ในสาขาคณิตศาสตร์โทโพโลยีพื้นที่ไฮเปอร์คอนเน็กเต็ด^{[ 1 ] [ 2 ]}หรือพื้นที่ที่ไม่สามารถลดทอนได้^{[ 2 ]}คือพื้นที่โทโพโลยีXที่ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของเซตย่อยปิดสองเซต (ไม่ว่าจะแยกกันหรือไม่แยกกัน) ชื่อพื้นที่ที่ไม่สามารถลดทอนได้เป็นที่นิยมในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีXเงื่อนไขต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:

• ไม่มีเซตเปิด สองเซตใดที่ไม่มี ส่วนร่วมกัน
• Xไม่สามารถเขียนได้ในรูปของการรวมกันของเซตย่อยปิด แท้สอง เซต
• เซตเปิดที่ไม่ว่างทุกเซตมีความหนาแน่นในX
• ชุดเปิดทุกชุดเชื่อมต่อกัน
• ภายในของเซตย่อยปิดแท้ทุกเซตของXนั้นว่างเปล่า
• เซต ย่อยทุกเซตมีความหนาแน่นหรือไม่มีความหนาแน่นในX
• ไม่สามารถแยกจุดสองจุดออกจากกันได้ด้วยย่านใกล้เคียงที่ไม่ทับซ้อนกัน

พื้นที่ที่ตรงตามเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งเหล่านี้เรียกว่าไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดหรือไม่สามารถย่อได้เนื่องจากเงื่อนไขเกี่ยวกับย่านใกล้เคียงของจุดที่แตกต่างกันนั้นในแง่หนึ่งเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับคุณสมบัติของเฮาส์ดอร์ฟผู้เขียนบางคนจึงเรียกพื้นที่ดังกล่าวว่าแอนตี้เฮาส์ดอร์ฟ^{[ 3 ]}

เซตว่างเป็นปริภูมิไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดหรือปริภูมิลดทอนไม่ได้โดยปริยายภายใต้นิยามข้างต้น (เนื่องจากไม่มีเซตเปิดที่ไม่ว่าง) อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคน^{[ 4 ]}โดยเฉพาะผู้ที่สนใจการประยุกต์ใช้กับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตได้เพิ่มเงื่อนไขที่ชัดเจนว่าปริภูมิลดทอนไม่ได้จะต้องไม่ว่าง

เซตที่ไม่สามารถลดทอนได้คือเซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ซึ่งทอพอโลยีของปริภูมิย่อยนั้นไม่สามารถลดทอนได้

ตัวอย่างสองประการของปริภูมิไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดจากโทโพโลยีเซตจุดได้แก่โทโพโลยีโคไฟไนต์บนเซตอนันต์ ใดๆ และโทโพโลยีลำดับขวาบน${\displaystyle \mathbb {R} }$.

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต การหาค่าสเปกตรัมของวงแหวนที่มีวงแหวนลดรูปเป็นโดเมนจำนวนเต็มจะทำให้ได้ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ไม่สามารถลดรูปได้—โดยการใช้ทฤษฎีบทแลตติสกับนิลราดิคัลซึ่งอยู่ภายในจำนวนเฉพาะทุกตัว เพื่อแสดงว่าสเปกตรัมของแผนที่ผลหารเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมซึ่งจะลดลงเหลือเพียงความไม่สามารถลดรูปได้ของสเปกตรัมของโดเมนจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่นแผนผัง

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)}$,${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}zx(xz)(x-2z))}}\right)}$

พหุนามทั้งสองกรณีไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ เนื่องจากพหุนามที่กำหนดไอเดียลนั้นเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (หมายความว่าไม่มีการแยกตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบศูนย์) ตัวอย่างที่ไม่ใช่กรณีดังกล่าวคือตัวหารตัดกันปกติ

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)}$

เนื่องจากปริภูมิพื้นฐานเป็นผลรวมของระนาบเชิงเส้นตรง${\displaystyle \mathbb {A} _{x,y}^{2}}$,${\displaystyle \mathbb {A} _{x,z}^{2}}$, และ${\displaystyle \mathbb {A} _{y,z}^{2}}$ตัวอย่างที่ไม่ใช่ตัวอย่างอีกประการหนึ่งนั้นได้มาจากแผนการดังกล่าว

