ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการวิเคราะห์เชิงตัวเลขอัตราการลู่เข้าและลำดับการลู่เข้าของลำดับที่ลู่เข้าสู่ลิมิตนั้น เป็นลักษณะเฉพาะหลายประการที่แสดงให้เห็นว่าลำดับนั้นเข้าใกล้ลิมิตเร็วเพียงใด โดยทั่วไปแล้วสามารถแบ่งออกเป็นอัตราและลำดับการลู่เข้าที่อธิบายว่าลำดับเข้าใกล้ลิมิตเร็วเพียงใดเมื่ออยู่ใกล้ลิมิตแล้ว ซึ่งเรียกว่า อัตราและลำดับการลู่เข้าเชิง อะซิมโทติกและอัตราและลำดับการลู่เข้าที่อธิบายว่าลำดับเข้าใกล้ลิมิตเร็วเพียงใดจากจุดเริ่มต้นที่ไม่จำเป็นต้องอยู่ใกล้ลิมิต ซึ่งเรียกว่าอัตราและลำดับการลู่เข้าที่ไม่ใช่เชิงอะซิมโทติก

พฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกมีประโยชน์อย่างยิ่งในการตัดสินใจว่าจะหยุดลำดับการคำนวณเชิงตัวเลขเมื่อใด ตัวอย่างเช่น เมื่อได้ความแม่นยำตามเป้าหมายแล้วด้วยอัลกอริธึมการหาค่าราก แบบวนซ้ำ แต่พฤติกรรมเชิงพรีอะซิมโทติกมักมีความสำคัญอย่างยิ่งในการพิจารณาว่าจะเริ่มต้นลำดับการคำนวณหรือไม่ เนื่องจากอาจเป็นไปไม่ได้หรือทำได้ยากที่จะบรรลุความแม่นยำตามเป้าหมายด้วยวิธีการที่เลือกไม่ดี อัตราการลู่เข้าและลำดับการลู่เข้าเชิงอะซิมโทติกเป็นหัวข้อหลักของบทความนี้

ในการคำนวณเชิงตัวเลขในทางปฏิบัติ อัตราการลู่เข้าและลำดับการลู่เข้าเชิงอะซิมโทติกจะใช้หลักการทั่วไปสองแบบสำหรับลำดับสองประเภท: แบบแรกสำหรับลำดับการทำซ้ำของวิธีการเชิงตัวเลขแบบวนซ้ำ และแบบที่สองสำหรับลำดับ การแบ่งส่วนเชิงตัวเลขที่แม่นยำขึ้นเรื่อยๆของเป้าหมาย ในคณิตศาสตร์เชิงรูปธรรม อัตราการลู่เข้าและลำดับการลู่เข้ามักจะถูกอธิบายโดยการเปรียบเทียบโดยใช้สัญกรณ์เชิงอะซิมโทติกที่เรียกกันทั่วไปว่า " สัญกรณ์บิ๊กโอ " ซึ่งสามารถใช้ครอบคลุมหลักการทั้งสองแบบก่อนหน้านี้ได้ นี่คือการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติก

สำหรับวิธีการวนซ้ำ ลำดับที่ลู่เข้าสู่ค่าหนึ่งจะกล่าวได้ว่ามีลำดับการลู่เข้า เชิงอะซิมโทติก และอัตราการลู่เข้าเชิง อะซิมโทติก ถ้า ${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle q\geq 1}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|x_{k+1}-L\right|}{\left|x_{k}-L\right|^{q}}}=\mu .}$^{[ 1 ]}

ในกรณีที่ต้องการความแม่นยำเชิงวิธีการ อัตราและลำดับการลู่เข้าเหล่านี้เรียกว่าอัตราและลำดับการลู่เข้าแบบ Q โดยเฉพาะ ซึ่งย่อมาจาก quotient-convergence เนื่องจากลิมิตที่กล่าวถึงคือผลหารของพจน์ความคลาดเคลื่อน^{[ 1 ]}อัตราการลู่เข้าอาจเรียกว่า ค่าคง ที่ความคลาดเคลื่อนเชิงอะซิมโทติกและผู้เขียนบางคนจะใช้อัตราในที่ที่บทความนี้ใช้ลำดับ^{[ 2 ]} วิธี การเร่งความเร็วอนุกรมเป็นเทคนิคสำหรับการปรับปรุงอัตราการลู่เข้าของลำดับผลรวมย่อยของอนุกรมและอาจรวมถึงลำดับการลู่เข้าด้วย ${\displaystyle \mu }$

แนวคิดที่คล้ายกันนี้ถูกนำมาใช้กับลำดับของการแบ่งส่วนย่อย ตัวอย่างเช่น ในอุดมคติแล้ว คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่แบ่งส่วนย่อยโดยใช้ตารางปกติจะลู่เข้าสู่คำตอบของสมการต่อเนื่องเมื่อระยะห่างของตารางเข้าใกล้ศูนย์ และถ้าเป็นเช่นนั้น อัตราและลำดับการลู่เข้าเชิงอะซิมโทติกนั้นเป็นคุณสมบัติที่สำคัญของวิธีการสร้างตาราง ลำดับของคำตอบโดยประมาณของตารางสำหรับปัญหาบางอย่างที่ลู่เข้าสู่คำตอบที่แท้จริงด้วยลำดับของระยะห่างของตารางปกติที่สอดคล้องกันซึ่งลู่เข้าสู่ 0 กล่าวได้ว่ามีลำดับการลู่เข้าเชิงอะซิม โทติก และอัตราการลู่เข้าเชิงอะซิ มโทติก ถ้า ${\displaystyle (y_{k})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (h_{k})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|y_{k}-S\right|}{h_{k}^{q}}}=\mu ,}$$

