ในทางสถิติและเศรษฐศาสตร์ เชิงปริมาณ โมเดลโพรบิตแบบหลายตัวแปรเป็นการขยายโมเดลโพรบิตที่ใช้ในการประมาณผลลัพธ์ไบนารีที่มีความสัมพันธ์กันหลายอย่างพร้อมกัน ตัวอย่างเช่น หากเชื่อว่าการตัดสินใจส่งบุตรอย่างน้อยหนึ่งคนไปโรงเรียนรัฐและการลงคะแนนเสียงเห็นชอบงบประมาณโรงเรียนมีความสัมพันธ์กัน (การตัดสินใจทั้งสองเป็นไบนารี) โมเดลโพรบิตแบบหลายตัวแปรจึงเหมาะสมสำหรับการทำนายทางเลือกทั้งสองนี้ร่วมกันในแต่ละบุคคล JR Ashford และ RR Sowden ได้เสนอแนวทางสำหรับการวิเคราะห์โพรบิตแบบหลายตัวแปรเป็นครั้งแรก^{[ 1 ]} Siddhartha Chibและ Edward Greenberg ได้ขยายแนวคิดนี้และเสนอวิธีการอนุมานแบบจำลองสำหรับโมเดลโพรบิตแบบหลายตัวแปร ซึ่งทำให้การประมาณค่าพารามิเตอร์ง่ายขึ้นและเป็นแบบทั่วไป^{[ 2 ]}

ในแบบจำลอง probit ทั่วไป มีตัวแปรตามแบบไบนารีเพียงตัวเดียวดังนั้นจึงใช้ตัวแปรแฝง เพียงตัวเดียว ในทางตรงกันข้าม ในแบบจำลอง probit แบบสองตัวแปร มีตัวแปรตามแบบไบนารีสองตัว คือ และดังนั้นจึงมีตัวแปรแฝงสองตัว คือและโดยถือว่าตัวแปรที่สังเกตได้แต่ละตัวจะมีค่าเป็น 1 ก็ต่อเมื่อตัวแปรแฝงต่อเนื่องที่อยู่เบื้องหลังมีค่าเป็นบวกเท่านั้น ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{*}}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$${\displaystyle Y_{1}^{*}}$${\displaystyle Y_{2}^{*}}$

${\displaystyle Y_{1}={\begin{cases}1&{\text{ถ้า }}Y_{1}^{*}>0,\\0&{\text{มิฉะนั้น}},\end{cases}}}$

${\displaystyle Y_{2}={\begin{cases}1&{\text{ถ้า }}Y_{2}^{*}>0,\\0&{\text{มิฉะนั้น}},\end{cases}}}$

กับ

${\displaystyle {\begin{cases}Y_{1}^{*}=X_{1}\beta _{1}+\varepsilon _{1}\\Y_{2}^{*}=X_{2}\beta _{2}+\varepsilon _{2}\end{cases}}}$

และ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\end{bmatrix}}\mid X\sim {\mathcal {N}}\left({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&\rho \\\rho &1\end{bmatrix}}\right)}$

การปรับแบบจำลอง probit สองตัวแปรเกี่ยวข้องกับการประมาณค่าของและในการทำเช่นนั้นจะต้องเพิ่มค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของแบบจำลองความน่าจะเป็นนี้คือ ${\displaystyle \beta _{1},\ \beta _{2},}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\beta _{1},\beta _{2})={\Big (}\prod &P(Y_{1}=1,Y_{2}=1\mid \beta _{1},\beta _{2})^{Y_{1}Y_{2}}P(Y_{1}=0,Y_{2}=1\mid \beta _{1},\beta _{2})^{(1-Y_{1})Y_{2}}\\[8pt]&{}\qquad P(Y_{1}=1,Y_{2}=0\กลาง \beta _{1},\beta _{2})^{Y_{1}(1-Y_{2})}P(Y_{1}=0,Y_{2}=0\mid \เบต้า _{1},\เบต้า _{2})^{(1-Y_{1})(1-Y_{2})}{\Big )}\end{aligned}}}$

