เลนส์เป็น อุปกรณ์ ทางแสง แบบโปร่งแสง ที่รวมหรือกระจายลำแสงโดยอาศัยการหักเหเลนส์แบบธรรมดา ประกอบด้วย วัสดุโปร่งใสชิ้นเดียวในขณะที่เลนส์ประกอบประกอบด้วยเลนส์แบบธรรมดาหลายชิ้น ( องค์ประกอบ ) ซึ่งมักเรียงตัวอยู่ตามแกน ร่วมกัน เลนส์ทำจากวัสดุ เช่นแก้วหรือพลาสติกและถูกเจียรขัดเงาหรือขึ้นรูปให้ได้รูปทรงที่ต้องการ เลนส์สามารถรวมแสงเพื่อสร้างภาพได้ ต่างจากปริซึมซึ่งหักเหแสงโดยไม่รวมแสง อุปกรณ์ที่รวมหรือกระจายคลื่นและรังสีอื่นๆ นอกเหนือจากแสงที่มองเห็นได้ก็เรียกว่า "เลนส์" เช่นกัน เช่นเลนส์ไมโครเวฟ เลนส์ อิเล็กตรอนเลนส์อะคูสติกหรือเลนส์ ระเบิด

เลนส์ถูกนำมาใช้ในอุปกรณ์ถ่ายภาพต่างๆ เช่นกล้องโทรทัศน์กล้องส่องทางไกลและกล้องถ่ายรูปนอกจากนี้ยังใช้เป็นอุปกรณ์ช่วยในการมองเห็นในแว่นตาเพื่อแก้ไขความบกพร่องทางการมองเห็น เช่นสายตาสั้นและสายตา ยาว

คำว่าเลนส์มาจาก คำว่า lēnsซึ่งเป็นชื่อภาษาละตินของถั่วเลนทิล (เมล็ดของต้นถั่วเลนทิล) เนื่องจากเลนส์นูนสองด้านมีรูปร่างคล้ายถั่วเลนทิล นอกจากนี้ ถั่วเลนทิลยังเป็นที่มาของชื่อรูปทรงเรขาคณิตอีก ด้วย ^{[ a ]}

นักวิชาการบางคนโต้แย้งว่าหลักฐานทางโบราณคดีบ่งชี้ว่ามีการใช้เลนส์อย่างแพร่หลายในสมัยโบราณ ซึ่งกินเวลานานหลายพันปี^{[ 1 ]}นักวิชาการคนอื่นๆ โต้แย้งว่านอกจากจะใช้เป็นแว่นสำหรับเผาแล้ว 'เลนส์' โบราณส่วนใหญ่น่าจะใช้เพื่อการตกแต่งมากกว่าการใช้งาน^{[ 2 ]}

เลนส์นิมรุดเป็นสิ่งประดิษฐ์จากผลึกหินที่มีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งอาจใช้เป็นแว่นขยายหรือกระจกสำหรับเผาหรือไม่ก็ได้^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}บางคนเสนอว่าอักษรภาพอียิปต์ บางตัว แสดงถึง "เลนส์แก้วรูปพระจันทร์เสี้ยวแบบง่ายๆ" ^{[ 6 ]}

การอ้างอิงที่เก่าแก่ที่สุดที่แน่นอนเกี่ยวกับการใช้เลนส์เป็นกระจกเผาไหม้มาจาก บทละครเรื่อง The Cloudsของอริสโตฟาเนส (424 ปีก่อนคริสตกาล) ^{[ 7 ]}

พลินีผู้เฒ่า (ศตวรรษที่ 1) ยืนยันว่ากระจกเผาไหม้เป็นที่รู้จักในสมัยโรมัน^{[ 8 ]} พลินีอาจหมายถึงการใช้เลนส์แก้ไขสายตาเมื่อเขากล่าวถึงว่าเนโรดู การแข่งขัน กลาดิเอเตอร์โดยใช้มรกต (อาจเป็นแบบเว้าเพื่อแก้ไขสายตาสั้นแม้ว่าการอ้างอิงจะสับสนและการตีความนี้ถูกโต้แย้งก็ตาม) ^{[ 9 ] [ 10 ]}

ในหนังสือ Naturales quaestiones ของเขาเซเนกาผู้เยาว์ (3 ปีก่อนคริสต์ศักราช–65 คริสต์ศักราช) เขียนว่า “สำหรับผู้ที่มองผ่านน้ำ ทุกสิ่งจะดูใหญ่ขึ้นมาก ตัวอักษร แม้จะเล็กและคลุมเครือ ก็จะดูใหญ่ขึ้นและชัดเจนขึ้นเมื่อมองผ่านทรงกลมแก้วที่เต็มไปด้วยน้ำ ผลไม้จะดูมีรูปร่างสวยงามกว่าที่เป็นจริง หากมันลอยอยู่ในแก้ว” ^{[ 11 ]}

ปโตเลมี (ศตวรรษที่ 2) เขียนหนังสือเกี่ยวกับทัศนศาสตร์ซึ่งอย่างไรก็ตาม ปัจจุบันเหลือรอดมาเพียงฉบับแปลภาษาละตินจากฉบับแปลภาษาอาหรับที่ไม่สมบูรณ์และแย่มาก อย่างไรก็ตาม หนังสือเล่มนี้ได้รับการยอมรับจากนักวิชาการในยุคกลางในโลกอิสลาม และได้รับการวิเคราะห์โดยอิบนุ ซาห์ล (ศตวรรษที่ 10) ซึ่งต่อมาได้รับการปรับปรุงโดยอัลฮาเซน ( หนังสือทัศนศาสตร์ศตวรรษที่ 11) ฉบับแปลภาษาอาหรับของหนังสือทัศนศาสตร์ ของปโตเล มีได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในศตวรรษที่ 12 ( ยูจีนิอุสแห่งปาแลร์โม ค.ศ. 1154)

ระหว่างศตวรรษที่ 11 ถึง 13 มีการใช้ " หินอ่านหนังสือ " ซึ่งเป็นเลนส์นูนระนาบแบบดั้งเดิมที่ทำขึ้นโดยการตัดทรงกลมแก้วออกเป็นครึ่งเลนส์วิสบี คริสตัลหินในยุคกลาง (ศตวรรษที่ 11 หรือ 12) อาจมีจุดประสงค์เพื่อใช้เป็นกระจกสำหรับเผาหรือไม่ก็ได้^{[ 12 ]}

แว่นตาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อปรับปรุง "หินอ่านหนังสือ" ในยุคกลางตอนปลายในอิตาลีตอนเหนือในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 13 ^{[ 13 ]}นี่คือจุดเริ่มต้นของอุตสาหกรรมเลนส์สำหรับการเจียรและขัดเลนส์สำหรับแว่นตา โดยเริ่มแรกในเวนิสและฟลอเรนซ์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 13 ^{[ 14 ]}และต่อมาในศูนย์การผลิตแว่นตาในเนเธอร์แลนด์และเยอรมนี^{[ 15} ] ผู้ผลิตแว่นตาได้สร้างเลนส์ชนิดปรับปรุงสำหรับการแก้ไขสายตาโดยอาศัยความรู้เชิงประจักษ์ที่ได้จากการสังเกตผลของเลนส์ (โดยอาจไม่มีความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีทางแสงขั้นพื้นฐานในสมัยนั้น) ^{[ 16 ] [ 17 ]}การพัฒนาและการทดลองในทางปฏิบัติเกี่ยวกับเลนส์นำไปสู่การประดิษฐ์กล้องจุลทรรศน์ แบบผสม ^แสงประมาณปี 1595 และกล้องโทรทรรศน์แบบหักเหแสง^ในปี 1608 ซึ่งทั้งสองอย่างปรากฏขึ้นในศูนย์การผลิตแว่นตาในเนเธอร์แลนด์^{[ 18 ]} [ ^{19 ]}

ด้วยการประดิษฐ์กล้องโทรทรรศน์และกล้องจุลทรรศน์ ทำให้มีการทดลองเกี่ยวกับรูปทรงของเลนส์มากมายในช่วงศตวรรษที่ 17 และต้นศตวรรษที่ 18 โดยผู้ที่พยายามแก้ไขข้อผิดพลาดทางสีที่พบในเลนส์ นักทัศนศาสตร์พยายามสร้างเลนส์ที่มีรูปทรงความโค้งที่แตกต่างกัน โดยเข้าใจผิดว่าข้อผิดพลาดเกิดจากข้อบกพร่องในรูปทรงทรงกลมของพื้นผิว^{[ 20 ]}ทฤษฎีทางแสงเกี่ยวกับการหักเหและการทดลองแสดงให้เห็นว่าไม่มีเลนส์องค์ประกอบเดียวใดที่สามารถทำให้สีทั้งหมดมารวมกันได้ สิ่งนี้นำไปสู่การประดิษฐ์เลนส์อะโครมาติก แบบผสม โดยเชสเตอร์ มัวร์ ฮอลล์ในอังกฤษ ในปี 1733 ซึ่งเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่อ้างสิทธิ์โดย จอห์น ดอลลอนด์ชาวอังกฤษอีกคนหนึ่งในปี 1758