โดยที่สัญลักษณ์ค่าสัมบูรณ์หมายถึงเมตริกสำหรับปริภูมิของคำตอบ เช่นนอร์มเอกรูป คำจำกัดความที่คล้ายกันนี้ยังใช้ได้กับแผนการแยกส่วนแบบไม่ใช้ตาราง เช่นตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมของวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์หรือชุดฐานในเคมีเชิงคำนวณโดยทั่วไป คำจำกัดความที่เหมาะสมของอัตราเชิงอะซิมโทติกจะเกี่ยวข้องกับลิมิตเชิงอะซิมโทติกของอัตราส่วนของพจน์ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าข้างต้นต่อกำลังลำดับเชิงอะซิมโทติกของพารามิเตอร์มาตราส่วนการแยกส่วนด้านล่าง ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อเปรียบเทียบกันแล้ว ลำดับหนึ่งที่ลู่เข้าสู่ลิมิตจะกล่าวได้ว่าลู่เข้าในเชิงอะซิมโทติกได้เร็วกว่าลำดับอีกลำดับหนึ่งที่ลู่เข้าสู่ลิมิตถ้า ${\displaystyle (a_{k})}$${\displaystyle L_{a}}$${\displaystyle (b_{k})}$${\displaystyle L_{b}}$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L_{a}\right|}{|b_{k}-L_{b}|}}=0,}$$

และกล่าวได้ว่าทั้งสองลู่เข้าเชิงอะซิมโทติกด้วยลำดับการลู่เข้าเดียวกัน หากลิมิตเป็นค่าบวกจำกัดใดๆ และกล่าวได้ว่าทั้งสองสมมูลกันเชิงอะซิมโทติก หากลิมิตเท่ากับหนึ่ง นิยามเปรียบเทียบอัตราและลำดับการลู่เข้าเชิงอะซิมโทติกเหล่านี้เป็นพื้นฐานในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงอะซิมโทติก และมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในคณิตศาสตร์วิเคราะห์โดยรวม รวมถึงคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงตัวเลข คณิตศาสตร์วิเคราะห์ เชิงจริงคณิตศาสตร์ วิเคราะห์เชิงซ้อน และคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

สมมติว่าลำดับ ของการทำซ้ำของวิธีการวน ซ้ำ ลู่เข้าสู่จำนวนลิมิตเมื่อลำดับดังกล่าวจะลู่เข้าด้วยอันดับและด้วยอัตราการลู่เข้าถ้าลิมิตของผลหารของผลต่างสัมบูรณ์ของการทำซ้ำตามลำดับจากลิมิตของพวกมันเป็นไป ตามเงื่อนไข${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle k\ลูกศรขวา \infty }$${\displaystyle q}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k\ลูกศรขวา \infty }$${\displaystyle x_{k},x_{k+1}}$${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|^{q}}}=\mu }$$

^{สำหรับ ค่า}คงที่บวกบางค่าถ้าและถ้า[ ^{1 ] [ 3 ] [ 4 ]}จำเป็นต้องมีคำจำกัดความอัตราทางเทคนิคเพิ่มเติมหากลำดับลู่เข้าแต่^{[ 5 ]}หรือลิมิตไม่มีอยู่จริง^{[ 1 ]}คำจำกัดความนี้ในทางเทคนิคเรียกว่า Q-convergence ซึ่งย่อมาจาก quotient-convergence และอัตราและลำดับเรียกว่าอัตราและลำดับของ Q-convergence เมื่อต้องการความเฉพาะเจาะจงทางเทคนิคดังกล่าว§ R-convergenceด้านล่าง เป็นทางเลือกที่เหมาะสมเมื่อลิมิตนี้ไม่มีอยู่จริง ${\displaystyle \mu \in (0,1)}$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle \mu \in (0,\infty )}$${\displaystyle q>1}$${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=1}$

ลำดับที่มีอันดับสูงกว่าจะลู่เข้าได้เร็วกว่าลำดับที่มีอันดับต่ำกว่า และลำดับที่มีอัตราต่ำกว่าจะลู่เข้าได้เร็วกว่าลำดับที่มีอัตราสูงกว่าสำหรับลำดับที่กำหนด พฤติกรรม "อัตราที่ต่ำกว่าจะลู่เข้าได้เร็วกว่า" ในหมู่ลำดับที่มีอันดับเดียวกันนี้เป็นมาตรฐาน แต่อาจขัดกับสัญชาตญาณ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดอัตรานี้ ซึ่งก็คือ "จำนวนทศนิยมเพิ่มเติมของความแม่นยำต่อการวนซ้ำ" สำหรับลำดับที่ลู่เข้าด้วยอันดับ 1 ^{[ 1 ]}${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle -\log _{10}\mu }$

กำลังจำนวนเต็มของเป็นเรื่องปกติและมีชื่อเรียกทั่วไป การลู่เข้าที่มีลำดับและเรียกว่าการ ลู่เข้าเชิงเส้น และลำดับ กล่าวได้ว่า ลู่เข้าเชิงเส้น ไปยัง การ ลู่เข้า ที่มี และ ใดๆเรียกว่าการลู่เข้ากำลังสองและลำดับ กล่าวได้ว่า ลู่ เข้ากำลังสองการลู่เข้าที่มีและ ใดๆเรียกว่าการลู่เข้ากำลังสามอย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นว่า จะเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่นวิธีซีแคนต์เมื่อลู่เข้าสู่รากปกติที่เรียบง่ายจะมีลำดับของอัตราส่วนทองคำ φ ≈ 1.618 ^{[ 6 ]}${\displaystyle q}$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle \mu \in (0,1)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle q=2}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q=3}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$

