จุดตั้งฉากของสามเหลี่ยมซึ่งโดยปกติจะใช้สัญลักษณ์Hคือจุด ที่ เส้นความสูงทั้งสามเส้น (ซึ่งอาจต่อขยายออกไป) ตัดกัน^{[ 1 ] [ 2 ]} จุดตั้งฉากจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากจุดตั้งฉากจะตรงกับจุดยอดที่มุมฉาก^{[ 2 ]}สำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่า จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมทั้งหมด(รวมถึงจุดตั้งฉาก) จะตรงกันที่จุดศูนย์กลางมวลของ สามเหลี่ยม

ให้A, B, Cแทนจุดยอดและมุมของสามเหลี่ยม และให้เป็นความยาวด้าน จุดศูนย์กลางความตั้งฉากมีพิกัดเชิงเส้นสามตัว^{[ 3 ]}${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sec A:\sec B:\sec C\\&=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,\end{aligned}}}$$

และพิกัดศูนย์กลางมวล

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=\tan A:\tan B:\tan C.\end{aligned}}}$$

เนื่องจากพิกัดแบรีเซนทริกทั้งหมดเป็นบวกสำหรับจุดที่อยู่ภายในสามเหลี่ยม แต่มีอย่างน้อยหนึ่งค่าที่เป็นลบสำหรับจุดที่อยู่ภายนอก และพิกัดแบรีเซนทริกสองค่าเป็นศูนย์สำหรับจุดยอด ดังนั้นพิกัดแบรีเซนทริกที่กำหนดให้สำหรับออร์โทเซ็นเตอร์แสดงให้เห็นว่าออร์โทเซ็นเตอร์อยู่ ภายใน สามเหลี่ยมมุมแหลมอยู่ที่จุดยอดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากและอยู่ภายนอก สามเหลี่ยมมุมป้าน

ในระนาบเชิงซ้อนให้จุด A, B, Cแทนจำนวนz _A , z _B , z _Cและสมมติว่าจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม△ ABCอยู่ที่จุดกำเนิดของระนาบ แล้วจำนวนเชิงซ้อน

${\displaystyle z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}}$

แทนด้วยจุดHซึ่งก็คือจุดออร์โธเซ็นเตอร์ของสามเหลี่ยม△ ABC ^{[ 4} ] จากนี้ การกำหนดลักษณะเฉพาะของจุดออร์โธเซ็นเตอร์^Hโดยใช้เวกเตอร์อิสระสามารถกำหนดได้โดยตรงดังนี้:

${\displaystyle {\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.}$

เอกลักษณ์เวกเตอร์แรกก่อนหน้านี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อปัญหาของซิลเวสเตอร์ซึ่งเสนอโดยเจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเตอร์^{[ 5 ]}

ให้D, E, FแทนระดับความสูงจากจุดA, B, C เป็นฟุต ตามลำดับ แล้ว:

• ผลคูณของความยาวของส่วนต่างๆ ที่ออร์โธเซ็นเตอร์แบ่งความสูงออกเป็นส่วนๆ จะเหมือนกันสำหรับความสูงทั้งสามระดับ: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HE}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HF}}.}$

วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่Hและมีรัศมีเท่ากับรากที่สอง ของค่าคงที่นี้คือ วงกลมเชิงขั้วของสามเหลี่ยม^{[ 8 ]}

• ผลรวมของอัตราส่วนบนความสูงทั้งสามของระยะห่างของจุดออร์โธเซ็นเตอร์จากฐานต่อความยาวของความสูงคือ 1: ^{[ 9 ]} (คุณสมบัตินี้และคุณสมบัติถัดไปเป็นการประยุกต์ใช้คุณสมบัติทั่วไป ของจุดภายในใดๆ และ เซเวียนทั้งสามที่ผ่านจุดนั้น)

${\displaystyle {\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {HE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {HF}}{\overline {CF}}}=1.}$

• ผลรวมของอัตราส่วนของระยะทางของจุดออร์โธเซ็นเตอร์จากจุดยอดต่อความยาวของความสูงทั้งสามคือ 2: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BH}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CH}}{\overline {CF}}}=2.}$