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)}$

ที่ไหน${\displaystyle f_{4}}$เป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี 4 ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ นี่คือการรวมกันของเส้นโค้งสองเส้นที่มีจีนัส 3 (ตามสูตรจีนัส-ดีกรี )

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)}$

พื้นที่ที่มีการเชื่อมต่อสูงทุกแห่งนั้น ทั้งมีการเชื่อมต่อและเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่น (แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อผ่านเส้นทางหรือเชื่อมต่อผ่านเส้นทางในระดับท้องถิ่นก็ตาม )

โปรดสังเกตว่าในนิยามของไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดเนส เซตปิดไม่จำเป็นต้องเป็นเซตที่ไม่ทับซ้อนกัน ซึ่งแตกต่างจากนิยามของคอนเน็กเต็ดเนส ที่เซตเปิดจะต้องไม่ทับซ้อนกัน

ตัวอย่างเช่น ปริภูมิของจำนวนจริงที่มีโทโพโลยีมาตรฐานนั้นเชื่อมต่อกัน แต่ไม่ใช่ไฮเปอร์คอนเน็กเต็ด เนื่องจากไม่สามารถเขียนได้ในรูปของการรวมกันของเซตเปิดสองเซตที่ไม่ทับซ้อนกัน แต่สามารถเขียนได้ในรูปของการรวมกันของเซตปิดสองเซต (ที่ไม่ทับซ้อนกัน)

• เซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างเปล่าของปริภูมิไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดนั้น "ใหญ่" ในแง่ที่ว่าแต่ละเซตย่อยมีความหนาแน่นในXและเซตย่อยใดๆ สองเซตจะตัดกัน ดังนั้น ปริภูมิไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดจึงไม่สามารถเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟได้เว้นแต่ว่าจะมีจุดเพียงจุดเดียว
• พื้นที่ที่มีการเชื่อมต่อสูงทุกแห่งนั้น ทั้งมีการเชื่อมต่อและเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่น (แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อผ่านเส้นทางหรือเชื่อมต่อผ่านเส้นทางในระดับท้องถิ่นก็ตาม )
• เนื่องจากการปิดของเซตเปิดที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซตในปริภูมิไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดคือปริภูมิทั้งหมด ซึ่งเป็นเซตเปิด ดังนั้นปริภูมิไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดทุกปริภูมิจึงเป็นปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อกันอย่างสุดขั้ว
• ภาพของพื้นที่ไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดภายใต้ฟังก์ชันต่อเนื่องคือไฮเปอร์คอนเน็กเต็ด^{[ 5 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ จากพื้นที่ไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดไปยังพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟจะต้องคงที่ ส่งผลให้พื้นที่ไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดทุกพื้นที่เป็นซูโดคอมแพ็กต์
• พื้นที่ย่อยที่เปิดอยู่ทุกแห่งของพื้นที่ไฮเปอร์คอนเน็กเต็ดล้วนเป็นไฮเปอร์คอนเน็กเต็ด^{[ 6 ]}

พิสูจน์: ให้${\displaystyle U\subset X}$เป็นเซตย่อยเปิด เซตย่อยเปิดสองเซตใดๆ ที่ไม่ซ้อนทับกันของ${\displaystyle U}$จะเป็นเซตย่อยเปิดที่ไม่ทับซ้อนกันของ${\displaystyle X}$ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งในนั้นต้องว่างเปล่า

• โดยทั่วไปแล้ว เซตย่อยที่มีความหนาแน่นสูงทุกเซตในพื้นที่ที่มีการเชื่อมต่อสูง ล้วนเป็นพื้นที่ที่มีการเชื่อมต่อสูงเช่นกัน

บทพิสูจน์: สมมติว่า${\displaystyle S}$เป็นเซตย่อยที่มีความหนาแน่นสูงของ${\displaystyle X}$และ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}}$กับ${\displaystyle S_{1}}$,${\displaystyle S_{2}}$ปิดใน${\displaystyle S}$. แล้ว${\displaystyle X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}}$. เนื่องจาก${\displaystyle X}$มีการเชื่อมต่อกันอย่างมาก หนึ่งในสองส่วนปิดคือพื้นที่ทั้งหมด${\displaystyle X}$, พูด${\displaystyle {\overline {S_{1}}}=X}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle S_{1}}$มีความหนาแน่นใน${\displaystyle S}$และเนื่องจากมันถูกปิดล้อมอยู่${\displaystyle S}$มันจะต้องเท่ากับ${\displaystyle S}$.