ชื่อสามัญสำหรับลำดับการลู่เข้าจำนวนเต็มเชื่อมโยงกับสัญกรณ์บิ๊กโอเชิงอะซิมโทติกซึ่งการลู่เข้าของผลหารหมายถึง สิ่งเหล่านี้คือการแสดงออก พหุนามเชิงเส้น กำลังสอง และ กำลังสาม เมื่อคือ 1, 2 และ 3 ตามลำดับ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ลิมิตหมายถึงข้อผิดพลาดลำดับนำคือซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้สัญกรณ์สัญกรณ์เล็กโอเชิงอะซิมโทติกเป็น${\textstyle |x_{k+1}-L|=O(|x_{k}-L|^{q}).}$${\displaystyle q}$${\textstyle \mu |x_{k}-L|^{q},}$${\textstyle |x_{k+1}-L|=\mu |x_{k}-L|^{q}+o(|x_{k}-L|^{q}).}$

โดยทั่วไป เมื่อลำดับหรือลำดับใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ ลำดับเหล่านั้นจะเรียกว่าลู่เข้าแบบซูเปอร์ลิเนียร์ (กล่าวคือ เร็วกว่าเชิงเส้น) ^{[ 1 ]}ลำดับจะเรียกว่าลู่เข้าแบบซับลิเนียร์ (กล่าวคือ ช้ากว่าเชิงเส้น) หากมันลู่เข้า และที่สำคัญคือ ไม่ถูกต้องที่จะกล่าวว่าลำดับอันดับซับลิเนียร์เหล่านี้ลู่เข้าเชิงเส้นด้วยอัตราการลู่เข้าแบบอะซิมโทติกเท่ากับ 1 ลำดับจะลู่เข้าแบบลอการิทึมไปยังหากลำดับลู่เข้าแบบซับลิเนียร์ และ^{[ 5 ]}${\displaystyle q>1}$${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=0,}$${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=1.}$${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle L}$${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-x_{k}|}{|x_{k}-x_{k-1}|}}=1.}$

นิยามของอัตราการลู่เข้าแบบ Q มีข้อบกพร่องตรงที่มันไม่สามารถอธิบายพฤติกรรมการลู่เข้าของลำดับที่ลู่เข้าได้ แต่ไม่ได้ลู่เข้าด้วยอัตราคงที่เชิงอะซิมโทติกในทุกขั้นตอนได้อย่างเป็นธรรมชาติ ดังนั้นขีดจำกัดการลู่เข้าแบบ Q จึงไม่มีอยู่จริง ตัวอย่างหนึ่งคือลำดับเรขาคณิตแบบสลับที่เข้าใกล้ขีดจำกัดของมันทุกๆ สองขั้นตอนหรือหลายขั้นตอน เช่น ตัวอย่างที่อธิบายไว้ด้านล่าง (โดยที่คือฟังก์ชันพื้น (floor function ) ที่ใช้กับ) ขีดจำกัดการลู่เข้าเชิงเส้นแบบ Q ที่กำหนดไว้ไม่มีอยู่จริงสำหรับลำดับนี้ เพราะลำดับย่อยของผลหารข้อผิดพลาดที่เริ่มต้นจากขั้นตอนคี่ลู่เข้าสู่ 1 และลำดับย่อยของผลหารที่เริ่มต้นจากขั้นตอนคู่ลู่เข้าสู่ 1/4 เมื่อลำดับย่อยสองลำดับของลำดับลู่เข้าสู่ขีดจำกัดที่แตกต่างกัน ลำดับนั้นเองก็จะไม่ลู่เข้าสู่ขีดจำกัดใดๆ ${\textstyle (b_{k})=1,1,1/4,1/4,1/16,1/16,\ldots ,1/4^{\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor },\ldots }$${\textstyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x}$

ในกรณีเช่นนี้ คำจำกัดความของอัตราการลู่เข้าที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดแต่เป็นเชิงเทคนิคมากกว่าที่เรียกว่า R-convergence จะเหมาะสมกว่า คำนำหน้า "R-" หมายถึง "ราก" ^{[ 1 ] [ 7 ] : 620} ลำดับที่ลู่เข้าสู่กล่าวได้ว่าลู่เข้าอย่างน้อย R-เชิงเส้นหากมีลำดับที่จำกัดข้อผิดพลาดอยู่เช่นนั้นและลู่เข้า Q-เชิงเส้นไปยังศูนย์ คำจำกัดความที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับ R-superlinear convergence, R-sublinear convergence, R-quadratic convergence และอื่นๆ^{[ 1 ]}${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (\varepsilon _{k})}$${\textstyle |x_{k}-L|\leq \varepsilon _{k}\quad {\text{for all }}k}$${\displaystyle (\varepsilon _{k})}$

ลำดับการจำกัดข้อผิดพลาดใดๆจะให้ค่าขอบล่างของอัตราและลำดับของการลู่เข้าแบบ R และค่าขอบล่างที่มากที่สุดจะให้ค่าอัตราและลำดับของการลู่เข้าแบบ R ที่แน่นอน สำหรับการลู่เข้าแบบ Q ลำดับที่มีลำดับที่ใหญ่กว่าจะลู่เข้าได้เร็วกว่า และลำดับที่มีอัตราที่ต่ำกว่าจะลู่เข้าได้เร็วกว่าสำหรับลำดับที่กำหนด ดังนั้นลำดับขอบบนของข้อผิดพลาดที่มีค่าขอบล่างอัตราที่มากที่สุดเหล่านี้จึงเป็นลำดับที่มีค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดและค่าที่เป็นไปได้น้อยที่สุด เมื่อพิจารณาจากเงื่อนไข ที่ กำหนด${\displaystyle (\varepsilon _{k})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$

