ในทฤษฎีเมทริกซ์ ทฤษฎีบท Perron –Frobeniusซึ่งพิสูจน์ในส่วนแรกโดยOskar Perron  ( 1907 ) และขยายโดยGeorg Frobenius  ( 1912 ) ยืนยันว่าเมทริกซ์จัตุรัสจริง ที่มีสมาชิกเป็นบวกจะมีค่าลักษณะ เฉพาะเพียงค่าเดียว ที่มีขนาดใหญ่ที่สุด และค่าลักษณะเฉพาะนั้นเป็นจำนวนจริงเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะที่สอดคล้องกัน สามารถเลือกให้มีส่วนประกอบที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด และยังยืนยันข้อความที่คล้ายกันสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบ ในบางกลุ่ม ทฤษฎีบทนี้มีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็น ( ภาวะเออร์ โกดิก ของห่วงโซ่ Markov ); ในทฤษฎีระบบพลวัต ( การเลื่อนย่อยของประเภทจำกัด ); ในเศรษฐศาสตร์ ( ทฤษฎีบทของ Okishio [ ^{1 ]}เงื่อนไข Hawkins–Simon ^{[ 2 ]} ); ในประชากรศาสตร์ ( แบบจำลองการกระจายอายุประชากรของ Leslie ); ^{[ 3 ]} ในเครือข่ายสังคม ( กระบวนการเรียนรู้ของ DeGroot ); ในเครื่องมือค้นหาอินเทอร์เน็ต ( ^PageRank ) ; ^{[ 4 ]}และแม้กระทั่งการจัดอันดับทีมอเมริกันฟุตบอล^{[ 5 ]}คนแรกที่อภิปรายเกี่ยวกับการจัดลำดับผู้เล่นภายในทัวร์นาเมนต์โดยใช้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius คือEdmund Landau ^{[ 6 ] [ 7 ]}

ให้ คำว่า "บวก"และ"ไม่เป็นลบ"แทนเมทริกซ์ที่มีเฉพาะ จำนวน จริงบวกเป็นองค์ประกอบ และเมทริกซ์ที่มีเฉพาะจำนวนจริงไม่เป็นลบเป็นองค์ประกอบ ตามลำดับ ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จัตุรัสจริงAคือจำนวนเชิงซ้อนที่ประกอบกันเป็นสเปกตรัมของเมทริกซ์อัตราการเติบโตแบบเลขชี้กำลังของกำลังของเมทริกซ์A ^kเมื่อk → ∞ ถูกควบคุมโดยค่าลักษณะเฉพาะของA ที่มี ค่าสัมบูรณ์มากที่สุด( โมดูลัส ) ทฤษฎีบท Perron–Frobenius อธิบายคุณสมบัติของค่าลักษณะเฉพาะนำหน้าและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันเมื่อAเป็นเมทริกซ์จัตุรัสจริงที่ไม่เป็นลบ ผลลัพธ์ในยุคแรกมาจากOskar Perron  ( 1907 ) และเกี่ยวข้องกับเมทริกซ์บวก ต่อมาGeorg Frobenius  ( 1912 ) พบว่าสามารถขยายไปใช้กับเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบบางประเภทได้

ให้เป็นเมทริกซ์บวก: สำหรับแล้วข้อความต่อไปนี้เป็นจริง ${\displaystyle A=(a_{ij})}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle a_{ij}>0}$${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$

1. มีจำนวนจริงบวกrที่เรียกว่ารากของเพอร์รอนหรือค่าลักษณะเฉพาะของเพอร์รอน-โฟรเบนิอุส (เรียกอีกอย่างว่าค่าลักษณะเฉพาะนำหน้าค่าลักษณะเฉพาะหลักหรือค่าลักษณะเฉพาะเด่น ) โดยที่rเป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมท ริก ซ์ Aและค่าลักษณะเฉพาะอื่น ๆλ (อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน ) ในค่าสัมบูรณ์จะมีค่าน้อยกว่าr อย่างเคร่งครัด กล่าว คือ | λ | < rดังนั้นรัศมีสเปกตรัม จึงเท่ากับrถ้าสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์เป็นพีชคณิต นั่นหมายความว่าค่าลักษณะเฉพาะนั้นเป็นจำนวนของเพอร์รอน${\displaystyle \rho (A)}$
2. ค่าไอเกนของ Perron–Frobenius เป็นค่าไอเกนแบบง่าย: rเป็นรากแบบง่ายของพหุนามลักษณะเฉพาะของAดังนั้นปริภูมิไอเกนที่เกี่ยวข้องกับrจึงมีมิติเดียว (เช่นเดียวกันกับปริภูมิไอเกนด้านซ้าย กล่าวคือ ปริภูมิไอเกนสำหรับA ^Tซึ่งเป็นเมทริกซ์สลับตำแหน่งของA )
3. มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะv = ( v ,..., v ) ^TของAที่มีค่าลักษณะเฉพาะrโดยที่ส่วนประกอบทั้งหมดของvเป็นบวก: A v = rv , v > 0 สำหรับ 1 ≤ i ≤ n (ในทำนองเดียวกัน มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้ายที่เป็นบวกw  : w ^T A = w ^T r, w > 0) เวกเตอร์นี้เป็นที่รู้จักในเอกสารทางวิชาการในหลายชื่อ เช่นเวกเตอร์เพอร์รอน , เวก เตอร์ลักษณะ เฉพาะของเพอร์รอน , เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ของเพอร์รอน-โฟรเบนิอุส, เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนำหน้า , เวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะหลักหรือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเด่น
4. ไม่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นบวก (และไม่เป็นลบ) อื่นใดนอกจากผลคูณที่เป็นบวกของv (หรือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้าย ยกเว้นw ) กล่าวคือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดจะต้องมีส่วนประกอบที่เป็นลบหรือไม่ใช่จำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งส่วน
5. ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }A^{k}/r^{k}=vw^{T}}$โดยที่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้ายและด้านขวาของAได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้w ^T v = 1 ยิ่งไปกว่านั้น เมทริกซ์vw ^Tคือการฉายภาพลงบนปริภูมิลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับ  rการฉายภาพนี้เรียกว่าการฉายภาพแบบเพอร์รอน
6. สูตรของCollatz – : สำหรับเวกเตอร์ xที่ไม่เป็นลบและไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดให้ f ( x ) เป็นค่าต่ำสุดของ [ Ax ] / xi ที่หาได้จากเวกเตอร์ iทั้งหมดโดยที่ xi 0 แล้ว fเป็นฟังก์ชันค่าจริง ซึ่งค่าสูงสุด ของ f จากเวกเตอร์ xที่ไม่เป็นลบและไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดคือค่าลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius
7. -max" มีรูปแบบคล้ายกับข้างต้น: สำหรับเวกเตอร์บวกอย่างเคร่งครัดx ทั้งหมด ให้g ( x ) เป็นค่าสูงสุดของ [ Ax ] / xiที่หาได้จากiแล้วgเป็นฟังก์ชันค่าจริงที่มีค่าต่ำสุดเหนือเวกเตอร์บวกอย่างเคร่งครัดx ทั้งหมด คือค่าลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius
8. สูตรBirkhoff – Varga : ให้ xและ yเป็นเวกเตอร์บวกอย่างเคร่งครัด จากนั้น ^{[ 8 ]}$${\displaystyle r=\sup _{x>0}\inf _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}$$
9. สูตรDonsker – Varadhan – Friedland : ให้ pเป็นเวกเตอร์ความน่าจะเป็นและ xเป็นเวกเตอร์บวกอย่างเคร่งครัด จากนั้น ^{[ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle r=\sup _{p}\inf _{x>0}\sum _{i=1}^{n}p_{i}[Ax]_{i}/x_{i}.}$$
10. สูตรของ Fiedler : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle r=\sup _{z>0}\ \inf _{x>0,\ y>0,\ x\circ y=z}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\sup _{z>0}\ \inf _{x>0,\ y>0,\ x\circ y=z}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}$$
11. ค่าลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้$${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$$

คุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้ขยายออกไปนอกเหนือจากเมทริกซ์บวกอย่างเคร่งครัดไปยังเมทริกซ์ดั้งเดิม (ดูด้านล่าง) ข้อเท็จจริง 1–7 สามารถพบได้ใน Meyer ^{[ 12 ]}บทที่ 8ข้ออ้าง 8.2.11–15 หน้า 667 และแบบฝึกหัด 8.2.5,7,9 หน้า 668–669

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้ายและด้านขวาwและvบางครั้งจะถูกทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วยเพื่อให้ผลรวมของส่วนประกอบเท่ากับ 1 ในกรณีนี้ บางครั้งเรียก ว่า เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเชิงสุ่มบ่อยครั้งที่พวกมันถูกทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วยเพื่อให้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านขวาvมีผลรวมเท่ากับหนึ่ง ในขณะที่. ${\displaystyle w^{T}v=1}$

มีการขยายไปสู่เมทริกซ์ที่มีสมาชิกที่ไม่เป็นลบ เนื่องจากเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบใดๆ สามารถหาได้จากลิมิตของเมทริกซ์บวก จึงทำให้มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีส่วนประกอบที่ไม่เป็นลบ ค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันจะไม่เป็นลบและมีค่าสัมบูรณ์มากกว่าหรือเท่ากับค่าลักษณะเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมด^{[ 13 ] [ 14 ]}อย่างไรก็ตาม สำหรับตัวอย่างค่าลักษณะเฉพาะสูงสุดr = 1 มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับค่าลักษณะเฉพาะอื่นๆ −1 ในขณะที่สำหรับค่าลักษณะเฉพาะสูงสุดคือr = 0 ซึ่งไม่ใช่รากง่ายๆ ของพหุนามลักษณะเฉพาะ และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน (1, 0) ไม่เป็นบวกอย่างแท้จริง ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$

อย่างไรก็ตาม ฟรอเบนิอุสได้ค้นพบเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบชนิดพิเศษ — เมทริกซ์ ที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ — ซึ่งสามารถวางนัยทั่วไปได้ในระดับที่ไม่ธรรมดา สำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว แม้ว่าค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่าสัมบูรณ์สูงสุดอาจจะไม่เป็นเอกลักษณ์ แต่โครงสร้างของพวกมันก็อยู่ภายใต้การควบคุม: พวกมันมีรูปแบบโดยที่เป็นค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นบวกอย่างแท้จริง และครอบคลุมรากที่h'เชิงซ้อนของ 1 สำหรับจำนวนเต็มบวก hบางตัวที่เรียกว่าคาบของเมทริกซ์ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับมีส่วนประกอบที่เป็นบวกอย่างแท้จริง (ตรงกันข้ามกับกรณีทั่วไปของเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบ ซึ่งส่วนประกอบเป็นเพียงค่าที่ไม่เป็นลบ) นอกจากนี้ ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดดังกล่าวเป็นรากอย่างง่ายของพหุนามลักษณะเฉพาะ คุณสมบัติเพิ่มเติมจะอธิบายไว้ด้านล่าง ${\displaystyle \omega r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle r}$

ให้Aเป็น เมทริกซ์จัตุรัสขนาด n  ×  nบนฟิลด์Fเมทริกซ์Aจะไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ หากคุณสมบัติที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่ง เป็นจริง

นิยามที่ 1: Aไม่มีปริภูมิพิกัดไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่ใช่ปริภูมิย่อยที่ไม่สำคัญ ในที่นี้ ปริภูมิพิกัดไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่ใช่ปริภูมิย่อย หมายถึงปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่เกิดจากเซตย่อยแท้ ที่ไม่ว่างเปล่า ของเวกเตอร์ฐานมาตรฐานของF ⁿกล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น สำหรับปริภูมิย่อยเชิงเส้นใดๆ ที่เกิดจากเวกเตอร์ฐานมาตรฐานe , ..., e , 0 < k  <  nภาพของปริภูมิย่อยนั้นภายใต้การกระทำของAจะไม่อยู่ในปริภูมิย่อยเดียวกัน

นิยามที่ 2: Aไม่สามารถแปลงเป็นรูปแบบสามเหลี่ยมบนบล็อกโดยใช้เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนPได้

${\displaystyle PAP^{-1}\neq {\begin{pmatrix}E&F\\O&G\end{pmatrix}},}$

โดยที่EและGเป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์ (กล่าวคือ มีขนาดมากกว่าศูนย์)

นิยามที่ 3:เราสามารถเชื่อมโยงเมทริกซ์A กับ กราฟ ทิศทาง G ที่กำหนด ได้ กราฟ G A มี จุดยอด nจุด กำหนดหมายเลขเป็น 1, ..., nและมีเส้นเชื่อมจากจุดยอดiไปยังจุดยอดjก็ต่อเมื่อa ≠ 0 เท่านั้น เมทริกซ์A จะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ก็ต่อเมื่อกราฟ G นั้นเป็น กราฟที่เชื่อมต่อกัน อย่าง แน่นหนา

ถ้าFเป็นฟิลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน เราก็จะมีเงื่อนไขต่อไปนี้ด้วย

นิยามที่ 4: การแทนกลุ่มของบนหรือบนที่กำหนดโดยไม่มีปริภูมิย่อยพิกัดไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่ใช่ปริภูมิย่อยศูนย์ (เมื่อเปรียบเทียบกันแล้ว นี่จะเป็นการแทนแบบลดทอนไม่ได้หากไม่มีปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่ใช่ปริภูมิย่อยศูนย์เลย โดยไม่พิจารณาเฉพาะปริภูมิย่อยพิกัดเท่านั้น) ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle t\mapsto \exp(tA)}$

เมทริกซ์จะสามารถลดรูปได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้นไม่สามารถลดรูปไม่ได้

เมทริกซ์จริงAเรียกว่า เมทริกซ์ ดั้งเดิม (primitive matrix ) ถ้าเมทริกซ์นั้นมีค่าไม่เป็นลบ และ กำลังที่ m ของเมทริกซ์นั้น มีค่าเป็นบวกสำหรับจำนวนธรรมชาติm บางจำนวน (กล่าวคือ สมาชิกทุกตัวของA ^mมีค่าเป็นบวก)

ให้Aเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบ กำหนดดัชนีiและกำหนดคาบของดัชนีiให้เป็นตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนธรรมชาติm ทั้งหมด โดยที่ ( A ^m ) > 0 เมื่อAไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ คาบของทุกดัชนีจะเท่ากันและเรียกว่าคาบของAในความเป็นจริง เมื่อAไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ คาบสามารถกำหนดได้ว่าเป็นตัวหารร่วมมากที่สุดของความยาวของเส้นทางทิศทางปิดในG (ดู Kitchens ^{[ 15 ]} หน้า 16) คาบยังเรียกว่าดัชนี ของความเป็นไม่ดั้งเดิม (Meyer ^{[ 12 ]}หน้า 674) หรือลำดับของความเป็นวัฏจักร ถ้าคาบเป็น 1 Aจะเป็นเมทริก ซ์ที่ไม่มีคาบ สามารถพิสูจน์ได้ว่าเมทริกซ์ดั้งเดิมเหมือนกับเมทริกซ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้และไม่มีคาบที่ไม่เป็นลบ

