สถานะของระบบเชิงเส้นแบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาแบบไม่ต่อเนื่องนั้น ถือว่าสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)}$

โดยที่ ณ เวลาt คือสถานะของระบบ; คือปัจจัยนำเข้า; และคือผลลัพธ์ของระบบ สมการเหล่านี้กล่าวอย่างง่ายๆ ว่าผลลัพธ์ปัจจุบันและสถานะในอนาคตของระบบนั้นถูกกำหนดโดยสถานะปัจจุบันและปัจจัยนำเข้าปัจจุบันเท่านั้น (แม้ว่าสมการเหล่านี้จะแสดงในรูปของช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง แต่สมการที่คล้ายกันมากก็ใช้ได้กับระบบ ต่อเนื่อง ) หากระบบนี้สามารถสังเกตได้ผลลัพธ์ของระบบสามารถนำมาใช้ควบคุมสถานะของตัวสังเกตสถานะได้${\displaystyle k}$${\displaystyle x(k)}$${\displaystyle u(k)}$${\displaystyle y(k)}$${\displaystyle y(k)}$

แบบจำลองผู้สังเกตการณ์ของระบบทางกายภาพโดยทั่วไปจะถูกสร้างขึ้นจากสมการข้างต้น อาจมีการเพิ่มพจน์เพิ่มเติมเพื่อให้แน่ใจว่า เมื่อได้รับค่าที่วัดได้ต่อเนื่องกันของอินพุตและเอาต์พุตของระบบ สถานะของแบบจำลองจะลู่เข้าสู่สถานะของระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เอาต์พุตของผู้สังเกตการณ์อาจถูกลบออกจากเอาต์พุตของระบบ แล้วคูณด้วยเมทริกซ์ จากนั้นจึงนำไปบวกกับสมการสำหรับสถานะของผู้สังเกตการณ์เพื่อสร้างสิ่งที่เรียกว่าผู้สังเกตการณ์ แบบ Luenbergerซึ่งกำหนดโดยสมการด้านล่าง โปรดทราบว่าตัวแปรของผู้สังเกตการณ์สถานะมักจะใช้สัญลักษณ์ "หมวก" เพื่อแยกความแตกต่างจากตัวแปรของสมการที่ระบบทางกายภาพเป็นไปตามนั้น${\displaystyle L}$${\displaystyle {\hat {x}}(k)}$${\displaystyle {\hat {y}}(k)}$

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)+Du(k)}$

ตัวสังเกตการณ์จะเรียกว่ามีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติก หากข้อผิดพลาดของตัวสังเกตการณ์ลู่เข้าสู่ศูนย์เมื่อสำหรับตัวสังเกตการณ์แบบลูเอ็นเบอร์เกอร์ ข้อผิดพลาดของตัวสังเกตการณ์จะเป็นไปตามเงื่อนไขดังนั้น ตัวสังเกตการณ์แบบลูเอ็นเบอร์เกอร์สำหรับระบบเวลาไม่ต่อเนื่องนี้จึงมีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติกเมื่อเมทริกซ์มีค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดอยู่ภายในวงกลมหน่วย${\displaystyle e(k)={\hat {x}}(k)-x(k)}$${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle e(k+1)=(A-LC)e(k)}$${\displaystyle A-LC}$

เพื่อวัตถุประสงค์ในการควบคุม ผลลัพธ์ของระบบสังเกตการณ์จะถูกป้อนกลับไปยังอินพุตของทั้งระบบสังเกตการณ์และระบบจริงผ่านทางเมทริกซ์ค่าเกน${\displaystyle K}$

${\displaystyle u(k)=-K{\hat {x}}(k)}$

สมการของผู้สังเกตการณ์จึงกลายเป็นดังนี้:

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]-BK{\hat {x}}(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)-DK{\hat {x}}(k)}$

หรือพูดให้ง่ายกว่านั้นก็คือ

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=\left(A-BK\right){\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=\left(C-DK\right){\hat {x}}(k)}$

