พื้นที่ที่เชื่อมต่อในท้องถิ่น

Q: คำจำกัดความ

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และให้เป็นจุดใน X {\displaystyle X} x {\displaystyle x} X . {\displaystyle X.}

ในวิชาโทโพโลยีและสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ปริภูมิโทโพโลยีXจะเรียก ว่าเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่นหากทุกจุดมีฐานใกล้เคียงที่ประกอบด้วยเซตเปิด ที่เชื่อมต่อ กัน

ในเชิงแนวคิดที่แข็งแกร่งกว่านั้น พื้นที่Xจะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อทุกจุดยอมรับฐานใกล้เคียงที่ประกอบด้วยเซตที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง แบบเปิด

พื้นหลัง

ตลอดประวัติศาสตร์ของวิชาโทโพโลยีความเชื่อมโยงและความกะทัดรัดเป็นสองคุณสมบัติทางโทโพโลยีที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางที่สุด ที่จริงแล้ว การศึกษาคุณสมบัติเหล่านี้ แม้แต่ในกลุ่มย่อยของปริภูมิยุคลิดและการรับรู้ถึงความเป็นอิสระของคุณสมบัติเหล่านี้จากรูปแบบเฉพาะของเมตริกยุคลิดมีบทบาทสำคัญในการชี้แจงแนวคิดของคุณสมบัติทางโทโพโลยี และด้วยเหตุนี้จึงรวมถึงปริภูมิทางโทโพโลยีด้วย อย่างไรก็ตาม ในขณะที่โครงสร้างของ กลุ่มย่อยที่ กะทัดรัดของปริภูมิยุคลิดเป็นที่เข้าใจกันค่อนข้างเร็วผ่านทฤษฎีบทไฮเนอ-โบเรลกลุ่มย่อยที่เชื่อม โยงกัน ของ ปริภูมิยุคลิด (สำหรับn > 1) กลับมีความซับซ้อนมากกว่ามาก ที่จริงแล้ว ในขณะที่ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ ที่กะทัดรัดใดๆ ก็ตาม จะกะทัดรัดในระดับท้องถิ่น ปริภูมิที่เชื่อมโยงกัน และแม้แต่กลุ่มย่อยที่เชื่อมโยงกันของระนาบยุคลิด ก็ไม่จำเป็นต้องเชื่อมโยงกันในระดับท้องถิ่นเสมอไป (ดูด้านล่าง) $\mathbb {R} ^{n}$

สิ่งนี้จึงนำไปสู่การวิจัยอย่างมากมายในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 ซึ่งนักทอพอโลยีได้ศึกษาถึงนัยยะระหว่างความแปรผันที่ละเอียดอ่อนและซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ ในแนวคิดของพื้นที่ที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น ตัวอย่างเช่น แนวคิดเรื่องการเชื่อมต่อกันในระดับเล็ก (im kleinen)ณ จุดหนึ่งและความสัมพันธ์กับการเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่นจะได้รับการพิจารณาในภายหลังในบทความนี้

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 แนวโน้มการวิจัยเปลี่ยนไปสู่การศึกษาเชิงลึกมากขึ้นเกี่ยวกับปริภูมิอย่างเช่นแมนิโฟลด์ซึ่งเป็นปริภูมิที่เข้าใจได้ดีในระดับท้องถิ่น (โดยมี ลักษณะ สมมาตรในระดับท้องถิ่นกับปริภูมิยุคลิด) แต่มีพฤติกรรมในระดับสากลที่ซับซ้อน หมายความว่า แม้ว่าโทโพโลยีพื้นฐานของเซตจุดของแมนิโฟลด์จะค่อนข้างเรียบง่าย (เนื่องจากแมนิโฟลด์สามารถกำหนดเมตริกได้ตามคำจำกัดความส่วนใหญ่ของแนวคิดนี้) แต่โทโพโลยีเชิงพีชคณิต ของมัน กลับซับซ้อนกว่ามาก จากมุมมองสมัยใหม่นี้ คุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าของการเชื่อมต่อเส้นทางในระดับท้องถิ่นจึงมีความสำคัญมากกว่า ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ปริภูมิหนึ่งยอมรับการปกคลุมสากลได้ ปริภูมินั้นจะต้องเชื่อมต่อกันและเชื่อมต่อเส้นทางในระดับท้องถิ่นด้วย