การพัฒนาการค้าข้ามมหาสมุทรแอตแลนติกเป็นแรงผลักดันให้เกิดการสร้างประภาคารสมัยใหม่ในศตวรรษที่ 18 ซึ่งใช้การผสมผสานระหว่างเส้นสายตาที่สูงขึ้น แหล่งกำเนิดแสง และเลนส์เพื่อช่วยในการนำทางข้ามทะเล ด้วยระยะการมองเห็นสูงสุดที่จำเป็นในประภาคาร เลนส์นูนแบบดั้งเดิมจะต้องมีขนาดใหญ่มาก ซึ่งจะส่งผลเสียต่อการพัฒนาประภาคารในแง่ของต้นทุน การออกแบบ และการใช้งาน เลนส์เฟรสเนลได้รับการพัฒนาขึ้นโดยคำนึงถึงข้อจำกัดเหล่านี้ โดยใช้วัสดุน้อยลงผ่านการแบ่งส่วนเป็นวงแหวนแบบศูนย์กลาง เลนส์เฟรสเนลถูกนำมาใช้ในประภาคารอย่างเต็มรูปแบบเป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2366 ^{[ 21 ]}

เลนส์ส่วนใหญ่เป็นเลนส์ทรงกลม : พื้นผิวทั้งสองของเลนส์เป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวทรงกลม แต่ละพื้นผิวอาจเป็นนูน (โป่งออกด้านนอกของเลนส์) เว้า (ยุบเข้าไปในเลนส์) หรือแบนราบเส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ประกอบเป็นพื้นผิวเลนส์เรียกว่าแกนของเลนส์ โดยทั่วไปแกนของเลนส์จะผ่านจุดศูนย์กลางทางกายภาพของเลนส์ เนื่องจากวิธีการผลิต เลนส์อาจถูกตัดหรือเจียรหลังจากผลิตเพื่อให้ได้รูปทรงหรือขนาดที่แตกต่างกัน ในกรณีนั้นแกนของเลนส์อาจไม่ผ่านจุดศูนย์กลางทางกายภาพของเลนส์

เลนส์ ทรงกระบอกหรือเลนส์ทรงกลมมีพื้นผิวที่มีรัศมีโค้งสองค่าที่แตกต่างกันในระนาบตั้งฉากสองระนาบ ทำให้มีกำลังโฟกัส ที่แตกต่างกัน ในแนวแกนที่ต่างกัน ซึ่งก่อให้เกิด เลนส์สำหรับ แก้ไขสายตาเอียงตัวอย่างเช่น เลนส์แว่นตาที่ใช้แก้ไขสายตาเอียงในดวงตาของผู้คน

เลนส์ถูกจำแนกตามความโค้งของพื้นผิวทางแสงทั้งสองด้าน เลนส์เรียกว่าเลนส์นูนสอง ด้าน (หรือเลนส์นูน)ถ้าพื้นผิวทั้งสองด้านเป็นนูนถ้าพื้นผิวทั้งสองด้านมีรัศมีความโค้งเท่ากัน เลนส์นั้นเรียกว่าเลนส์นูนเท่ากันเลนส์ที่มีพื้นผิวเว้า สองด้านเรียกว่า เลนส์เว้า สองด้าน (หรือเลนส์เว้า ) ถ้าพื้นผิวด้านหนึ่งแบนราบ เลนส์นั้นเรียกว่าเลนส์นูนระนาบหรือเลนส์เว้าระนาบขึ้นอยู่กับความโค้งของพื้นผิวอีกด้านหนึ่ง เลนส์ที่มีด้านหนึ่งเป็นนูนและอีกด้านหนึ่งเป็นเว้าเรียกว่าเลนส์นูนเว้าหรือ เลนส์ เมนิสคัส เลนส์นูนเว้าเป็นเลนส์ที่ใช้กันทั่วไปในเลนส์แก้ไขสายตาเนื่องจากรูปทรงดังกล่าวช่วยลดความคลาดเคลื่อนบางอย่างได้

สำหรับเลนส์นูนสองด้านหรือเลนส์นูนระนาบในตัวกลางที่มีดัชนีหักเหต่ำ ลำแสง ขนานที่ผ่านเลนส์จะมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง ( จุดโฟกัส ) ด้านหลังเลนส์ ในกรณีนี้ เลนส์นั้นเรียกว่าเลนส์นูนหรือ เลนส์ รวม แสง สำหรับเลนส์บางในอากาศ ระยะห่างจากเลนส์ถึงจุดโฟกัสคือความยาวโฟกัสของเลนส์ ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์fในแผนภาพและสมการเลนส์ครึ่งทรงกลมแบบขยายเป็นเลนส์นูนระนาบชนิดพิเศษ ซึ่งพื้นผิวโค้งของเลนส์เป็นครึ่งทรงกลมเต็ม และเลนส์มีความหนามากกว่ารัศมีของความโค้งมาก

เลนส์นูนหนาอีกแบบหนึ่งที่เป็นกรณีสุดขั้วคือเลนส์ทรงกลมซึ่งมีรูปทรงกลมโดยสมบูรณ์ เมื่อใช้ในการถ่ายภาพแปลกใหม่ มักเรียกว่า "เลนส์บอล" เลนส์ทรงกลมมีข้อดีคือสามารถสะท้อนภาพได้รอบทิศทาง แต่สำหรับกระจกชนิดต่างๆ ส่วนใหญ่ จุดโฟกัสจะอยู่ใกล้กับพื้นผิวของทรงกลม เนื่องจากความโค้งของทรงกลมที่มากเกินไปเมื่อเทียบกับขนาดของเลนส์ความคลาดเคลื่อนทางแสงจึงแย่กว่าเลนส์บางมาก ยกเว้น ความ คลาดเคลื่อน สี

สำหรับเลนส์เว้าสองด้านหรือเลนส์เว้าระนาบในตัวกลางที่มีดัชนีหักเหต่ำ ลำแสงขนานที่ผ่านเลนส์จะกระจายออก (แผ่กระจาย) ดังนั้นเลนส์นี้จึงเรียกว่าเลนส์ลบหรือ เลนส์ กระจายแสง ลำแสงหลังจากผ่านเลนส์แล้ว จะดูเหมือนออกมาจากจุดใดจุดหนึ่งบนแกนด้านหน้าเลนส์ สำหรับเลนส์บางในอากาศ ระยะห่างจากจุดนี้ถึงเลนส์คือระยะโฟกัส แม้ว่าจะมีค่าเป็นลบเมื่อเทียบกับระยะโฟกัสของเลนส์รวมแสงก็ตาม

พฤติกรรมจะกลับกันเมื่อวางเลนส์ในตัวกลางที่มีดัชนีหักเหสูงกว่าวัสดุของเลนส์ ในกรณีนี้ เลนส์นูนสองด้านหรือเลนส์นูนระนาบจะทำให้แสงกระจายออก และเลนส์เว้าสองด้านหรือเลนส์เว้าระนาบจะทำให้แสงรวมเข้า

เลนส์นูนเว้า (เมนิสคัส) สามารถเป็นได้ทั้งแบบบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับความโค้งสัมพัทธ์ของพื้นผิวทั้งสองด้าน เลนส์ เมนิสคัสลบจะมีพื้นผิวด้านเว้าที่ชันกว่า (มีรัศมีสั้นกว่าพื้นผิวด้านนูน) และบางกว่าตรงกลางเมื่อเทียบกับขอบ ในทางกลับกัน เลนส์ เมนิสคัสบวกจะมีพื้นผิวด้านนูนที่ชันกว่า (มีรัศมีสั้นกว่าพื้นผิวด้านเว้า) และหนากว่าตรงกลางเมื่อเทียบกับขอบ

เลนส์บางในอุดมคติที่มีพื้นผิวสองด้านโค้งเท่ากัน (และมีเครื่องหมายเท่ากันด้วย) จะมีกำลังแสงเป็น ศูนย์ (เนื่องจากระยะโฟกัสจะกลายเป็นอนันต์ดังแสดงในสมการของผู้ผลิตเลนส์ ) ซึ่งหมายความว่ามันจะไม่รวมหรือกระจายแสง อย่างไรก็ตาม เลนส์จริงทุกชิ้นมีความหนาที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งทำให้เลนส์จริงที่มีพื้นผิวโค้งเหมือนกันจะมีค่ากำลังแสงเป็นบวกเล็กน้อย เพื่อให้ได้กำลังแสงเป็นศูนย์อย่างแท้จริง เลนส์เมนิสคัสจะต้องมีความโค้งที่ไม่เท่ากันเล็กน้อยเพื่อชดเชยผลกระทบของความหนาของเลนส์

สำหรับการหักเหเพียงครั้งเดียวสำหรับขอบเขตวงกลม ความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุและภาพในประมาณการพาราแอ็กเซียลจะได้รับจาก^{[ 22 ] [ 23 ]}

$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{2}}{v}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}$$