จากตัวอย่างข้างต้น ลำดับขอบเขตที่แน่นหนาจะลู่เข้าแบบ Q-linear ด้วยอัตรา 1/2 ดังนั้นจึงลู่เข้าแบบ R-linear ด้วยอัตรา 1/2 โดยทั่วไป สำหรับลำดับเรขาคณิตแบบสลับใดๆลำดับจะไม่ลู่เข้าแบบ Q-linear แต่จะลู่เข้าแบบ R-linear ด้วยอัตราตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเหตุใด "R" ในการลู่เข้าแบบ R-linear จึงย่อมาจาก "root" ${\textstyle (b_{k})}$${\textstyle (\varepsilon _{k})=2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,\ldots ,1/2^{k-1},\ldots }$${\textstyle (b_{k})}$${\displaystyle (ar^{\lfloor k/m\rfloor })}$${\textstyle {\sqrt[{m}]{|r|}}.}$

ลำดับเรขาคณิต ลู่เข้าสู่เมื่อแทนค่าลำดับลงในนิยามของการลู่เข้าเชิงเส้นแบบ Q (เช่น ลำดับการลู่เข้า 1) จะแสดงให้เห็นว่า ${\textstyle (a_{k})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},\ldots ,{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}^{k},\dots }$${\displaystyle L=0}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\left|1/2^{k+1}-0\right|}{\left|1/2^{k}-0\right|}}=\lim _{k\to \infty }{\frac {2^{k}}{2^{k+1}}}={\frac {1}{2}}.}$$

ดังนั้นจึงลู่เข้าแบบเชิงเส้น Q ด้วยอัตราการลู่เข้า; ดูแผนภูมิแรกในรูปด้านล่าง ${\displaystyle (a_{k})}$${\displaystyle \mu =1/2}$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับค่าเริ่มต้นใดๆในจำนวนจริง และอัตราส่วนร่วมที่เป็นจำนวนจริงระหว่าง -1 และ 1 ลำดับเรขาคณิตจะลู่เข้าเชิงเส้นด้วยอัตราและลำดับผลรวมย่อยของอนุกรมเรขาคณิตก็ลู่เข้าเชิงเส้นด้วยอัตราเช่นกัน เช่นเดียวกันนี้ยังใช้ได้กับลำดับเรขาคณิตและอนุกรมเรขาคณิตที่กำหนดพารามิเตอร์ด้วยจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (ar^{k})}$${\displaystyle |r|}$${\textstyle {\bigl (}\sum _{n=0}^{k}ar^{n}{\bigr )}}$${\displaystyle |r|}$${\displaystyle a\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {C} ,|r|<1.}$

ลำดับเรขาคณิตแบบสลับ ที่ ใช้ฟังก์ชันพื้นซึ่งให้จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ จะลู่เข้าแบบเชิงเส้น R ไปยัง 0 ด้วยอัตรา 1/2 แต่จะไม่ลู่เข้าแบบเชิงเส้น Q ดูได้จากกราฟที่สองในรูปด้านล่าง ขีดจำกัดการลู่เข้าแบบเชิงเส้น Q ที่กำหนดไว้ไม่มีอยู่สำหรับลำดับนี้ เนื่องจากลำดับย่อยหนึ่งของผลหารข้อผิดพลาดที่เริ่มต้นจากขั้นตอนคี่ลู่เข้าที่ 1 และลำดับย่อยอีกอันหนึ่งของผลหารที่เริ่มต้นจากขั้นตอนคู่ลู่เข้าที่ 1/4 เมื่อลำดับย่อยสองลำดับของลำดับลู่เข้าที่ขีดจำกัดที่แตกต่างกัน ลำดับนั้นเองจะไม่ลู่เข้าที่ขีดจำกัดใดๆ โดยทั่วไป สำหรับลำดับเรขาคณิตแบบสลับใดๆลำดับจะไม่ลู่เข้าแบบเชิงเส้น Q แต่จะลู่เข้าแบบเชิงเส้น R ด้วยอัตราตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าทำไม "R" ในการลู่เข้าแบบเชิงเส้น R จึงย่อมาจาก "ราก" ${\textstyle (b_{k})=1,1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{16}},\ldots ,{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}^{\left\lfloor k/2\right\rfloor },\ldots ,}$${\textstyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x,}$${\displaystyle (ar^{\lfloor k/m\rfloor })}$${\textstyle {\sqrt[{m}]{|r|}};}$

ลำดับนี้ ลู่เข้าสู่ศูนย์แบบ Q-superlinearly ที่จริงแล้วมันลู่เข้าแบบกำลังสองด้วยอัตราการลู่เข้าแบบกำลังสองเท่ากับ 1 ดังแสดงในกราฟที่สามของรูปด้านล่าง $${\displaystyle (c_{k})={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{256}},{\frac {1}{65,\!536}},\ldots ,{\frac {1}{2^{2^{k}}}},\ldots }$$

ในที่สุด ลำดับ จะลู่เข้าสู่ศูนย์แบบ Q-sublinear และแบบลอการิทึม และการลู่เข้าของลำดับนี้แสดงอยู่ในกราฟที่สี่ของรูปด้านล่าง $${\displaystyle (d_{k})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\ldots ,{\frac {1}{k+1}},\ldots }$$

