In mathematics, planar algebras first appeared in the work of Vaughan Jones on the standard invariant of a II subfactor.^[1] They also provide an appropriate algebraic framework for many knot invariants (in particular the Jones polynomial), and have been used in describing the properties of Khovanov homology with respect to tangle composition.^[2][3] Any subfactor planar algebra provides a family of unitary representations of Thompson groups.^[4] Any finite group (and quantum generalization) can be encoded as a planar algebra.^[1]

The idea of the planar algebra is to be a diagrammatic axiomatization of the standard invariant.^[1][5][6]

A (shaded) planar tangle is the data of finitely many input disks, one output disk, non-intersecting strings giving an even number, say ${\displaystyle 2n}$, intervals per disk and one ${\displaystyle \star }$-marked interval per disk.

Here, the mark is shown as a ${\displaystyle \star }$-shape. On each input disk it is placed between two adjacent outgoing strings, and on the output disk it is placed between two adjacent incoming strings. A planar tangle is defined up to isotopy.

To compose two planar tangles, put the output disk of one into an input of the other, having as many intervals, same shading of marked intervals and such that the ${\displaystyle \star }$-marked intervals coincide. Finally we remove the coinciding circles. Note that two planar tangles can have zero, one or several possible compositions.

The planar operad is the set of all the planar tangles (up to isomorphism) with such compositions.

พีชคณิตระนาบ (Planar algebra)คือการแทนโอเปอราดระนาบ (planar operad) หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นก็คือ มันคือตระกูลของปริภูมิเวกเตอร์ที่เรียกว่าปริภูมิกล่อง (n-box spaces) ซึ่ง โอเปอราดระนาบ กระทำอยู่กล่าวคือ สำหรับแทงเกิลใดๆ(ที่มีดิสก์เอาต์พุตหนึ่งแผ่นและดิสก์อินพุตที่มี ช่วง และตามลำดับ) จะมีแผนที่เชิงเส้นหลายตัว (multilinear map )${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 2n_{0}}$${\displaystyle 2n_{1},\dots ,2n_{r}}$

${\displaystyle Z_{T}:{\mathcal {P}}_{n_{1},\epsilon _{1}}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {P}}_{n_{r},\epsilon _{r}}\to {\mathcal {P}}_{n_{0},\epsilon _{0}}}$

โดยขึ้นอยู่กับการแรเงาของช่วงที่ทำเครื่องหมายไว้ และแผนที่เหล่านี้ (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันการแบ่งส่วน) เคารพองค์ประกอบของความยุ่งเหยิงในลักษณะที่แผนภาพทั้งหมดด้านล่างสามารถสลับตำแหน่งกันได้ ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{+,-\}}$${\displaystyle \star }$

กลุ่มของปริภูมิเวกเตอร์ ที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มพันกันในระนาบซึ่งมี ช่วงบน ดิสก์ เอาต์พุตและ ช่วงที่ทำเครื่องหมายสีขาว (หรือสีดำ) ยอมรับโครงสร้างพีชคณิตระนาบ ${\displaystyle ({\mathcal {T}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \star }$

พีชคณิตระนาบ Temperley-Lieb ถูกสร้างขึ้นโดยกลุ่มพันกันระนาบโดยไม่มีดิสก์อินพุตพื้นที่กล่อง -box ของมัน ถูกสร้างขึ้นโดย ${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta )}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\mathcal {TL}__{3,+}(\delta )}$

นอกจากนี้ สตริงปิดจะถูกแทนที่ด้วยการคูณด้วย ${\displaystyle \delta }$

โปรดทราบว่ามิติของคือจำนวนคาตาลันพีชคณิตระนาบนี้เข้ารหัสแนวคิดของพีชคณิตเทมเปอร์ลีย์-ลีบ ${\displaystyle {\mathcal {TL}}_{n,\pm }(\delta )}$${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$

พีชคณิต Hopfกึ่งเรียบง่ายและโคกึ่งเรียบง่ายเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตจะถูกเข้ารหัสในพีชคณิตระนาบที่กำหนดโดยตัวสร้างและความสัมพันธ์ และ "สอดคล้อง" (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) กับพีชคณิตระนาบที่เชื่อมต่อกัน ลดทอนไม่ได้ ทรงกลม ไม่เสื่อมสภาพ มีโมดูลัสไม่เป็นศูนย์และมีความลึกสอง^{[ 7 ]}${\displaystyle \delta }$