• จุดสมมาตรไอโซโกนัลของออร์โธเซ็นเตอร์คือจุด วงกลม ล้อมรอบของสามเหลี่ยม^{[ 10 ]}
• จุดไอโซโทมิกคอนจูเกตของออร์โธเซ็นเตอร์คือจุดซิมมีเดียนของสามเหลี่ยมแอนติคอมพลีเมนทารี^{[ 11 ]}
• จุดสี่จุดบนระนาบ โดยที่จุดหนึ่งในนั้นเป็นจุดศูนย์กลางเชิงมุมของสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดอีกสามจุดนั้น เรียกว่าระบบจุดศูนย์กลางเชิงมุมหรือ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจุดศูนย์กลางเชิงมุม

ในทางเรขาคณิตระบบออร์โธเซนทริกคือเซตของจุดสี่จุดบนระนาบโดยจุดหนึ่งเป็นจุดออร์โธเซนทริกของสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดอีกสามจุด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เส้นที่ลากผ่านคู่จุดที่ไม่ทับซ้อนกันจะตั้งฉากกันและวงกลมสี่วงที่ลากผ่านจุดสามจุดใดๆ ในสี่จุดนั้นจะมีรัศมีเท่ากัน^{[ 12 ]}

ถ้าจุดสี่จุดประกอบกันเป็นระบบจุดตั้งฉากกันจุดแต่ละจุดในสี่จุดนั้นจะเป็นจุดตั้งฉากของอีกสามจุดที่เหลือ สามเหลี่ยมทั้งสี่รูปนี้จะมีวงกลมเก้าจุด เดียวกัน ดังนั้น สามเหลี่ยมทั้งสี่รูปนี้จะต้องมีวงกลมล้อมรอบ ที่มี รัศมีวงกลมล้อมรอบเท่า กัน

กำหนดให้รัศมีวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมเป็นRจากนั้น^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.}$

นอกจากนี้ เมื่อกำหนดให้rเป็นรัศมีของวงกลมแนบใน ของสามเหลี่ยม r a _, r _b , r _cเป็นรัศมีของวงกลมแนบนอกและRอีกครั้งเป็นรัศมีของวงกลมล้อมรอบ ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นจริงเกี่ยวกับระยะห่างของจุดตั้งฉากจากจุดยอด: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$

ถ้าความสูงใดๆ เช่นADถูกขยายออกไปตัดกับวงกลมล้อมรอบที่Pโดยที่ADเป็นคอร์ดของวงกลมล้อมรอบแล้ว ฐานDจะแบ่งครึ่งส่วนของHP : ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\overline {HD}}={\overline {DP}}.}$

เส้นไดเรกทริก ของ พาราโบลาทั้งหมดที่สัมผัสภายนอกกับด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมและสัมผัสกับส่วนขยายของด้านอื่นๆ จะผ่านจุดออร์โธเซ็นเตอร์^{[ 16 ]}

ไฮ เปอร์โบ ลาสี่เหลี่ยมที่ผ่านจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมเรียกว่าไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยม^{[ 17 ]}

จุดออร์โธเซ็นเตอร์Hจุดเซนทรอยด์Gจุดเซอร์คัม เซ็นเตอร์ Oและจุดศูนย์กลางNของวงกลมเก้าจุดทั้งหมดอยู่บนเส้นเดียวกัน ซึ่งเรียกว่าเส้นออยเลอร์ [ ^{18 ] จุดศูนย์กลาง}ของวงกลมเก้าจุดอยู่ตรงจุดกึ่งกลางของเส้นออยเลอร์ ระหว่างจุดออร์โธเซ็นเตอร์และจุดเซอร์คัมเซ็นเตอร์ และระยะห่างระหว่างจุดเซนทรอยด์และจุดเซอร์คัมเซ็นเตอร์เป็นครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างจุดเซนทรอยด์และจุดออร์โธเซ็นเตอร์: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {OH}}=2{\overline {NH}},\\&2{\overline {OG}}={\overline {GH}}.\end{aligned}}}$