ลำดับเวียนเกิด หรือที่เรียกว่าการวนซ้ำจุดตรึงกำหนดระบบพลวัต อิสระในเวลาไม่ต่อเนื่อง และมีการประยุกต์ใช้ทั่วไปที่สำคัญในทางคณิตศาสตร์ผ่านทฤษฎีบทจุดตรึง ต่างๆ เกี่ยวกับพฤติกรรมการลู่เข้า เมื่อf เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องกำหนดจุดตรึงpโดยที่จุดตรึงนั้นเป็นจุดตรึงดึงดูดและลำดับเวียนเกิดจะลู่เข้าอย่างน้อยแบบเชิงเส้นไปยังpสำหรับค่าเริ่มต้นใดๆ ที่อยู่ใกล้p มากพอ ถ้าและลำดับเวียนเกิดจะลู่เข้าอย่างน้อยแบบกำลังสอง และอื่นๆ ถ้าจุดตรึงนั้นเป็นจุดตรึงผลักดันและลำดับจะไม่สามารถลู่เข้าไปยังpจากบริเวณ ใกล้เคียงโดยตรง ได้ แม้ว่าอาจจะยังคงกระโดดไปยังpโดยตรงจากภายนอกบริเวณใกล้เคียงได้ก็ตาม ${\textstyle x_{k+1}:=f(x_{k})}$${\textstyle f(p)=p,}$${\textstyle |f'(p)|<1}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle |f'(p)|=0}$${\textstyle |f''(p)|<1}$${\displaystyle |f'(p)|>1}$

วิธีการปฏิบัติในการคำนวณลำดับการลู่เข้าสำหรับลำดับที่สร้างขึ้นโดยการวนซ้ำจุดคงที่คือการคำนวณลำดับต่อไปนี้ ซึ่งลู่เข้าสู่ลำดับ: ^{[ 8 ]}${\displaystyle q}$$${\displaystyle q\approx {\frac {\log \left|\displaystyle {\frac {x_{k+1}-x_{k}}{x_{k}-x_{k-1}}}\right|}{\log \left|\displaystyle {\frac {x_{k}-x_{k-1}}{x_{k-1}-x_{k-2}}}\right|}}.}$$

สำหรับการประมาณค่าเชิงตัวเลขของค่าที่แน่นอนโดยใช้วิธีเชิงตัวเลขของลำดับโปรดดู^{[ 9 ]}${\displaystyle q}$

มีหลายวิธีในการเร่งการลู่เข้าของลำดับที่กำหนด กล่าวคือการแปลงลำดับหนึ่งไปเป็นลำดับที่สองที่ลู่เข้าสู่ค่าลิมิตเดียวกันได้เร็วขึ้น เทคนิคเหล่านี้โดยทั่วไปเรียกว่า วิธี " เร่งอนุกรม " วิธีเหล่านี้อาจช่วยลดต้นทุนการคำนวณในการประมาณค่าลิมิตของลำดับดั้งเดิม ตัวอย่างหนึ่งของการเร่งอนุกรมโดยการแปลงลำดับคือกระบวนการเดลต้ากำลังสองของ Aitkenวิธีเหล่านี้โดยทั่วไป และโดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีของ Aitken มักจะไม่เพิ่มลำดับการลู่เข้า ดังนั้นจึงมีประโยชน์เฉพาะในกรณีที่การลู่เข้าเริ่มต้นไม่เร็วกว่าเชิงเส้น: หากลู่เข้าเชิงเส้น วิธีของ Aitken จะแปลงเป็นลำดับที่ยังคงลู่เข้าเชิงเส้น (ยกเว้นกรณีพิเศษที่ออกแบบมาอย่างผิดปกติ) แต่เร็วกว่าในแง่ที่ว่าในทางกลับกัน หากการลู่เข้ามีลำดับ ≥ 2 อยู่แล้ว วิธีของ Aitken จะไม่ทำให้เกิดการปรับปรุงใดๆ ${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle (a_{k})}$${\textstyle \lim _{k\rightarrow \infty }(a_{k}-L)/(x_{k}-L)=0}$

ลำดับของการประมาณค่าแบบไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันในโดเมนต่อเนื่องที่ลู่เข้าสู่เป้าหมายนี้ พร้อมด้วยลำดับของพารามิเตอร์มาตราส่วนแบบไม่ต่อเนื่องที่สอดคล้องกันซึ่งลู่เข้าสู่ 0 กล่าวได้ว่ามีลำดับการลู่เข้าเชิงอะซิม โทติก และอัตราการลู่เข้าเชิงอะซิ มโทติก ถ้า ${\displaystyle (y_{k})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (h_{k})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|y_{k}-S\right|}{h_{k}^{q}}}=\mu ,}$$

สำหรับค่าคงที่บวกบางค่าและและใช้เพื่อแทนเมตริกซ์ระยะทาง ที่เหมาะสม บนพื้นที่ของคำตอบซึ่งส่วนใหญ่จะเป็นนอร์มเอกรูปความแตกต่างสัมบูรณ์หรือระยะทางแบบยุคลิดพารามิเตอร์มาตราส่วนการแบ่งส่วนอาจเป็นระยะห่างของตารางปกติในอวกาศหรือในเวลา ค่าผกผันของจำนวนจุดของตารางในมิติเดียว ระยะทางเฉลี่ยหรือสูงสุดระหว่างจุดในตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมระยะห่างมิติเดียวของตารางแบบกระจัดกระจาย ที่ไม่สม่ำเสมอ หรือควอนตัมลักษณะเฉพาะของพลังงานหรือโมเมนตัมในชุดพื้นฐานกลศาสตร์ควอนตัม ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$${\displaystyle |x|}$

เมื่อการสร้างดิสครีตทั้งหมดใช้วิธีเดียวกัน มักจะพิจารณาอัตราและลำดับการลู่เข้าเชิงอะซิมโทติกของวิธีนั้นเอง มากกว่าลำดับดิสครีตเฉพาะใดๆ ของคำตอบดิสครีต ในกรณีเหล่านี้ จะพิจารณาคำตอบดิสครีตเชิงนามธรรมเพียงคำตอบเดียวที่สร้างขึ้นโดยใช้วิธีที่มีพารามิเตอร์มาตราส่วน จากนั้นจะกล่าวได้ว่าวิธีนั้นมีลำดับการลู่เข้า เชิงอะซิมโทติก และอัตราลู่เข้าเชิงอะซิ มโทติก ถ้า ${\displaystyle y_{h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left|y_{h}-S\right|}{h^{q}}}=\mu ,}$$

