ในระบบควบคุมการควบคุมแบบสไลด์โหมด ( SMC ) เป็น วิธี การควบคุมแบบไม่เชิงเส้นที่เปลี่ยนแปลงพลวัตของระบบไม่เชิงเส้นโดยการใช้ สัญญาณควบคุม ที่ไม่ต่อเนื่อง (หรือที่เข้มงวดกว่านั้น คือสัญญาณควบคุมแบบกำหนดค่า) ที่บังคับให้ระบบ "เลื่อน" ไปตามส่วนตัดขวางของพฤติกรรมปกติของระบบ กฎการควบคุม แบบป้อนกลับสถานะไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องของเวลา แต่สามารถเปลี่ยนจากโครงสร้างต่อเนื่องหนึ่งไปยังอีกโครงสร้างหนึ่งตามตำแหน่งปัจจุบันในปริภูมิสถานะ ดังนั้น การควบคุมแบบสไลด์โหมดจึงเป็น วิธี การควบคุมโครงสร้างแปรผันโครงสร้างควบคุมหลายแบบได้รับการออกแบบเพื่อให้วิถีการเคลื่อนที่ไปยังบริเวณที่อยู่ติดกันที่มีโครงสร้างควบคุมที่แตกต่างกันเสมอ ดังนั้นวิถีสุดท้ายจะไม่ปรากฏอยู่ภายในโครงสร้างควบคุมเดียวทั้งหมด แต่จะเลื่อนไปตามขอบเขตของโครงสร้างควบคุม การเคลื่อนที่ของระบบขณะที่เลื่อนไปตามขอบเขตเหล่านี้เรียกว่าโหมดสไลด์^{[ 1 ]}และตำแหน่ง ทางเรขาคณิต ที่ประกอบด้วยขอบเขตเรียกว่าพื้นผิวสไลด์ (ไฮเปอร์ ) ในบริบทของทฤษฎีการควบคุมสมัยใหม่ระบบที่มีโครงสร้างแปรผันได้ ใดๆ เช่น ระบบภายใต้ SMC อาจถูกมองว่าเป็นกรณีพิเศษของระบบพลวัตแบบไฮบริดเนื่องจากระบบดังกล่าวไหลผ่านปริภูมิสถานะต่อเนื่อง แต่ก็เคลื่อนที่ผ่านโหมดการควบคุมแบบไม่ต่อเนื่องที่แตกต่างกันด้วย

รูปที่ 1 แสดงตัวอย่างวิถีการเคลื่อนที่ของระบบภายใต้การควบคุมแบบสไลด์โหมด พื้นผิวสไลด์อธิบายได้ด้วยและโหมดสไลด์ตามพื้นผิวจะเริ่มต้นหลังจากเวลาจำกัดเมื่อวิถีการเคลื่อนที่ของระบบไปถึงพื้นผิวแล้ว ในคำอธิบายเชิงทฤษฎีของโหมดสไลด์ ระบบจะยังคงถูกจำกัดอยู่บนพื้นผิวสไลด์และจำเป็นต้องมองว่าเป็นการเลื่อนไปตามพื้นผิวเท่านั้น อย่างไรก็ตาม การใช้งานจริงของการควบคุมแบบสไลด์โหมดจะประมาณพฤติกรรมเชิงทฤษฎีนี้ด้วยสัญญาณควบคุมการสลับความถี่สูงและโดยทั่วไปแล้วไม่แน่นอน ซึ่งทำให้ระบบ "สั่น" ^{[ nb 1 ]}ในบริเวณใกล้เคียงกับพื้นผิวสไลด์ การสั่นสามารถลดลงได้โดยการใช้เดดแบนด์ หรือชั้นขอบเขตโดยรอบพื้นผิวสไลด์ หรือวิธีการชดเชยอื่นๆ แม้ว่าระบบโดยทั่วไปจะเป็นแบบไม่เชิงเส้น แต่พฤติกรรมในอุดมคติ (เช่น ไม่สั่น) ของระบบในรูปที่ 1 เมื่อถูกจำกัดอยู่บน พื้นผิวจะเป็นระบบ LTIที่มีจุดกำเนิดเสถียรแบบเอกซ์โพเนนเชียลหนึ่งในวิธีการชดเชยคือวิธีการควบคุมแบบสไลด์โหมดปรับตัวที่เสนอใน ^{[ 2 ] [ 3 ]}ซึ่งใช้ความไม่แน่นอนที่ประมาณไว้เพื่อสร้างกฎการควบคุมแบบต่อเนื่อง ในวิธีนี้ การสั่นไหวจะถูกกำจัดออกไปในขณะที่ยังคงรักษาความแม่นยำไว้ (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูเอกสารอ้างอิง [2] และ [3]) คุณลักษณะเด่นสามประการของตัวควบคุมแบบสไลด์โหมดปรับตัวที่เสนอมีดังนี้: (i) ความไม่แน่นอนที่มีโครงสร้าง (หรือพารามิเตอร์) และความไม่แน่นอนที่ไม่มีโครงสร้าง (พลวัตที่ไม่ได้สร้างแบบจำลอง การรบกวนภายนอกที่ไม่ทราบค่า) จะถูกสังเคราะห์เข้าด้วยกันเป็นเทอมความไม่แน่นอนประเภทเดียวที่เรียกว่าความไม่แน่นอนแบบรวม ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องใช้แบบจำลองพลวัตเชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์ของระบบ และโครงสร้างที่เรียบง่ายและคุณสมบัติที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณของวิธีการนี้ทำให้เหมาะสำหรับการใช้งานควบคุมแบบเรียลไทม์ (ii) การออกแบบแผนการควบคุมแบบสไลด์โหมดปรับตัวนั้นอาศัยเวกเตอร์ความไม่แน่นอนที่ประมาณไว้แบบออนไลน์แทนที่จะอาศัยสถานการณ์ที่เลวร้ายที่สุด (เช่น ขอบเขตของความไม่แน่นอน) ดังนั้น จึงไม่จำเป็นต้องมีความรู้ล่วงหน้าเกี่ยวกับขอบเขตของความไม่แน่นอน และในแต่ละช่วงเวลา อินพุตควบคุมจะชดเชยความไม่แน่นอนที่มีอยู่ (iii) กฎการควบคุมแบบต่อเนื่องที่พัฒนาขึ้นโดยใช้หลักการพื้นฐานของทฤษฎีการควบคุมแบบสไลด์โหมด ช่วยขจัดปรากฏการณ์การสั่นไหวโดยไม่ต้องแลกเปลี่ยนระหว่างประสิทธิภาพและความทนทาน ซึ่งเป็นสิ่งที่พบได้ทั่วไปในแนวทางชั้นขอบเขต ${\displaystyle s=0}$${\displaystyle s=0}$