จุดออร์โธเซ็นเตอร์อยู่ใกล้กับจุดอินเซ็นเตอร์Iมากกว่าจุดเซนทรอยด์ และจุดออร์โธเซ็นเตอร์อยู่ห่างจากจุดอินเซ็นเตอร์จากจุดเซนทรอยด์มากกว่าระยะที่จุดอินเซ็นเตอร์อยู่ห่างจากจุดเซนทรอยด์:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {HI}}&<{\overline {HG}},\\{\overline {HG}}&>{\overline {IG}}.\end{aligned}}}$

ในแง่ของด้านa , b , c , รัศมีวงใน^rและรัศมีวงนอกR [ ^{20 ] [ 21 ] : หน้า 449}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {OH}}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{aligned}}}$

ถ้าสามเหลี่ยม△ ABCเป็นสามเหลี่ยมเฉียง (ไม่มีมุมฉาก) สามเหลี่ยมฐานของจุดตั้งฉากของสามเหลี่ยมเดิมเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉากหรือสามเหลี่ยมความสูงนั่นคือ ฐานของเส้นความสูงของสามเหลี่ยมเฉียงจะก่อให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉาก△ DEFนอกจากนี้ จุดศูนย์กลางภายใน (จุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบใน) ของสามเหลี่ยมมุมฉาก△ DEFยังเป็นจุดตั้งฉากของสามเหลี่ยมเดิม△ ABCอีก ด้วย ^{[ 22 ]}

พิกัดสามมิติสำหรับจุดยอดของสามเหลี่ยมออร์ธิกกำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}D=&0&:&\sec B&:&\sec C\\E=&\sec A&:&0&:&\sec C\\F=&\sec A&:&\sec B&:&0\end{array}}}$$

ด้านที่ขยายของสามเหลี่ยมออร์ธิกจะบรรจบกับด้านที่ขยายตรงข้ามของสามเหลี่ยมอ้างอิงที่จุดสามจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน^{[ 23 ] [ 24 ] [ 22 ]}

ในสามเหลี่ยมมุมแหลม ใดๆ สามเหลี่ยมที่แนบในซึ่งมีเส้นรอบรูปน้อยที่สุดคือสามเหลี่ยมออร์ธิก^{[ 25 ]}นี่คือคำตอบของปัญหาของ Fagnanoที่ตั้งขึ้นในปี 1775 ^{[ 26 ]}ด้านของสามเหลี่ยมออร์ธิกจะขนานกับเส้นสัมผัสของวงกลมล้อมรอบที่จุดยอดของสามเหลี่ยมเดิม^{[ 27 ]}

สามเหลี่ยมออร์ธิกของสามเหลี่ยมมุมแหลมทำให้เกิดเส้นทางแสงรูปสามเหลี่ยม^{[ 28 ]}

เส้นสัมผัสของวงกลมเก้าจุดที่จุดกึ่งกลางของด้านของ△ ABCขนานกับด้านของสามเหลี่ยมออร์ธิก ทำให้เกิดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับสามเหลี่ยมออร์ธิก^{[ 29 ]}

สามเหลี่ยมออร์ธิกมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับสามเหลี่ยมสัมผัสโดยสร้างขึ้นดังนี้: ให้L _Aเป็นเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม△ ABCที่จุดยอดAและกำหนดL _B , L _Cในทำนองเดียวกัน ให้ สามเหลี่ยมสัมผัสคือ △ A"B"C"ซึ่งด้านต่างๆ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม△ ABCที่จุดยอด และเป็นรูปโฮโมเทติกกับสามเหลี่ยมออร์ธิก จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมสัมผัส และจุดศูนย์กลางความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมออร์ธิกและสามเหลี่ยมสัมผัส อยู่บนเส้นออยเลอร์ [ ^{21 ] :หน้า 447} ${\displaystyle A''=L_{B}\cap L_{C},}$${\displaystyle B''=L_{C}\cap L_{A},}$${\displaystyle C''=L_{C}\cap L_{A}.}$