ปริภูมิหนึ่งจะเรียกว่าเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อสำหรับทุกเซตเปิด $U$ ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของ $U$ (ในโทโพโลยีของปริภูมิย่อย ) เป็นเซตเปิด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันต่อเนื่องจากปริภูมิที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นไปยัง ปริภูมิ ที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงจะต้องมีค่าคงที่ในระดับท้องถิ่น อันที่จริงแล้ว ความเป็นเซตเปิดของส่วนประกอบนั้นเป็นเรื่องธรรมชาติมากจนเราต้องแน่ใจว่ามันไม่เป็นจริงเสมอไป ตัวอย่างเช่นปริภูมิแคนเตอร์ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงแต่ไม่ใช่ปริภูมิแบบ ไม่ ต่อ เนื่อง

คำจำกัดความ

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และให้เป็นจุดใน $X$ $x$ $X.$

พื้นที่เรียกว่าเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นที่^[¹^]ถ้าทุกย่านใกล้เคียงของประกอบด้วย ย่านใกล้เคียง แบบเปิดที่เชื่อมต่อกันของนั่นคือ ถ้าจุดมีฐานย่านใกล้เคียงที่ประกอบด้วยเซตแบบเปิดที่เชื่อมต่อกัน พื้นที่ที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น^[²^]^[¹^]คือพื้นที่ที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นที่แต่ละจุด $X$ $x$ $x$ $x$ $x$

การเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่นไม่ได้หมายความถึงการเชื่อมต่อโดยทั่วไป (ลองพิจารณาช่วงเปิดสองช่วงที่ไม่ทับซ้อนกันในตัวอย่างเช่น) และการเชื่อมต่อโดยทั่วไปก็ไม่ได้หมายความถึงการเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่น (ดูเส้นโค้งไซน์ของนักโทโพโลยี ) $\mathbb {R}$

พื้นที่เรียกว่าเชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่^[¹^]ถ้าทุกย่านใกล้เคียงของมี ย่านใกล้เคียง แบบเปิดที่เชื่อมต่อเส้นทางของนั่นคือ ถ้าจุดมีฐานย่านใกล้เคียงที่ประกอบด้วยเซตแบบเปิดที่เชื่อมต่อเส้นทาง พื้นที่ที่เชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่^[³^]^[¹^]คือพื้นที่ที่เชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่ที่แต่ละจุด $X$ $x$ $x$ $x$ $x$

พื้นที่ที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางในระดับท้องถิ่น จะเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง (ดูโทโพโลยีลำดับพจนานุกรมบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย )

ความเชื่อมโยงในขนาดเล็ก

พื้นที่เรียกว่าเชื่อมต่อกันแบบเล็ก ๆ ที่^[⁴^]^[⁵^]หรือเชื่อมต่อกันแบบอ่อน ๆ ในระดับท้องถิ่นที่^[⁶^]ถ้าทุกย่านใกล้เคียงของประกอบด้วยย่านใกล้เคียงที่เชื่อมต่อกัน (ไม่จำเป็นต้องเปิด) ของนั่นคือ ถ้าจุดมีฐานย่านใกล้เคียงที่ประกอบด้วยเซตที่เชื่อมต่อกัน พื้นที่เรียกว่าเชื่อมต่อกันแบบอ่อน ๆ ในระดับท้องถิ่นถ้าเชื่อมต่อกันแบบอ่อน ๆ ในระดับท้องถิ่นที่แต่ละจุด ดังที่แสดงไว้ด้านล่าง แนวคิดนี้ในความเป็นจริงแล้วเหมือนกับการเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น $X$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

พื้นที่ที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นณ จุดหนึ่ง จะเชื่อมต่อกันในระดับเล็ก ณ จุดนั้น ในทางกลับกัน ข้อความนี้ใช้ไม่ได้ ดังที่แสดงให้เห็นโดยตัวอย่างการรวมกันแบบอนันต์ของพื้นที่กวาด ที่ลดลง ซึ่งเชื่อมต่อกันในระดับเล็ก ณ จุดใดจุดหนึ่ง แต่ไม่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น ณ จุดนั้น^[⁷^]^[⁸^]^[⁹^] อย่างไรก็ตาม หากพื้นที่เชื่อมต่อกันในระดับเล็ก ณ จุดแต่ละจุด พื้นที่นั้นจะเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น^[¹⁰^] $x$ $x.$

กล่าวได้ว่าพื้นที่เชื่อมต่อเส้นทาง im kleinen at ^[⁵^]หากย่านใกล้เคียงทุกย่านของมีย่านใกล้เคียงที่เชื่อมต่อเส้นทาง (ไม่จำเป็นต้องเปิด) ของนั่นคือ หากจุดมีฐานย่านใกล้เคียงที่ประกอบด้วยเซตที่เชื่อมต่อเส้นทาง $X$ $x$ $x$ $x$ $x$