โดยสัญชาตญาณแล้ว การควบคุมแบบสไลด์โหมดใช้ค่าเกน ที่แทบจะไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อบังคับให้วิถีการเคลื่อนที่ของระบบไดนามิกเลื่อนไปตามพื้นที่ย่อยของสไลด์โหมดที่จำกัด วิถีการเคลื่อนที่จากสไลด์โหมดลำดับลดลงนี้มีคุณสมบัติที่พึงประสงค์ (เช่น ระบบจะเลื่อนไปตามนั้นโดยธรรมชาติจนกระทั่งหยุดนิ่งที่จุดสมดุล ที่ต้องการ ) จุดแข็งหลักของการควบคุมแบบสไลด์โหมดคือความทนทานเนื่องจากวิธีการควบคุมนั้นง่ายเพียงแค่การสลับระหว่างสองสถานะ (เช่น "เปิด"/"ปิด" หรือ "ไปข้างหน้า"/"ย้อนกลับ") จึงไม่จำเป็นต้องแม่นยำและจะไม่ไวต่อการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ที่เข้ามาในช่องทางการควบคุม นอกจากนี้ เนื่องจากกฎการควบคุมไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องสไลด์โหมดจึงสามารถเข้าถึงได้ใน เวลา จำกัด (กล่าวคือ ดีกว่าพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับ) ภายใต้เงื่อนไขทั่วไปบางประการความเหมาะสมที่สุดจำเป็นต้องใช้การควบคุมแบบแบง-แบงดังนั้น การควบคุมแบบสไลด์โหมดจึงอธิบายถึงตัวควบคุมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบไดนามิกหลากหลายประเภท

การประยุกต์ใช้ตัวควบคุมโหมดสไลด์อย่างหนึ่งคือการควบคุมไดรฟ์ไฟฟ้าที่ทำงานโดยตัวแปลงพลังงานแบบสวิตชิ่ง^{[ 4 ] : "บทนำ"} เนื่องจากโหมดการทำงานที่ไม่ต่อเนื่องของตัวแปลงเหล่านั้น ตัวควบคุมโหมดสไลด์แบบไม่ต่อเนื่องจึงเป็นทางเลือกในการใช้งานที่เป็นธรรมชาติมากกว่าตัวควบคุมแบบต่อเนื่องที่อาจต้องใช้การปรับความกว้างพัลส์^{[ 5 ]}หรือเทคนิคที่คล้ายกัน^{[ nb 2 ]}ในการใช้สัญญาณต่อเนื่องกับเอาต์พุตที่สามารถรับสถานะแบบไม่ต่อเนื่องได้เท่านั้น การควบคุมโหมดสไลด์มีการประยุกต์ใช้มากมายในด้านหุ่นยนต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อัลกอริทึมการควบคุมนี้ถูกใช้สำหรับการควบคุมการติดตามของเรือผิวน้ำไร้คนขับในทะเลที่มีคลื่นลมแรงจำลองด้วยความสำเร็จในระดับสูง^{[ 6 ] [ 7 ]}

การควบคุมแบบสไลด์โหมดต้องนำไปใช้อย่างระมัดระวังมากกว่าการควบคุมแบบไม่เชิงเส้นรูป แบบอื่น ๆ ที่มีการทำงานของการควบคุมที่ปานกลางกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากแอคทูเอเตอร์มีความล่าช้าและความไม่สมบูรณ์อื่น ๆ การทำงานของการควบคุมแบบสไลด์โหมดที่รุนแรงอาจนำไปสู่การสั่น การสูญเสียพลังงาน ความเสียหายต่อระบบ และการกระตุ้นไดนามิกที่ไม่ได้รับการจำลอง^{[ 8 ] : 554–556} วิธีการออกแบบการควบคุมแบบต่อเนื่องไม่ค่อยมีปัญหาเหล่านี้ และสามารถทำให้เลียนแบบตัวควบคุมแบบสไลด์โหมดได้^{[ 8 ] : 556–563}

พิจารณาระบบพลวัตแบบไม่เชิงเส้นที่อธิบายโดย

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\,\mathbf {u} (t)}$ 1

ที่ไหน

${\displaystyle \mathbf {x} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n-1}(t)\\x_{n}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

เป็นเวกเตอร์สถานะnมิติและ

${\displaystyle \mathbf {u} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{m-1}(t)\\u_{m}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{m}}$

เป็น เวกเตอร์อินพุตมิติ mที่จะใช้สำหรับการป้อนกลับสถานะ ฟังก์ชัน และถือว่าต่อเนื่องและเรียบ เพียงพอ เพื่อให้สามารถใช้ทฤษฎีบท Picard–Lindelöf เพื่อรับประกันว่าคำตอบ ของสมการ ( 1 ) มีอยู่และเป็น เอกลักษณ์${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle B:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n\times m}}$${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$

งานทั่วไปอย่างหนึ่งคือการออกแบบกฎการควบคุม แบบป้อนกลับสถานะ (เช่น การแมปจากสถานะปัจจุบันณ เวลาtไปยังอินพุต) เพื่อทำให้ระบบไดนามิกในสมการ ( 1 ) มีเสถียรภาพรอบจุดกำเนิดนั่นคือ ภายใต้กฎการควบคุม เมื่อใดก็ตามที่ระบบเริ่มต้นห่างจากจุดกำเนิด ระบบจะกลับมาที่จุดกำเนิด ตัวอย่างเช่น ส่วนประกอบของเวกเตอร์สถานะอาจแสดงถึงความแตกต่างระหว่างเอาต์พุตกับสัญญาณที่ทราบ (เช่น สัญญาณไซน์ที่ต้องการ) หากการควบคุมสามารถทำให้มั่นใจได้ว่ากลับมาที่จุดกำเนิดได้อย่างรวดเร็วเอาต์พุตก็จะติดตามสัญญาณไซน์ที่ต้องการ ในการควบคุมแบบสไลด์โหมด ผู้ออกแบบทราบว่าระบบมีพฤติกรรมที่พึงประสงค์ (เช่น มีจุดสมดุล ที่เสถียร ) โดยมีเงื่อนไขว่าระบบถูกจำกัดให้อยู่ในพื้นที่ย่อยของพื้นที่การกำหนดค่าการควบคุมแบบสไลด์โหมดจะบังคับวิถีการเคลื่อนที่ของระบบให้เข้าไปในพื้นที่ย่อยนี้ แล้วคงวิถีการเคลื่อนที่นั้นไว้เพื่อให้ระบบเลื่อนไปตามพื้นที่ย่อยนั้น ปริภูมิย่อยที่มีลำดับลดลงนี้เรียกว่าพื้นผิวเลื่อน (ไฮเปอร์เซอร์เฟซ)และเมื่อการป้อนกลับแบบวงปิดบังคับให้วิถีการเคลื่อนที่เลื่อนไปตามพื้นผิวนี้ จะเรียกว่าโหมดเลื่อนของระบบวงปิด วิถีการเคลื่อนที่ตามปริภูมิย่อยนี้สามารถเปรียบได้กับวิถีการเคลื่อนที่ตามเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (เช่น โหมด) ของระบบ LTIอย่างไรก็ตาม โหมดเลื่อนนั้นถูกบังคับโดยการพับสนามเวกเตอร์ด้วยการป้อนกลับที่มีอัตราขยายสูง เช่นเดียวกับลูกแก้วที่กลิ้งไปตามรอยแตก วิถีการเคลื่อนที่จึงถูกจำกัดอยู่ภายในโหมดเลื่อน ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} (t))}$${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {x} =[0,0,\ldots ,0]^{\intercal }}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}=0}$