โปรดทราบว่าการเชื่อมต่อหมายถึง(เช่นเดียวกับที่ประเมินได้ด้านล่าง) การ ลดทอนไม่ได้หมายถึงทรงกลมจะถูกนิยามไว้ด้านล่าง และไม่เสื่อมสภาพหมายถึง ร่องรอย (ที่นิยามไว้ด้านล่าง) ไม่เสื่อมสภาพ ${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{0,\pm })=1}$${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{1,+})=1}$

พีชคณิตระนาบซับแฟกเตอร์คือ พีชคณิตระนาบซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้: ${\displaystyle \star }$${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$

(1) มิติจำกัด:${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{n,\pm })<\infty }$

(2) ประเมินได้: ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{0,\pm }=\mathbb {C} }$

(3) ทรงกลม:${\displaystyle tr:=tr_{r}=tr_{l}}$

(4) บวก: กำหนดผลคูณภายใน${\displaystyle \langle a\vert b\rangle =tr(b^{\star }a)}$

โปรดทราบว่าตาม (2) และ (3) สตริงปิดใดๆ (ไม่ว่าจะแรเงาหรือไม่) ถือว่ามีค่าคงที่เดียวกัน ${\displaystyle \delta }$

การกระทำที่พันกันจะจัดการกับตัวผกผันโดย:

${\displaystyle Z_{T}(a_{1}\otimes a_{2}\otimes \cdots \otimes a_{r})^{\star }=Z_{T^{\star }}(a_{1}^{\star }\otimes a_{2}^{\star }\otimes \cdots \otimes a_{r}^{\star })}$

โดยมีภาพสะท้อนของและตัวผกผัน ของ ใน${\displaystyle T^{\star }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a_{i}^{\star }}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n_{i},\epsilon _{i}}}$

ทฤษฎีบทไร้ผี : พีชคณิตระนาบไม่มีผี (กล่าวคือ สมาชิกที่มี) ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta )}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \langle a\vert a\rangle <0}$

${\displaystyle \delta \in \{2\cos(\pi /n)|n=3,4,5,...\}\cup [2,+\infty ]}$

ตามที่กล่าวมาข้างต้น ให้เป็นอุดมคติว่าง (ที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่มี) แล้วผลหารจะเป็นพีชคณิตระนาบย่อยแฟกเตอร์ เรียกว่าพีชคณิตระนาบย่อยแฟกเตอร์ Temperley–Lieb-Jonesพีชคณิตระนาบย่อยแฟกเตอร์ใดๆ ที่มีค่าคงที่ ยอมรับเป็นพีชคณิตย่อยระนาบ ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \langle a\vert a\rangle =0}$${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta )/{\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$

พีชคณิตระนาบเป็นพีชคณิตระนาบย่อยแฟกเตอร์ก็ต่อเมื่อเป็นค่าคงที่มาตรฐานของแฟกเตอร์ย่อย สุดขั้วที่ มีดัชนีโดยที่และ[ ^{8 ] [ 9 ] [ 10 ] แฟกเตอร์}ย่อย ที่มีความลึกจำกัดหรือไม่สามารถแยกย่อยได้เป็นแฟกเตอร์สุดขั้ว ( บน) ${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })}$${\displaystyle N\subseteq M}$${\displaystyle [M:N]=\delta ^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,+}=N'\cap M_{n-1}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,-}=M'\cap M_{n}}$${\displaystyle tr_{N'}=tr_{M}}$${\displaystyle N'\cap M}$

มีพีชคณิตระนาบย่อยแฟกเตอร์ที่เข้ารหัสกลุ่มจำกัดใดๆ (และโดยทั่วไปแล้วพีชคณิตฮอปฟ์${\displaystyle {\rm {C}}^{\star }}$ มิติจำกัดใดๆ เรียกว่าพีชคณิต Kac) ซึ่งกำหนดโดยตัวสร้างและความสัมพันธ์ พีชคณิต Kac (มิติจำกัด) "สอดคล้อง" (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) กับพีชคณิตระนาบย่อยแฟกเตอร์ที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่มีความลึกสอง^{[ 11 ] [ 12 ]}