ข้อความทั้งหมดของทฤษฎีบท Perron–Frobenius สำหรับเมทริกซ์บวกยังคงเป็นจริงสำหรับเมทริกซ์ดั้งเดิม ข้อความเดียวกันนี้ยังใช้ได้กับเมทริกซ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้และไม่เป็นลบ ยกเว้นว่าเมทริกซ์นั้นอาจมีค่าลักษณะเฉพาะหลายค่าที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับรัศมีสเปกตรัม ดังนั้นข้อความจึงต้องได้รับการปรับเปลี่ยนให้เหมาะสม ในความเป็นจริง จำนวนของค่าลักษณะเฉพาะดังกล่าวเท่ากับคาบของเมทริกซ์

ผลลัพธ์สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบนั้นได้มาจากการค้นพบครั้งแรกโดย Frobenius ในปี 1912

ให้เป็นเมทริกซ์บวกที่ไม่สามารถลดรูปได้มีคาบและรัศมีสเปกตรัมแล้วข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง ${\displaystyle A}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \rho (A)=r}$

• ตัวเลขดังกล่าวเป็นจำนวนจริงบวกและเป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะของเพอร์รอน-โฟรเบนิอุส${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle A}$
• ค่าไอเกนของ Perron–Frobenius นั้นเรียบง่ายทั้งปริภูมิไอเกนด้านขวาและด้านซ้ายที่เกี่ยวข้องกับค่าไอเกนนี้มีมิติเดียว${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle A}$มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านขวาและด้านซ้าย คือและ ตามลำดับ โดยมีค่าลักษณะเฉพาะ คือและ ซึ่งส่วนประกอบทั้งหมดเป็นบวก ยิ่งไปกว่านั้น เวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะเพียงชุดเดียวที่มีส่วนประกอบทั้งหมดเป็นบวก คือ เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะคือ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$
• เมทริกซ์นี้มีค่าไอเกนเชิงซ้อนจำนวน(โดยที่คือคาบ ) ค่าพอดี โดย แต่ละค่ามีค่าสัมบูรณ์ เท่ากับ แต่ละค่าเป็นรากเดี่ยวของพหุนามลักษณะเฉพาะ และเป็นผลคูณของกับ ราก ที่ n ของเอกภาพ${\displaystyle A}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$
• ให้. จากนั้นเมทริกซ์จะคล้ายกับดังนั้นสเปกตรัมของจึงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การคูณด้วย(กล่าวคือภายใต้การหมุนของระนาบเชิงซ้อนด้วยมุม)${\displaystyle \โอเมก้า =2\pi /h}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e^{i\omega }A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e^{i\omega }}$${\displaystyle \omega }$
• ถ้าเช่นนั้นจะมีเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนอยู่จริงซึ่งทำให้${\displaystyle h>1}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle PAP^{-1}={\begin{pmatrix}O&A_{1}&O&O&\ldots &O\\O&O&A_{2}&O&\ldots &O\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\O&O&O&O&\ldots &A_{h-1}\\A_{h}&O&O&O&\ldots &O\end{pmatrix}},}$

โดยที่หมายถึงเมทริกซ์ศูนย์ และบล็อกตามแนวทแยงมุมหลักเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ${\displaystyle O}$

• สูตรคอลลาทซ์ -วีแลนด์ : สำหรับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นลบและไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดให้เป็นค่าต่ำสุดของที่หาได้จากเวกเตอร์ทั้งหมดเหล่านั้นที่แล้วเป็นฟังก์ชันค่าจริงที่มีค่าสูงสุดเป็นค่าลักษณะเฉพาะของเพอร์รอน-โฟรเบนิอุส${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle [A\mathbf {x} ]_{i}/x_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{i}\neq 0}$${\displaystyle f}$

• ค่าลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์ศูนย์ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) ตามแนวทแยงมุมอาจมีขนาดต่างกันได้ บล็อกA ไม่จำเป็นต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และhไม่จำเป็นต้องหาร  nลงตัว ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&0&1\\0&0&1\\1&1&0\end{smallmatrix}}\right)}$

ให้Aเป็นเมทริกซ์บวกที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ แล้ว:

1. (I+ A ) ^{n −1}เป็นเมทริกซ์บวก (Meyer ^{[ 12 ]}อ้าง 8.3.5 หน้า 672 ) สำหรับ Aที่ไม่เป็นลบนี่ก็เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอเช่นกัน^{[ 16 ]}
2. ทฤษฎีบทของ Wielandt ^{[ 17 ]}ถ้า | B |< Aแล้วρ ( B )≤ ρ ( A ) ถ้าความเท่าเทียมกันเป็นจริง (เช่น ถ้าμ=ρ(A)e ^iφเป็นค่าลักษณะเฉพาะสำหรับB ) แล้วB = e ^iφ D AD ⁻¹สำหรับเมทริกซ์เอกลักษณ์แนวทแยงD บางตัว (เช่น องค์ประกอบแนวทแยงของDเท่ากับe ^iΘ ที่ไม่ใช่แนวทแยงเป็นศูนย์) ^{[ 18 ]}
3. ถ้ากำลังA ^q บาง ตัวสามารถลดรูปได้ ก็จะสามารถลดรูปได้อย่างสมบูรณ์ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนP บางตัว จะเป็นจริงว่า: โดยที่A เป็นเมทริกซ์ที่ไม่สามารถลดรูปได้ซึ่งมีค่าลักษณะเฉพาะสูงสุดเท่ากัน จำนวนเมทริกซ์เหล่านี้dคือตัวหารร่วมมากที่สุดของqและhโดยที่hคือคาบของA ^{[ 19 ]}${\displaystyle PA^{q}P^{-1}={\begin{pmatrix}A_{1}&O&O&\dots &O\\O&A_{2}&O&\dots &O\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\O&O&O&\dots &A_{d}\\\end{pmatrix}}}$
4. ถ้าc ( x ) = x ⁿ + c x ^n-k + c x ^n-k + ... + c x ^n-k เป็นพหุนามลักษณะเฉพาะของAซึ่งแสดงเฉพาะพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น แล้วคาบของAจะเท่ากับตัวหารร่วมมากที่สุดของk , k , ... , k ^{[ 20 ]}
5. ค่าเฉลี่ยของCesàro : โดยที่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้ายและด้านขวาสำหรับAได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้w ^T v = 1 ยิ่งไปกว่านั้น เมทริกซ์vw ^Tคือการฉายภาพสเปกตรัมที่สอดคล้องกับrซึ่งเป็นการฉายภาพของ Perron ^{[ 21 ]}${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }1/k\sum _{i=0,...,k}A^{i}/r^{i}=(vw^{T}),}$
6. ให้rเป็นค่าลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius แล้วเมทริกซ์ผกผันสำหรับ ( r - A ) จะเป็นบวก^{[ 22 ]}
7. ถ้าAมีองค์ประกอบแนวทแยงอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่เป็นศูนย์ แสดงว่าAเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิม^{[ 23 ]}
8. ถ้า 0 ≤ A < Bแล้วr ≤ r ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าBไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ อสมการจะเป็นอสมการแบบเข้มงวด: r A r

เมทริกซ์Aถือเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิมก็ต่อเมื่อมีค่าไม่เป็นลบ และA ^mมีค่าเป็นบวกสำหรับm บางค่า และด้วยเหตุนี้A ^k จึงมีค่าเป็นบวกสำหรับ k ≥ mทั้งหมดในการตรวจสอบความเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิม จำเป็นต้องมีขอบเขตว่าค่าm ขั้นต่ำสุด จะมีขนาดใหญ่ได้มากเพียงใด ขึ้นอยู่กับขนาดของA : ^{[ 24 ]}

• ถ้าAเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิมที่ไม่เป็นลบขนาดnแล้วA ^{n 2  − 2 n  + 2}จะเป็นบวก ยิ่งไปกว่านั้น นี่คือผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เนื่องจากสำหรับเมทริกซ์Mด้านล่าง กำลังM ^kจะไม่เป็นบวกสำหรับทุกk < n ²  − 2 n  + 2 เนื่องจาก ( M ^{n 2  − 2 n +1} ) = 0