จากหลักการแยกส่วนเราทราบว่าเราสามารถเลือกและแยกขั้วได้อย่างอิสระโดยไม่ส่งผลเสียต่อเสถียรภาพโดยรวมของระบบ โดยทั่วไปแล้วขั้วของผู้สังเกตการณ์มักถูกเลือกให้ลู่เข้าเร็วกว่าขั้วของระบบประมาณ 10 เท่า${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle A-LC}$${\displaystyle A-BK}$

ตัวอย่างก่อนหน้านี้เป็นตัวอย่างของตัวสังเกตการณ์ที่ใช้ในระบบ LTI แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม กระบวนการนี้คล้ายคลึงกันสำหรับกรณีเวลาต่อเนื่อง โดยจะเลือกค่าเกนของตัวสังเกตการณ์เพื่อให้พลวัตของข้อผิดพลาดแบบเวลาต่อเนื่องลู่เข้าสู่ศูนย์ในเชิงอะซิมโทติก (กล่าวคือ เมื่อเป็นเมทริกซ์ Hurwitz )${\displaystyle L}$${\displaystyle A-LC}$

สำหรับระบบเชิงเส้นแบบต่อเนื่อง

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du,}$

โดยที่ผู้สังเกตการณ์จะมีลักษณะคล้ายกับกรณีเวลาไม่ต่อเนื่องที่อธิบายไว้ข้างต้น:${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},u\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{r}}$

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+Bu+L\left(y-{\hat {y}}\right)}$.

${\displaystyle {\hat {y}}=C{\hat {x}}+Du,}$

ข้อผิดพลาดของผู้สังเกตการณ์เป็นไปตามสมการ${\displaystyle e=x-{\hat {x}}}$

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$.

ค่าไอเกนของเมทริกซ์สามารถเลือกได้อย่างอิสระโดยการเลือกค่าเกนของผู้สังเกตที่เหมาะสมเมื่อคู่สามารถสังเกตได้ กล่าวคือ เงื่อนไข การสังเกตได้เป็นจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ Hurwitz ได้ ดังนั้นข้อผิดพลาดของผู้สังเกตเมื่อ.${\displaystyle A-LC}$${\displaystyle L}$${\displaystyle [A,C]}$${\displaystyle e(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

เมื่อค่าเกนของตัวสังเกตการณ์สูง ตัวสังเกตการณ์เชิงเส้นของ Luenberger จะลู่เข้าสู่สถานะของระบบอย่างรวดเร็ว อย่างไรก็ตาม ค่าเกนของตัวสังเกตการณ์ที่สูงจะนำไปสู่ปรากฏการณ์พีคกิ้ง ซึ่งข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเริ่มต้นอาจมีขนาดใหญ่เกินไป (เช่น ใช้งานไม่ได้จริงหรือไม่ปลอดภัย) ^{[ 1 ]}ด้วยเหตุนี้ จึงมีวิธีการสังเกตการณ์แบบไม่เชิงเส้นที่มีเกนสูงซึ่งลู่เข้าอย่างรวดเร็วโดยไม่มีปรากฏการณ์พีคกิ้ง ตัวอย่างเช่นการควบคุมแบบสไลด์โหมดสามารถใช้ในการออกแบบตัวสังเกตการณ์ที่ทำให้ข้อผิดพลาดของสถานะที่ประมาณค่าหนึ่งเป็นศูนย์ในเวลาจำกัด แม้จะมีข้อผิดพลาดในการวัด สถานะอื่นๆ จะมีข้อผิดพลาดที่คล้ายกับข้อผิดพลาดในตัวสังเกตการณ์ของ Luenberger หลังจากที่พีคกิ้งลดลงแล้ว ตัวสังเกตการณ์แบบสไลด์โหมดยังมีคุณสมบัติความทนทานต่อสัญญาณรบกวนที่น่าสนใจซึ่งคล้ายกับตัวกรอง Kalman ^{[ 2 ] [ 3 ]} อีกแนวทางหนึ่งคือการใช้ตัวสังเกตการณ์หลายตัว ซึ่ง ช่วย ปรับปรุงการเปลี่ยนแปลงและลดการโอเวอร์ชูตของตัวสังเกตการณ์ได้อย่างมาก ตัวสังเกตการณ์หลายตัวสามารถปรับให้เข้ากับทุกระบบที่สามารถใช้ตัวสังเกตการณ์ที่มีเกนสูงได้^{[ 4 ]}${\displaystyle L}$