แผนการควบคุมแบบสไลด์โหมดเกี่ยวข้องกับ

1. การเลือกพื้นผิวหรือแมนิโฟลด์ (เช่น พื้นผิวเลื่อน) ที่ทำให้วิถีการเคลื่อนที่ของระบบแสดงพฤติกรรมที่พึงประสงค์เมื่อถูกจำกัดอยู่ภายในแมนิโฟลด์นั้น
2. การหาค่าเกนป้อนกลับเพื่อให้วิถีการเคลื่อนที่ของระบบตัดกันและคงอยู่บนแมนิโฟลด์

เนื่องจากกฎการควบคุมแบบสไลด์โหมดไม่ต่อเนื่องจึงมีความสามารถในการขับเคลื่อนวิถีการเคลื่อนที่ไปยังสไลด์โหมดได้ในเวลาจำกัด (กล่าวคือ เสถียรภาพของพื้นผิวสไลด์ดีกว่าเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติก) อย่างไรก็ตาม เมื่อวิถีการเคลื่อนที่ไปถึงพื้นผิวสไลด์แล้ว ระบบจะรับเอาลักษณะของสไลด์โหมดมาใช้ (เช่น จุดกำเนิดอาจมีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติกบนพื้นผิวนี้เท่านั้น) ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

นักออกแบบโหมดสไลด์จะเลือกฟังก์ชันการสลับ ที่แสดงถึง "ระยะห่าง" ชนิดหนึ่งที่สถานะต่างๆอยู่ห่างจากพื้นผิวสไลด์ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

• สถานะที่อยู่นอกเหนือพื้นผิวเลื่อนนี้มี...${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\neq 0}$
• สถานะที่อยู่บนพื้นผิวเลื่อนนี้มี...${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$

กฎการควบคุมแบบสไลด์โหมดจะเปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งโดยอาศัยเครื่องหมายของระยะทางนี้ ดังนั้นการควบคุมแบบสไลด์โหมดจึงทำหน้าที่เหมือนแรงกดที่แข็งทื่อซึ่งผลักดันไปในทิศทางของโหมดสไลด์เสมอ วิถีการเคลื่อนที่ ที่ต้องการจะเข้าใกล้พื้นผิวสไลด์ และเนื่องจากกฎการควบคุมไม่ต่อเนื่อง (กล่าวคือ มันเปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งเมื่อวิถีการเคลื่อนที่ผ่านพื้นผิวนี้) จึงจะถึงพื้นผิวในเวลาจำกัด เมื่อวิถีการเคลื่อนที่ถึงพื้นผิวแล้ว มันจะเลื่อนไปตามพื้นผิวนั้นและอาจเคลื่อนที่ไปยังจุดกำเนิดได้ ตัวอย่างเช่น ดังนั้นฟังก์ชันการสลับจึงเหมือนแผนที่ภูมิประเทศที่มีเส้นชั้นความสูงคงที่ซึ่งวิถีการเคลื่อนที่ถูกบังคับให้เคลื่อนที่ไปตามนั้น ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

พื้นผิว/แมนิโฟลด์แบบเลื่อน (ไฮเปอร์เซอร์เฟซ/แมนิโฟลด์) โดยทั่วไปจะมีมิติโดยที่nคือจำนวนสถานะในและmคือจำนวนสัญญาณอินพุต (เช่น สัญญาณควบคุม) ในสำหรับแต่ละดัชนีควบคุมจะมีพื้นผิวเลื่อนมิติ ที่กำหนดโดย ${\displaystyle n-m}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle 1\leq k\leq m}$${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma _{k}(\mathbf {x} )=0\right\}}$ 2

ส่วนสำคัญของการออกแบบ SMC คือการเลือกกฎการควบคุมเพื่อให้โหมดสไลด์ (กล่าวคือ พื้นผิวที่กำหนดโดย) มีอยู่และสามารถเข้าถึงได้ตามวิถีของระบบ หลักการของการควบคุมโหมดสไลด์คือการบังคับระบบด้วยกลยุทธ์การควบคุมที่เหมาะสมให้อยู่บนพื้นผิวสไลด์ซึ่งระบบจะแสดงคุณสมบัติที่พึงประสงค์ เมื่อระบบถูกจำกัดโดยการควบคุมสไลด์ให้อยู่บนพื้นผิวสไลด์พลวัตของระบบจะถูกควบคุมโดยระบบลำดับลดที่ได้จากสมการ ( 2 ) ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

เพื่อให้สถานะของระบบ เป็นไป ตามเงื่อนไขที่กำหนดจะต้องดำเนินการดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

1. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าระบบสามารถทำงานได้จากทุกสภาวะเริ่มต้น${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$
2. เมื่อถึงระดับดังกล่าวแล้วการควบคุมจะสามารถรักษาระบบให้อยู่ในระดับนั้นได้${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

โปรดทราบว่าเนื่องจากกฎการควบคุมไม่ต่อเนื่องจึงไม่ต่อเนื่องแบบ Lipschitz ในระดับท้องถิ่นอย่างแน่นอน ดังนั้นการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบสำหรับระบบวงปิดจึงไม่ได้รับการรับประกันโดยทฤษฎีบท Picard–Lindelöfดังนั้นคำตอบจึงต้องเข้าใจในความหมายของ Filippov ^{[ 1 ] [ 9 ]}โดยคร่าวๆ ระบบวงปิดที่ได้ซึ่งเคลื่อนที่ไปตามนั้นจะถูกประมาณโดยพลวัต ที่ราบเรียบ อย่างไรก็ตาม พฤติกรรมที่ราบเรียบนี้อาจไม่สามารถเกิดขึ้นได้จริง ในทำนองเดียวกัน การมอดูเลชั่นความกว้างพัลส์ความเร็วสูงหรือการมอดูเลชั่นเดลต้า-ซิกมาจะสร้างเอาต์พุตที่มีสถานะเพียงสองสถานะ แต่เอาต์พุตที่มีประสิทธิภาพจะแกว่งไปมาในช่วงการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่อง ความซับซ้อนเหล่านี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยใช้ วิธีการออกแบบ การควบคุมแบบไม่เชิงเส้น ที่แตกต่างกัน ซึ่งสร้างตัวควบคุมแบบต่อเนื่อง ในบางกรณี การออกแบบการควบคุมแบบสไลด์โหมดสามารถประมาณได้ด้วยการออกแบบการควบคุมแบบต่อเนื่องอื่นๆ^{[ 8 ]}${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} ;}$

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นพื้นฐานของการควบคุมโครงสร้างตัวแปร

พิจารณาฟังก์ชัน Lyapunovที่เป็นไปได้

${\displaystyle V(\sigma (\mathbf {x} ))={\frac {1}{2}}\sigma ^{\intercal }(\mathbf {x} )\sigma (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\|\sigma (\mathbf {x} )\|_{2}^{2}}$ 3

โดยที่คือบรรทัดฐานยุคลิด (กล่าวคือคือระยะห่างจากแมนิโฟลด์เลื่อนที่) สำหรับระบบที่กำหนดโดยสมการ ( 1 ) และพื้นผิวเลื่อนที่กำหนดโดยสมการ ( 2 ) เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของโหมดเลื่อนคือ ${\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|}$${\displaystyle \|\sigma (\mathbf {x} )\|_{2}}$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \underbrace {\overbrace {\sigma ^{\intercal }} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \sigma }}\overbrace {\dot {\sigma }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} _{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0\qquad {\text{(i.e., }}{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0{\text{)}}}$