พื้นที่ที่เชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่ ณจุดใดจุดหนึ่ง จะเชื่อมต่อเส้นทาง im kleinen ณ จุดใดจุดหนึ่ง ในทางกลับกันไม่เป็นจริง ดังที่แสดงโดยการรวมกันแบบอนันต์ของพื้นที่กวาดที่ลดลงดังข้างต้น อย่างไรก็ตาม หากพื้นที่ใดเชื่อมต่อเส้นทาง im kleinen ณ จุดใดจุดหนึ่ง พื้นที่นั้นจะเชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่^[¹¹^] $x$ $x.$

ตัวอย่างแรก

สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ ปริภูมิยุคลิดจะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางในระดับท้องถิ่น ดังนั้นจึงเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น และยังเชื่อมต่อกันอีกด้วย $\mathbb {R} ^{n}$
โดยทั่วไปแล้วปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ ทุก ปริภูมิจะเชื่อมต่อกันเฉพาะที่ เนื่องจากแต่ละจุดมีฐานเฉพาะที่ของ บริเวณใกล้เคียง แบบนูน (และดังนั้นจึงเชื่อมต่อกัน)
ปริภูมิย่อยของเส้นจำนวนจริงนั้นเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น แต่ไม่ใช่การเชื่อมต่อกันอย่างแท้จริง $S=[0,1]\cup [2,3]$ $\mathbb {R} ^{1}$
เส้นโค้งไซน์ของนักทอพอโลยีเป็นปริภูมิย่อยของระนาบยุคลิดที่เชื่อมต่อกัน แต่ไม่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น^{[ 12 ]}
ปริภูมิของจำนวนตรรกยะซึ่งมีโทโพโลยีแบบยุคลิดมาตรฐานนั้น ไม่ใช่ทั้งปริภูมิเชื่อมต่อ และไม่ใช่ปริภูมิเชื่อมต่อเฉพาะที่ $\mathbb {Q}$
พื้นที่หวีเชื่อมต่อด้วยเส้นทาง แต่ไม่ได้เชื่อมต่อด้วยเส้นทางในระดับท้องถิ่น และไม่ได้เชื่อมต่อในระดับท้องถิ่นด้วยซ้ำ
เซตอนันต์ที่นับได้ซึ่งมีโทโพโลยีโคไฟ ไนต์ นั้นเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น (ที่จริงแล้วเชื่อมต่อกันอย่างมาก ) แต่ไม่เชื่อมต่อกันตามเส้นทางในระดับท้องถิ่น^{[ 13 ]}
โทโพโลยีลำดับพจนานุกรมบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยเชื่อมต่อและเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่น แต่ไม่เชื่อมต่อเส้นทางหรือเชื่อมต่อเส้นทางในระดับท้องถิ่น^{[ 14 ]}
พื้นที่Kirchเชื่อมต่อกันและเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่น แต่ไม่เชื่อมต่อผ่านเส้นทาง และไม่เชื่อมต่อผ่านเส้นทางใน kleinen ณ จุดใดเลย อันที่จริงแล้วมันขาดการเชื่อมต่อผ่านเส้นทางโดยสิ้นเชิง

ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ ที่นับได้เป็นอันดับแรก จะเชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อเท่ากับโทโพโลยีสุดท้ายบนที่เกิดจากเซตของเส้นทางต่อเนื่องทั้งหมด $(X,\tau )$ $\tau$ $X$ $C([0,1];X)$ $[0,1]\to (X,\tau ).$

คุณสมบัติ

ทฤษฎีบท—พื้นที่เชื่อมต่อเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อพื้นที่นั้นเชื่อมต่อเฉพาะที่แบบอ่อน^{[ 10 ]}

การพิสูจน์

สำหรับทิศทางที่ไม่ใช่ทิศทางพื้นฐาน ให้ถือว่าเซตนั้นเชื่อมต่อกันอย่างอ่อนในระดับท้องถิ่น ในการแสดงว่าเซตนั้นเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น ก็เพียงพอที่จะแสดงว่าส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของเซตเปิดเป็นเซตเปิด $X$