โดยที่Rคือรัศมีของพื้นผิวทรงกลม, n₂คือดัชนีหักเหของวัสดุพื้นผิว, n₁คือดัชนีหักเหของตัวกลาง (ตัวกลางอื่นที่ไม่ใช่วัสดุพื้นผิวทรงกลม), _{คือ ระยะห่าง ของ}วัตถุบนแกน (บนแกนแสง) จากเส้นตั้งฉากกับแกนไปยังจุดหักเหบนพื้นผิว (ซึ่งมีความสูงh ) และคือระยะห่างของภาพบนแกนจากเส้นนั้น เนื่องจากการประมาณแบบพาราแอ็กเซียลที่เส้นhอยู่ใกล้กับจุดยอดของพื้นผิวทรงกลมที่ตัดกับแกนแสงทางด้านซ้ายและจึงถือเป็นระยะห่างเทียบกับจุดยอดด้วย ${\textstyle u}$${\textstyle v}$${\textstyle u}$${\textstyle v}$

การเคลื่อนที่ไปทางขวาอนันต์จะนำไปสู่ระยะโฟกัสแรกหรือระยะโฟกัสวัตถุสำหรับพื้นผิวทรงกลม ในทำนองเดียวกันการเคลื่อนที่ไปทางซ้ายอนันต์จะนำไปสู่ระยะโฟกัสที่สองหรือระยะโฟกัสภาพ^{[ 24 ]}${\textstyle v}$${\textstyle f_{0}}$${\textstyle u}$${\displaystyle f_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&={\frac {n_{1}}{n_{2}-n_{1}}}R,\\f_{i}&={\frac {n_{2}}{n_{2}-n_{1}}}R\end{aligned}}}$$

การนำสมการนี้ไปใช้กับพื้นผิวทรงกลมทั้งสองของเลนส์ และประมาณความหนาของเลนส์ให้เป็นศูนย์ (ดังนั้นจึงเป็นเลนส์บาง) จะนำไปสู่สูตรของผู้ผลิตเลนส์

เมื่อนำกฎของสเนลล์ มาใช้ กับพื้นผิวทรงกลม${\displaystyle n_{1}\sin i=n_{2}\sin r\,.}$

นอกจากนี้ในแผนภาพและใช้การประมาณมุมเล็ก (การประมาณแบบพาราแอ็กเซียล) และตัดi , r และ θ ออก ไป$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(i-\theta )&={\frac {h}{u}}\\\tan(\theta -r)&={\frac {h}{v}}\\\sin \theta &={\frac {h}{R}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {n_{2}}{v}}+{\frac {n_{1}}{u}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}\,.}$$

ความยาวโฟกัส (ที่มีประสิทธิภาพ) ของเลนส์ทรงกลมในอากาศหรือสุญญากาศสำหรับรังสีพาราแอ็กเซียลสามารถคำนวณได้จากสมการของผู้ผลิตเลนส์ : ^{[ 25 ] [ 26 ]}${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\ f\ }}=\left(n-1\right)\left[\ {\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}+{\frac {\ \left(n-1\right)\ d~}{\ n\ R_{1}\ R_{2}\ }}\ \right]\ ,}$$ ที่ไหน

• ${\textstyle n}$คือดัชนีหักเหของวัสดุเลนส์
• ${\textstyle R_{1}}$คือ รัศมีของความโค้ง (ระบุเครื่องหมาย ดูด้านล่าง ) ของพื้นผิวเลนส์ที่อยู่ใกล้แหล่งกำเนิดแสงมากที่สุด
• ${\textstyle R_{2}}$คือรัศมีของความโค้งของพื้นผิวเลนส์ที่อยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดแสง และ
• ${\textstyle d}$คือความหนาของเลนส์ (ระยะทางตามแกนเลนส์ระหว่างจุดยอดสองจุดบนพื้นผิว )

ระยะโฟกัสสัมพันธ์กับระนาบหลักของเลนส์ และตำแหน่งของระนาบหลักและสัมพันธ์กับจุดยอดของเลนส์แต่ละอันจะกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้ โดยจะมีค่าเป็นบวกหากอยู่ทางขวาของจุดยอดนั้นๆ^{[ 26 ]}${\textstyle f}$${\textstyle h_{1}}$${\textstyle h_{2}}$

$${\displaystyle \ h_{1}=-\ {\frac {\ \left(n-1\right)f\ d~}{\ n\ R_{2}\ }}\ }$$$${\displaystyle \ h_{2}=-\ {\frac {\ \left(n-1\right)f\ d~}{\ n\ R_{1}\ }}\ }$$

ระยะโฟกัสจะเป็นค่าบวกสำหรับเลนส์รวมแสง และจะเป็นค่าลบสำหรับเลนส์กระจายแสงส่วนกลับของระยะโฟกัสคือกำลังแสงของเลนส์ ถ้าระยะโฟกัสมีหน่วยเป็นเมตร กำลังแสงจะมีหน่วยเป็นไดออปเตอร์ (ส่วนกลับของเมตร) ${\displaystyle f}$${\textstyle {\tfrac {1}{f}},}$

เลนส์จะมีระยะโฟกัสเท่ากันไม่ว่าแสงจะเดินทางจากด้านหลังไปด้านหน้าหรือจากด้านหน้าไปด้านหลัง แต่คุณสมบัติอื่นๆ ของเลนส์ เช่นความคลาดเคลื่อนของแสงจะไม่เหมือนกันในทั้งสองทิศทาง

เครื่องหมายของรัศมีความโค้งของเลนส์บ่งชี้ว่าพื้นผิวที่เกี่ยวข้องเป็นนูนหรือเว้าข้อกำหนดเครื่องหมายที่ใช้ในการแสดงสิ่งนี้แตกต่างกันไป^{[ 27 ]}แต่ในบทความนี้R ที่เป็นบวก แสดงว่าจุดศูนย์กลางความโค้งของพื้นผิวอยู่ไกลออกไปในทิศทางการเดินทางของรังสี (ขวา ในแผนภาพประกอบ) ในขณะที่R ที่เป็นลบหมายความว่ารังสีที่ไปถึงพื้นผิวได้ผ่านจุดศูนย์กลางความโค้งไปแล้ว ดังนั้น สำหรับพื้นผิวเลนส์ภายนอกดังที่แสดงในแผนภาพข้างต้นR ₁ > 0และR ₂ < 0บ่งชี้ว่าเป็น พื้นผิว นูน (ใช้ในการรวมแสงในเลนส์บวก) ในขณะที่R ₁ < 0และR ₂ > 0บ่งชี้ว่า เป็นพื้นผิว เว้าส่วนกลับของรัศมีความโค้งเรียกว่าความโค้งพื้นผิวเรียบมีความโค้งเป็นศูนย์ และรัศมีความโค้งของมันเป็น อนันต์

ในบทความนี้ใช้หลักการนี้ หลักการอื่นๆ เช่นหลักการกำหนดเครื่องหมายแบบคาร์ทีเซียนจะทำให้รูปแบบของสมการเปลี่ยนแปลงไป

ถ้าd มีขนาดเล็ก เมื่อเทียบกับR ₁และR _{2 การประมาณ} เลนส์บางสามารถทำได้ สำหรับเลนส์ในอากาศf จะกำหนดโดย^{[ 29 ]}

$${\displaystyle \ {\frac {1}{\ f\ }}\approx \left(n-1\right)\left[\ {\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\ \right]~.}$$

สมการเลนส์บางทรงกลมในการประมาณแบบพาราแอ็กเซียลได้มาจากรูปด้านขวา^{[ 29 ]}พื้นผิวเลนส์ทรงกลมแรก (ซึ่งตัดกับแกนแสงที่จุดยอด) จะสร้างภาพวัตถุจุดO บนแกน ไปยังภาพเสมือนI ' ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยสมการต่อไปนี้สำหรับการสร้างภาพโดยพื้นผิวเลนส์ที่สอง ( I ' เป็นวัตถุสำหรับการสร้างภาพนี้) โดยใช้ข้อกำหนดเครื่องหมายข้างต้นและการเพิ่มสมการทั้งสองนี้จะได้สำหรับการประมาณเลนส์บางซึ่งพจน์ที่ 2 ของ RHS (ด้านขวามือ) หายไป ดังนั้น ${\textstyle V_{1}}$$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{\ u\ }}+{\frac {\ n_{2}\ }{\ v'\ }}={\frac {\ n_{2}-n_{1}\ }{\ R_{1}\ }}~.}$$${\textstyle u'=-v'+d}$$${\displaystyle \ {\frac {n_{2}}{\ -v'+d\ }}+{\frac {\ n_{1}\ }{\ v\ }}={\frac {\ n_{1}-n_{2}\ }{\ R_{2}\ }}~.}$$$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{u}}+{\frac {\ n_{1}\ }{v}}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)+{\frac {\ n_{2}\ d\ }{\ \left(\ v'-d\ \right)\ v'\ }}~.}$$${\displaystyle d\rightarrow 0,}$

$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{u}}+{\frac {\ n_{1}\ }{v}}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)~.}$$

ระยะโฟกัสของเลนส์บางหาได้จากการจำกัด${\displaystyle f}$${\displaystyle u\rightarrow -\infty ,}$