• พื้นที่ย่อยปิดของพื้นที่ไฮเปอร์คอนเน็กชันไม่จำเป็นต้องเป็นพื้นที่ไฮเปอร์คอนเน็กชันเสมอไป

ตัวอย่างค้าน:${\displaystyle \Bbbk ^{2}}$กับ${\displaystyle \Bbbk }$ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (ดังนั้นจึงเป็นอนันต์) นั้นมีการเชื่อมต่อแบบไฮเปอร์^{[ 7 ]}ในโทโพโลยี Zariskiในขณะที่${\displaystyle V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}}$เป็นพื้นที่ปิดและไม่มีการเชื่อมต่ออย่างหนาแน่น

• การปิดของเซตที่ไม่สามารถลดทอนได้ใดๆ ก็ตามนั้นไม่สามารถลดทอนได้^{[ 8 ]}

บทพิสูจน์: สมมติว่า${\displaystyle S\subseteq X}$ที่ไหน${\displaystyle S}$ไม่สามารถลดทอนได้ และเขียน${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G}$สำหรับเซตย่อยปิดสองเซต${\displaystyle F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)}$(และด้วยเหตุนี้ใน${\displaystyle X}$)${\displaystyle F':=F\cap S,\,G':=G\cap S}$ปิดทำการแล้ว${\displaystyle S}$และ${\displaystyle S=F'\cup G'}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle S\subseteq F}$หรือ${\displaystyle S\subseteq G}$แต่แล้ว${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F}$หรือ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=G}$ตามนิยามของการปิด

• พื้นที่${\displaystyle X}$ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$กับ${\displaystyle U_{1},U_{2}\subset X}$เปิดกว้างและไม่สามารถลดทอนได้เช่นนั้น${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ไม่สามารถลดทอนได้^{[ 9 ]}

บทพิสูจน์: ประการแรก เราสังเกตว่าถ้า${\displaystyle V}$เป็นเซตเปิดที่ไม่ว่างเปล่าใน${\displaystyle X}$จากนั้นจึงตัดกับทั้งสอง${\displaystyle U_{1}}$และ${\displaystyle U_{2}}$อันที่จริง สมมติว่า${\displaystyle V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset }$, แล้ว${\displaystyle V_{1}}$มีความหนาแน่นใน${\displaystyle U_{1}}$, ดังนั้น${\displaystyle \exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$และ${\displaystyle x\in U_{2}}$เป็นจุดปิดของ${\displaystyle V_{1}}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$และยิ่งกว่านั้นอีก${\displaystyle V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset }$. ตอนนี้${\displaystyle V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}}$และดำเนินการปิด${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}\cup U_{2}=X,}$ดังนั้น${\displaystyle V}$เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่าง เปิด และหนาแน่นของ${\displaystyle X}$เนื่องจากข้อความนี้เป็นจริงสำหรับทุกเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle X}$ไม่สามารถลดทอนได้

ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้^{[ 10 ]}ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือเซตย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้สูงสุด (กล่าวคือเซตที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งไม่ได้อยู่ในเซตที่ไม่สามารถลดทอนได้ขนาดใหญ่กว่า) ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้นั้นปิดเสมอ

เซตย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ทุกเซตของปริภูมิXจะบรรจุอยู่ในส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ (ไม่จำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียว) ของX [ ^{11 ] โดย} เฉพาะอย่างยิ่ง จุดทุกจุดของXจะบรรจุอยู่ในส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้บางส่วนของX ซึ่ง แตกต่างจากส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของปริภูมิ ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ไม่จำเป็นต้องแยกจากกัน (กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องสร้างพาร์ติชัน ) โดยทั่วไป ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้จะทับซ้อนกัน

ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟก็คือเซตที่มีสมาชิก เพียงตัว เดียว

เนื่องจากปริภูมิที่ไม่สามารถลดทอนได้ทุกปริภูมิล้วนเชื่อมต่อกัน ดังนั้นส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้จึงจะอยู่ในส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันเสมอ

พื้นที่โทโพโลยี Noetherianทุกแห่งมีส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้จำนวนจำกัด^{[ 12 ]}

• พื้นที่ที่เชื่อมต่ออย่างล้ำลึก
• พื้นที่ปลอดแอลกอฮอล์
• ไม่สามารถลดรูปทางเรขาคณิตได้