ให้เป็นเซตเปิดในและให้เป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของให้เป็นสมาชิกของดังนั้นเป็นย่านใกล้เคียงของโดยที่ จะเป็นย่านใกล้เคียงที่เชื่อมต่อกันของ ซึ่งบรรจุอยู่ใน เนื่องจากเป็นเซตที่เชื่อมต่อกันและ ประกอบด้วย จึง ต้องเป็นเซตย่อยของ(ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันซึ่งประกอบด้วย) ดังนั้นจึงเป็นจุดภายในของ เนื่องจากเป็นจุดใดๆ ของ จึงเป็นเซตเปิดในดังนั้น จึงเป็นเซตที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น $U$ $X$ $C$ $U.$ $x$ $C.$ $U$ $x$ $V$ $x$ $U.$ $V$ $x,$ $V$ $C$ $x$ $x$ $C.$ $x$ $C,$ $C$ $X.$ $X$

ตามนิยามแล้ว การเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่น (Local connectedness) คือคุณสมบัติในระดับท้องถิ่นของปริภูมิเชิงทอพอโลยี กล่าวคือ คุณสมบัติเชิงทอพอ โลยี Pที่ปริภูมิXมีคุณสมบัติPก็ต่อเมื่อแต่ละจุดxในXมีฐานของเซตใกล้เคียงที่มีคุณสมบัติPดังนั้น คุณสมบัติ "เมตาพร็อพเพอร์ตี้" ทั้งหมดที่มีอยู่ในคุณสมบัติในระดับท้องถิ่นก็ใช้ได้กับการเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่นด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:
พื้นที่นั้นจะเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อมันยอมรับฐานของเซตย่อยที่เชื่อมต่อกัน (แบบเปิด)
การรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกัน ของกลุ่มของปริภูมิจะเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อแต่ละปริภูมิเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากจุดเดี่ยวๆ นั้นเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นอย่างแน่นอน จึงสรุปได้ว่าปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่อง ใดๆ ก็ เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นเช่นกัน ในทางกลับกัน ปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องนั้นไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงดังนั้นจึงเชื่อมต่อกันได้ก็ต่อเมื่อมีจุดไม่เกินหนึ่งจุดเท่านั้น $\coprod _{i}X_{i}$ $\{X_{i}\}$ $X_{i}$
ในทางกลับกันพื้นที่ที่ตัดขาดจากกันโดยสิ้นเชิงจะเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อมันเป็นพื้นที่แบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น นี่สามารถนำมาใช้อธิบายข้อเท็จจริงที่กล่าวไว้ข้างต้นที่ว่าจำนวนตรรกยะไม่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นได้
พื้นที่ผลคูณที่ไม่ว่างเปล่าจะเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อแต่ละพื้นที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น และมีเพียงจำนวนจำกัดของพื้นที่ที่เชื่อมต่อกัน^[¹⁵^] $\prod _{i}X_{i}$ $X_{i}$ $X_{i}$
ทุกพื้นที่ที่มีการเชื่อมต่ออย่างมาก ล้วนมีการเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่น และมีการเชื่อมต่อโดยทั่วไป

ส่วนประกอบและส่วนประกอบเส้นทาง

ผลลัพธ์ต่อไปนี้ได้มาแทบจะทันทีจากคำจำกัดความ แต่จะมีประโยชน์มากทีเดียว:

บทตั้ง: ให้Xเป็นปริภูมิ และเป็นตระกูลของเซตย่อยของXสมมติว่าไม่ว่างเปล่า ถ้าแต่ละเซตเชื่อมต่อกัน (หรือเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง) แล้ว การรวมกันของเซตย่อยนั้นก็เชื่อมต่อกัน (หรือเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง) ^[¹⁶^] $\{Y_{i}\}$ $\bigcap _{i}Y_{i}$ $Y_{i}$ $\bigcup _{i}Y_{i}$

ต่อไปนี้ให้พิจารณาความสัมพันธ์สองอย่างบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีXดังนี้: เขียนได้ดังนี้: $x,y\in X,$

x\equiv _{c}y

ถ้ามีเซตย่อยที่เชื่อมต่อกันของXที่ประกอบด้วยทั้งxและyและ

x\equiv _{pc}y

หากมีเส้นทางเชื่อมต่อที่เชื่อมเซตย่อยของXซึ่งประกอบด้วยทั้งxและy

เห็นได้ชัดว่าความสัมพันธ์ทั้งสองเป็นความสัมพันธ์สะท้อนและสมมาตร ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าxและyอยู่ในเซตย่อยA ที่เชื่อมต่อกัน (หรือเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง) และyและzเชื่อมต่อกันในเซตย่อยB ที่เชื่อมต่อกัน (หรือเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง) แล้ว บทพิสูจน์ย่อยจะบ่งชี้ว่าเป็นเซตย่อยที่เชื่อมต่อกัน (หรือเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง) ที่ประกอบด้วยx , yและzดังนั้น ความสัมพันธ์แต่ละอย่างจึงเป็นความสัมพันธ์สมมูลและกำหนดการแบ่งส่วนของXออกเป็นชั้นสมมูลเราจะพิจารณาการแบ่งส่วนทั้งสองนี้ทีละส่วน $A\cup B$