${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0&\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1\\1&1&0&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right)}$

มีหนังสือมากมายที่เขียนเกี่ยวกับเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบ และทฤษฎีของ Perron–Frobenius ก็เป็นส่วนสำคัญเสมอ ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเพียงส่วนเล็ก ๆ ของขอบเขตการประยุกต์ใช้ที่กว้างขวางของทฤษฎีนี้

ทฤษฎีบท Perron–Frobenius ไม่สามารถนำมาใช้กับเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบได้โดยตรง อย่างไรก็ตาม เมทริกซ์จัตุรัสที่ลดรูปได้ใดๆAสามารถเขียนในรูปแบบบล็อกสามเหลี่ยมบน (เรียกว่ารูปแบบปกติของเมทริกซ์ที่ลดรูปได้ ) ^{[ 25 ]}

PAP ⁻¹ =${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}B_{1}&*&*&\cdots &*\\0&B_{2}&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &*\\0&0&0&\cdots &B_{h}\end{smallmatrix}}\right)}$

โดยที่Pคือเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน และแต่ละB คือเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้หรือเป็นศูนย์ ถ้าAมีค่าไม่เป็นลบ บล็อกแต่ละบล็อกของPAP ⁻¹ ก็จะมีค่าไม่เป็นลบเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น สเปกตรัมของAก็คือการรวมกันของสเปกตรัมของ B นั่นเอง

เราสามารถศึกษาความสามารถในการผกผันของเมทริกซ์ A ได้เช่นกัน เมทริกซ์ผกผันของ PAP ⁻¹ (ถ้ามี) จะต้องมีบล็อกแนวทแยงมุมในรูปแบบB ⁻¹ดังนั้นหาก B ใดๆ ไม่สามารถผกผันได้PAP ⁻¹หรือA ก็จะไม่สามารถผกผันได้ เช่นกัน ในทางกลับกัน ให้Dเป็นเมทริกซ์บล็อกแนวทแยงมุมที่สอดคล้องกับPAP ⁻¹กล่าวคือPAP ⁻¹ที่เครื่องหมายดอกจันเป็นศูนย์ หากB แต่ละตัวสามารถผกผันได้ D ก็สามารถผกผัน ได้เช่นกันและD ⁻¹ ( PAP ⁻¹ ) จะเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์บวกเมทริกซ์นิลโพเทนต์ แต่เมทริกซ์ดังกล่าวสามารถผกผันได้เสมอ (ถ้าN ^k = 0 เมทริกซ์ผกผันของ 1 − Nคือ 1 + N + N ² + ... + N ^{k −1} ) ดังนั้นPAP ⁻¹และAจึงสามารถผกผันได้ทั้งคู่

ดังนั้น คุณสมบัติเชิงสเปกตรัมหลายอย่างของAอาจอนุมานได้โดยการใช้ทฤษฎีบทกับB ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ตัวอย่างเช่น รากของ Perron คือค่าสูงสุดของ ρ( B ) แม้ว่าจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีส่วนประกอบที่ไม่เป็นลบอยู่ แต่ก็เป็นไปได้มากว่าเวกเตอร์เหล่านั้นจะไม่มีส่วนประกอบใดเป็นบวกเลย

เมทริกซ์สุ่มแถว (คอลัมน์) คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีแต่ละแถว (คอลัมน์) ประกอบด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบซึ่งมีผลรวมเท่ากับหนึ่ง ทฤษฎีบทนี้ไม่สามารถนำไปใช้กับเมทริกซ์ดังกล่าวได้โดยตรง เนื่องจากเมทริกซ์เหล่านั้นไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

ถ้าAเป็นเมทริกซ์สุ่มแถว (row-stochastic) เวกเตอร์คอลัมน์ที่มีแต่ละค่าเป็น 1 จะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ 1 ซึ่งก็คือ ρ( A ) ตามข้อสังเกตข้างต้น ค่าลักษณะเฉพาะนี้อาจไม่ใช่ค่าลักษณะเฉพาะเพียงค่าเดียวบนวงกลมหน่วย และปริภูมิลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องอาจมีหลายมิติ ถ้าAเป็นเมทริกซ์สุ่มแถวและไม่สามารถลดทอนได้ (irreducible) การฉายภาพของเพอร์รอน (Perron projection) ก็จะเป็นเมทริกซ์สุ่มแถวเช่นกัน และทุกแถวจะมีค่าเท่ากัน

ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในทฤษฎีกราฟเชิงพีชคณิต “กราฟพื้นฐาน” ของ เมทริกซ์จัตุรัส n ที่ไม่เป็นลบ คือกราฟที่มีจุดยอดหมายเลข 1, ..., nและส่วนโค้งijก็ต่อเมื่อA ≠ 0 หากกราฟพื้นฐานของเมทริกซ์ดังกล่าวเชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนา เมทริกซ์นั้นจะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้นทฤษฎีบทจึงใช้ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์ประชิดของกราฟที่เชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนาจะไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ ^{[ 26 ] [ 27 ]}

ทฤษฎีบทนี้มีการตีความตามธรรมชาติในทฤษฎีของลูกโซ่ Markov จำกัด (ซึ่งเป็นค่าเทียบเท่าทางทฤษฎีเมทริกซ์ของการลู่เข้าของลูกโซ่ Markov จำกัดที่ไม่สามารถลดทอนได้ไปยังการกระจายสถานะคงที่ ซึ่งกำหนดในรูปของเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะของลูกโซ่ ดูตัวอย่างเช่น บทความเกี่ยวกับsubshift ของประเภทจำกัด )

โดยทั่วไปแล้ว สามารถขยายไปสู่กรณีของตัวดำเนินการกระชับที่ ไม่เป็นลบ ซึ่งในหลายๆ ด้านคล้ายกับเมทริกซ์มิติจำกัด สิ่งเหล่านี้มักถูกศึกษาในฟิสิกส์ ภายใต้ชื่อตัวดำเนินการถ่ายโอนหรือบางครั้งเรียกว่าตัวดำเนินการ Ruelle–Perron–Frobenius (ตามDavid Ruelle ) ในกรณีนี้ ค่าไอเกนหลักจะสอดคล้องกับสมดุลทางเทอร์โมไดนามิกของระบบไดนามิกและค่าไอเกนที่น้อยกว่าจะสอดคล้องกับโหมดการสลายตัวของระบบที่ไม่อยู่ในสมดุล ดังนั้น ทฤษฎีนี้จึงเสนอวิธีการค้นหาลูกศรแห่งเวลาในสิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นกระบวนการไดนามิกแบบย้อนกลับได้และกำหนดได้ เมื่อพิจารณาจากมุมมองของ โทโพโล ยีเซตจุด^{[ 28 ]}

ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Brouwerเป็นจุดร่วมที่พบได้ทั่วไปในการพิสูจน์หลายๆ ครั้งอีกวิธีหนึ่งที่นิยมคือวิธีของ Wielandt (1950) เขาใช้ สูตร Collatz –Wielandt ที่อธิบายไว้ข้างต้นเพื่อขยายและชี้แจงงานของ Frobenius ^{[ 29 ]}การพิสูจน์อีกวิธีหนึ่งนั้นอิงตามทฤษฎีสเปกตรัม^{[ 30 ]}ซึ่งส่วนหนึ่งของข้อโต้แย้งนั้นยืมมาจากทฤษฎีนี้

ถ้าAเป็นเมทริกซ์บวก (หรือโดยทั่วไปเรียกว่าเมทริกซ์ดั้งเดิม) จะมีค่าไอเกนบวกจริงr (ค่าไอเกนของ Perron–Frobenius หรือรากของ Perron) ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์มากกว่าค่าไอเก น อื่นๆ ทั้งหมดอย่างเคร่งครัด ดังนั้นr จึง เป็นรัศมีสเปกตรัมของA