พีชคณิตระนาบย่อยที่เกี่ยวข้องกับการรวมกลุ่มจำกัด^{[ 13 ]} ไม่ได้จดจำการรวม (ที่ไม่มีแกน) เสมอไป^{[ 14 ] [ 15 ]}

พีชคณิตระนาบซับแฟกเตอร์ Bisch-Jones (บางครั้งเรียกว่า Fuss-Catalan) ถูกกำหนดไว้ดังนี้แต่โดยอนุญาตให้ใช้สตริงสองสีที่มีค่าคงที่ของตัวเองและโดย ที่ เป็นดังข้างต้น เป็นพีชคณิตย่อยระนาบของพีชคณิตระนาบ ^ซับแฟกเตอร์ใดๆ ที่มีตัวกลางเช่นนั้นและ^{[ 16 ]} [ ^{17 ]}${\displaystyle {\mathcal {BJ}}(\delta _{1},\delta _{2})}$${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle [K:N]=\delta _{1}^{2}}$${\displaystyle [M:K]=\delta _{2}^{2}}$

พีชคณิตระนาบย่อยปัจจัยความลึกจำกัดแรกของดัชนีเรียกว่าพีชคณิตระนาบย่อยปัจจัยHaagerup ^{[ 18 ]}มีดัชนี ${\displaystyle \delta ^{2}>4}$${\displaystyle (5+{\sqrt {13}})/2\sim 4.303}$

พีชคณิตระนาบย่อยได้รับการจำแนกอย่างสมบูรณ์สำหรับดัชนีสูงสุด^{[ 19 ]} และเกินกว่านั้นเล็กน้อย^{[ 20 ]} การจำแนกประเภทนี้ริเริ่มโดยUffe Haagerup [ ^{21 ] โดย} ใช้ (ในบรรดาสิ่งอื่นๆ) รายการกราฟหลักที่เป็นไปได้ พร้อมกับทฤษฎีบทการฝังตัว^{[ 22 ]} และอัลกอริทึมแมงกะพรุน^{[ 23 ]}${\displaystyle 5}$

พีชคณิตระนาบซับแฟกเตอร์จะจดจำซับแฟกเตอร์ (กล่าวคือ อินวาเรียนต์มาตรฐานของมันสมบูรณ์) หากมันสามารถรับได้^{[ 24 ]} ซับแฟกเตอร์ไฮเปอร์ไฟไนต์ที่มีความลึกจำกัดสามารถรับได้

เกี่ยวกับกรณีที่ไม่สามารถจัดการได้: มีซับแฟกเตอร์ไฮเปอร์ไฟไนต์ที่ไม่สามารถลดทอนได้จำนวนมากที่มีดัชนี 6 ซึ่งทั้งหมดมีตัวแปรมาตรฐานเดียวกัน^{[ 25 ]}

ให้เป็นซับแฟกเตอร์ที่มีดัชนีจำกัด และเป็นพีชคณิตระนาบซับแฟกเตอร์ที่สอดคล้องกัน สมมติว่า เป็น ซับ แฟกเตอร์ ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (นั่นคือ) ให้เป็นซับแฟกเตอร์ระดับกลาง ให้การฉายภาพของโจนส์สังเกตว่าให้และ${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1,+}=N'\cap M_{1}=\mathbb {C} }$${\displaystyle N\subset K\subset M}$${\displaystyle e_{K}^{M}:L^{2}(M)\to L^{2}(K)}$${\displaystyle e_{K}^{M}\in {\mathcal {P}}_{2,+}}$${\displaystyle id:=e_{M}^{M}}$${\displaystyle e_{1}:=e_{N}^{M}}$

โปรดสังเกตว่าและ. ${\displaystyle tr(e_{1})=\delta ^{-2}=[M:N]^{-1}}$${\displaystyle tr(id)=1}$

ให้แผนที่เชิงเส้นแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเป็นการ แปลงฟูริเยร์หรือเรียกอีกอย่างว่า-คลิก (ของดาวนอก) หรือการหมุน และให้เป็นผลคูณร่วมของและ${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {P}}_{2,\pm }\to {\mathcal {P}}_{2,\mp }}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle a*b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