ในบริเวณใกล้เคียงกับพื้นผิวที่กำหนดโดย ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$

โดยคร่าวๆ (เช่น สำหรับ กรณีควบคุม แบบสเกลาร์เมื่อ) เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการกฎการควบคุมแบบป้อนกลับจะถูกเลือกเพื่อให้และมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน นั่นคือ ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle \sigma ^{\intercal }{\dot {\sigma }}<0}$${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$

• ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$จะกลายเป็นค่าลบเมื่อเป็นค่าบวก${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}$
• ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ทำให้เป็นบวกเมื่อเป็นลบ${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}$

โปรดทราบว่า

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\dot {\mathbf {x} }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}}$

ดังนั้นกฎการควบคุมแบบป้อนกลับจึงมีผลกระทบโดยตรงต่อ... ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$

เพื่อให้แน่ใจว่าโหมดการเลื่อนจะเกิดขึ้นในเวลาจำกัดจะต้องมีขอบเขตที่ห่างจากศูนย์มากขึ้น นั่นคือ หากหายไปเร็วเกินไป แรงดึงดูดไปยังโหมดการเลื่อนจะเป็นแบบเชิงเส้นกำกับเท่านั้น เพื่อให้แน่ใจว่าโหมดการเลื่อนจะเกิดขึ้นในเวลาจำกัด^{[ 10 ]}${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle \operatorname {d} V/{\operatorname {d} t}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\sqrt {V}})^{\alpha }}$

โดยที่และเป็นค่าคงที่ ${\displaystyle \mu >0}$${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

เงื่อนไขนี้รับประกันว่าสำหรับบริเวณใกล้เคียงของโหมดการเลื่อน ${\displaystyle V\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\sqrt {V}})^{\alpha }\leq -\mu {\sqrt {V}}.}$

ดังนั้นสำหรับ ${\displaystyle V\in (0,1]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ,}$

ซึ่งตามกฎลูกโซ่ (เช่นด้วย) หมายความว่า ${\displaystyle \operatorname {d} W/{\operatorname {d} t}}$${\displaystyle W\triangleq 2{\sqrt {V}}}$

${\displaystyle {\mathord {\underbrace {D^{+}{\Bigl (}{\mathord {\underbrace {2{\mathord {\overbrace {\sqrt {V}} ^{{}\propto \|\sigma \|_{2}}}}} _{W}}}{\Bigr )}} _{D^{+}W\,\triangleq \,{\mathord {{\text{Upper right-hand }}{\dot {W}}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu }$

โดย ที่ อนุพันธ์ ด้านขวาบนของและสัญลักษณ์แสดงถึงสัดส่วนดังนั้น เมื่อเปรียบเทียบกับเส้นโค้งที่แสดงด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นจะต้องเป็นกรณีที่สำหรับทุกtยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากจะต้องถึงในเวลาจำกัด ซึ่งหมายความว่าVจะต้องถึง(กล่าวคือ ระบบเข้าสู่โหมดสไลด์) ในเวลาจำกัด^{[ 8 ]}เนื่องจากเป็นสัดส่วนกับบรรทัดฐานยุคลิดของฟังก์ชันการสลับผลลัพธ์นี้บ่งชี้ว่าอัตราการเข้าใกล้โหมดสไลด์จะต้องถูกจำกัดให้ห่างจากศูนย์อย่างแน่นอน ${\displaystyle D^{+}}$${\displaystyle 2{\sqrt {V}}}$${\displaystyle \propto }$${\displaystyle z(t)=z_{0}-\mu t}$${\displaystyle {\dot {z}}=-\mu }$${\displaystyle z(0)=z_{0}}$${\displaystyle 2{\sqrt {V(t)}}\leq V_{0}-\mu t}$${\displaystyle {\sqrt {V}}\geq 0}$${\displaystyle {\sqrt {V}}}$${\displaystyle {\sqrt {V}}=0}$${\displaystyle V=0}$${\displaystyle {\sqrt {V}}}$${\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|_{2}}$${\displaystyle \sigma }$

ในบริบทของการควบคุมแบบสไลด์โหมด เงื่อนไขนี้หมายความว่า

${\displaystyle \underbrace {\overbrace {\sigma ^{\intercal }} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \sigma }}\overbrace {\dot {\sigma }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} _{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\mathord {\overbrace {\|\sigma \|_{2}} ^{\sqrt {V}}}})^{\alpha }}$

โดยที่คือค่าบรรทัดฐานยุคลิดสำหรับกรณีที่ฟังก์ชันการสลับมีค่าเป็นสเกลาร์ เงื่อนไขที่เพียงพอจะกลายเป็น ${\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}\leq -\mu |\sigma |^{\alpha }}$.

เมื่อพิจารณาเงื่อนไขเพียงพอเชิงสเกลาร์แล้ว จะกลายเป็น ${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma ){\dot {\sigma }}\leq -\mu }$

ซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่า

${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )\neq \operatorname {sgn} ({\dot {\sigma }})\qquad {\text{and}}\qquad |{\dot {\sigma }}|\geq \mu >0}$.

กล่าวคือ ระบบควรเคลื่อนที่เข้าหาพื้นผิวการสลับอยู่เสมอและความเร็วในการเคลื่อนที่เข้าหาพื้นผิวการสลับควรมีขอบเขตล่างที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น แม้ว่าค่าอาจลดลงจนน้อยมากเมื่อเข้าใกล้พื้นผิว แต่ค่าจะต้องมีขอบเขตที่ห่างจากศูนย์อย่างมั่นคงเสมอ เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ ตัวควบคุมแบบสไลด์โหมดจึงไม่ต่อเนื่องบนแมนิโฟลด์ กล่าวคือ มันจะสลับจากค่าที่ไม่เป็นศูนย์ค่าหนึ่งไปยังอีกค่าหนึ่งเมื่อวิถีการเคลื่อนที่ตัดผ่านแมนิโฟลด์ ${\displaystyle \sigma =0}$${\displaystyle |{\dot {\sigma }}|}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$${\displaystyle \sigma =0}$

สำหรับระบบที่กำหนดโดยสมการ ( 1 ) และพื้นผิวเลื่อนที่กำหนดโดยสมการ ( 2 ) พื้นที่ย่อยที่พื้นผิวสามารถเข้าถึงได้จะกำหนดโดย ${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} \}}$

${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma ^{\intercal }(\mathbf {x} ){\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )<0\}}$

กล่าวคือ เมื่อเงื่อนไขเริ่มต้นมาจากปริภูมิทั้งหมดนี้ ฟังก์ชัน Lyapunov ที่เป็นตัวเลือกจะเป็นฟังก์ชัน Lyapunovและวิถีการเคลื่อนที่ย่อมมุ่งไปยังพื้นผิวโหมดสไลด์ที่นอกจากนี้ หากเงื่อนไขการเข้าถึงได้จากทฤษฎีบทที่ 1 เป็นไปตามที่กำหนด โหมดสไลด์จะเข้าสู่บริเวณที่ถูกจำกัดให้ห่างจากศูนย์มากขึ้นในเวลาจำกัด ดังนั้น โหมดสไลด์จะเกิดขึ้นได้ในเวลาจำกัด ${\displaystyle V(\sigma )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle {\dot {V}}}$${\displaystyle \sigma =0}$

อนุญาต

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial {\mathbf {x} }}}B(\mathbf {x} ,t)}$

ต้องเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน กล่าวคือ ระบบมี ความสามารถในการควบคุมชนิดหนึ่งที่ทำให้มั่นใจได้ว่าจะมีตัวควบคุมที่สามารถเคลื่อนวิถีให้เข้าใกล้โหมดสไลด์ได้เสมอ จากนั้น เมื่อถึงโหมดสไลด์ที่ระบบจะคงอยู่ในโหมดสไลด์นั้นต่อไป ตามวิถีของโหมดสไลด์ ค่าจะคงที่ ดังนั้นวิถีของโหมดสไลด์จึงอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\dot {\sigma }}=\mathbf {0} }$.