สำหรับxในXเซตของจุดy ทั้งหมด ที่เรียกว่าส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของx ^[¹⁷ ] บทพิสูจน์บ่งชี้ว่าเป็นเซตย่อยที่เชื่อมต่อสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันของXที่มีx ^[¹⁸^]เนื่องจากการปิดของก็เป็นเซตย่อยที่เชื่อมต่อที่มีx เช่นกัน [ ¹⁹^]^[²⁰^{] จึงสรุป}^ได้ว่า เป็น ^เซตปิด^[²¹^] $C_{x}$ $y\equiv _{c}x$ $C_{x}$ $C_{x}$ $C_{x}$

ถ้าXมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันเพียงจำนวนจำกัด ส่วนประกอบแต่ละส่วนจะเป็นส่วนเติมเต็มของการรวมกันแบบจำกัดของเซตปิด และดังนั้นจึงเป็นเซตเปิด โดยทั่วไป ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันไม่จำเป็นต้องเป็นเซตเปิด เนื่องจากตัวอย่างเช่น มีปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิง (เช่นสำหรับทุกจุดx ) ที่ไม่ใช่ปริภูมิแคนเตอร์ อย่างไรก็ตาม ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของปริภูมิที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นก็เป็นเซตเปิดเช่นกัน และดังนั้นจึงเป็นเซตปิดเปิด [ ²²^]^เป็น ผลให้ปริภูมิที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นXเป็นการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันทางโทโพโลยีของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันที่แตกต่างกัน ในทางกลับกัน ถ้าสำหรับทุกเซตย่อยเปิดUของXส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของUเป็นเซตเปิด แล้วXจะมีฐานของเซตที่เชื่อมต่อกัน และดังนั้นจึงเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น^[²³^] $C_{x}=\{x\}$ $\coprod C_{x}$

ในทำนองเดียวกันxในXเซตของจุดy ทั้งหมด ที่เรียกว่าส่วนประกอบเส้นทางของx [ ²⁴^]^{ดังที่ กล่าว}มาข้างต้นยังเป็นการรวมกันของเซตย่อยที่เชื่อมต่อเส้นทางทั้งหมดของXที่มีxดังนั้นโดย Lemma จึงเชื่อมต่อเส้นทางด้วย เนื่องจากเซตที่เชื่อมต่อเส้นทางเชื่อมต่อกัน เราจึงมีสำหรับทุก $PC_{x}$ $y\equiv _{pc}x$ $PC_{x}$ $PC_{x}\subseteq C_{x}$ $x\in X.$

อย่างไรก็ตาม การปิดของเซตที่เชื่อมต่อด้วยเส้นทางไม่จำเป็นต้องเป็นเซตที่เชื่อมต่อด้วยเส้นทางเสมอไป ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งไซน์ของนักทอพอโลยีคือการปิดของเซตย่อยเปิดUที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมด(x,sin(x))โดยที่x > 0และUซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิกกับช่วงบนเส้นจำนวนจริง ย่อมเป็นเซตที่เชื่อมต่อด้วยเส้นทางอย่างแน่นอน ยิ่งไปกว่านั้น ส่วนประกอบเส้นทางของเส้นโค้งไซน์ของนักทอพอโลยีCคือUซึ่งเป็นเซตเปิดแต่ไม่ปิด และซึ่งเป็นเซตปิดแต่ไม่เปิด $C\setminus U,$

พื้นที่เชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อสำหรับเซตย่อยเปิดU ทั้งหมด ส่วนประกอบเส้นทางของUเป็นเซตเปิด^{[ 24 ]}ดังนั้น ส่วนประกอบเส้นทางของพื้นที่เชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่ทำให้เกิดการแบ่งXออกเป็นเซตเปิดที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ จึงสรุปได้ว่า พื้นที่ย่อยที่เชื่อมต่อแบบเปิดของพื้นที่เชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่จำเป็นต้องเชื่อมต่อเส้นทาง^{[ 25 ]} ยิ่งไปกว่านั้น หากพื้นที่เชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่แล้ว พื้นที่นั้นก็จะเชื่อมต่อเฉพาะที่ด้วย ดังนั้นสำหรับทั้งหมดจะเชื่อมต่อและเปิด ดังนั้นจึงเชื่อมต่อเส้นทาง นั่นคือ นั่นคือ สำหรับพื้นที่เชื่อมต่อเส้นทางเฉพาะที่ ส่วนประกอบและส่วนประกอบเส้นทางจะตรงกัน $x\in X,$ $C_{x}$ $C_{x}=PC_{x}.$