โปรดทราบว่าคำว่าcoproductเป็นคำย่อของconvolution productซึ่งเป็นการดำเนินการแบบไบนารี

ผลิตภัณฑ์ร่วมนั้นสอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน ${\displaystyle a*b={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}(a){\mathcal {F}}^{-1}(b)).}$

สำหรับตัวดำเนินการบวกใดๆผลคูณร่วม ก็จะเป็นบวกเช่นกัน ซึ่งสามารถเห็นได้จากแผนภาพ: ^{[ 26 ]}${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a*b}$

ให้เป็นเมทริกซ์ผกผัน (หรือเรียกว่าการหมุน) แผนที่นี้สอดคล้องกับการคลิกสี่ครั้งของดาวนอก ดังนั้นจึงเป็นแผนที่เอกลักษณ์ และจากนั้น ${\displaystyle {\overline {a}}:={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(a))}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 180^{\circ }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\overline {\overline {a}}}=a}$

ในกรณีของพีชคณิต Kac ตัวผกผันคือแอนติโพด^{[ 12 ]}ซึ่งสำหรับกลุ่มจำกัด จะสอดคล้องกับตัวผกผัน

ไบโปรเจกชัน (Biprojection)คือโปรเจกชันที่มีตัวคูณเป็นโปรเจกชันอีกอันหนึ่ง โปรดสังเกตว่าและเป็นไบโปรเจกชัน ซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle b\in {\mathcal {P}}_{2,+}\setminus \{0\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(b)}$${\displaystyle e_{1}=e_{N}^{M}}$${\displaystyle id=e_{M}^{M}}$

การฉายภาพ เป็นการฉายภาพแบบไบโปรเจกชันก็ต่อเมื่อเป็นการฉายภาพของโจนส์ของซับแฟกเตอร์ระดับกลาง^{[ 27 ]}ก็ต่อเมื่อ^{[ 28 ] [ 26 ]}${\displaystyle b}$${\displaystyle e_{K}^{M}}$${\displaystyle N\subset K\subset M}$${\displaystyle e_{1}\leq b={\overline {b}}=\lambda b*b,{\text{ with }}\lambda ^{-1}=\delta tr(b)}$

การสอดคล้องของกาโลอิส : ^{[ 29 ]}ในกรณีพีชคณิต Kac การฉายภาพคู่จะเป็น 1-1 กับพีชคณิตย่อยโคอิดัลด้านซ้าย ซึ่งสำหรับกลุ่มจำกัด จะสอดคล้องกับกลุ่มย่อย

สำหรับพีชคณิตระนาบย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ใดๆ เซตของการฉายภาพคู่จะเป็นแลตทิซจำกัด^{[ 30 ]}ในรูปแบบเช่นเดียวกับช่วงของกลุ่มจำกัด ${\displaystyle [e_{1},id]}$${\displaystyle [H,G]}$

การใช้การฉายภาพคู่ เราสามารถสร้างพีชคณิตระนาบย่อยตัวประกอบระดับกลางได้^{[ 31 ] [ 32 ]}

หลักการความไม่แน่นอนขยายไปถึงพีชคณิตระนาบย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ทุกประเภท: ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

ให้มีการฉายภาพช่วงของและร่องรอยที่ไม่เป็นมาตรฐาน (เช่นบน ) ${\displaystyle {\mathcal {S}}(x)=Tr(R(x))}$${\displaystyle R(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Tr}$${\displaystyle Tr=\delta ^{n}tr}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,\pm }}$

หลักการความไม่แน่นอนแบบไม่สลับที่ : ^{[ 33 ]}ให้ไม่เป็นศูนย์ จากนั้น ${\displaystyle x\in {\mathcal {P}}_{2,\pm }}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(x){\mathcal {S}}({\mathcal {F}}(x))\geq \delta ^{2}}$

โดยสมมติว่าและเป็นบวก ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเป็นการฉายภาพสองมิติ (biprojection) เท่านั้น โดยทั่วไปแล้ว ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเป็นการเลื่อนสองมิติ (bi-shift ) ของการฉายภาพสองมิติ (biprojection) เท่านั้น${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$