ถ้าสมดุล แบบ - มีเสถียรภาพเมื่อเทียบกับสมการเชิงอนุพันธ์ นี้ ระบบจะเลื่อนไปตามพื้นผิวโหมดการเลื่อนไปสู่สมดุลนั้น ${\displaystyle \mathbf {x} }$

สามารถหาก ฎการควบคุมที่เทียบเท่าบน โหมดสไลด์ได้โดยการแก้สมการ

${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0}$

สำหรับกฎการควบคุมที่เทียบเท่ากันนั่นคือ ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }$

และด้วยเหตุนี้จึงเป็นการควบคุมที่เทียบเท่ากัน

${\displaystyle \mathbf {u} =-\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)}$

กล่าวคือ แม้ว่าการควบคุมที่แท้จริงจะไม่ต่อเนื่องแต่การสลับอย่างรวดเร็วระหว่างโหมดสไลด์จะบังคับให้ระบบทำงานราวกับว่าถูกขับเคลื่อนด้วยการควบคุมแบบต่อเนื่องนี้ ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

ในทำนองเดียวกัน วิถีการเคลื่อนที่ของระบบบนโหมดสไลด์มีพฤติกรรมราวกับว่า

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {f(\mathbf {x} ,t)-B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)} ^{f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u}=f(\mathbf {x} ,t)\left(\mathbf {I} -B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\right)}$

ระบบที่ได้จะตรงกับสมการเชิงอนุพันธ์แบบสไลด์โหมด

${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

พื้นผิวโหมดสไลด์และเงื่อนไขวิถีการเคลื่อนที่จากเฟสการเข้าถึงจะลดลงเหลือเงื่อนไขที่ง่ายกว่าที่ได้มาข้างต้น ดังนั้นจึงสามารถสันนิษฐานได้ว่าระบบจะปฏิบัติตามเงื่อนไขที่ง่ายกว่าหลังจากช่วงเปลี่ยนผ่านเริ่มต้นในช่วงระยะเวลาที่ระบบกำลังค้นหาโหมดสไลด์ การเคลื่อนที่แบบเดียวกันจะคงอยู่โดยประมาณเมื่อความเท่าเทียมกันเป็นจริงโดยประมาณเท่านั้น ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle {\dot {\sigma }}=0}$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

จากทฤษฎีบทเหล่านี้ สรุปได้ว่าการเคลื่อนที่แบบสไลด์นั้นไม่เปลี่ยนแปลง (กล่าวคือ ไม่ไวต่อ) การรบกวนเล็กน้อยที่เข้ามาในระบบผ่านช่องทางการควบคุม นั่นคือ ตราบใดที่การควบคุมมีขนาดใหญ่พอที่จะทำให้มั่นใจได้ว่าและมีค่าที่อยู่ห่างจากศูนย์อย่างสม่ำเสมอ โหมดสไลด์จะยังคงอยู่ราวกับว่าไม่มีการรบกวน คุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงของการควบคุมโหมดสไลด์ต่อการรบกวนและความไม่แน่นอนของแบบจำลองบางอย่างเป็นคุณลักษณะที่น่าสนใจที่สุด มันมีความทนทานสูง มาก${\displaystyle \sigma ^{\intercal }{\dot {\sigma }}<0}$${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$

ดังที่ได้กล่าวไว้ในตัวอย่างด้านล่าง กฎการควบคุมแบบสไลด์โหมดสามารถรักษาข้อจำกัดไว้ได้

${\displaystyle {\dot {x}}+x=0}$

เพื่อทำให้ระบบใดๆ ที่มีรูปแบบดังกล่าวมีเสถียรภาพในเชิงอะซิมโทติก

${\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u}$

เมื่อมีขอบเขตบนที่จำกัด ในกรณีนี้ โหมดการเลื่อนคือ โดยที่ ${\displaystyle a(\cdot )}$

${\displaystyle {\dot {x}}=-x}$

(เช่น ที่) กล่าวคือ เมื่อระบบถูกจำกัดในลักษณะนี้ ระบบจะทำงานเหมือนระบบเชิงเส้นเสถียร แบบง่ายๆ และดังนั้นจึงมีจุดสมดุลเสถียรแบบเอกซ์โปเนนเชียลทั่วโลกที่จุดกำเนิด ${\displaystyle {\dot {x}}+x=0}$${\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}$

• พิจารณาโรงงานที่อธิบายโดยสมการ ( 1 ) ที่มีอินพุตเดียวu (เช่น) ฟังก์ชันการสลับถูกเลือกให้เป็นการรวมเชิงเส้น${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\triangleq s_{1}x_{1}+s_{2}x_{2}+\cdots +s_{n-1}x_{n-1}+s_{n}x_{n}}$ 4

โดยที่น้ำหนักสำหรับทั้งหมดพื้นผิวเลื่อนคือซิมเพล็กซ์ที่เมื่อวิถีถูกบังคับให้เลื่อนไปตามพื้นผิวนี้ ${\displaystyle s_{i}>0}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$

${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0}$

และดังนั้น

${\displaystyle s_{1}{\dot {x}}_{1}+s_{2}{\dot {x}}_{2}+\cdots +s_{n-1}{\dot {x}}_{n-1}+s_{n}{\dot {x}}_{n}=0}$

ซึ่งเป็นระบบลำดับลด (กล่าวคือ ระบบใหม่มีลำดับเนื่องจากระบบถูกจำกัดไว้ที่ซิมเพล็กซ์โหมดสไลด์มิติ - นี้) พื้นผิวนี้อาจมีคุณสมบัติที่เอื้ออำนวย (เช่น เมื่อไดนามิกของพืชถูกบังคับให้เลื่อนไปตามพื้นผิวนี้ พวกมันจะเคลื่อนที่เข้าหาจุดกำเนิด) เมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Lyapunovในสมการ ( 3 ) เราจะได้ ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\dot {V}}(\sigma (\mathbf {x} ))=\overbrace {\sigma (\mathbf {x} )^{\text{T}}} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}}$

เพื่อให้แน่ใจได้กฎการควบคุมแบบป้อนกลับจะต้องถูกเลือกเพื่อให้ ${\displaystyle {\dot {V}}<0}$${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\sigma }}<0&{\text{if }}\sigma >0\\{\dot {\sigma }}>0&{\text{if }}\sigma <0\end{cases}}}$