ข้อเสนอแนะหนึ่งโดย Krener และ Isidori ^{[ 5 ]}และ Krener และ Respondek ^{[ 6 ]}สามารถนำไปใช้ได้ในสถานการณ์ที่มีการแปลงเชิงเส้น (เช่น การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเช่น ที่ใช้ในการทำให้เป็นเชิงเส้นแบบป้อนกลับ ) โดยที่สมการของระบบในตัวแปรใหม่จะเป็นดังนี้${\displaystyle z=\Phi (x)}$

${\displaystyle {\dot {z}}=Az+\phi (y),}$

${\displaystyle y=Cz.}$

จากนั้น Luenberger observer จึงได้รับการออกแบบดังนี้

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A{\hat {z}}+\phi (y)-L\left(C{\hat {z}}-y\right)}$.

ข้อผิดพลาดของผู้สังเกตสำหรับตัวแปรที่แปลงแล้วนั้นเป็นไปตามสมการเดียวกันกับในกรณีเชิงเส้นแบบคลาสสิก${\displaystyle e={\hat {z}}-z}$

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$.

ดังที่แสดงโดย Gauthier, Hammouri และ Othman ^{[ 7 ]} และ Hammouri และ Kinnaert ^{[ 8 ]}หากมีการแปลงอยู่เช่นนั้น ระบบสามารถแปลงเป็นรูปแบบได้${\displaystyle z=\Phi (x)}$

${\displaystyle {\dot {z}}=A(u(t))z+\phi (y,u(t)),}$

${\displaystyle y=Cz,}$

จากนั้นผู้สังเกตการณ์จึงถูกออกแบบมาเป็น

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A(u(t)){\hat {z}}+\phi (y,u(t))-L(t)\left(C{\hat {z}}-y\right)}$,

โดยที่ค่าเกนของผู้สังเกตการณ์เปลี่ยนแปลงตามเวลา${\displaystyle L(t)}$

Ciccarella, Dalla Mora และ Germani ^{[ 9 ]}ได้รับผลลัพธ์ที่ก้าวหน้าและทั่วไปมากขึ้น โดยขจัดความจำเป็นในการแปลงแบบไม่เชิงเส้นและพิสูจน์การลู่เข้าแบบอะซิมโทติกทั่วโลกของสถานะที่ประมาณการไปยังสถานะจริงโดยใช้เพียงสมมติฐานง่ายๆ เกี่ยวกับความสม่ำเสมอ