$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{\ f\ }}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\rightarrow {\frac {1}{\ f\ }}=\left({\frac {\ n_{2}\ }{\ n_{1}\ }}-1\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)~.}$$

ดังนั้น สมการเลนส์บางแบบเกาส์เซียนคือ

$${\displaystyle \ {\frac {1}{\ u\ }}+{\frac {1}{\ v\ }}={\frac {1}{\ f\ }}~.}$$

สำหรับเลนส์บางในอากาศหรือสุญญากาศ ซึ่งสามารถสมมติได้จะกลายเป็น ${\textstyle n_{1}=1}$${\textstyle f}$

$${\displaystyle \ {\frac {1}{\ f\ }}=\left(n-1\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ }$$

โดยที่เลขห้อย 2 ใน 2 ถูกตัดออก ${\textstyle n_{2}}$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น เลนส์นูนหรือเลนส์รวมแสงในอากาศจะรวมลำแสงขนานที่เคลื่อนที่ไปตามแกนของเลนส์ไปยังจุดหนึ่ง (เรียกว่าจุดโฟกัส ) ที่ระยะfจากเลนส์ ในทางกลับกันแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดที่วางอยู่ที่จุดโฟกัสจะถูกแปลงเป็นลำแสงขนานโดยเลนส์ กรณีทั้งสองนี้เป็นตัวอย่างของ การสร้าง ภาพในเลนส์ ในกรณีแรก วัตถุที่ระยะอนันต์ (ซึ่งแสดงโดยลำแสงขนาน) จะถูกโฟกัสไปยังภาพที่จุดโฟกัสของเลนส์ ในกรณีหลัง วัตถุที่ระยะความยาวโฟกัสจากเลนส์จะถูกสร้างภาพที่ระยะอนันต์ ระนาบที่ตั้งฉากกับแกนของเลนส์ซึ่งอยู่ห่างจากเลนส์ เป็นระยะ f เรียกว่า ระนาบ โฟกัส

สำหรับรังสีพาราแอ็กเซียลหากระยะห่างจากวัตถุไปยังเลนส์บางทรง กลม (เลนส์ที่มีความหนาน้อยมาก) และจากเลนส์ไปยังภาพคือS ₁และS ₂ ตามลำดับ ระยะห่างเหล่านี้จะมีความสัมพันธ์กันตาม สูตรเลนส์บาง (เกาส์เซียน) ดังนี้: ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

$${\displaystyle {1 \over f}={1 \over S_{1}}+{1 \over S_{2}}\,.}$$

ภาพด้านขวาแสดงวิธีการหาภาพของจุดวัตถุโดยใช้รังสีสามเส้น เส้นแรกตกกระทบเลนส์ขนานและหักเหไปยังจุดโฟกัสที่สอง เส้นที่สองตัดผ่านศูนย์กลางทางแสงของเลนส์ (ดังนั้นทิศทางจึงไม่เปลี่ยนแปลง) และเส้นที่สามพุ่งไปยังจุดโฟกัสแรกและหักเหไปในทิศทางขนานกับแกนแสง นี่เป็นวิธีการติดตามรังสีแบบง่ายๆ ที่ใช้งานได้สะดวก รังสีสองเส้นจากสามเส้นก็เพียงพอที่จะระบุตำแหน่งของจุดภาพได้ โดยการเลื่อนวัตถุไปตามแกนแสง จะเห็นได้ว่ารังสีเส้นที่สองเป็นตัวกำหนดขนาดของภาพ ในขณะที่รังสีอื่นๆ ช่วยในการระบุตำแหน่งของภาพ

สมการเลนส์สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบ "นิวตัน" ได้เช่นกัน: ^{[ 28 ]}

$${\displaystyle f^{2}=x_{1}x_{2}\,,}$$

โดยที่และมีค่าเป็นบวกถ้าอยู่ทางซ้ายของจุดโฟกัสหน้าและมีค่าเป็นบวกถ้าอยู่ทางขวาของจุดโฟกัสหลังเนื่องจากมีค่าเป็นบวก จุดวัตถุและจุดภาพที่เกิดจากเลนส์จึงอยู่ตรงข้ามกันเสมอเมื่อเทียบกับจุดโฟกัสของแต่ละจุด ( และมีค่าเป็นบวกหรือลบก็ได้) ${\displaystyle x_{1}=S_{1}-f}$${\displaystyle x_{2}=S_{2}-f\,.}$${\textstyle x_{1}}$${\textstyle F_{1}}$${\textstyle x_{2}}$${\textstyle F_{2}}$${\textstyle f^{2}}$${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$

สมการเลนส์แบบนิวตันนี้สามารถหาได้โดยใช้ความคล้ายคลึงกันระหว่างสามเหลี่ยมP ₁ P _O1 F ₁และL ₃ L ₂ F ₁และความคล้ายคลึงกันอีกอย่างหนึ่งระหว่างสามเหลี่ยมL ₁ L ₂ F ₂และP ₂ P ₀₂ F ₂ในรูปด้านขวา ความคล้ายคลึงกันเหล่านี้ให้สมการต่อไปนี้ และเมื่อรวมผลลัพธ์เหล่านี้เข้าด้วยกันจะได้สมการเลนส์แบบนิวตัน

$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{f}}\\{\frac {y_{1}}{f}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{x_{2}}}\end{array}}}$$

สมการข้างต้นยังใช้ได้กับเลนส์หนา (รวมถึงเลนส์ประกอบที่ทำจากเลนส์หลายชิ้น ซึ่งสามารถถือได้ว่าเป็นเลนส์หนา) ในอากาศหรือสุญญากาศ (ซึ่งดัชนีหักเหสามารถถือได้ว่าเป็น 1) ถ้า, , และสัมพันธ์กับระนาบหลักของเลนส์ ( คือความยาวโฟกัสที่มีประสิทธิภาพในกรณีนี้) ^{[ 26 ]}ทั้งนี้เนื่องจากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม เช่น กรณีเลนส์บางข้างต้น ความคล้ายคลึงกันระหว่างรูปสามเหลี่ยมP ₁ P _O1 F ₁และL ₃ H ₁ F ₁และความคล้ายคลึงกันอีกประการหนึ่งระหว่างรูปสามเหลี่ยมL ₁ ' H ₂ F ₂และP ₂ P ₀₂ F ₂ในรูปด้านขวา หากระยะทางS ₁หรือS ₂ผ่านตัวกลางอื่นที่ไม่ใช่อากาศหรือสุญญากาศ จะต้องมีการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนมากขึ้น ${\textstyle S_{1}}$${\textstyle S_{2}}$${\textstyle f}$${\textstyle f}$

ถ้าวางวัตถุไว้ที่ระยะS ₁ > fจากเลนส์นูนที่มีความยาวโฟกัสfเราจะได้ภาพที่ระยะS ₂ตามสูตรนี้ ถ้าวางจอรับภาพที่ระยะS ₂ตรงข้ามกับเลนส์ จะเกิดภาพบนจอรับภาพ ภาพชนิดนี้ซึ่งสามารถฉายลงบนจอรับภาพหรือเซ็นเซอร์รับภาพได้เรียกว่าภาพจริงนี่คือหลักการของกล้องถ่ายรูปและของดวงตาของมนุษย์ ด้วย โดยที่เรตินาทำหน้าที่เป็นเซ็นเซอร์รับภาพ

การปรับโฟกัสของกล้องจะปรับค่าS2เนื่องจากหากใช้ระยะภาพที่แตกต่างจากที่กำหนดโดยสูตรนี้ จะทำให้ ภาพของวัตถุที่ _อยู่ ห่าง จากกล้องเป็นระยะS1 _นั้นไม่ชัด (เบลอ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง การปรับค่า S2จะทำให้วัตถุที่อยู่ห่างจากกล้องเป็นระยะ S1 ที่แตกต่างกันนั้น_อยู่ใน_{โฟกัส}ที่สมบูรณ์แบบ

ในบางกรณี_ค่าS2จะเป็นลบ ซึ่งแสดงว่าภาพนั้นเกิดขึ้นที่ด้านตรงข้ามของเลนส์จากตำแหน่งที่พิจารณารังสีเหล่านั้น เนื่องจากรังสีแสงที่กระจายออกจากเลนส์ไม่เคยมารวมกันเป็นจุดโฟกัส และรังสีเหล่านั้นไม่ได้ปรากฏอยู่จริง ณ จุดที่ดูเหมือนจะก่อให้เกิดภาพ จึงเรียกว่าภาพเสมือนต่างจากภาพจริง ภาพเสมือนไม่สามารถฉายลงบนหน้าจอได้ แต่จะปรากฏต่อผู้สังเกตที่มองผ่านเลนส์ราวกับว่าเป็นวัตถุจริง ณ ตำแหน่งของภาพเสมือนนั้น ในทำนองเดียวกัน มันจะปรากฏต่อเลนส์ตัวถัดไปราวกับว่าเป็นวัตถุ ณ ตำแหน่งนั้น เพื่อให้เลนส์ตัวที่สองสามารถโฟกัสแสงนั้นให้เป็นภาพจริงได้อีกครั้ง โดยวัด _ค่าS1จากตำแหน่งภาพเสมือนด้านหลังเลนส์ตัวแรกไปยังเลนส์ตัวที่สอง นี่คือสิ่งที่ดวงตาทำเมื่อมองผ่านแว่นขยาย แว่นขยายสร้างภาพเสมือน (ขยาย) ขึ้นด้านหลังแว่นขยาย แต่รังสีเหล่านั้นจะถูกสร้างขึ้นใหม่โดยเลนส์ ของดวงตาเพื่อสร้างภาพจริงบนเรตินา