ดังนั้น ผลคูณจึงเป็นผลคูณของจำนวนลบและจำนวนบวก โปรดทราบว่า${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$

${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\overbrace {{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}={\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {[s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}]} ^{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\underbrace {\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}} _{{\text{( i.e., an }}n\times 1{\text{ vector )}}}}$ 5

กฎการควบคุมถูกเลือกเพื่อให้ ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}u^{+}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )>0\\u^{-}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )<0\end{cases}}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle u^{+}(\mathbf {x} )}$คือการควบคุมบางอย่าง (เช่น อาจเป็นแบบสุดขั้ว เช่น "เปิด" หรือ "ไปข้างหน้า") ที่ทำให้สมการ ( 5 ) (เช่น) เป็นลบที่${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle u^{-}(\mathbf {x} )}$คือการควบคุมบางอย่าง (เช่น อาจเป็นแบบสุดขั้ว เช่น "ปิด" หรือ "ย้อนกลับ") ที่ทำให้สมการ ( 5 ) (เช่น) เป็นบวกที่${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

วิถีการเคลื่อนที่ที่ได้ควรเคลื่อนเข้าหาพื้นผิวเลื่อนที่เนื่องจากระบบจริงมีความล่าช้า วิถีการเคลื่อนที่ในโหมดเลื่อนจึงมักกระเด้งไปมาตามพื้นผิวเลื่อนนี้ (กล่าวคือ วิถีการเคลื่อนที่ที่แท้จริงอาจไม่เป็นไปตาม อย่างราบรื่นแต่จะกลับมาสู่โหมดเลื่อนเสมอหลังจากออกจากโหมดเลื่อนแล้ว)${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$

• พิจารณาระบบพลวัต

${\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u}$

ซึ่งสามารถแสดงได้ใน ปริภูมิสถานะ 2 มิติ(โดยมีและ) ดังนี้ ${\displaystyle x_{1}=x}$${\displaystyle x_{2}={\dot {x}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{2}\\{\dot {x}}_{2}=a(t,x_{1},x_{2})+u\end{cases}}}$

นอกจากนี้ ให้ถือว่า(กล่าวคือมีขอบเขตบนk ที่จำกัด และเป็นที่ทราบ) สำหรับระบบนี้ ให้เลือกฟังก์ชันการสลับ ${\displaystyle \sup\{|a(\cdot )|\}\leq k}$${\displaystyle |a|}$

${\displaystyle \sigma (x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}=x+{\dot {x}}}$

จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราต้องเลือกกฎการควบคุมแบบป้อนกลับเพื่อให้โดยที่ ${\displaystyle u(x,{\dot {x}})}$${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {x}}_{1}+{\dot {x}}_{2}={\dot {x}}+{\ddot {x}}={\dot {x}}\,+\,\overbrace {a(t,x,{\dot {x}})+u} ^{\ddot {x}}}$

• เมื่อใด(เช่น เมื่อใด) ที่จะทำการควบคุมควรเลือกกฎการควบคุมเพื่อให้${\displaystyle x+{\dot {x}}<0}$${\displaystyle \sigma <0}$${\displaystyle {\dot {\sigma }}>0}$${\displaystyle u>|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}$
• เมื่อใด(เช่น เมื่อใด) ที่จะทำการควบคุมควรเลือกกฎการควบคุมเพื่อให้${\displaystyle x+{\dot {x}}>0}$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle {\dot {\sigma }}<0}$${\displaystyle u<-|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}$

อย่างไรก็ตาม จากอสมการสามเหลี่ยม

${\displaystyle |{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|\geq |{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}$

และโดยอาศัยสมมติฐานเกี่ยวกับ, ${\displaystyle |a|}$

${\displaystyle |{\dot {x}}|+k+1>|{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|}$

ดังนั้น ระบบจึงสามารถรักษาเสถียรภาพด้วยการป้อนกลับ (เพื่อกลับสู่โหมดสไลด์) โดยใช้กฎการควบคุม

${\displaystyle u(x,{\dot {x}})={\begin{cases}|{\dot {x}}|+k+1&{\text{if }}\underbrace {x+{\dot {x}}} <0,\\-\left(|{\dot {x}}|+k+1\right)&{\text{if }}\overbrace {x+{\dot {x}}} ^{\sigma }>0\end{cases}}}$

ซึ่งสามารถแสดงออกมาในรูปปิดได้ดังนี้

${\displaystyle u(x,{\dot {x}})=-(|{\dot {x}}|+k+1)\underbrace {\operatorname {sgn} (\overbrace {{\dot {x}}+x} ^{\sigma })} _{{\text{(i.e., tests }}\sigma >0{\text{)}}}}$

สมมติว่าวิถีการเคลื่อนที่ของระบบถูกบังคับให้เคลื่อนที่ไปในทิศทางที่ว่าแล้ว ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$

${\displaystyle {\dot {x}}=-x\qquad {\text{(i.e., }}\sigma (x,{\dot {x}})=x+{\dot {x}}=0{\text{)}}}$

ดังนั้น เมื่อระบบเข้าสู่โหมดสไลด์แล้ว พลวัต 2 มิติของระบบจะทำงานเหมือนกับระบบ 1 มิติ ซึ่งมีจุดสมดุล ที่มีเสถียรภาพแบบเอก ซ์ โปเนนเชียลทั่วโลก ที่${\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}$

แม้ว่าจะมีทฤษฎีต่างๆ มากมายสำหรับการออกแบบระบบควบคุมแบบสไลด์โหมด แต่ก็ยังขาดวิธีการออกแบบที่มีประสิทธิภาพสูงเนื่องจากความยากลำบากในทางปฏิบัติที่พบในวิธีการวิเคราะห์และเชิงตัวเลข อย่างไรก็ตาม กระบวนทัศน์การคำนวณที่นำกลับมาใช้ใหม่ได้ เช่นอัลกอริทึมทางพันธุกรรมสามารถนำมาใช้เพื่อเปลี่ยน 'ปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้' ของการออกแบบที่เหมาะสมที่สุดให้เป็น 'ปัญหาพหุนามที่ไม่แน่นอน' ที่สามารถแก้ไขได้ในทางปฏิบัติ ซึ่งส่งผลให้เกิดการออกแบบอัตโนมัติด้วยคอมพิวเตอร์สำหรับการควบคุมแบบสไลด์โหมด^{[ 11 ]}