ตัวอย่าง

เซต (โดยที่) ในโทโพโลยีลำดับ พจนานุกรมมีส่วนประกอบเพียงหนึ่งเดียว (เพราะมันเชื่อมต่อกัน) แต่มีส่วนประกอบเส้นทางนับไม่ถ้วน อันที่จริง เซตใดๆ ที่มีรูปแบบเป็นส่วนประกอบเส้นทางสำหรับแต่ละaที่อยู่ในI $I\times I$ $I=[0,1]$ $\{a\}\times I$
ให้เป็นแผนที่ต่อเนื่องจาก ไปยัง(ซึ่งอยู่ในโทโพโลยีขีดจำกัดล่าง ) เนื่องจาก เป็นปริภูมิเชื่อมต่อ และภาพของปริภูมิเชื่อมต่อภายใต้แผนที่ต่อเนื่องจะต้องเป็นปริภูมิเชื่อมต่อ ดังนั้นภาพของภายใต้จะต้องเป็นปริภูมิเชื่อมต่อ ด้วยเหตุนี้ ภาพของภายใต้จะต้องเป็นเซตย่อยของส่วนประกอบของ เนื่องจากภาพนี้ไม่ว่างเปล่า แผนที่ต่อเนื่องจาก ไปยัง จึงมี เพียงแผนที่คงที่เท่านั้น ในความเป็นจริง แผนที่ต่อเนื่องใดๆ จากปริภูมิเชื่อมต่อไปยังปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อโดยสมบูรณ์จะต้องเป็นแผนที่คงที่ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\ell }$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} _{\ell }$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $f$ $\mathbb {R}$ $f$ $\mathbb {R} _{\ell }/$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} _{\ell },$

ส่วนประกอบเสมือน

ให้Xเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี เรากำหนดความสัมพันธ์ที่สามบนX : ถ้าไม่มีการแบ่งแยกXออกเป็นเซตเปิดAและBโดยที่xเป็นสมาชิกของAและyเป็นสมาชิกของBนี่คือความสัมพันธ์สมมูลบนXและชั้นสมมูล^ที่ประกอบด้วยxเรียกว่าquasicomponentของx ^[¹⁸ ] $x\equiv _{qc}y$ $QC_{x}$

$QC_{x}$ ยังสามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นจุดตัดของ เซต ย่อยปิดและเปิด ทั้งหมด ของXที่มีxอยู่^{[ 18 ]}ดังนั้น จึงเป็นเซตปิด โดยทั่วไปแล้วไม่จำเป็นต้องเป็นเซตเปิด $QC_{x}$

เห็นได้ชัดว่าสำหรับทั้งหมด^[¹⁸^]โดยรวมแล้วเรามีการบรรจุต่อไปนี้ระหว่างส่วนประกอบเส้นทาง ส่วนประกอบ และส่วนประกอบเสมือนที่x : $C_{x}\subseteq QC_{x}$ $x\in X.$ $PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.$

ถ้าXเป็นพื้นที่เชื่อมต่อเฉพาะที่แล้ว ดังที่กล่าวมาข้างต้นจะเป็นเซตปิดและเปิดที่ประกอบด้วยxดังนั้นและด้วยเหตุนี้ เนื่องจากความเชื่อมต่อตามเส้นทางเฉพาะที่บ่งบอกถึงความเชื่อมต่อเฉพาะที่ จึงสรุปได้ว่า ณ จุด x ทุกจุดในปริภูมิที่เชื่อมต่อตามเส้นทางเฉพาะที่ เราจะมี $C_{x}$ $QC_{x}\subseteq C_{x}$ $QC_{x}=C_{x}.$ $PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.$

พื้นที่อีกประเภทหนึ่งที่ส่วนประกอบเสมือนสอดคล้องกับส่วนประกอบคือพื้นที่ Hausdorff ขนาดกะทัดรัด^{[ 26 ]}