เลนส์เนกาทีฟสร้างภาพเสมือนที่มีขนาดเล็กลง

เลนส์บาร์โลว์ (B) แปลงภาพเสมือน (จุดโฟกัสของเส้นทางรังสีสีแดง) ให้เป็นภาพจริงที่ขยายใหญ่ขึ้น (รังสีสีเขียวที่จุดโฟกัส)

เมื่อใช้เลนส์บวกที่มีความยาวโฟกัสfจะเกิดภาพเสมือนเมื่อS ₁ < fซึ่งเลนส์จึงทำหน้าที่เหมือนแว่นขยาย (ต่างจากกรณีที่S ₁ ≫ fเหมือนกล้องถ่ายรูป) การใช้เลนส์ลบ ( f < 0 ) กับวัตถุจริง ( S ₁ > 0 ) จะสร้างได้เพียงภาพเสมือน ( S ₂ < 0 ) ตามสูตรข้างต้น นอกจากนี้ ระยะห่างของวัตถุS ₁อาจเป็นค่าลบได้ ซึ่งในกรณีนี้เลนส์จะมองเห็นสิ่งที่เรียกว่าวัตถุเสมือน เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อเลนส์ถูกวางไว้ในลำแสงที่กำลังรวมแสง (โดยโฟกัสผ่านเลนส์ตัวก่อนหน้า) ก่อนถึงตำแหน่งของภาพจริง ในกรณีนั้น แม้แต่เลนส์ลบก็สามารถฉายภาพจริงได้ เช่นเดียวกับเลนส์บาร์โลว์

สำหรับเลนส์ที่มีความยาวโฟกัส_f ระยะห่างต่ำสุดระหว่างวัตถุกับภาพจริงคือ 4f ( S₁ = S₂ = 2f ₎ ซึ่ง_ได้มาจากการกำหนดให้L = S₁ + S₂โดยแสดง_S₂ในรูปของ_S₁ ด้วยสมการเลนส์ (หรือแสดงS₁ในรูปของS₂) และกำหนดให้ค่าอนุพันธ์ของ L เทียบกับ S₁ (หรือ S₂) เท่ากับศูนย์ (โปรดทราบว่า L ไม่มีค่าจำกัดใน_การเพิ่ม_{ขึ้นดังนั้น}ค่าสุด_ขั้วของ มัน จึงเป็นเพียงค่าต่ำสุดที่ค่าอนุพันธ์ของL _{เท่ากับ}ศูนย์)

ภาพจริงของหลอดไฟถูกฉายลงบนจอ (กลับหัว) สามารถมองเห็นแสงสะท้อนของหลอดไฟจากทั้งสองด้านของเลนส์นูนสองด้านได้

เลนส์นูน ( f ≪ S1 ₎จะสร้างภาพจริงกลับหัว (เช่นเดียวกับภาพที่เกิดจากเลนส์วัตถุของกล้องโทรทรรศน์หรือกล้องส่องทางไกล) แทนที่จะเป็นภาพเสมือนตั้งตรงอย่างที่เห็นในแว่นขยาย ( f > S1 ) ภาพจริง นี้ ยังสามารถมองเห็นได้เมื่อนำไปฉายบนจอภาพ_ด้วย

กำลังขยายเชิงเส้นของระบบการถ่ายภาพโดยใช้เลนส์เดี่ยวคำนวณได้จากสูตร

$${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}\ =-{\frac {f}{x_{1}}}}$$

โดยที่Mคือปัจจัยการขยาย ซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของขนาดภาพต่อขนาดของวัตถุ ข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมายระบุว่า ถ้าMเป็นค่าลบ เช่นเดียวกับภาพจริง ภาพจะกลับหัวเมื่อเทียบกับวัตถุ ส่วนภาพเสมือนนั้นMจะเป็นค่าบวก ดังนั้นภาพจะตั้งตรง

สูตรการขยายภาพนี้ให้วิธีง่ายๆ สองวิธีในการแยกแยะเลนส์รวมแสง ( f > 0 ) และเลนส์กระจายแสง ( f < 0 ): สำหรับวัตถุที่อยู่ใกล้เลนส์มาก ( 0 < S1 < | f | ) เลนส์รวมแสงจะสร้างภาพเสมือนที่ขยายใหญ่ขึ้น ในขณะที่เลนส์กระจายแสงจะสร้างภาพที่ลดขนาดลง (เล็กลง) สำหรับวัตถุที่อยู่ไกลเลนส์มาก ( _S1 > _| f | > 0 ) เลนส์รวมแสงจะสร้างภาพกลับหัว ในขณะที่เลนส์กระจายแสงจะสร้างภาพตั้งตรง

กำลังขยายเชิงเส้นMไม่ใช่มาตรวัดกำลังขยายที่เหมาะสมที่สุดเสมอไป ตัวอย่างเช่น เมื่อกล่าวถึงคุณสมบัติของกล้องโทรทรรศน์หรือกล้องส่องทางไกลที่สร้างภาพเสมือนเท่านั้น เราควรพิจารณาถึงกำลังขยายเชิงมุม มากกว่า ซึ่งแสดงให้เห็นว่าวัตถุที่อยู่ไกลนั้นปรากฏใหญ่ขึ้นเท่าใดเมื่อมองผ่านกล้องโทรทรรศน์เมื่อเทียบกับการมองด้วยตาเปล่า ในกรณีของกล้องถ่ายรูป เราควรระบุมาตราส่วนภาพซึ่งเปรียบเทียบขนาดที่ปรากฏ (เชิงมุม) ของวัตถุที่อยู่ไกลกับขนาดของภาพจริงที่เกิดขึ้นที่จุดโฟกัส มาตราส่วนภาพคือส่วนกลับของความยาวโฟกัสของเลนส์กล้อง เลนส์จะถูกแบ่งออกเป็นเลนส์โฟกัสยาวหรือเลนส์มุมกว้างตามความยาวโฟกัสของมัน

การใช้หน่วยวัดกำลังขยายที่ไม่เหมาะสม อาจถูกต้องตามหลักการ แต่ให้ค่าตัวเลขที่ไม่มีความหมาย ตัวอย่างเช่น การใช้แว่นขยายที่มีกำลังขยาย 1.5 ขึ้นไประยะโฟกัส5 ซม. (ขณะถือกล้อง)ห่างจากดวงตา20 เซนติเมตร และเมื่ออยู่ห่างจากวัตถุ 5 ซม.จะสร้างภาพเสมือนที่ระยะอนันต์ที่มีขนาดเชิงเส้นอนันต์: M = ∞แต่กำลังขยายเชิงมุมคือ 5 หมายความว่าวัตถุจะปรากฏใหญ่ขึ้น 5 เท่าเมื่อมองด้วยตาเปล่าเมื่อเทียบกับการไม่ผ่านเลนส์ เมื่อถ่ายภาพดวงจันทร์โดยใช้กล้องที่มีเลนส์ชนิดนี้เลนส์ ขนาด 50 มม.ไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงกำลังขยายเชิงเส้นM ≈−50 มม . /380,000 กม  . =−1.3 × 10 ⁻¹⁰ที่จริงแล้ว มาตราส่วนของแผ่นภาพของกล้องนั้นอยู่ที่ประมาณ1°/มม.จากนั้นจึงสรุปได้ว่าภาพขนาด 0.5 มม.บนฟิล์มจะสอดคล้องกับขนาดเชิงมุมของดวงจันทร์ที่มองเห็นจากโลกประมาณ 0.5°

ในกรณีสุดขั้วที่วัตถุอยู่ห่างออกไปเป็นระยะอนันต์S ₁ = ∞ , S ₂ = fและM = − f /∞ = 0ซึ่งแสดงว่าวัตถุจะถูกฉายภาพไปยังจุดเดียวในระนาบโฟกัส ในความเป็นจริง เส้นผ่านศูนย์กลางของจุดที่ฉายภาพนั้นไม่ใช่ศูนย์ เนื่องจากปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนกำหนดขีดจำกัดล่างของขนาดฟังก์ชันการกระจายจุดซึ่งเรียกว่าขีดจำกัดการเลี้ยวเบน