การควบคุมแบบสไลด์โหมดสามารถใช้ในการออกแบบตัวสังเกตสถานะได้ตัวสังเกตที่มีอัตราขยายสูงแบบไม่เชิงเส้นเหล่านี้มีความสามารถในการนำพิกัดของไดนามิกข้อผิดพลาดของตัวประมาณค่าไปสู่ศูนย์ในเวลาจำกัด นอกจากนี้ ตัวสังเกตแบบสวิตช์โหมดยังมีคุณสมบัติการต้านทานสัญญาณรบกวนการวัดที่น่าสนใจซึ่งคล้ายกับ^ตัวกรอง Kalman [ ^{12 ] [ 13 ]}เพื่อความง่าย ตัวอย่างในที่นี้ใช้การปรับเปลี่ยนแบบสไลด์โหมดแบบดั้งเดิมของตัวสังเกต Luenbergerสำหรับระบบ LTIในตัวสังเกตแบบสไลด์โหมดเหล่านี้ ลำดับของไดนามิกของตัวสังเกตจะลดลงหนึ่งเมื่อระบบเข้าสู่โหมดสไลด์ ในตัวอย่างนี้ ข้อผิดพลาดของตัวประมาณค่าสำหรับสถานะที่ประมาณค่าเพียงสถานะเดียวจะไปสู่ศูนย์ในเวลาจำกัด และหลังจากนั้น ข้อผิดพลาดของตัวประมาณค่าอื่นๆ จะลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลไปสู่ศูนย์ อย่างไรก็ตาม ดังที่ Drakunov ได้อธิบายไว้เป็นครั้งแรก^{[ 14 ]} สามารถสร้าง ตัวสังเกตแบบสไลด์โหมดสำหรับระบบไม่เชิงเส้นที่นำข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสำหรับสถานะที่ประมาณค่าทั้งหมดไปสู่ศูนย์ในเวลาจำกัด (และเล็กมาก) ได้

ในที่นี้ ให้พิจารณาระบบ LTI

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u} \\y={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &\end{bmatrix}}\mathbf {x} =x_{1}\end{cases}}}$

โดยที่ เวกเตอร์สถานะเป็นเวกเตอร์ของอินพุต และเอาต์พุตyเป็นค่าสเกลาร์ที่เท่ากับสถานะแรกของเวกเตอร์สถานะ ให้ ${\displaystyle \mathbf {x} \triangleq (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {u} \triangleq (u_{1},u_{2},\dots ,u_{r})\in \mathbb {R} ^{r}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle A\triangleq {\begin{bmatrix}a_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle a_{11}}$เป็นค่าสเกลาร์ที่แสดงถึงอิทธิพลของสถานะแรกที่มีต่อตัวมันเอง${\displaystyle x_{1}}$
• ${\displaystyle A_{21}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$เป็นเวกเตอร์แถวที่แสดงถึงอิทธิพลของสถานะแรกที่มีต่อสถานะอื่นๆ
• ${\displaystyle A_{22}\in \mathbb {R} ^{(n-1)\times (n-1)}}$เป็นเมทริกซ์ที่แสดงถึงอิทธิพลของรัฐอื่นๆ ที่มีต่อตัวมันเอง และ
• ${\displaystyle A_{12}\in \mathbb {R} ^{1\times (n-1)}}$เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่แสดงถึงอิทธิพลของสถานะอื่นๆ ที่มีต่อสถานะแรก

เป้าหมายคือการออกแบบตัวสังเกตสถานะที่มีอัตราขยายสูงซึ่งประมาณเวกเตอร์สถานะโดยใช้ข้อมูลจากการวัดเท่านั้นดังนั้น ให้เวกเตอร์เป็นค่าประมาณของ สถานะทั้ง nสถานะ ตัวสังเกตจะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle y=x_{1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},\dots ,{\hat {x}}_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันไม่เชิงเส้นของความคลาดเคลื่อนระหว่างสถานะที่ประมาณการและเอาต์พุตและเป็นเวกเตอร์เกนของผู้สังเกตการณ์ซึ่งทำหน้าที่คล้ายกับในตัวสังเกตการณ์ Luenberger เชิงเส้นทั่วไป ในทำนอง เดียวกัน ให้ ${\displaystyle v:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$${\displaystyle y=x_{1}}$${\displaystyle L\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ นอกจากนี้ ให้เป็นข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสถานะ นั่นคือพลวัตของข้อผิดพลาดจะเป็นดังนี้ ${\displaystyle L_{2}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {e} ={\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {e} }}&={\dot {\hat {\mathbf {x} }}}-{\dot {\mathbf {x} }}\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})-A\mathbf {x} -B\mathbf {u} \\&=A({\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} )+Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A\mathbf {e} +Lv(e_{1})\end{aligned}}}$

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสำหรับค่าประมาณสถานะแรกอยู่ ที่ใดกฎการควบคุมแบบไม่เชิงเส้นvสามารถออกแบบมาเพื่อบังคับใช้ระนาบเลื่อนได้ ${\displaystyle e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}}$

${\displaystyle 0={\hat {x}}_{1}-x_{1}}$

ดังนั้นค่าประมาณจึงติดตามสถานะจริงหลังจากช่วงเวลาจำกัด (เช่น) ดังนั้น ฟังก์ชันการสลับการควบคุมแบบสไลด์โหมด ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}$

${\displaystyle \sigma ({\hat {x}}_{1},{\hat {x}})\triangleq e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}.}$

เพื่อให้ได้ระนาบเลื่อนและจะต้องมีเครื่องหมายตรงข้ามกันเสมอ (กล่าวคือสำหรับแทบทุกค่า) อย่างไรก็ตาม ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {e}}_{1}=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(e_{1})=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(\sigma )}$

โดยที่คือชุดของข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสำหรับสถานะที่ไม่ได้วัดทั้งหมด เพื่อให้แน่ใจว่าให้กำหนด ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\triangleq (e_{2},e_{3},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$

${\displaystyle v(\sigma )=M\operatorname {sgn} (\sigma )}$

ที่ไหน

${\displaystyle M>\max\{|a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}|\}.}$

นั่นคือ ค่าคงที่บวกMต้องมากกว่าเวอร์ชันที่ปรับขนาดของข้อผิดพลาดการประมาณค่าสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับระบบ (เช่น ข้อผิดพลาดเริ่มต้น ซึ่งถือว่ามีขอบเขตจำกัดเพื่อให้ สามารถเลือก Mให้มีขนาดใหญ่พอได้) หากMมีขนาดใหญ่เพียงพอ ก็สามารถสันนิษฐานได้ว่าระบบบรรลุ(เช่น) เนื่องจากมีค่าคงที่ (เช่น 0) ตลอดแมนิโฟลด์นี้เช่นกัน ดังนั้น การควบคุมแบบไม่ต่อเนื่องอาจถูกแทนที่ด้วยการควบคุมแบบต่อเนื่องที่เทียบเท่ากันโดยที่ ${\displaystyle e_{1}=0}$${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=0}$${\displaystyle v(\sigma )}$${\displaystyle v_{\text{eq}}}$

${\displaystyle 0={\dot {\sigma }}=a_{11}{\mathord {\overbrace {e_{1}} ^{{}=0}}}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-{\mathord {\overbrace {v_{\text{eq}}} ^{v(\sigma )}}}=A_{12}\mathbf {e} _{2}-v_{\text{eq}}.}$

ดังนั้น

${\displaystyle {\mathord {\underbrace {v_{\text{eq}}} _{\text{scalar}}}}={\mathord {\underbrace {A_{12}} _{1\times (n-1) \atop {\text{ vector}}}}}{\mathord {\underbrace {\mathbf {e} _{2}} _{(n-1)\times 1 \atop {\text{ vector}}}}}.}$

การควบคุมที่เทียบเท่านี้แสดงถึงการมีส่วนร่วมจากสถานะอื่นๆต่อวิถีของสถานะเอาต์พุตโดยเฉพาะอย่างยิ่ง แถวทำหน้าที่เหมือนเวกเตอร์เอาต์พุตสำหรับระบบย่อยข้อผิดพลาด ${\displaystyle v_{\text{eq}}}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle A_{12}}$