เมื่อแทนค่าตัวแปรแฝงลงในฟังก์ชันความน่าจะเป็นแล้วทำการหาค่าลอการิทึมจะได้ ${\displaystyle Y_{1}^{*}}$${\displaystyle Y_{2}^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum &{\Big (}Y_{1}Y_{2}\ln P(\varepsilon _{1}>-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}>-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})Y_{2}\ln P(\varepsilon _{1}<-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}>-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+Y_{1}(1-Y_{2})\ln P(\varepsilon _{1}>-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}<-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})(1-Y_{2})\ln P(\varepsilon _{1}<-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}<-X_{2}\beta _{2}){\Big )}.\end{aligned}}}$

หลังจากเขียนใหม่เล็กน้อย ฟังก์ชันความน่าจะเป็นล็อกจะกลายเป็น:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum &{\Big (}Y_{1}Y_{2}\ln \Phi (X_{1}\beta _{1},X_{2}\beta _{2},\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})Y_{2}\ln \Phi (-X_{1}\beta _{1},X_{2}\beta _{2},-\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+Y_{1}(1-Y_{2})\ln \Phi (X_{1}\beta _{1},-X_{2}\beta _{2},-\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})(1-Y_{2})\ln \Phi (-X_{1}\beta _{1},-X_{2}\beta _{2},\rho ){\Big )}.\end{aligned}}}$

โปรดทราบว่าคือฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจายปกติแบบสองตัวแปรและในฟังก์ชันลอการิทึมความน่าจะเป็น ตัวแปรที่สังเกตได้จะมีค่าเท่ากับหนึ่งหรือศูนย์ ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$

ในกรณีทั่วไปที่เราสามารถพิจารณาได้ทั้งในฐานะตัวเลือกและในฐานะบุคคลหรือการสังเกต ความน่าจะเป็นของการสังเกตเห็นตัวเลือกคือ ${\displaystyle \mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{j}),\ (i=1,...,N)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {y_{i}} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=&\int _{A_{J}}\cdots \int _{A_{1}}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )dy_{1}^{*}\dots dy_{J}^{*}\\\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=&\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}\end{aligned}}}$

ที่ไหนและ ${\displaystyle A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}}$

${\displaystyle A_{j}={\begin{cases}(-\infty ,0]&y_{j}=0\\(0,\infty )&y_{j}=1\end{cases}}}$

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นล็อกในกรณีนี้จะเป็นดังนี้ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\log \Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )}$

ยกเว้นโดยทั่วไปแล้วจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิดสำหรับอินทิกรัลในสมการลอการิทึมความน่าจะเป็น แต่สามารถใช้วิธีการจำลองเพื่อจำลองความน่าจะเป็นของการเลือกได้ วิธีการที่ใช้การสุ่มตัวอย่างแบบสำคัญ ได้แก่^อัลกอริทึม GHK [ ^{3 ]} AR (ยอมรับ-ปฏิเสธ) วิธีของ Stern นอกจากนี้ยังมีวิธีการ MCMC สำหรับปัญหานี้ ได้แก่ CRB (วิธีของ Chib พร้อมRao–Blackwellization ) CRT (Chib, Ritter, Tanner) ARK (เคอร์เนลยอมรับ-ปฏิเสธ) และ ASK (เคอร์เนลการสุ่มตัวอย่างแบบปรับตัว) ^{[ 4 ]}วิธีการแปรผันที่ปรับขนาดสำหรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ได้รับการเสนอใน Probit-LMM ^{[ 5 ]}${\displaystyle J\leq 2}$

แบบจำลอง Probit หลายตัวแปรได้รับการนำไปใช้เพื่อวิเคราะห์การเลือกของผู้บริโภคของหลายแบรนด์พร้อมกัน ได้มีการแสดงให้เห็นว่าแบบจำลอง Probit หลายตัวแปรขยายขอบเขตความเป็นไปได้ในการวิจัยในด้านความต้องการโดยการผ่อนคลายข้อสมมติฐานที่เข้มงวดของทางเลือกที่แยกจากกันโดยสิ้นเชิง ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของวิธีการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องหลายตัวเลือก^{[ 6 ]}

• กรีน, วิลเลียม เอช. (2012). "แบบจำลองโพรบิตแบบสองตัวแปรและหลายตัวแปร" การวิเคราะห์ทางเศรษฐมิติ (ฉบับที่เจ็ด). เพรนติส-ฮอลล์. หน้า  778–799 . ISBN 978-0-13-139538-1.