ภาพของวัตถุจริงที่สร้างขึ้นโดยเลนส์บาง^{[ 28 ]}

ประเภทเลนส์	ตำแหน่งของวัตถุ	ประเภทภาพ	ตำแหน่งรูปภาพ	การวางแนวภาพด้านข้าง	การขยายภาพ	หมายเหตุ
เลนส์นูน[ b ]	${\displaystyle \infty >S_{1}>2f}$	จริง[ค]	${\displaystyle f<S_{2}<2f}$	กลับหัว[ d ]	ลดลง
เลนส์นูน	${\displaystyle S_{1}=2f}$	จริง	${\displaystyle S_{2}=2f}$	กลับหัว	ขนาดเท่ากัน
เลนส์นูน	${\displaystyle f<S_{1}<2f}$	จริง	${\displaystyle \infty >S_{2}>2f}$	กลับหัว	ขยายภาพ
เลนส์นูน	${\displaystyle S_{1}=f}$		${\displaystyle \pm \infty }$
เลนส์นูน	${\displaystyle S_{1}<f}$	เสมือน[ e ]	${\displaystyle \vert S_{2}\vert >S_{1}}$	ตั้งตรง[ f ]	ขยายภาพ	เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เข้าใกล้เลนส์ ภาพเสมือนจะเข้าใกล้เลนส์มากขึ้น และขนาดของภาพจะเล็ลง
เลนส์กระจายแสง[ g ]	ทุกที่	เสมือน	${\displaystyle \vert S_{2}\vert <\vert f\vert ,S_{1}>\vert S_{2}\vert }$	ตั้งตรง	ลดลง	เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เข้าใกล้เลนส์ ภาพเสมือนจะเข้าใกล้เลนส์มากขึ้น และขนาดของภาพจะใหญ่ขึ้น

เลนส์ไม่สามารถสร้างภาพที่สมบูรณ์แบบได้ และมักจะทำให้เกิดการบิดเบี้ยวหรือความคลาดเคลื่อน ในระดับหนึ่งเสมอ ซึ่งทำให้ภาพที่ได้เป็นเพียงภาพจำลองที่ไม่สมบูรณ์แบบของวัตถุ การออกแบบระบบเลนส์อย่างระมัดระวังสำหรับงานเฉพาะด้านจะช่วยลดความคลาดเคลื่อนเหล่านี้ได้ ความคลาดเคลื่อนหลายประเภทส่งผลต่อคุณภาพของภาพ รวมถึงความคลาดเคลื่อนทรงกลม ความคลาดเคลื่อนโคมา และความคลาดเคลื่อนสี

ความคลาดทรงกลมเกิดขึ้นเนื่องจากพื้นผิวทรงกลมไม่ใช่รูปทรงที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเลนส์ แต่เป็นรูปทรงที่ง่ายที่สุดที่สามารถเจียรและขัดเงา แก้ว ได้ จึงมักถูกนำมาใช้ ความคลาดทรงกลมทำให้ลำแสงที่ขนานกับแกนเลนส์ แต่ห่างออกไปด้านข้าง ถูกโฟกัสในตำแหน่งที่แตกต่างจากลำแสงที่อยู่ใกล้แกนเล็กน้อย ซึ่งปรากฏให้เห็นเป็นภาพที่เบลอ ความคลาดทรงกลมสามารถลดลงได้ด้วยรูปทรงเลนส์ปกติโดยการเลือกความโค้งของพื้นผิวอย่างระมัดระวังสำหรับการใช้งานเฉพาะ ตัวอย่างเช่น เลนส์นูนระนาบ ซึ่งใช้ในการโฟกัสลำแสงขนาน จะให้จุดโฟกัสที่คมชัดกว่าเมื่อใช้ด้านนูนหันเข้าหาแหล่งกำเนิดลำแสง

ความคลาดเคลื่อน แบบโคมาหรือความคลาดเคลื่อนแบบโคมาติกได้ชื่อมาจากลักษณะภาพที่คลาดเคลื่อนคล้ายดาวหาง ความคลาดเคลื่อนแบบโคมาเกิดขึ้นเมื่อวัตถุที่อยู่นอกแกนแสงของเลนส์ถูกสร้างภาพ โดยที่รังสีผ่านเลนส์ทำมุม θกับแกน รังสีที่ผ่านศูนย์กลางของเลนส์ที่มีความยาวโฟกัสfจะถูกโฟกัสที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากแกนเป็นระยะf tan θรังสีที่ผ่านขอบด้านนอกของเลนส์จะถูกโฟกัสที่จุดต่าง ๆ กัน ไม่ว่าจะเป็นจุดที่อยู่ห่างจากแกนมากขึ้น (โคมาบวก) หรือใกล้กับแกนมากขึ้น (โคมาลบ) โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มของรังสีขนานที่ผ่านเลนส์ที่ระยะห่างคงที่จากศูนย์กลางของเลนส์จะถูกโฟกัสเป็นภาพรูปวงแหวนในระนาบโฟกัส ซึ่งเรียกว่าวงกลมโคมาติก (ดูวงกลมแต่ละวงของภาพในรูปด้านล่าง) ผลรวมของวงกลมเหล่านี้ทั้งหมดจะทำให้เกิดแสงวาบรูปตัว V หรือคล้ายดาวหาง เช่นเดียวกับความคลาดเคลื่อนทรงกลม ความคลาดเคลื่อนโคมาสามารถลดลงได้ (และในบางกรณีอาจกำจัดได้) โดยการเลือกความโค้งของพื้นผิวเลนส์ทั้งสองให้เหมาะสมกับการใช้งาน เลนส์ที่ลดทั้งความคลาดเคลื่อนทรงกลมและความคลาดเคลื่อนโคมาให้เหลือน้อยที่สุดเรียกว่าเลนส์ เบสท์ฟอร์ม

ความคลาดเคลื่อนสีเกิดจากการกระจายตัวของวัสดุเลนส์ ซึ่งก็คือการเปลี่ยนแปลงของดัชนีหักเหnตามความยาวคลื่นของแสง เนื่องจากจากสูตรข้างต้น f ขึ้นอยู่กับnดังนั้นแสงที่มีความยาวคลื่นต่างกันจึงถูกโฟกัสที่ตำแหน่งต่างกัน ความคลาดเคลื่อนสีของเลนส์จะปรากฏเป็นแถบสีรอบภาพ สามารถลดความคลาดเคลื่อนสีได้โดยใช้เลนส์คู่แบบอะโครมาติก (หรืออะโครแมต ) ซึ่งวัสดุสองชนิดที่มีการกระจายตัวต่างกันถูกเชื่อมติดกันเพื่อสร้างเลนส์เดียว วิธีนี้ช่วยลดปริมาณความคลาดเคลื่อนสีในช่วงความยาวคลื่นหนึ่งได้ แม้ว่าจะไม่สามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์แบบ การใช้อะโครแมตเป็นขั้นตอนสำคัญในการพัฒนาไมโครสโคปแบบใช้แสง อะโพโครแมตเป็นเลนส์หรือระบบเลนส์ที่มีการแก้ไขความคลาดเคลื่อนสีได้ดียิ่งขึ้น ควบคู่ไปกับการแก้ไขความคลาดเคลื่อนทรงกลมที่ดีขึ้น อะโพโครแมตมีราคาแพงกว่าอะโครมาติกมาก

อาจมีการใช้วัสดุเลนส์ที่แตกต่างกันเพื่อลดความคลาดเคลื่อนของสี เช่น การเคลือบผิวแบบพิเศษ หรือเลนส์ที่ทำจากผลึกฟลูออไรต์สารที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติชนิดนี้มีค่า Abbe number สูงที่สุดเท่าที่ทราบ ซึ่งบ่งชี้ว่าวัสดุนี้มีการกระจายแสงต่ำ

ความคลาดเคลื่อนประเภทอื่นๆ ได้แก่ความโค้งของภาพ ความ บิดเบี้ยว แบบ บาร์เรลและพินคูชั่นและสายตาเอียง

แม้ว่าเลนส์จะได้รับการออกแบบมาเพื่อลดหรือขจัดความคลาดเคลื่อนที่กล่าวถึงข้างต้น คุณภาพของภาพก็ยังคงถูกจำกัดด้วยการเลี้ยวเบนของแสงที่ผ่านรูรับ แสงที่จำกัดของเลนส์ เลนส์ที่จำกัดด้วยการเลี้ยวเบนคือเลนส์ที่ลดความคลาดเคลื่อนลงจนถึงจุดที่คุณภาพของภาพถูกจำกัดด้วยการเลี้ยวเบนเป็นหลักภายใต้เงื่อนไขการออกแบบ

เลนส์ธรรมดาจะเกิดความคลาดเคลื่อนทางแสงดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ในหลายกรณี ความคลาดเคลื่อนเหล่านี้สามารถชดเชยได้ในระดับมากโดยการใช้เลนส์ธรรมดาหลายตัวที่มีความคลาดเคลื่อนเสริมกันเลนส์ประกอบคือชุดของเลนส์ธรรมดาที่มีรูปร่างแตกต่างกันและทำจากวัสดุที่มีดัชนีหักเหต่างกัน เรียงต่อกันโดยมีแกนร่วมกัน