ดังที่ได้กล่าวไว้ในกรณีเชิงเส้นข้างต้น ปรากฏการณ์พีคที่เกิดขึ้นในตัวสังเกตการณ์ของ Luenberger ทำให้การใช้ตัวสังเกตการณ์แบบสวิตช์มีความเหมาะสม ตัวสังเกตการณ์แบบสวิตช์ประกอบด้วยรีเลย์หรือสวิตช์ไบนารีที่ทำงานเมื่อตรวจพบการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในเอาต์พุตที่วัดได้ ตัวสังเกตการณ์แบบสวิตช์ทั่วไปบางประเภท ได้แก่ ตัวสังเกตการณ์แบบสไลด์โหมด ตัวสังเกตการณ์สถานะขยายแบบไม่เชิงเส้น^{[ 10 ]}ตัวสังเกตการณ์เวลาคงที่^{[ 11 ]}ตัวสังเกตการณ์เกนสูงแบบสวิตช์^{[ 12 ]}และตัวสังเกตการณ์แบบรวม^{[ 13 ]}ตัวสังเกตการณ์แบบสไลด์โหมดใช้การป้อนกลับเกนสูงแบบไม่เชิงเส้นเพื่อขับเคลื่อนสถานะที่ประมาณการไปยังพื้นผิวที่ไม่มีความแตกต่างระหว่างเอาต์พุตที่ประมาณการและเอาต์พุตที่วัดได้ เกนแบบไม่เชิงเส้นที่ใช้ในตัวสังเกตการณ์มักจะถูกนำไปใช้กับฟังก์ชันการสวิตช์แบบปรับขนาด เช่นsignum (เช่น sgn) ของข้อผิดพลาดเอาต์พุตที่ประมาณการ – วัดได้ ดังนั้น เนื่องจากการป้อนกลับเกนสูงนี้สนามเวกเตอร์ของตัวสังเกตการณ์จึงมีรอยพับเพื่อให้วิถีของตัวสังเกตการณ์เลื่อนไปตามเส้นโค้งที่เอาต์พุตที่ประมาณการตรงกับเอาต์พุตที่วัดได้อย่างแม่นยำ ดังนั้น หากระบบสามารถสังเกตได้จากเอาต์พุต สถานะของผู้สังเกตทั้งหมดจะถูกขับเคลื่อนไปยังสถานะของระบบจริง นอกจากนี้ การใช้เครื่องหมายของข้อผิดพลาดเพื่อขับเคลื่อนตัวสังเกตโหมดสไลด์ จะทำให้วิถีของผู้สังเกตไม่ไวต่อสัญญาณรบกวนหลายรูปแบบ ดังนั้น ตัวสังเกตโหมดสไลด์บางตัวจึงมีคุณสมบัติที่น่าสนใจคล้ายกับตัวกรอง Kalmanแต่มีการใช้งานที่ง่ายกว่า^{[ 2 ] [ 3 ]}

ตามที่ Drakunov แนะนำ^{[ 14 ]}ตัวสังเกตโหมดสไลด์สามารถออกแบบสำหรับระบบไม่เชิงเส้นบางประเภทได้เช่นกัน ตัวสังเกตดังกล่าวสามารถเขียนได้ในรูปของการประมาณค่าตัวแปรดั้งเดิมและมีรูปแบบดังนี้${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))}$

ที่ไหน:

• เวกเตอร์ขยายฟังก์ชัน signum แบบสเกลาร์ ไปยังมิติอื่น นั่นคือ ${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$${\displaystyle n}$

  ${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\begin{bmatrix}\operatorname {sgn}(z_{1})\\\operatorname {sgn}(z_{2})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{i})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{n})\end{bmatrix}}}$

  สำหรับเวกเตอร์${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$

• เวกเตอร์นี้มีส่วนประกอบที่เป็นฟังก์ชันเอาต์พุตและอนุพันธ์ลีซ้ำของฟังก์ชันนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle h(x)}$

  ${\displaystyle H(x)\triangleq {\begin{bmatrix}h_{1}(x)\\h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\L_{f}^{2}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

  โดยที่คืออนุพันธ์^{ลี ลำดับที่} iของฟังก์ชันเอาต์พุตตามสนามเวกเตอร์(กล่าวคือ ตามวิถีของระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น) ในกรณีพิเศษที่ระบบไม่มีอินพุตหรือมีระดับสัมพัทธ์เท่ากับnนั้นคือชุดของเอาต์พุตและอนุพันธ์ของมัน เนื่องจากต้องมีอินเวอร์สของการทำให้เป็นเชิงเส้นของจาโคเบียนของเพื่อให้ผู้สังเกตการณ์นี้มีความหมายที่ชัดเจน การแปลงจึงรับประกันได้ว่าเป็นดิฟเฟอโอเมอร์ฟิ ซึมเฉพาะที่${\displaystyle L_{f}^{i}h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H(x(t))}$${\displaystyle y(t)=h(x(t))}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle H(x)}$