${\displaystyle {\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{2}\\{\dot {e}}_{3}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {e} }}_{2}}}}=A_{2}{\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}e_{2}\\e_{3}\\\vdots \\e_{n}\end{bmatrix}} ^{\mathbf {e} _{2}}}}+L_{2}v(e_{1})=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}v_{\text{eq}}=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}A_{12}\mathbf {e} _{2}=(A_{2}+L_{2}A_{12})\mathbf {e} _{2}.}$

ดังนั้น เพื่อให้แน่ใจว่าข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสำหรับสถานะที่ไม่ได้วัดจะลู่เข้าสู่ศูนย์เวกเตอร์จะต้องถูกเลือกเพื่อให้เมทริกซ์เป็นHurwitz (กล่าวคือ ส่วนจริงของค่าลักษณะ เฉพาะแต่ละค่า จะต้องเป็นลบ) ดังนั้น หากสามารถสังเกตได้ ระบบ นี้สามารถทำให้เสถียรได้ในลักษณะเดียวกับตัวสังเกตสถานะ เชิงเส้นทั่วไป เมื่อมองว่าเป็นเมทริกซ์เอาต์พุต (กล่าวคือ " C ") นั่นคือการควบคุมที่เทียบเท่าจะให้ข้อมูลการวัดเกี่ยวกับสถานะที่ไม่ได้วัดซึ่งสามารถเคลื่อนการประมาณค่าเข้าใกล้สถานะเหล่านั้นได้อย่างต่อเนื่อง ในขณะเดียวกัน การควบคุมแบบไม่ต่อเนื่องจะบังคับให้การประมาณค่าของสถานะที่วัดได้มีข้อผิดพลาดเป็นศูนย์ในเวลาจำกัด นอกจากนี้ สัญญาณรบกวนการวัดแบบสมมาตรที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์สีขาว (เช่นสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียน ) จะส่งผลกระทบต่อความถี่การสลับของการควบคุมv เท่านั้น ดังนั้นสัญญาณรบกวนจะมีผลกระทบต่อการควบคุมโหมดสไลด์ที่เทียบเท่าน้อยมากดังนั้น ตัวสังเกตโหมดสไลด์จึงมีคุณสมบัติคล้ายกับตัวกรอง Kalman ^{[ 13 ]}${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle (n-1)\times 1}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$${\displaystyle (A_{2}+L_{2}A_{12})}$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle A_{12}}$${\displaystyle v_{\text{eq}}}$${\displaystyle v=M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x)}$${\displaystyle v_{\text{eq}}}$

ดังนั้นเวอร์ชันสุดท้ายของผู้สังเกตการณ์จึงเป็นดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +LM\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+{\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}\\&=A_{\text{obs}}{\hat {\mathbf {x} }}+B_{\text{obs}}\mathbf {u} _{\text{obs}}\end{aligned}}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle A_{\text{obs}}\triangleq A,}$
• ${\displaystyle B_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}},}$และ
• ${\displaystyle u_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}.}$

กล่าวคือ ด้วยการเพิ่มฟังก์ชันการสลับเข้าไปใน เวกเตอร์ควบคุม ตัวสังเกตการณ์โหมดสไลด์สามารถนำไปใช้เป็นระบบ LTI ได้ นั่นหมายความว่า สัญญาณที่ไม่ต่อเนื่อง จะถูกมองว่าเป็น อินพุตควบคุมสำหรับระบบ LTI แบบ 2 อินพุต ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$

เพื่อความง่าย ตัวอย่างนี้สมมติว่าตัวสังเกตการณ์แบบสไลด์โหมดสามารถเข้าถึงการวัดสถานะเดียว (เช่น เอาต์พุต) ได้ อย่างไรก็ตาม สามารถใช้ขั้นตอนที่คล้ายกันในการออกแบบตัวสังเกตการณ์แบบสไลด์โหมดสำหรับเวกเตอร์ของการรวมสถานะแบบถ่วงน้ำหนัก (เช่น เมื่อเอาต์พุตใช้เมทริกซ์ทั่วไปC ) ในแต่ละกรณี สไลด์โหมดจะเป็นแมนิโฟลด์ที่เอาต์พุตที่ประมาณการไว้เป็นไปตามเอาต์พุตที่วัดได้โดยมีข้อผิดพลาดเป็นศูนย์ (เช่น แมนิโฟลด์ที่) ${\displaystyle y=x_{1}}$${\displaystyle \mathbf {y} =C\mathbf {x} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\triangleq {\hat {\mathbf {y} }}-\mathbf {y} =\mathbf {0} }$

• การควบคุมโครงสร้างตัวแปร
• ระบบโครงสร้างแปรผัน
• ระบบไฮบริด
• การควบคุมแบบไม่เชิงเส้น
• การควบคุมที่แข็งแกร่ง
• การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด
• การควบคุมอินทิกรัลที่แข็งแกร่งของเครื่องหมายของข้อผิดพลาด (RISE)
• การควบคุมแบบ Bang-bang  – การควบคุมแบบ Sliding mode มักถูกนำไปใช้ในรูปแบบการควบคุมแบบ Bang-bang ในบางกรณี การควบคุมแบบนี้มีความจำเป็นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด
• วงจรบริดจ์รูปตัว "H"  – วงจรที่รวมสวิตช์สี่ตัวเข้าด้วยกันเป็นรูปตัว "H" สี่ขา สามารถใช้ขับเคลื่อนมอเตอร์ (หรืออุปกรณ์ไฟฟ้าอื่นๆ) ให้เคลื่อนที่ไปข้างหน้าหรือข้างหลังได้ เมื่อมีแหล่งจ่ายไฟเพียงแหล่งเดียว มักใช้ในแอคชูเอเตอร์ของระบบควบคุมแบบสไลด์โหมด
• วงจรขยายสัญญาณแบบสวิตชิ่ง  – ใช้การควบคุมแบบสวิตชิ่งเพื่อขับสัญญาณเอาต์พุตต่อเนื่อง
• การมอดูเลชั่นแบบเดลต้า-ซิกมา  – อีกวิธีหนึ่ง (แบบป้อนกลับ) ในการเข้ารหัสช่วงค่าต่อเนื่องในสัญญาณที่สลับไปมาระหว่างสองสถานะอย่างรวดเร็ว (เช่น การควบคุมแบบสไลด์โหมดชนิดพิเศษ)
• การมอดูเลชั่นความหนาแน่นพัลส์  – รูปแบบทั่วไปของการมอดูเลชั่นเดลต้า-ซิกมา
• การมอดูเลชั่นความกว้างพัลส์  – รูปแบบการมอดูเลชั่นอีกแบบหนึ่งที่สร้างการเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่องผ่านการสลับแบบไม่ต่อเนื่อง

• Drakunov SV, Utkin VI. (1992). "การควบคุมโหมดสไลด์ในระบบไดนามิก". วารสารการควบคุมระหว่างประเทศ55 (4): 1029– 1037. doi : 10.1080/00207179208934270 . hdl : 10338.dmlcz/135339 .