ในระบบเลนส์หลายตัว เราสามารถพิจารณาภาพที่สร้างโดยเลนส์ตัวแรกว่าเป็นวัตถุเสมือนสำหรับเลนส์ตัวถัดไป เลนส์ตัวนั้นจะสร้างภาพของวัตถุเสมือนนี้ และด้วยวิธีนี้ การสร้างภาพจะเรียงลำดับผ่านเลนส์จนกระทั่งภาพสุดท้ายถูกสร้างขึ้นโดยเลนส์ตัวสุดท้ายในระบบ^{[ 35 ] [ 36 ]}ดังที่แสดงไว้ข้างต้นสมการเลนส์เกาส์เซียนสำหรับเลนส์ทรงกลมนั้นได้มาโดยที่พื้นผิวที่ 2 ของเลนส์สร้างภาพจากพื้นผิวที่ 1 ของเลนส์ ตามตรรกะเดียวกัน ในการสร้างภาพด้วยเลนส์หลายตัว พื้นผิวที่ 3 ของเลนส์ (พื้นผิวด้านหน้าของเลนส์ตัวที่ 2) จะสร้างภาพจากพื้นผิวที่ 2 และพื้นผิวที่ 4 (พื้นผิวด้านหลังของเลนส์ตัวที่ 2) จะสร้างภาพจากพื้นผิวที่ 3 การเรียงลำดับการสร้างภาพโดยแต่ละพื้นผิวเลนส์นี้เป็นการยืนยันการเรียงลำดับการสร้างภาพโดยแต่ละเลนส์

สำหรับระบบเลนส์สองตัว ระยะวัตถุของแต่ละเลนส์สามารถแทนด้วยและและระยะภาพด้วย และ และ ตามลำดับถ้าเลนส์บาง แต่ละเลนส์จะสอดคล้องกับสูตรเลนส์บาง ${\textstyle s_{o1}}$${\textstyle s_{o2}}$${\textstyle s_{i1}}$${\textstyle s_{i2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{j}}}={\frac {1}{s_{oj}}}+{\frac {1}{s_{ij}}},}$$

ถ้าระยะห่างระหว่างเลนส์ทั้งสองคือแล้ว(เลนส์ตัวที่สองสร้างภาพของเลนส์ตัวแรก) ${\displaystyle d}$${\textstyle s_{o2}=d-s_{i1}}$

FFD (ระยะโฟกัสหน้า) ถูกกำหนดให้เป็นระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสหน้า (ซ้าย) ของระบบออปติกกับจุดยอดของพื้นผิวออปติกที่ใกล้ที่สุด^{[ 37 ]}หากวัตถุอยู่ที่จุดโฟกัสหน้าของระบบ ภาพที่สร้างโดยระบบจะอยู่ห่างออกไปทางขวาอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (กล่าวคือ รังสีแสงจากวัตถุจะถูกปรับให้เป็นแนวขนานหลังจากผ่านระบบ) เพื่อให้เป็นเช่นนั้น ภาพของเลนส์ตัวที่ 1 จะอยู่ที่จุดโฟกัสของเลนส์ตัวที่ 2 กล่าวคือดังนั้น สูตรเลนส์บางสำหรับเลนส์ตัวที่ 1 จึงกลายเป็น^{[ 38 ]}${\displaystyle s_{i1}=d-f_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{1}}}={\frac {1}{FFD}}+{\frac {1}{d-f_{2}}}\rightarrow FFD={\frac {f_{1}(d-f_{2})}{d-(f_{1}+f_{2})}}.}$$

ระยะโฟกัสหลัง (BFD) ถูกกำหนดในทำนองเดียวกันว่าเป็นระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสหลัง (ด้านขวา) ของระบบเลนส์กับจุดยอดของพื้นผิวเลนส์ที่ใกล้ที่สุด หากวัตถุอยู่ห่างจากระบบอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ทางด้านซ้าย) ภาพของวัตถุที่สร้างโดยระบบจะอยู่ที่จุดโฟกัสหลัง ในกรณีนี้ เลนส์ตัวแรกจะสร้างภาพวัตถุที่จุดโฟกัสของมัน ดังนั้น สูตรเลนส์บางสำหรับเลนส์ตัวที่สองจึงเป็นดังนี้

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{2}}}={\frac {1}{BFD}}+{\frac {1}{d-f_{1}}}\rightarrow BFD={\frac {f_{2}(d-f_{1})}{d-(f_{1}+f_{2})}}.}$$

กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อวางเลนส์บางๆ สัมผัสกัน ( ) ดังนั้น ความยาวโฟกัสรวมfของเลนส์จึงกำหนดโดย ${\displaystyle d=0}$${\displaystyle FFD=BFD=f}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}\,.}$$

เนื่องจาก1/ fคือกำลังของเลนส์ที่มีความยาวโฟกัสfจึงเห็นได้ว่ากำลังของเลนส์บางหลายตัวที่สัมผัสกันนั้นสามารถบวกกันได้ กรณีทั่วไปของเลนส์บางหลายตัวที่สัมผัสกันคือ

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{f_{k}}}}$$

จำนวนเลนส์อยู่ ที่ไหน${\textstyle N}$

ถ้าเลนส์บางสองชิ้นอยู่ห่างกันในอากาศเป็นระยะdระยะโฟกัสของระบบรวมจะกำหนดโดย $${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}-{\frac {d}{f_{1}f_{2}}}\,.}$$

เมื่อdเข้าใกล้ศูนย์ ความยาวโฟกัสของระบบจะเข้าใกล้ค่าfที่กำหนดสำหรับเลนส์บางที่สัมผัสกัน สามารถแสดงได้ว่าสูตรเดียวกันนี้ใช้ได้กับเลนส์หนาหากdถือเป็นระยะห่างระหว่างระนาบหลักของเลนส์^{[ 26 ]}

_ถ้าระยะห่างระหว่างเลนส์สองตัวเท่ากับผลรวมของความยาวโฟกัสของเลนส์ทั้งสอง ( _d = f₁ + f₂ )แล้ว FFD และ BFD จะเป็นอนันต์ ซึ่งสอดคล้องกับเลนส์คู่หนึ่งที่เปลี่ยนลำแสงขนาน (ลำแสงขนาน) ให้เป็นลำแสงขนานอีกอันหนึ่ง ระบบประเภทนี้เรียกว่าระบบไร้โฟกัส เนื่องจากไม่ทำให้ลำแสงลู่เข้าหรือลู่ออกสุทธิ เลนส์สองตัวที่ระยะห่างนี้ประกอบกันเป็น กล้องโทรทรรศน์แบบง่ายที่สุดแม้ว่าระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงการลู่ออกของลำแสงขนาน แต่ก็เปลี่ยนแปลงความกว้าง (ตามแนวขวาง) ของลำแสง กำลังขยายของกล้องโทรทรรศน์ดังกล่าวคำนวณได้จากสูตร

$${\displaystyle M=-{\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,,}$$

ซึ่งเป็นอัตราส่วนของความกว้างลำแสงขาออกต่อความกว้างลำแสงขาเข้า โปรดสังเกตข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมาย: กล้องโทรทรรศน์ที่มีเลนส์นูนสองตัว ( _{f1 >} 0 , f2 > 0 ) จะให้กำลังขยายเป็นลบ ซึ่งบ่งชี้ว่าภาพจะกลับหัว เลนส์นูนหนึ่งตัวและเลนส์เว้าหนึ่งตัว ( f1 _> 0 > f2 ) จะให้กำลังขยายเป็นบวกและภาพจะตั้งตรง สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับกล้องโทรทรรศน์แบบง่ายๆ โปรดดูที่กล้องโทรทรรศน์แบบหักเหแสง § การออกแบบกล้องโทรทรรศน์แบบ_{หักเห}แสง

เลนส์ทรงกระบอกมีความโค้งเพียงแกนเดียว ใช้สำหรับรวมแสงให้เป็นเส้นตรง หรือแปลงแสงรูปวงรีจากไดโอดเลเซอร์ ให้เป็นลำแสงกลม นอกจาก นี้ยังใช้ในเลนส์อนามอร์ฟิก สำหรับภาพยนตร์อีกด้วย

เลนส์แอสเฟอริกมีอย่างน้อยหนึ่งพื้นผิวที่ไม่เป็นทรงกลมหรือทรงกระบอก รูปทรงที่ซับซ้อนกว่านี้ทำให้เลนส์เหล่านี้สร้างภาพที่มีความคลาดเคลื่อน น้อย กว่าเลนส์ธรรมดาทั่วไป แต่ก็ผลิตได้ยากและมีราคาแพงกว่า ในอดีตการผลิตเลนส์เหล่านี้มีความซับซ้อนและมีราคาแพงมาก แต่ความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีได้ลดต้นทุนการผลิตเลนส์เหล่านี้ลงอย่างมาก

เลนส์เฟรสเนลมีพื้นผิวทางแสงที่แบ่งออกเป็นวงแหวนแคบๆ ทำให้เลนส์มีขนาดบางและเบากว่าเลนส์ทั่วไปมาก เลนส์เฟรสเนลที่ทนทานสามารถขึ้นรูปจากพลาสติกได้และมีราคาไม่แพง