ตัวอย่าง

ตัวอย่างหนึ่งของปริภูมิที่มีส่วนประกอบเสมือนไม่เท่ากับส่วนประกอบของมันคือลำดับที่มีจุดลิมิตสองจุด ปริภูมินี้ไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์ แต่จุดลิมิตทั้งสองจุดอยู่บนส่วนประกอบเสมือนเดียวกัน เพราะเซตปิดและเปิดใดๆ ที่บรรจุจุดลิมิตจุดใดจุดหนึ่งจะต้องมีส่วนท้ายของลำดับ และด้วยเหตุนี้จึงต้องมีจุดลิมิตอีกจุดหนึ่งด้วย
พื้นที่นั้นมีขนาดกะทัดรัดและเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟ แต่ฉากและองค์ประกอบต่างๆ นั้นแตกต่างกันสองส่วน ซึ่งอยู่ในส่วนประกอบเสมือนเดียวกัน $(\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}$ $\{0\}\times [-1,0)$ $\{0\}\times (0,1]$
พื้นที่Arens–Fort ไม่ได้เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น แต่ ^ถึงกระนั้นส่วนประกอบและส่วนประกอบเสมือนก็ตรงกัน: แท้จริงแล้วสำหรับทุกจุดx ^[ 27 ^] $QC_{x}=C_{x}=\{x\}$

ดูเพิ่มเติม

พื้นที่ที่เชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่ายในระดับท้องถิ่น
การเชื่อมต่อแบบง่ายในระดับกึ่งเฉพาะที่– คุณสมบัติในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต
มีการตั้งสมมติฐานว่าเซตแมนเดลบร็อตมีการเชื่อมต่อในระดับท้องถิ่น

หมายเหตุ

1 2 3 4 Munkres 2000 , หน้า 161.
↑ Willard 2004 , หน้า 199, นิยาม 27.7.
↑ Willard 2004 , หน้า 199, นิยาม 27.4.
↑ Willard 2004 , หน้า 201, นิยาม 27.14.
1 2 Björn, Anders; Björn, Jana; Shanmugalingam, Nageswari (2016), "ระยะทาง Mazurkiewicz และเซตที่เชื่อมต่อกันอย่างจำกัดที่ขอบเขต", Journal of Geometric Analysis , 26 (2): 873– 897, arXiv : 1311.5122 , doi : 10.1007/s12220-015-9575-9 , S2CID 255549682 ส่วนที่ 2
↑ Munkres 2000 , หน้า 162, แบบฝึกหัดที่ 6.
↑ Steen & Seebach 1995 , หน้า 139, ตัวอย่าง 119.4.
↑ Munkres 2000 , หน้า 162, แบบฝึกหัดที่ 7.
↑ "แสดงว่า X ไม่เชื่อมต่อกันที่จุด p" , Math StackExchange
1 2 Willard 2004 , หน้า 201, ทฤษฎีบท 27.16.
↑ Hocking & Young 1988 , หน้า 114, ทฤษฎีบท 3-11
↑ Steen & Seebach 1995 , หน้า 137–138.
↑ Steen & Seebach 1995 , หน้า 49–50.
↑ Steen & Seebach 1995 , หน้า 73, ตัวอย่างที่ 48.
↑ Willard 2004 , หน้า 201, ทฤษฎีบท 27.13.
↑ Willard 2004 , หน้า 192, ทฤษฎีบท 26.7a.
↑ Willard 2004 , หน้า 194, นิยาม 26.11.
1 2 3 4วิลลาร์ด 2004หน้า 195–196 ปัญหา 26B
↑เคลลีย์ 1975หน้า 54 ทฤษฎีบทที่ 20
↑ Willard 2004 , หน้า 193, ทฤษฎีบท 26.8.
↑ Willard 2004 , หน้า 194, ทฤษฎีบท 26.12.
↑ Willard 2004 , หน้า 200, บทสรุปที่ 27.10.
↑ Willard 2004 , หน้า 200, ทฤษฎีบท 27.9.
1 2 Willard 2004 , หน้า 202, ปัญหา 27D.
↑ Willard 2004 , หน้า 199, ทฤษฎีบท 27.5.
↑ Engelking 1989 , หน้า 357, ทฤษฎีบท 6.1.23
↑ Steen & Seebach 1995 , หน้า 54–55.

อ่านเพิ่มเติม

Coppin, CA (1972), "ฟังก์ชันต่อเนื่องจากปริภูมิที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นไปยังปริภูมิที่เชื่อมต่อกันพร้อมจุดกระจาย", Proceedings of the American Mathematical Society , 32 (2), American Mathematical Society: 625– 626, doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0296913-7 , JSTOR 2037874 สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ จากปริภูมิที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นไปยังปริภูมิที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีจุดกระจายตัว จะมีค่าคงที่
Davis, HS (1968), "A Note on Connectedness Im Kleinen", Proceedings of the American Mathematical Society , 19 (5), American Mathematical Society: 1237– 1241, doi : 10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3 , JSTOR 2036067 .

