกัน: H _n ( f ) = H _n ( g ) : H _n ( X ) → H _n ( Y ) สำหรับทุกnในทำนองเดียวกัน ถ้าXและY เชื่อมต่อ กันด้วยเส้นทางและโฮโมโทปีระหว่างfและgเป็นแบบชี้ โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่เกิดจากfและgในระดับกลุ่มโฮโมโทปีก็จะเหมือนกันด้วย: π _n ( f ) = π _n ( g ) : π _n ( X ) → π _n ( Y )

โดยอาศัยแนวคิดของโฮโมโทปีวิธีการคำนวณสำหรับสมการพีชคณิตและสมการเชิงอนุพันธ์ได้รับการพัฒนาขึ้น วิธีการสำหรับสมการพีชคณิตประกอบด้วยวิธีการต่อเนื่องโฮโมโทปี^{[ 11 ]}และวิธีการต่อเนื่อง (ดูการต่อเนื่องเชิงตัวเลข ) วิธีการสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ประกอบด้วยวิธีการวิเคราะห์โฮโมโทปี

ทฤษฎีโฮโมโทปีสามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับทฤษฎีโฮโมโลจีได้ กล่าวคือ เราสามารถแทนฟังก์ชันโคโฮโมโลจีบน ปริภูมิ Xด้วยการแมปจากXไปยังปริภูมิคงที่ที่เหมาะสม โดยคำนึงถึงความสมมูลของโฮโมโทปี ตัวอย่างเช่น สำหรับกลุ่มอาเบเลียนG ใดๆ และคอมเพล็กซ์ CW ฐานX ใดๆ เซตของคลาสโฮโมโทปีฐานของการแมปฐานจากXไปยัง  ปริภูมิ Eilenberg–MacLaneจะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติกับกลุ่มโคโฮโมโลจีเอกฐานลำดับที่n  ของปริภูมิXกล่าวได้ว่าสเปกตรัมโอเมก้าของปริภูมิ Eilenberg-MacLane เป็นตัวแทนของปริภูมิสำหรับโคโฮโมโลจีเอกฐานที่มีสัมประสิทธิ์ในGการใช้ข้อเท็จจริงนี้ คลาสโฮโมโทปีระหว่างคอมเพล็กซ์ CW และปริภูมิที่เชื่อมต่อกันหลายจุดสามารถคำนวณได้โดยใช้โคโฮโมโลจีตามที่อธิบายไว้ในทฤษฎีบท Hopf–Whitney${\displaystyle [X,K(G,n)]}$${\displaystyle K(G,n)}$${\displaystyle H^{n}(X,G)}$

เมื่อไม่นานมานี้ ทฤษฎีโฮโมโทปีถูกนำมาใช้เพื่อพัฒนาโมเดลสร้างข้อมูลเชิงลึกเช่นโมเดลการแพร่กระจายและโมเดลสร้างข้อมูลตามการไหล การรบกวนสถานะที่ซับซ้อนที่ไม่ใช่แบบเกาส์เซียนเป็นงานที่ยาก การใช้การเรียนรู้เชิงลึกและโฮโมโทปี สถานะที่ซับซ้อนดังกล่าวสามารถแปลงเป็นสถานะเกาส์เซียนและรบกวนเล็กน้อยเพื่อแปลงกลับไปเป็นสถานะที่ซับซ้อนที่ถูกรบกวน^{[ 12 ]}

• ความสมมูลของไฟเบอร์-โฮโมโทปี (เวอร์ชันสัมพัทธ์ของความสมมูลโฮโมโทปี)
• โฮมีโอโทปี
• ทฤษฎีประเภทโฮโมโทปี
• กลุ่มคลาสการแมป
• สมมติฐานของปวงกาเร
• โฮโมโทปีปกติ

• อาร์มสตรอง, แมสซาชูเซตส์ (1979). โทโพโลยีพื้นฐาน . สปริงเกอร์. ISBN 978-0-387-90839-7.
• "โฮโมโทปี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• "ไอโซโทปี (ในทางโทโพโลยี)" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Spanier, Edwin (ธันวาคม 1994). โทโพโลยีเชิงพีชคณิต . Springer. ISBN 978-0-387-94426-5.