• เมทริกซ์แนวทแยง ของผลกำไรมีลักษณะดังนี้ ${\displaystyle M({\hat {x}})}$

  ${\displaystyle M({\hat {x}})\triangleq \operatorname {diag} (m_{1}({\hat {x}}),m_{2}({\hat {x}}),\ldots ,m_{n}({\hat {x}}))={\begin{bmatrix}m_{1}({\hat {x}})&&&&&\\&m_{2}({\hat {x}})&&&&\\&&\ddots &&&\\&&&m_{i}({\hat {x}})&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&m_{n}({\hat {x}})\end{bmatrix}}}$

  โดยที่สำหรับแต่ละองค์ประกอบจะมีขนาดใหญ่พอสมควรเพื่อให้มั่นใจได้ว่าสามารถเข้าถึงโหมดการเลื่อนได้${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$${\displaystyle m_{i}({\hat {x}})>0}$

• เวกเตอร์ผู้สังเกตการณ์มีลักษณะดังนี้ ${\displaystyle V(t)}$

  ${\displaystyle V(t)\triangleq {\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\\v_{3}(t)\\\vdots \\v_{i}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}y(t)\\\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\{m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{i-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i-1}(t)-h_{i-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\end{bmatrix}}}$

  โดย ที่ คือ ฟังก์ชัน signumปกติที่กำหนดไว้สำหรับค่าสเกลาร์ และหมายถึง "ตัวดำเนินการค่าเทียบเท่า" ของฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องในโหมดสไลด์${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$${\displaystyle \{\ldots \}_{\text{eq}}}$

แนวคิดนี้สามารถอธิบายโดยย่อได้ดังนี้ ตามทฤษฎีโหมดสไลด์ ในการอธิบายพฤติกรรมของระบบ เมื่อโหมดสไลด์เริ่มต้นขึ้น ฟังก์ชันควรถูกแทนที่ด้วยค่าเทียบเท่า (ดูการควบคุมเทียบเท่าในทฤษฎีโหมดสไลด์ ) ในทางปฏิบัติ มันจะสลับ (สั่น) ด้วยความถี่สูง โดยส่วนประกอบที่ช้าจะเท่ากับค่าเทียบเท่า การใช้ตัวกรองความถี่ต่ำที่เหมาะสมเพื่อกำจัดส่วนประกอบความถี่สูง จะทำให้ได้ค่าการควบคุมเทียบเท่า ซึ่งมีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสถานะของระบบที่คาดการณ์ไว้ ตัวสังเกตการณ์ที่อธิบายไว้ข้างต้นใช้วิธีนี้หลายครั้งเพื่อให้ได้สถานะของระบบไม่เชิงเส้นในอุดมคติภายในเวลาจำกัด${\displaystyle \operatorname {sgn}(v_{i}(t)\!-\!h_{i}({\hat {x}}(t)))}$

ข้อผิดพลาดในการสังเกตที่ได้รับการแก้ไขสามารถเขียนได้ในสถานะที่แปลงแล้วโดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\displaystyle e=H(x)-H({\hat {x}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {e}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t))),\end{aligned}}}$

และดังนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{1}\\{\dot {e}}_{2}\\\vdots \\{\dot {e}}_{i}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n-1}\\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}}&={\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {h}}_{1}(x)\\{\dot {h}}_{2}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{i}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{n-1}(x)\\{\dot {h}}_{n}(x)\end{bmatrix}} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)}}}-{\mathord {\overbrace {M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t)))} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})}}}={\begin{bmatrix}h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{i+1}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\\L_{f}^{n}h(x)\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}m_{1}\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\\m_{2}\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{i}\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{n-1}\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\m_{n}\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}h_{2}(x)-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}({\mathord {\overbrace {{\mathord {\overbrace {v_{1}(t)} ^{v_{1}(t)=y(t)=h_{1}(x)}}}-h_{1}({\hat {x}}(t))} ^{e_{1}}}})\\h_{3}(x)-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{i+1}(x)-m_{i}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{n}(x)-m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\L_{f}^{n}h(x)-m_{n}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