ข้อความนี้ใช้ไม่ได้กับเมทริกซ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ทั่วไปที่มีค่าไม่เป็นลบ ซึ่งมี ค่าไอเก น hค่าที่มีค่าไอเกนสัมบูรณ์เท่ากับrโดยที่hคือคาบของA

ให้Aเป็นเมทริกซ์บวก สมมติว่ารัศมีสเปกตรัม ρ( A ) = 1 (มิฉะนั้นให้พิจารณาA/ρ(A) ) ดังนั้น จะมีค่าไอเกน λ อยู่บนวงกลมหน่วย และค่าไอเกนอื่นๆ ทั้งหมดจะมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 สมมติว่า λ ≠ 1 แล้วจะมีจำนวนเต็มบวกm อยู่ ซึ่งA m  เป็นเมทริกซ์บวก และส่วนจริงของ λ m  เป็นลบ ให้ ε เป็นครึ่งหนึ่งของค่าในแนวทแยงมุมที่เล็กที่สุดของA m  และกำหนดให้T = A  m  −  ε I ซึ่งเป็นเมทริกซ์บวกอีกตัวหนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าAx = λxแล้วA  m x = λ  m xดังนั้นλ m   −  ε I เป็นค่าไอเกนของTเนื่องจากการเลือกค่าmทำให้จุดนี้อยู่นอกวงกลมหน่วย ดังนั้นρ ( T ) > 1 ในทางกลับกัน ค่าทั้งหมดในTเป็นค่าบวกและน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าในAmดังนั้นตามสูตรของ Gelfand จะได้ρ ( T ) ≤ ρ ( A m ) ≤ ρ ( A ) m = 1 ความขัดแย้งนี้หมายความว่า λ=1 โดยเฉพาะ อย่างยิ่ง จะต้องไม่มีค่าลักษณะเฉพาะอื่น ๆ บนวงกลมหน่วย

เหตุผลเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับกรณีของเมทริกซ์ดั้งเดิมได้เช่นกัน เพียงแต่เราต้องกล่าวถึงบทพิสูจน์ย่อยง่ายๆ ต่อไปนี้ ซึ่งจะช่วยชี้แจงคุณสมบัติของเมทริกซ์ดั้งเดิมให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

กำหนดให้ Aเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบสมมติว่ามีm อยู่จริง โดยที่A ^mเป็นจำนวนบวก ดังนั้นA ^{m +1} , A ^{m +2} , A ^{m +3} ,... ล้วนเป็นจำนวนบวก

(พิสูจน์: A ^{m +1} = AA ^mดังนั้นเมทริกซ์ A จะมีสมาชิกเป็นศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อแถวใดแถวหนึ่งของเมท ริกซ์ Aเป็นศูนย์ทั้งหมด แต่ในกรณีนี้ แถวเดียวกันของเมทริก ซ์ A ^mจะเป็นศูนย์)

โดยใช้เหตุผลเดียวกันกับข้างต้นสำหรับเมทริกซ์ดั้งเดิม จงพิสูจน์ข้ออ้างหลัก

สำหรับเมทริกซ์ Aที่เป็นบวก (หรือโดยทั่วไปคือเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบและลดทอนไม่ได้) เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เด่นที่สุดจะเป็นจำนวนจริงและเป็นบวกอย่างเคร่งครัด (สำหรับA ที่ไม่เป็นลบ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เด่น ที่สุดก็จะเป็นค่าที่ไม่เป็นลบเช่นกัน)

สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีกำลัง (power method ) ซึ่งระบุว่าสำหรับเมทริกซ์ Aที่มีความทั่วไปเพียงพอ (ในความหมายด้านล่าง) ลำดับของเวกเตอร์ b = Ab / | Ab | จะลู่เข้าสู่เวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะที่ มีค่าลักษณะเฉพาะสูงสุด(เวกเตอร์เริ่มต้นb สามารถเลือกได้ตามอำเภอใจ ยกเว้นเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์) การเริ่มต้นด้วยเวกเตอร์ที่ไม่เป็นลบb จะสร้างลำดับของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นลบb ดังนั้นเวกเตอร์ลิมิตจึงไม่เป็นลบเช่นกัน โดยวิธีกำลัง เวกเตอร์ลิมิตนี้คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เด่นที่สุดสำหรับAซึ่งพิสูจน์ข้อความดังกล่าว ค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันจึงไม่เป็นลบ

การพิสูจน์นี้ต้องอาศัยข้อโต้แย้งเพิ่มเติมอีกสองประการ ประการแรก วิธีการยกกำลังจะลู่เข้าสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะหลายค่าที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับค่าสูงสุด ข้อโต้แย้งในส่วนก่อนหน้านี้รับประกันเรื่องนี้

ประการที่สอง เพื่อให้มั่นใจว่าส่วนประกอบทั้งหมดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมีค่าเป็นบวกอย่างเคร่งครัดในกรณีของเมทริกซ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงต่อไปนี้ ซึ่งมีความน่าสนใจในตัวเอง:

บทพิสูจน์ย่อย: เมื่อกำหนดเมทริกซ์ Aที่เป็นบวก (หรือโดยทั่วไปคือเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบและลดทอนไม่ได้) และvเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นลบใดๆ สำหรับAแล้ว เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนั้นจะต้องมีค่าเป็นบวกอย่างเคร่งครัด และค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันก็จะมีค่าเป็นบวกอย่างเคร่งครัดเช่นกัน

บทพิสูจน์ หนึ่งในนิยามของความไม่สามารถลดทอนได้สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบคือ สำหรับทุกดัชนีi,jจะมีm อยู่จริง โดยที่ ( A ^m ) เป็นบวกอย่างเคร่งครัด เมื่อกำหนดเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะv ที่ไม่เป็นลบ และอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของมัน เช่น องค์ประกอบที่iเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันจะเป็นบวกอย่างเคร่งครัด เนื่องจากกำหนดให้nโดยที่ ( A ⁿ ) > 0 ดังนั้น r ⁿ v = A ⁿ v ≥ ( A ⁿ ) v > 0 ดังนั้นrเป็นบวกอย่างเคร่งครัด เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจึงเป็นบวกอย่างเคร่งครัด จากนั้น เมื่อกำหนดmโดยที่ ( A ^m ) > 0 ดังนั้น r ^m v = ( A ^m v ) ≥ ( A ^m ) v > 0 ดังนั้น v เป็นบวกอย่างเคร่งครัด นั่นคือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นบวกอย่างเคร่งครัด

ส่วนนี้พิสูจน์ว่าค่าไอเกนของ Perron–Frobenius เป็นรากเดี่ยวของพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ ดังนั้นปริภูมิไอเกนที่เกี่ยวข้องกับค่าไอเกนของ Perron–Frobenius r จึง มีมิติเดียว ข้อโต้แย้งในที่นี้ใกล้เคียงกับข้อโต้แย้งใน Meyer ^{[ 12 ]}

กำหนดให้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ vที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดซึ่งสอดคล้องกับrและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะw อีกตัวหนึ่ง ที่มีค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน (เวกเตอร์vและwสามารถเลือกให้เป็นจำนวนจริงได้ เนื่องจากAและrเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ ดังนั้นปริภูมิว่างของArจึงมีฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์จำนวนจริง) สมมติว่าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของwเป็นบวก (มิฉะนั้นให้คูณwด้วย −1) กำหนดค่าα ที่เป็นไปได้สูงสุด ที่ทำให้u = v - αwไม่เป็นลบ ดังนั้นหนึ่งในองค์ประกอบของuจะเป็นศูนย์ มิฉะนั้นαจะไม่ใช่ค่าสูงสุด เวกเตอร์uเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ มันไม่เป็นลบ ดังนั้นโดยบทพิสูจน์ที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้าความไม่เป็นลบหมายถึงความเป็นบวกอย่างเคร่งครัดสำหรับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะใดๆ ในทางกลับกัน ดังที่กล่าวมาข้างต้น อย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของuเป็นศูนย์ ความขัดแย้งนี้หมายความว่าwไม่มีอยู่จริง