อีกครั้งสำหรับค่าคงที่บวกบางค่าและเมตริกที่เหมาะสมซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดของการแบ่งส่วนย่อยจะปรับขนาดตามพารามิเตอร์มาตราส่วนของการแบ่งส่วนย่อยยกกำลัง หรือใช้สัญกรณ์บิ๊กโอแบบเชิงอะซิมโทติกกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น หมายความว่าข้อผิดพลาดลำดับนำคือซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้สัญกรณ์สมอลล์โอแบบเชิงอะซิมโทติกเป็น${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$${\displaystyle |x|.}$${\displaystyle q}$${\textstyle \left|y_{h}-S\right|=O(h^{q})}$${\displaystyle \mu h^{q},}$${\textstyle \left|y_{h}-S\right|=\mu h^{q}+o(h^{q}).}$

ในบางกรณี อัตราและลำดับการลู่เข้าหลายค่าสำหรับวิธีการเดียวกันแต่เลือกค่าพารามิเตอร์มาตราส่วนต่างกันอาจมีความสำคัญ ตัวอย่างเช่น สำหรับวิธีการผลต่างจำกัดที่ใช้กริดหลายมิติซึ่งมิติต่างๆ มีระยะห่างของกริดที่แตกต่างกัน หรือสำหรับวิธีการองค์ประกอบจำกัดที่ใช้ตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมซึ่งการเลือกใช้ระยะห่างเฉลี่ยระหว่างจุดตาข่ายหรือระยะห่างสูงสุดระหว่างจุดตาข่ายเป็นพารามิเตอร์มาตราส่วนอาจส่งผลให้ลำดับการลู่เข้าแตกต่างกัน ในบริบททางเทคนิคเฉพาะบางอย่าง อัตราและลำดับการลู่เข้าแบบไม่จำกัดของวิธีการแบ่งส่วนย่อยจะถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์มาตราส่วนหลายตัวพร้อมกัน โดยค่าของพารามิเตอร์มาตราส่วนแต่ละตัวอาจส่งผลต่ออัตราและลำดับการลู่เข้าแบบไม่จำกัดของวิธีการเมื่อเทียบกับพารามิเตอร์มาตราส่วนอื่นๆ

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-\kappa y}$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นเราสามารถประมาณคำตอบของสมการหนึ่งมิติโดยใช้ลำดับโดยใช้วิธีออยเลอร์แบบส่งต่อสำหรับการแบ่งส่วนเชิงตัวเลขโดยใช้ระยะห่างของกริดปกติใด ๆและจุดกริดที่มีดัชนีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle y(0)=y_{0}}$${\displaystyle (y_{n})}$${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {y_{n+1}-y_{n}}{h}}=-\kappa y_{n},}$

ซึ่งหมายถึงความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นอันดับแรกที่มีสัมประสิทธิ์คงที่

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}(1-h\kappa ).}$

กำหนดให้ลำดับที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดนั้นคือลำดับเรขาคณิต${\displaystyle y(0)=y_{0}}$

$${\displaystyle y_{n}=y_{0}(1-h\kappa )^{n}=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}\kappa ^{2}+....\right).}$$

คำตอบเชิงวิเคราะห์ที่แน่นอนของสมการเชิงอนุพันธ์คือซึ่งสอดคล้องกับการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ต่อไปนี้ ใน: ${\displaystyle y=f(x)=y_{0}\exp(-\kappa x)}$${\displaystyle nh\kappa }$$${\displaystyle f(x_{n})=f(nh)=y_{0}\exp(-\kappa nh)=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n^{2}h^{2}\kappa ^{2}}{2}}+...\right).}$$

ดังนั้น ข้อผิดพลาดของการประมาณค่าแบบไม่ต่อเนื่อง ณ จุดไม่ต่อเนื่องแต่ละจุดคือ

$${\displaystyle |y_{n}-f(x_{n})|={\frac {nh^{2}\kappa ^{2}}{2}}+\ldots }$$

สำหรับค่าเฉพาะใดๆเมื่อกำหนดลำดับของการประมาณค่าแบบออยเลอร์ไปข้างหน้าโดยแต่ละค่าใช้ระยะห่างของกริดที่หารลงตัวจนได้ จะได้ว่า ${\displaystyle x=p}$${\displaystyle ((y_{n})_{k})}$${\displaystyle h_{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n_{p,k}=p/h_{k}}$

$${\displaystyle \lim _{h_{k}\rightarrow 0}{\frac {|y_{k}(p)-f(p)|}{h_{k}}}=\lim _{h_{k}\rightarrow 0}{\frac {|y_{k,n_{p,k}}-f(h_{k}n_{p,k})|}{h_{k}}}={\frac {h_{k}n_{p,k}\kappa ^{2}}{2}}={\frac {p\kappa ^{2}}{2}}}$$

สำหรับลำดับของตารางกริดใดๆ ที่มีระยะห่างระหว่างตารางกริดเล็กลงเรื่อยๆดังนั้น ลำดับนี้ จะลู่เข้าสู่ ค่าคง ที่แบบจุด ต่อจุดด้วย ลำดับการลู่เข้าและค่าความคลาดเคลื่อนเชิงอะซิมโทติก คง ที่ที่แต่ละจุดในทำนองเดียวกัน ลำดับนี้จะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอด้วยลำดับเดียวกันและด้วยอัตราเดียวกันบนช่วงจำกัดใดๆ ของแต่จะไม่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตที่ไม่จำกัดของค่าจริงบวกทั้งหมด${\displaystyle h_{k}}$${\displaystyle ((y_{n})_{k})}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle p\kappa ^{2}/2}$${\displaystyle p>0.}$${\displaystyle L\kappa ^{2}/2}$${\displaystyle p\leq L}$${\displaystyle [0,\infty ).}$

ในการวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกโดยทั่วไป ลำดับหนึ่งที่ลู่เข้าสู่ลิมิตหนึ่ง จะกล่าวได้ว่าลู่เข้าสู่ลิ มิตนั้น ด้วยลำดับการลู่เข้าที่เร็วกว่าลำดับอื่นที่ลู่เข้าสู่ลิมิต นั้น ในปริภูมิเมตริก ที่ใช้ร่วมกันซึ่งมีเมตริกระยะทางเช่นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ที่มี เมตริก ผลต่างสัมบูรณ์แบบธรรมดา ถ้า${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle |\cdot |,}$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L\right|}{|b_{k}-L|}}=0,}$$

กล่าวกันว่าทั้งสองลู่เข้าสู่ค่าคงที่ด้วยลำดับการลู่เข้าเดียวกัน ถ้า ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L\right|}{|b_{k}-L|}}=\mu }$$

สำหรับค่าคงที่บวกจำกัดบางค่าและกล่าวได้ว่าทั้งสองลู่เข้าสู่ค่าเดียวกันในเชิงอะซิมโทติกด้วยอัตราและลำดับการลู่เข้าเดียวกัน ถ้า ${\displaystyle \mu ,}$${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L\right|}{|b_{k}-L|}}=1.}$$

คำจำกัดความเชิงเปรียบเทียบของอัตราและลำดับของการลู่เข้าเชิงอะซิมโทติกเหล่านี้เป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติก [ ^{10 ] [ 11 ] สำหรับ}สองข้อแรกนี้ มีนิพจน์ที่เกี่ยวข้องในสัญกรณ์ O เชิงอะซิมโทติก : ข้อแรกคือในสัญกรณ์ o เล็ก^{[ 12 ]}และข้อที่สองคือในสัญกรณ์ Knuth ^{[ 13 ]}ข้อที่สามเรียกว่าความสมมูลเชิงอะซิมโทติก ซึ่งแสดงออกมา^{[ 14 ] [ 15 ]}${\displaystyle a_{k}-L=o(b_{k}-L)}$${\displaystyle a_{k}-L=\Theta (b_{k}-L)}$${\displaystyle a_{k}-L\sim b_{k}-L.}$

สำหรับ ลำดับเรขาคณิต สองลำดับใดๆที่มีลิมิตร่วมกันเป็นศูนย์ ลำดับทั้งสองจะสมมูลกันในเชิงอะซิมโทติกก็ต่อเมื่อทั้งสองลำดับลู่เข้าด้วยลำดับเดียวกันก็ต่อเมื่อ ลำดับหนึ่ง ลู่เข้าด้วยลำดับที่เร็วกว่า อีกลำดับ หนึ่งก็ต่อเมื่อ ลำดับสองลู่เข้าด้วยลำดับที่เร็วกว่าอีกลำดับหนึ่งก็ต่อเมื่อ การลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต ใด ๆ ไปสู่ลิมิตจะมีพจน์ความคลาดเคลื่อนที่เท่ากับลำดับเรขาคณิต ดังนั้นความสัมพันธ์ที่คล้ายกันจึงเกิดขึ้นระหว่างอนุกรมเรขาคณิตด้วยกัน ลำดับใดๆ ที่สมมูลกันในเชิงอะซิมโทติกกับลำดับเรขาคณิตที่ลู่เข้า อาจกล่าวได้ว่า "ลู่เข้าแบบเรขาคณิต" หรือ "ลู่เข้าแบบเอกซ์โพเนนเชียล" โดยสัมพันธ์กับผลต่างสัมบูรณ์จากลิมิต หรืออาจกล่าวได้ว่า "ลู่เข้าแบบเชิงเส้น" โดยสัมพันธ์กับลอการิทึมของผลต่างสัมบูรณ์ เช่น "จำนวนทศนิยมของความแม่นยำ" ซึ่งอย่างหลังเป็นมาตรฐานในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข ${\displaystyle (ar^{k})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (bs^{k})_{k\in \mathbb {N} },}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle r=s.}$${\displaystyle r=s.}$${\displaystyle (ar^{k})}$${\displaystyle (bs^{k})}$${\displaystyle r<s.}$

สำหรับลำดับขององค์ประกอบสองลำดับใดๆ ที่เป็นสัดส่วนกับกำลังผกผันของและมีลิมิตร่วมกันเป็นศูนย์ ลำดับทั้งสองจะสมมูลกันในเชิงอะซิมโทติกก็ต่อเมื่อ และ ทั้งสองลำดับจะลู่เข้าด้วยลำดับเดียวกันก็ต่อเมื่อลู่เข้าด้วยลำดับที่เร็วกว่าก็ต่อเมื่อ${\displaystyle k,}$${\displaystyle (ak^{-n})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (bk^{-m})_{k\in \mathbb {N} },}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle n=m.}$${\displaystyle n=m.}$${\displaystyle (ak^{-n})}$${\displaystyle (bk^{-m})}$${\displaystyle n>m.}$