[FOOTNOTEMunkres2000161-1] 1 2 3 4 Munkres 2000 , หน้า 161.

[FOOTNOTEWillard2004199Definition_27.7-2] Willard 2004 , หน้า 199, นิยาม 27.7.

[FOOTNOTEWillard2004199Definition_27.4-3] Willard 2004 , หน้า 199, นิยาม 27.4.

[FOOTNOTEWillard2004201Definition_27.14-4] Willard 2004 , หน้า 201, นิยาม 27.14.

[BBS-5] 1 2 Björn, Anders; Björn, Jana; Shanmugalingam, Nageswari (2016), "ระยะทาง Mazurkiewicz และเซตที่เชื่อมต่อกันอย่างจำกัดที่ขอบเขต", Journal of Geometric Analysis , 26 (2): 873– 897, arXiv : 1311.5122 , doi : 10.1007/s12220-015-9575-9 , S2CID 255549682 ส่วนที่ 2

[FOOTNOTEMunkres2000162Exercise_6-6] Munkres 2000 , หน้า 162, แบบฝึกหัดที่ 6.

[FOOTNOTESteenSeebach1995139Example_119.4-7] Steen & Seebach 1995 , หน้า 139, ตัวอย่าง 119.4.

[FOOTNOTEMunkres2000162Exercise_7-8] Munkres 2000 , หน้า 162, แบบฝึกหัดที่ 7.

[9] "แสดงว่า X ไม่เชื่อมต่อกันที่จุด p" , Math StackExchange

[FOOTNOTEWillard2004201Theorem_27.16-10] 1 2 Willard 2004 , หน้า 201, ทฤษฎีบท 27.16.

[FOOTNOTEHockingYoung1988114Theorem_3-11-11] Hocking & Young 1988 , หน้า 114, ทฤษฎีบท 3-11

[FOOTNOTESteenSeebach1995137–138-12] Steen & Seebach 1995 , หน้า 137–138.

[FOOTNOTESteenSeebach199549–50-13] Steen & Seebach 1995 , หน้า 49–50.

[FOOTNOTESteenSeebach199573Example_48-14] Steen & Seebach 1995 , หน้า 73, ตัวอย่างที่ 48.

[FOOTNOTEWillard2004201Theorem_27.13-15] Willard 2004 , หน้า 201, ทฤษฎีบท 27.13.

[FOOTNOTEWillard2004192Theorem_26.7a-16] Willard 2004 , หน้า 192, ทฤษฎีบท 26.7a.

[FOOTNOTEWillard2004194Definition_26.11-17] Willard 2004 , หน้า 194, นิยาม 26.11.

[FOOTNOTEWillard2004195–196Problem_26B-18] 1 2 3 4วิลลาร์ด 2004หน้า 195–196 ปัญหา 26B

[FOOTNOTEKelley197554Theorem_20-19] เคลลีย์ 1975หน้า 54 ทฤษฎีบทที่ 20

[FOOTNOTEWillard2004193Theorem_26.8-20] Willard 2004 , หน้า 193, ทฤษฎีบท 26.8.

[FOOTNOTEWillard2004194Theorem_26.12-21] Willard 2004 , หน้า 194, ทฤษฎีบท 26.12.

[FOOTNOTEWillard2004200Corollary_27.10-22] Willard 2004 , หน้า 200, บทสรุปที่ 27.10.

[FOOTNOTEWillard2004200Theorem_27.9-23] Willard 2004 , หน้า 200, ทฤษฎีบท 27.9.

[FOOTNOTEWillard2004202Problem_27D-24] 1 2 Willard 2004 , หน้า 202, ปัญหา 27D.

[FOOTNOTEWillard2004199Theorem_27.5-25] Willard 2004 , หน้า 199, ทฤษฎีบท 27.5.

[FOOTNOTEEngelking1989357Theorem_6.1.23-26] Engelking 1989 , หน้า 357, ทฤษฎีบท 6.1.23

[FOOTNOTESteenSeebach199554–55-27] Steen & Seebach 1995 , หน้า 54–55.

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[

[

[

[

19

20

ได้

22

[

24

[ 25 ]

[ 26 ]

ถึง

พื้นที่ที่เชื่อมต่อในท้องถิ่น

พื้นหลัง

คำจำกัดความ

ความเชื่อมโยงในขนาดเล็ก

ตัวอย่างแรก

คุณสมบัติ

ส่วนประกอบและส่วนประกอบเส้นทาง

ตัวอย่าง

ส่วนประกอบเสมือน

ตัวอย่าง

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

อ่านเพิ่มเติม

ข้อมูลสำคัญจากบทความ