ดังนั้น:

1. ตราบใดที่แถวแรกของพลวัตข้อผิดพลาดจะตรงตามเงื่อนไขที่เพียงพอที่จะเข้าสู่โหมดสไลด์ในเวลาจำกัด${\displaystyle m_{1}({\hat {x}})\geq |h_{2}(x(t))|}$${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=h_{2}({\hat {x}})-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})}$${\displaystyle e_{1}=0}$
2. ตามแนวพื้นผิวการควบคุมเทียบเท่าที่สอดคล้องกันจะมีค่าเท่ากับและดังนั้นดังนั้น ตราบใดที่แถวที่สองของพลวัตข้อผิดพลาดจะเข้าสู่โหมดสไลด์ในเวลาจำกัด${\displaystyle e_{1}=0}$${\displaystyle v_{2}(t)=\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})\}_{\text{eq}}}$${\displaystyle h_{2}(x)}$${\displaystyle v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}})=h_{2}(x)-h_{2}({\hat {x}})=e_{2}}$${\displaystyle m_{2}({\hat {x}})\geq |h_{3}(x(t))|}$${\displaystyle {\dot {e}}_{2}=h_{3}({\hat {x}})-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{2})}$${\displaystyle e_{2}=0}$
3. ตามแนวพื้นผิวการควบคุมเทียบเท่าที่สอดคล้องกันจะมีค่าเท่ากับดังนั้น ตราบใดที่ แถว ที่^thของไดนามิกข้อผิดพลาดจะเข้าสู่โหมดสไลด์ในเวลาจำกัด${\displaystyle e_{i}=0}$${\displaystyle v_{i+1}(t)=\{\ldots \}_{\text{eq}}}$${\displaystyle h_{i+1}(x)}$${\displaystyle m_{i+1}({\hat {x}})\geq |h_{i+2}(x(t))|}$${\displaystyle (i+1)}$${\displaystyle {\dot {e}}_{i+1}=h_{i+2}({\hat {x}})-m_{i+1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{i+1})}$${\displaystyle e_{i+1}=0}$

ดังนั้น สำหรับค่ากำไรที่มากพอ สถานะที่ผู้สังเกตประมาณไว้ทั้งหมดจะไปถึงสถานะจริงได้ในเวลาจำกัด อันที่จริง การเพิ่มค่ากำไรจะช่วยให้เกิดการล convergence ในเวลาจำกัดใดๆ ที่ต้องการ ตราบใดที่แต่ละฟังก์ชันสามารถมีขอบเขตได้อย่างแน่นอน ดังนั้น ข้อกำหนดที่ว่าแผนที่นั้นเป็นdiffeomorphism (กล่าวคือการทำให้เป็นเชิงเส้นของ Jacobian นั้น สามารถผกผันได้) ยืนยันว่าการล convergence ของเอาต์พุตที่ประมาณไว้หมายถึงการล convergence ของสถานะที่ประมาณไว้ นั่นคือ ข้อกำหนดนี้เป็นเงื่อนไขการสังเกตได้${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle |h_{i}(x(0))|}$${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

ในกรณีของตัวสังเกตการณ์แบบสไลด์โหมดสำหรับระบบที่มีอินพุต จำเป็นต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติมเพื่อให้ข้อผิดพลาดในการสังเกตการณ์เป็นอิสระจากอินพุต ตัวอย่างเช่น เงื่อนไขที่ว่า

${\displaystyle {\frac {\partial H(x)}{\partial x}}B(x)}$

ไม่ขึ้นอยู่กับเวลา ผู้สังเกตการณ์จึงเป็นเช่นนั้น

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))+B({\hat {x}})u.}$