เลนส์นูนเป็นอาร์เรย์ของเลนส์ขนาดเล็กที่ใช้ในการพิมพ์แบบนูนเพื่อสร้างภาพที่ให้ภาพลวงตาของความลึกหรือภาพที่เปลี่ยนแปลงไปเมื่อมองจากมุมต่างๆ

เลนส์สองโฟกัสมีระยะโฟกัสสองระยะขึ้นไป หรือระยะโฟกัสที่ไล่ระดับกัน ซึ่งถูกเจียระไนลงบนเลนส์

เลนส์ดัชนีหักเหแบบไล่ระดับมีพื้นผิวทางแสงเรียบ แต่มีการเปลี่ยนแปลงของดัชนีหักเหในแนวรัศมีหรือแนวแกน ซึ่งทำให้แสงที่ผ่านเลนส์ถูกโฟกัส

แอ็กซิคอนมี พื้นผิวออปติก รูปกรวยโดยจะสร้างภาพจุดกำเนิดให้เป็นเส้นตามแกนออปติกหรือแปลงลำแสงเลเซอร์ให้เป็นวงแหวน^{[ 39 ]}

องค์ประกอบทางแสงแบบเลี้ยวเบนสามารถทำหน้าที่เป็นเลนส์ได้

เลนส์พิเศษทำจากเมตาวัสดุที่มีดัชนีหักเหเป็นลบและอ้างว่าสามารถสร้างภาพที่มีความละเอียดเชิงพื้นที่เกินขีดจำกัดการเลี้ยวเบน [ ^{40 ] เลนส์}พิเศษตัวแรกถูกสร้างขึ้นในปี 2547 โดยใช้เมตาวัสดุ ดังกล่าว สำหรับคลื่นไมโครเวฟ^{[ 40 ]}นักวิจัยคนอื่นๆ ได้สร้างเวอร์ชันที่ได้รับการปรับปรุง^{[ 41 ] [ 42 ]}ณ ปี 2557 ยังไม่มีการสาธิตเลนส์พิเศษที่ความยาวคลื่นที่มองเห็นได้หรือใกล้อินฟราเรด^{[ 43 ]}

ต้นแบบเลนส์แบนบางเฉียบที่ไม่มีความโค้งได้รับการพัฒนาแล้ว^{[ 44 ]}

เลนส์นูนเดี่ยวที่ติดตั้งอยู่ในกรอบที่มีด้ามจับหรือขาตั้งคือ แว่นขยาย

เลนส์ใช้เป็นอุปกรณ์เทียมเพื่อแก้ไขความผิดปกติทางสายตาเช่นสายตาสั้นสายตายาว สายตา ผู้สูงอายุและสายตาเอียง (ดูเลนส์แก้ไขสายตาคอนแทคเลนส์แว่นตาเลนส์ฝังในตา ) เลนส์ส่วนใหญ่ที่ใช้เพื่อวัตถุประสงค์อื่น ๆ มีความสมมาตรตามแกน อย่างเคร่งครัด เลนส์แว่นตาจะมีความสมมาตรโดยประมาณเท่านั้น โดยปกติแล้วเลนส์แว่นตาจะมีรูปทรงที่พอดีกับกรอบแว่นทรงรี ไม่ใช่ทรงกลม จุดศูนย์กลางทางแสงจะอยู่เหนือลูกตาความโค้งของเลนส์อาจไม่สมมาตรตามแกนเพื่อแก้ไขสายตาเอียงเลนส์แว่นกันแดดได้รับการออกแบบมาเพื่อลดทอนแสง เลนส์แว่นกันแดดที่ช่วยแก้ไขความบกพร่องทางสายตาได้นั้นสามารถสั่งทำพิเศษได้

เลนส์ยังถูกนำไปใช้ในระบบสร้างภาพ เช่นกล้องส่องทางไกลกล้องส่องทางไกลแบบสองตากล้องโทรทัศน์ กล้องจุลทัศน์กล้องถ่ายรูปและเครื่องฉายภาพอุปกรณ์บางชนิดสร้างภาพเสมือนเมื่อมองด้วยตาเปล่า ในขณะที่บางชนิดสร้างภาพจริงที่สามารถบันทึกบนฟิล์มถ่ายภาพหรือเซ็นเซอร์รับภาพหรือสามารถดูได้บนหน้าจอ ในอุปกรณ์เหล่านี้ บางครั้งเลนส์จะถูกจับคู่กับกระจกโค้งเพื่อสร้างระบบแคตาไดออปทริกซึ่งความคลาดเคลื่อนทรงกลมของเลนส์จะแก้ไขความคลาดเคลื่อนตรงข้ามในกระจก (เช่น ตัวแก้ไขความคลาดเคลื่อนแบบ Schmidtและmeniscus )

เลนส์นูนสร้างภาพของวัตถุที่ระยะอนันต์ที่จุดโฟกัส หาก สร้างภาพ ดวงอาทิตย์แสงที่มองเห็นได้และแสงอินฟราเรดส่วนใหญ่ที่ตกกระทบเลนส์จะถูกรวมเข้าเป็นภาพขนาดเล็ก เลนส์ขนาดใหญ่สร้างความเข้มแสงมากพอที่จะเผาไหม้วัตถุที่ติดไฟได้ที่จุดโฟกัส เนื่องจากสามารถจุดไฟได้แม้กับเลนส์ที่ทำไม่ดี เลนส์จึงถูกใช้เป็นกระจกเผาไหม้มาอย่างน้อย 2400 ปีแล้ว^{[ 7 ]}การประยุกต์ใช้ในปัจจุบันคือการใช้เลนส์ขนาดค่อนข้างใหญ่เพื่อรวมพลังงานแสงอาทิตย์บนเซลล์แสงอาทิตย์ ขนาดค่อนข้างเล็ก เก็บเกี่ยวพลังงานได้มากขึ้นโดยไม่จำเป็นต้องใช้เซลล์ขนาดใหญ่และมีราคาแพงกว่า

ระบบ ดาราศาสตร์วิทยุและเรดาร์มักใช้เลนส์ไดอิเล็กทริกซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าเสาอากาศเลนส์เพื่อหักเหรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าไปยังเสาอากาศตัวรับรังสี

เลนส์อาจเกิดรอยขีดข่วนและสึกหรอได้มีสารเคลือบป้องกันการสึกหรอ เพื่อช่วยควบคุมปัญหานี้ ^{[ 45 ]}

• เฮชต์, ยูจีน (1987). ทัศนศาสตร์ (ฉบับที่ 2). แอดดิสัน เวสลีย์. ISBN 978-0-201-11609-0.บทที่ 5 และ 6
• เฮชต์, ยูจีน (2002). ทัศนศาสตร์ (ฉบับที่ 4). แอดดิสัน เวสลีย์. ISBN 978-0-321-18878-6.
• เกรเวนแคมป์, จอห์น อี. (2004). คู่มือภาคสนามเกี่ยวกับทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต . คู่มือภาคสนามของ SPIE เล่มที่FG01 . SPIE. ISBN 978-0-8194-5294-8.

วิกิมีเดียคอมมอน ส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเลนส์

• บทหนึ่งจากตำราเรียนออนไลน์เรื่องการหักเหของแสงและเลนส์เก็บถาวรเมื่อวันที่ 17 ธันวาคม 2552 ที่Wayback Machine
• เลนส์ทรงกลมบางเก็บถาวรเมื่อวันที่ 13 มีนาคม 2020 ที่ Wayback Machine (.pdf) บน Project PHYSNET เก็บถาวรเมื่อวันที่ 14 พฤษภาคม 2017 ที่Wayback Machine
• บทความเกี่ยวกับเลนส์ที่digitalartform.com
• Enoch, J. (2000). "เลนส์ที่รู้จักชิ้นแรกมีต้นกำเนิดในอียิปต์เมื่อประมาณ 4600 ปีที่แล้ว!" Hindsight . 31 (2): 9– 17. PMID  11624467 .
• วิดีโอแอนิเมชั่น FDTD แสดงการแพร่กระจายของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าผ่านเลนส์นูน (ทั้งในและนอกแกน)บนYouTube
• การใช้เลนส์ขยายในโลกยุคคลาสสิก(เก็บถาวรเมื่อวันที่ 13 พฤศจิกายน 2017 ที่Wayback Machine)
• เฮงเกอร์, ออตโต (1911) “เลนส์”  . สารานุกรมบริแทนนิกา . ฉบับที่ 16 (ฉบับที่ 11). หน้า  421–427 .(พร้อมภาพประกอบ 21 ภาพ)

• การเรียนรู้โดยใช้การจำลองสถานการณ์เก็บถาวรเมื่อวันที่ 21 มกราคม 2553 ที่Wayback Machine – เลนส์เว้าและเลนส์นูน
• OpticalRayTracer ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 6 ตุลาคม 2010 ในWayback Machine – โปรแกรมจำลองเลนส์แบบโอเพนซอร์ส (ดาวน์โหลดได้ในภาษา Java)
• ภาพเคลื่อนไหวสาธิตการใช้งานเลนส์เก็บถาวรเมื่อวันที่ 4 เมษายน 2555 ที่Wayback Machineโดย QED