กรณี: ไม่มีบล็อกจอร์แดนใดที่สอดคล้องกับค่าไอเกนของเพอร์รอน-โฟรเบนิอุสrและค่าไอเกนอื่นๆ ทั้งหมดที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน

ถ้ามีบล็อกจอร์แดนค่านอร์มอนันต์ (A/r) ^k จะมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์เมื่อk → ∞แต่นั่นขัดแย้งกับการมีอยู่ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นบวก

กำหนดให้r = 1 หรือA/rและให้vเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดตามทฤษฎีบท Perron–Frobenius ดังนั้นAv=vแล้ว:

${\displaystyle \|v\|_{\infty }=\|A^{k}v\|_{\infty }\geq \|A^{k}\|_{\infty }\min _{i}(v_{i}),~~\Rightarrow ~~\|A^{k}\|_{\infty }\leq \|v\|/\min _{i}(v_{i})}$ ดังนั้น ‖ A ^k ‖ จึงมีขอบเขตสำหรับทุกkนี่เป็นการพิสูจน์อีกอย่างหนึ่งว่าไม่มีค่าลักษณะเฉพาะใดที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าค่าลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius นอกจากนี้ยังขัดแย้งกับการมีอยู่ของบล็อก Jordan สำหรับค่าลักษณะเฉพาะใดๆ ที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius) เพราะการมีอยู่ของบล็อก Jordan หมายความว่า ‖ A ^k ‖ ไม่มีขอบเขต สำหรับเมทริกซ์ขนาด 2x2:

${\displaystyle J^{k}={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}^{k}={\begin{pmatrix}\lambda ^{k}&k\lambda ^{k-1}\\0&\lambda ^{k}\end{pmatrix}},}$

ดังนั้น ‖ J ^k ‖ = | k + λ | (สำหรับ | λ | = 1) จึงมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์เมื่อkเข้าสู่ค่าอนันต์เช่นกัน เนื่องจากJ ^k = C ⁻¹ A ^k Cดังนั้นA ^k ≥ J ^k / ( C ⁻¹ C ) จึงมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์เช่นกัน ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นนี้บ่งชี้ว่าไม่มีบล็อกจอร์แดนสำหรับค่าไอเกนที่สอดคล้องกัน

เมื่อรวมข้อความทั้งสองข้างต้นเข้าด้วยกัน จะเห็นได้ว่าค่าไอเกนของ Perron–Frobenius คือ rซึ่งเป็นรากเดี่ยวของพหุนามลักษณะเฉพาะ ในกรณีของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เมทริกซ์ดั้งเดิม จะมีค่าไอเกนอื่นๆ ที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับrข้อความเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์เหล่านั้นเช่นกัน แต่ต้องใช้การคำนวณเพิ่มเติม

เมื่อกำหนดเมทริกซ์บวก (หรือโดยทั่วไปคือเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบที่ไม่สามารถลดรูปได้) Aเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius จะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นลบเพียงตัวเดียว (โดยไม่คำนึงถึงการคูณด้วยค่าคงที่) สำหรับ A

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอื่นๆ จะต้องมีส่วนประกอบที่เป็นลบหรือเชิงซ้อน เนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันนั้นตั้งฉากกันในแง่หนึ่ง แต่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นบวกสองตัวไม่สามารถตั้งฉากกันได้ ดังนั้นจึงต้องสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน แต่ปริภูมิเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเพอร์รอน-โฟรเบนิอุสมีมิติเดียว

สมมติว่ามีคู่ค่าลักษณะเฉพาะ ( λ , y ) สำหรับAโดยที่เวกเตอร์yเป็นบวก และกำหนด ( r , x ) โดยที่xคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ Perron–Frobenius ด้านซ้ายสำหรับA (เช่น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับA ^T ) แล้ว rx ^T y = ( x ^T A ) y = x ^T ( Ay ) = λx ^T yและx ^T y > 0 ดังนั้นจึงได้ว่าr = λเนื่องจากปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะ Perron–Frobenius rเป็นมิติเดียว เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะy ที่ไม่เป็นลบ จึงเป็นพหุคูณของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ Perron–Frobenius ^{[ 31 ]}

เมื่อกำหนดเมทริกซ์บวก (หรือโดยทั่วไปคือเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้) A แล้ว เราจะกำหนดฟังก์ชันfบนเซตของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นลบและไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดxโดยที่f(x)คือค่าต่ำสุดของ [ Ax ] / x ที่หาได้จากเวกเตอร์ iทั้งหมดx ≠ 0 จากนั้นf เป็นฟังก์ชันค่าจริง ซึ่งค่าสูงสุด ของมัน คือค่าลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius r

สำหรับการพิสูจน์ เรากำหนดให้ค่าสูงสุดของfแทนด้วยค่าRการพิสูจน์จำเป็นต้องแสดงว่าR = rเมื่อใส่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ Perron-Frobenius v ลง ในfเราจะได้f(v) = rและสรุปได้ว่าr ≤ Rสำหรับอสมการตรงกันข้าม เราพิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่เป็นลบx ใดๆ และให้ξ=f(x)นิยามของfให้0 ≤ ξx ≤ Ax (ตามส่วนประกอบ) ตอนนี้ เราใช้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านขวาที่เป็นบวกwสำหรับAสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของ Perron-Frobenius rแล้วξ w ^T x = w ^T ξx ≤ w ^T (Ax) = (w ^T A)x = rw ^T xดังนั้นf(x) = ξ ≤ rซึ่งหมายความว่า R ≤ r ^{[ 32 ]}

ให้Aเป็นเมทริกซ์บวก (หรือโดยทั่วไปเรียกว่าเมทริกซ์ดั้งเดิม) และให้rเป็นค่าลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius ของเมทริกซ์นั้น

1. มีลิมิตA ^k /r ^kสำหรับk → ∞ อยู่จริง ซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์Pแทน
2. Pเป็นตัวดำเนินการฉายภาพ : P ² = Pซึ่งสลับที่ได้กับA : AP = PA
3. ภาพของPเป็นภาพหนึ่งมิติและถูกสร้างขึ้นโดยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius v (และสำหรับP ^Tโดยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius wสำหรับA ^T ตามลำดับ )
4. P = vw ^Tโดยที่v และ wถูกทำให้เป็นค่าปกติโดยที่w ^T v = 1
5. ดังนั้นPจึงเป็นตัวดำเนินการเชิงบวก

ดังนั้นPจึงเป็นการฉายภาพสเปกตรัมสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของ Perron–Frobenius rและเรียกว่าการฉายภาพ Perron ข้อความข้างต้นไม่เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ทั่วไปที่มีค่าไม่เป็นลบ

อันที่จริง ข้อกล่าวอ้างข้างต้น (ยกเว้นข้อกล่าวอ้างที่ 5) นั้นใช้ได้กับเมทริกซ์M ใดๆ ก็ตาม โดยที่มีค่าลักษณะเฉพาะrซึ่งมีค่ามากกว่าค่าลักษณะเฉพาะอื่นๆ อย่างชัดเจนในเชิงสัมบูรณ์ และเป็นรากเดี่ยวของพหุนาม ลักษณะเฉพาะ (ข้อกำหนดเหล่านี้ใช้ได้กับเมทริกซ์ดั้งเดิมดังที่กล่าวมาข้างต้น)