พิกัดสามมิติสำหรับจุดยอดของสามเหลี่ยมสัมผัสจะกำหนดโดย สามเหลี่ยมอ้างอิงและสามเหลี่ยมเชิงตั้งฉากของมันคือสามเหลี่ยมเชิงตั้งฉาก $${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}A''=&-a&:&b&:&c\\B''=&a&:&-b&:&c\\C''=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสามเหลี่ยมออร์ธิก โปรดดูที่นี่

ทฤษฎีบทที่ว่าเส้นความสูงทั้งสามของสามเหลี่ยมมาบรรจบกัน (ที่จุดศูนย์กลางเชิงมุม) ไม่ได้ระบุไว้โดยตรงใน ตำรา คณิตศาสตร์กรีก ที่หลงเหลืออยู่ แต่ถูกนำไปใช้ในหนังสือเลมมาส (ข้อเสนอที่ 5) ซึ่งเชื่อกันว่าเป็นผลงานของอาร์คิมิดีส (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) โดยอ้างถึง "คำอธิบายประกอบตำราเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก" ซึ่งเป็นงานที่ไม่หลงเหลืออยู่ นอกจากนี้ยังมีการกล่าวถึงโดยปัปปัส ( ชุดคณิตศาสตร์ , VII, 62; ประมาณ 340) ^{[ 30 ]}ทฤษฎีบทนี้ได้รับการระบุและพิสูจน์อย่างชัดเจนโดยอัล-นาซาวีในคำอธิบายของเขา (ศตวรรษที่ 11) เกี่ยวกับหนังสือเลมมาสและเชื่อกันว่าเป็นผลงานของอัล-กูฮี ( มีชีวิตอยู่ ในศตวรรษที่ 10 ) ^{[ 31 ]}

บทพิสูจน์ในภาษาอาหรับนี้ได้รับการแปลเป็นส่วนหนึ่งของฉบับภาษาละติน (ต้นศตวรรษที่ 17) ของหนังสือบทพิสูจน์ย่อยแต่ไม่เป็นที่รู้จักอย่างแพร่หลายในยุโรป ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงได้รับการพิสูจน์อีกหลายครั้งในช่วงศตวรรษที่ 17-19 ซามูเอล มารอลัวส์ พิสูจน์ไว้ใน หนังสือเรขาคณิตของเขา(ค.ศ. 1619) และไอแซค นิวตันพิสูจน์ไว้ในตำราเรขาคณิตเส้นโค้ง ที่ยังไม่เสร็จสมบูรณ์ ( ประมาณ ค.ศ. 1680) ^{[ 30 ]}ต่อมาวิลเลียม แชปเปิลพิสูจน์ไว้ในปี ค.ศ. 1749 ^{[ 32 ]}

การพิสูจน์ที่สง่างามเป็นพิเศษเป็นผลงานของFrançois-Joseph Servois (1804) และCarl Friedrich Gauss (1810) อย่างอิสระ: ลากเส้นขนานกับแต่ละด้านของสามเหลี่ยมผ่านจุดตรงข้าม และสร้างสามเหลี่ยมใหม่จากจุดตัดของเส้นทั้งสามนี้ จากนั้นสามเหลี่ยมเดิมจะเป็นสามเหลี่ยมมัธยฐานของสามเหลี่ยมใหม่ และความสูงของสามเหลี่ยมเดิมจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของสามเหลี่ยมใหม่ และดังนั้นจึงมาบรรจบกัน (ที่จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมใหม่) ^{[ 33 ]}

• จุดศูนย์กลางสามเหลี่ยม

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ระดับความสูง" . แมทเวิลด์ .
• จุดศูนย์กลางการหักเหของรูปสามเหลี่ยมพร้อมภาพเคลื่อนไหวแบบอินเทอร์แอ็กทีฟ
• ภาพเคลื่อนไหวสาธิตการสร้างจุดศูนย์กลางการหักเหของแสงโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
• ปัญหาของฟาญาโนโดย เจย์ วาเรนดอร์ฟโครงการสาธิตของวูล์ฟแรม