สำหรับลำดับใดๆที่มีลิมิตเป็นศูนย์ การลู่เข้าของลำดับนั้นสามารถเปรียบเทียบได้กับการลู่เข้าของลำดับที่เลื่อนไปการปรับขนาดใหม่ของลำดับที่เลื่อนไปโดยค่าคงที่และกำลัง - ที่ปรับขนาดแล้วของลำดับที่เลื่อนไปการเปรียบเทียบเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับการจำแนกประเภทการลู่เข้าแบบ Q สำหรับวิธีการเชิงตัวเลขแบบวนซ้ำดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น: เมื่อลำดับของข้อผิดพลาดแบบวนซ้ำจากวิธีการเชิงตัวเลขมีความสมมูลเชิงอะซิมโทติกกับลำดับของข้อผิดพลาดแบบวนซ้ำที่เลื่อนไป ยกกำลัง และปรับ ขนาดแล้ว จะกล่าวได้ว่าลำดับนั้นลู่เข้าด้วยอันดับและอัตรา${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (a_{k-1})_{k\in \mathbb {N} },}$${\displaystyle \mu ,}$${\displaystyle (\mu a_{k-1})_{k\in \mathbb {N} },}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (\mu a_{k-1}^{q})_{k\in \mathbb {N} }.}$${\displaystyle (|x_{k}-L|)_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (\mu |x_{k-1}-L|^{q})_{k\in \mathbb {N} },}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu .}$

อัตรา การลู่เข้าแบบไม่เป็นไปตามค่าประมาณเชิงเส้นกำกับ (Non-asymptotic rate of convergence) ไม่มีนิยามมาตรฐานทั่วไปเหมือนกับอัตราการลู่เข้าแบบเป็นไปตามค่าประมาณเชิงเส้นกำกับ (Asymptotic rate of convergence) ในบรรดาเทคนิคเชิงรูปธรรมทฤษฎีของ Lyapunovเป็นหนึ่งในกรอบการทำงานที่มีประสิทธิภาพและนำไปใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดสำหรับการกำหนดลักษณะและวิเคราะห์พฤติกรรมการลู่เข้าแบบไม่เป็นไปตามค่าประมาณเชิงเส้นกำกับ

สำหรับวิธีการวนซ้ำวิธีการปฏิบัติทั่วไปอย่างหนึ่งคือการอธิบายอัตราเหล่านี้ในแง่ของจำนวนรอบการวนซ้ำหรือเวลาของคอมพิวเตอร์ที่จำเป็นในการเข้าถึงบริเวณ ใกล้เคียง กับค่าจำกัดจากจุดเริ่มต้นที่อยู่ไกลจากค่าจำกัด อัตราที่ไม่ใช่ค่าคงที่ (non-asymptotic rate) คือค่าผกผันของจำนวนรอบการวนซ้ำหรือเวลาของคอมพิวเตอร์นั้น ในการใช้งานจริง วิธีการวนซ้ำที่ใช้ขั้นตอนน้อยกว่าหรือเวลาของคอมพิวเตอร์น้อยกว่าวิธีอื่นในการเข้าถึงความแม่นยำเป้าหมาย จะกล่าวได้ว่าลู่เข้าเร็วกว่าวิธีอื่น แม้ว่าการลู่เข้าแบบค่าคงที่ (asymptotic convergence) จะช้ากว่าก็ตาม อัตราเหล่านี้โดยทั่วไปจะแตกต่างกันสำหรับจุดเริ่มต้นที่แตกต่างกันและเกณฑ์ความคลาดเคลื่อนที่แตกต่างกันสำหรับการกำหนดบริเวณใกล้เคียง โดยทั่วไปแล้วมักจะกล่าวถึงบทสรุปของการกระจายทางสถิติของอัตราจุดเดียวเหล่านี้ที่สอดคล้องกับการกระจายของจุดเริ่มต้นที่เป็นไปได้ เช่น "อัตราที่ไม่ใช่ค่าคงที่เฉลี่ย" "อัตราที่ไม่ใช่ค่าคงที่มัธยฐาน" หรือ "อัตราที่ไม่ใช่ค่าคงที่กรณีที่แย่ที่สุด" สำหรับวิธีการบางอย่างที่ใช้กับปัญหาบางอย่างที่มีเกณฑ์ความคลาดเคลื่อนคงที่ สามารถเลือกชุดจุดเริ่มต้นเหล่านี้ได้ตามพารามิเตอร์ต่างๆ เช่น ระยะห่างเริ่มต้นจากขีดจำกัดสุดท้าย เพื่อกำหนดปริมาณต่างๆ เช่น "อัตราการลู่เข้าเฉลี่ยที่ไม่ใช่แบบเชิงเส้นกำกับจากระยะห่างที่กำหนด"

สำหรับ วิธี การประมาณค่าแบบไม่ต่อเนื่องสามารถใช้วิธีการที่คล้ายกันได้ โดยใช้พารามิเตอร์มาตราส่วนแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น ค่าผกผันของจำนวน จุด กริดหรือตาข่ายหรือความถี่ตัดของอนุกรมฟูริเยร์ ที่ทำหน้าที่แทนค่าผกผันของจำนวนการวนซ้ำ แม้ว่าจะไม่เป็นที่นิยมมากนักก็ตาม สำหรับปัญหาใดๆ ก็ตาม จะมีพารามิเตอร์มาตราส่วนแบบไม่ต่อเนื่องที่ใหญ่ที่สุดที่เข้ากันได้กับความแม่นยำของการประมาณค่าที่ต้องการ และอาจจะไม่เล็กเท่าที่จำเป็นเพื่อให้ความเร็วและลำดับการลู่เข้าแบบเชิงเส้นกำกับให้ค่าประมาณของข้อผิดพลาดที่แม่นยำ ในการใช้งานจริง เมื่อวิธีการแบบไม่ต่อเนื่องวิธีหนึ่งให้ความแม่นยำที่ต้องการด้วยพารามิเตอร์มาตราส่วนแบบไม่ต่อเนื่องที่ใหญ่กว่าอีกวิธีหนึ่ง มักจะกล่าวกันว่าวิธีนั้นลู่เข้าเร็วกว่าอีกวิธีหนึ่ง แม้ว่าการลู่เข้าแบบเชิงเส้นกำกับในท้ายที่สุดจะช้ากว่าก็ตาม