เนื่องจากเมท ริกซ์ M สามารถทำให้เป็น เมทริกซ์ทแยงมุมได้ ดังนั้นMจึงเป็นเมทริกซ์สังยุคกับเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีค่าไอเกนr , ... , r อยู่บนแนวทแยงมุม (ให้r = r ) เมทริกซ์M ^k / r ^kจะเป็นเมทริกซ์สังยุค (1, ( r / r ) ^k , ... , ( r / r ) ^k ) ซึ่งมีแนวโน้มเข้าสู่ (1,0,0,...,0) เมื่อk → ∞ดังนั้นลิมิตจึงมีอยู่จริง วิธีการเดียวกันนี้ใช้ได้กับ เมทริก ซ์ M ทั่วไป (โดยไม่ต้องสมมติว่าMสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้)

คุณสมบัติการฉายภาพและการสลับที่ถือเป็นผลลัพธ์เบื้องต้นของนิยาม: MM ^k / r ^k = M ^k / r ^k M  ; P ² = lim M ^{2 k} / r ^{2 k} = Pข้อเท็จจริงที่สามก็เป็นพื้นฐานเช่นกัน: M ( Pu ) = M lim M ^k / r ^k u = lim rM ^{k +1} / r ^{k +1} uดังนั้นการหาลิมิตจะได้M ( Pu ) = r ( Pu ) ดังนั้นภาพของPอยู่ใน ปริภูมิ ไอ เกน r สำหรับMซึ่งมีมิติเดียวตามสมมติฐาน

ให้vแทน เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ rสำหรับM (และwแทนM ^T ) คอลัมน์ของPเป็นผลคูณของvเพราะภาพของPถูกสร้างขึ้นโดย v และแถวเป็นผลคูณของw ตามลำดับ ดังนั้นPจึงมีรูปแบบ(avw ^T )สำหรับค่าa บางค่า ดังนั้นร่องรอยของ P จึงเท่ากับ(aw ^T v)ร่องรอยของตัวฉายภาพเท่ากับมิติของภาพ ซึ่งได้พิสูจน์ไปแล้วว่ามีมิติไม่เกินหนึ่งมิติ จากนิยามจะเห็นได้ว่าPกระทำอย่างเหมือนกันบน เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ rสำหรับMดังนั้นมันจึงมีมิติเดียว ดังนั้นการเลือก ( w ^T v ) = 1 หมายความว่า P = vw ^T

สำหรับเมทริกซ์ Aใดๆ ที่ไม่เป็นลบค่าไอเกนของ Perron–Frobenius คือ rซึ่งสอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle r\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

สิ่งนี้ไม่ได้จำเพาะเจาะจงเฉพาะเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบเท่านั้น: สำหรับเมทริกซ์A ใดๆ ที่มีค่าลักษณะเฉพาะจะเป็นจริงว่านี่เป็นผลลัพธ์โดยตรงจาก ทฤษฎีบทวงกลมของเกอร์ชกอรินอย่างไรก็ตาม การพิสูจน์อีกแบบหนึ่งนั้นตรงไปตรงมามากกว่า: ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$${\displaystyle \scriptstyle |\lambda |\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}|a_{ij}|}$

นอร์มที่เกิดจากเมทริกซ์ใดๆจะสอดคล้องกับอสมการสำหรับค่าลักษณะเฉพาะใดๆเพราะถ้าเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันนอร์มอนันต์ของเมทริกซ์คือค่าสูงสุดของผลรวมแถวดังนั้นอสมการที่ต้องการจึงถูก นำไปใช้กับเมทริกซ์ A ที่ไม่เป็นลบได้อย่าง แม่นยำ${\displaystyle \scriptstyle \|A\|\geq |\lambda |}$${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle \|A\|\geq |Ax|/|x|=|\lambda x|/|x|=|\lambda |}$${\displaystyle \scriptstyle \left\|A\right\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|.}$${\displaystyle \scriptstyle \|A\|_{\infty }\geq |\lambda |}$

ความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่งคือ:

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\;\leq \;r.}$

ข้อเท็จจริงนี้เป็นลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบเท่านั้น สำหรับเมทริกซ์ทั่วไปไม่มีอะไรที่คล้ายกัน ถ้าAเป็นเมทริกซ์บวก (ไม่ใช่แค่ไม่เป็นลบ) แล้วจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะw ที่เป็นบวก ซึ่งทำให้Aw = rwและส่วนประกอบที่เล็กที่สุดของw (สมมติว่าเป็นw ) มีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นr = ( Aw ) ≥ ผลรวมของตัวเลขในแถวiของAดังนั้นผลรวมของแถวที่น้อยที่สุดจะให้ค่าขอบล่างสำหรับrและข้อสังเกตนี้สามารถขยายไปยังเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบทั้งหมดได้โดยใช้หลักความต่อเนื่อง

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายคือการใช้ สูตร Collatz -Wielandt โดยเราใช้เวกเตอร์x  = (1, 1, ..., 1) และจะได้อสมการทันที

ต่อไปนี้จะเป็นการพิสูจน์โดยใช้การแยกส่วนสเปกตรัมเทคนิคสำคัญคือการแยกค่ารากของเพอร์รอนออกจากค่าไอเกนอื่นๆ การฉายภาพสเปกตรัมที่เกี่ยวข้องกับค่ารากของเพอร์รอนเรียกว่าการฉายภาพเพอร์รอน และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

การฉายภาพแบบเพอร์รอนของเมทริกซ์จัตุรัสบวกที่ไม่สามารถลดรูปได้ คือเมทริกซ์บวก

ผลการค้นพบของ Perron และ (1)–(5) ของทฤษฎีบทเป็นผลลัพธ์ที่ตามมาของผลลัพธ์นี้ จุดสำคัญคือ การฉายภาพที่เป็นบวกจะมีอันดับหนึ่งเสมอ ซึ่งหมายความว่า ถ้าAเป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นลบและไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ความซ้ำซ้อนทางพีชคณิตและเรขาคณิตของราก Perron ของมันจะเป็นหนึ่งทั้งคู่ นอกจากนี้ ถ้าPเป็นการฉายภาพ Perron ของ A แล้วAP = PA = ρ( A ) Pดังนั้นทุกคอลัมน์ของPจะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทางขวาที่เป็นบวกของAและทุกแถวจะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทางซ้ายที่เป็นบวก ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าAx = λ xแล้วPAx = λ Px = ρ( A ) Pxซึ่งหมายความว่าPx = 0 ถ้า λ ≠ ρ( A ) ดังนั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นบวกเพียงอย่างเดียวคือเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับ ρ( A ) ถ้าAเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิมที่มี ρ( A ) = 1 แล้วจะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นP ⊕ (1 −  P ) Aโดยที่A ⁿ = P + (1 −  P ) A ⁿเมื่อnเพิ่มขึ้น พจน์ที่สองจะลดลงเหลือศูนย์ ทำให้Pเป็นลิมิตของA ⁿเมื่อn  → ∞

วิธีกำลัง (power method) เป็นวิธีที่สะดวกในการคำนวณการฉายภาพเพอร์รอน (Perron projection) ของเมทริกซ์ดั้งเดิม (primitive matrix) ถ้าvและwเป็นเวกเตอร์แถวและคอลัมน์บวกที่สร้างขึ้น การฉายภาพเพอร์รอนก็คือwv ​​/ vwการฉายภาพสเปกตรัมไม่ได้ถูกจัดเรียงอย่างเป็นระเบียบเหมือนในรูปแบบจอร์แดน (Jordan form) ในที่นี้พวกมันถูกซ้อนทับกัน และแต่ละอันโดยทั่วไปจะมีค่าเชิงซ้อนที่ขยายไปยังมุมทั้งสี่ของเมทริกซ์จัตุรัส อย่างไรก็ตาม พวกมันยังคงรักษาความเป็นตั้งฉากซึ่งกันและกัน ซึ่งเป็นสิ่งที่ช่วยอำนวยความสะดวกในการแยกส่วน

การวิเคราะห์เมื่อAเป็นเมทริกซ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้และไม่เป็นลบนั้นโดยทั่วไปจะคล้ายคลึงกัน การฉายภาพของ Perron ยังคงเป็นบวก แต่ตอนนี้อาจมีค่าลักษณะเฉพาะอื่นๆ ที่มีขนาด ρ( A ) ที่ทำให้การใช้วิธีเลขยกกำลังเป็นโมฆะและป้องกันไม่ให้เลขยกกำลังของ (1 −  P ) Aลดลงเหมือนในกรณีดั้งเดิมเมื่อใดก็ตามที่ ρ( A ) = 1 ดังนั้นเราจึงพิจารณาการฉายภาพรอบนอกซึ่งเป็นการฉายภาพสเปกตรัมของAที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดที่มีขนาดρ ( A ) จากนั้นอาจแสดงได้ว่าการฉายภาพรอบนอกของเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้และไม่เป็นลบนั้นเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบที่มีเส้นทแยงมุมเป็นบวก

สมมติเพิ่มเติมว่า ρ( A ) = 1 และAมี ค่าไอเกน hค่าบนวงกลมหน่วย ถ้าPคือการฉายภาพรอบนอก เมทริกซ์R = AP = PAจะเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบและไม่สามารถลดรูปได้R ^h = Pและกลุ่มวัฏจักรP , R , R ² , ...., R ^{h −1}แทนฮาร์มอนิกของAการฉายภาพสเปกตรัมของAที่ค่าไอเกน λ บนวงกลมหน่วยกำหนดโดยสูตรการฉายภาพทั้งหมดเหล่านี้ (รวมถึงการฉายภาพของ Perron) มีเส้นทแยงมุมที่เป็นบวกเหมือนกัน ยิ่งไปกว่านั้น การเลือกการฉายภาพใดๆ แล้วนำค่าสัมบูรณ์ของแต่ละรายการจะให้ผลลัพธ์เป็นการฉายภาพของ Perron เสมอ ยังคงต้องมีการทำงานเพิ่มเติมอีกเล็กน้อยเพื่อสร้างคุณสมบัติวัฏจักร (6)–(8) แต่โดยพื้นฐานแล้วเป็นเพียงเรื่องของการหมุนด้ามจับเท่านั้น การแยกส่วนสเปกตรัมของAกำหนดโดยA  =  R  ⊕ (1 −  P ) Aดังนั้นความแตกต่างระหว่างA ⁿและR ⁿคือA ⁿ  −  R ⁿ = (1 −  P ) A ⁿ ซึ่ง แสดงถึงสภาวะชั่วคราวของA ⁿที่ในที่สุดจะสลายตัวเป็นศูนย์Pสามารถคำนวณได้จากลิมิตของA ^nhเมื่อn  → ∞ ${\displaystyle \scriptstyle h^{-1}\sum _{1}^{h}\lambda ^{-k}R^{k}}$

เมทริกซ์L = , P = , T = , M = เป็นตัวอย่างง่ายๆ ของสิ่งที่อาจผิดพลาดได้หากไม่ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็น จะเห็นได้ง่ายว่าการฉายภาพแบบ Perron และการฉายภาพรอบนอกของLต่างก็เท่ากับPดังนั้นเมื่อเมทริกซ์ดั้งเดิมสามารถลดรูปได้ การฉายภาพอาจสูญเสียคุณสมบัติไม่เป็นลบ และไม่มีโอกาสที่จะแสดงออกมาในรูปของลิมิตของกำลังของเมทริกซ์นั้นได้ เมทริกซ์Tเป็นตัวอย่างของเมทริกซ์ดั้งเดิมที่มีเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ ถ้าเส้นทแยงมุมของเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นลบและลดรูปได้มีค่าไม่เป็นศูนย์ เมทริกซ์นั้นจะต้องเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิม แต่ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าข้อความกลับกันนั้นไม่จริงMเป็นตัวอย่างของเมทริกซ์ที่มีฟันสเปกตรัมหายไปหลายซี่ ถ้า ω = e ^iπ/3แล้ว ω ⁶ = 1 และค่าไอเกนของMคือ {1,ω ² ,ω ³ =-1,ω ⁴ } โดยมีปริภูมิไอเกนมิติ 2 สำหรับ +1 ดังนั้น ω และ ω ⁵จึงไม่มีอยู่ กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น เนื่องจากMเป็นเมทริกซ์แบบบล็อกทแยงมุมแบบวัฏจักร ค่าไอเกนจึงเป็น {1,-1} สำหรับบล็อกแรก และ {1,ω ² ,ω ⁴ } สำหรับบล็อกล่าง ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&1&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0\\1&0&0\\\!-1&1&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right)}$

ปัญหาที่ก่อให้เกิดความสับสนคือการขาดมาตรฐานในการกำหนดคำจำกัดความ ตัวอย่างเช่น ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า " เป็นบวกอย่างเคร่งครัด"และ"เป็นบวก"เพื่อหมายถึง > 0 และ ≥ 0 ตามลำดับ ในบทความนี้ คำว่า"เป็นบวก"หมายถึง > 0 และ คำว่า "ไม่เป็นลบ"หมายถึง ≥ 0 อีกประเด็นที่ยุ่งยากคือเรื่องการแยกส่วนและการลดรูปได้ : คำว่า "ไม่สามารถลดรูปได้" เป็นคำที่มีความหมายหลายอย่าง เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิด เมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นศูนย์และไม่เป็นลบAซึ่ง 1 +  Aเป็นเมทริกซ์ดั้งเดิม บางครั้งเรียกว่า เมทริก ซ์เชื่อมต่อดังนั้น เมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นลบที่ไม่สามารถลดรูปได้และเมทริกซ์เชื่อมต่อจึงมีความหมายเหมือนกัน^{[ 33 ]}

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นลบมักจะถูกทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วยเพื่อให้ผลรวมของส่วนประกอบเท่ากับหนึ่ง ในกรณีนี้ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะเป็นเวกเตอร์ของการแจกแจงความน่าจะเป็นและบางครั้งเรียกว่า เวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ เชิงสุ่ม

ค่าไอเก น ของ Perron–Frobeniusและค่าไอเกนเด่นเป็นชื่อเรียกอีกชื่อหนึ่งของราก Perron การฉายภาพสเปกตรัมเรียกอีกอย่างว่าตัวฉายสเปกตรัมและตัวเอกลักษณ์สเปกตรัมบางครั้งคาบเวลาจะถูกเรียกว่าดัชนีความไม่ดั้งเดิมหรือลำดับของวัฏจักร

• ทฤษฎีบทค่าต่ำสุด-สูงสุด  – ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
• เมทริกซ์ Z (คณิตศาสตร์)  – เมทริกซ์จัตุรัสที่มีค่าในแนวทแยงมุมไม่เป็นบวก
• เมทริกซ์ M  – เมทริกซ์ในทางคณิตศาสตร์
• เมทริกซ์ P  – เมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อนที่ทุกเมทริกซ์หลักย่อยมีค่าเป็นบวก
• เมทริกซ์ Routh–Hurwitz  – เมทริกซ์ที่ใช้ในการวิเคราะห์เสถียรภาพของพหุนามโดยพิจารณาจากสัมประสิทธิ์
• เมทริกซ์เมตซ์เลอร์ ( เมทริกซ์กึ่งบวก )
• ตัวดำเนินการบวก  – ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำบนปริภูมิผลคูณภายใน
• ทฤษฎีบท Krein–Rutman  – การขยายความทฤษฎีบท Perron–Frobenius ไปสู่ปริภูมิ Banach